2024-2025學(xué)年云南省玉溪市高二數(shù)學(xué)下學(xué)期5月期中檢測試題

一、單選題.（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

符合題目要求.）

設(shè)集合人｛（0,1），（1，。）｝,6=｛（"）|x—y=l｝,則/8=（）

1.

A.｛0,1｝B,｛（1,0）｝C.｛（0,1）｝D.（1,0）

2.已知復(fù)平面內(nèi)坐標(biāo)原點(diǎn)為0,復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z,Z滿足Z（4-3i）=3+4i,則唇=（）

43

A.-B.-C.1D.2

54

3.在等比數(shù)列｛4｝中，公比2且q+%=1，則%=（）

84

A.—B.—C.8D.4

33

6

4.已知實(shí)數(shù)巴"C滿足2"+<7=2，2+6=75?c=log163,則（）

A.c<a<bB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

5.將甲、乙、丙等7名志愿者分到48,C三個(gè)地區(qū)，每個(gè)地區(qū)至少分配2人，則甲、乙、丙分

到同一個(gè)地區(qū)的概率為（）

1111

A.—B.—C.—D.—

48247035

6.如圖，四邊形為正方形，ED上平面4BCD,FB//ED,AB=ED=3FB=3,則三棱

錐尸-ZCE的體積為（）

E

二

AB

c3屈口3國

A.12B.6

44

7.已知的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,A=25，b=2,c=—,則。=（）

2

A.1B.2C.3D.4

8.若對(duì)于任意正數(shù)x，y,不等式x(l+lnx)之xh9-ay恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

)

1]_1

A.0,-B.~~3廠C.二,+ooD.

eeee

二、多選題.(本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求,全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.)

丫2

9.已知雙曲線C:--y2=l的實(shí)軸長是虛軸長的3倍，則下列關(guān)于雙曲線C的說法正確的是()

m

A.實(shí)軸長為6B.虛軸長為2C.焦距為D.禺心率為

2V2

亍

'兀

10.將函數(shù)/(x)=2si:inCDX+—(①>0)的圖象向左平移個(gè)單位長度后，函數(shù)圖像關(guān)于y軸

I3

對(duì)稱，則下列說法正確的是()

A.0可能等于3B./(x)的周期可以是4兀

71

一定為奇函數(shù)D./(x)在0,上單調(diào)遞減

c-/X-T3G

11.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,滿足/(x+y)+/(x—y)=2/(x)/(y),且/(1)=—1,

則()

A.f(0)=1B./(x)為奇函數(shù)

C〃l)+〃2)+…+/(2024)=0D.[/(x)]2+[/(x+l)]2=l

三、填空題.(本大題共3小題，每小題5分，共15分.)

12.如圖，已知正方體48CD—44GR的棱長為2,若《為棱44的中點(diǎn)，過4C,4三點(diǎn)作

正方體的截面，則截面的周長為

22

13.已知橢圓C：*+a=1(?！?〉0)的左、右焦點(diǎn)分別為片和鳥，N是橢圓。上一點(diǎn)，

線段大N與y軸交于若NN及用=三，|片=則橢圓C的離心率為

21m

14.已知a>6>,且--+----->-----恒成立，實(shí)數(shù)加的最大值是__________.

a-bb-ca-c

四、解答題.(本大題共5小題，共77分.寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)

15.設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為已知外=1,2〃?！啊?5“=/一〃,〃eN*.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)令％二與產(chǎn),求數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和北.

16.在直角梯形/BCO中，4D//BC,BC=24B=24D=4,4BLBC,點(diǎn)E為4D中點(diǎn)、,沿

將折起，使CO,

(1)求證：481平面ZCD；

(2)求二面角E-BC-￡>的余弦值，

17.某項(xiàng)測試共有8道題，每道題答對(duì)5分，不答或答錯(cuò)得0分.某人答對(duì)每道題的概率都是工,

4

每道試題答對(duì)或答錯(cuò)互不影響，設(shè)某人答對(duì)題目的個(gè)數(shù)為Z.

(1)求此人得分的期望；

(2)指出此人答對(duì)幾道題的可能性最大，并說明理由.

18.如圖，已知拋物線C:y2=2.5>0)的焦點(diǎn)為尸，拋物線C上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的最小距離為1.

(1)求拋物線。的方程；

(2)過點(diǎn)尸作互相垂直的兩條直線乙12,，與拋物線。交于48兩點(diǎn)，力與拋物線。交于G

2兩點(diǎn)，M,"分別為弦陽磬的中點(diǎn)，求|明?|加的最小值.

19.已知函數(shù)/(x)=ar-21nx.

(1)試討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x>l時(shí)，不等式/(x)<(x—2)lnx+2x+a—1恒成立，求整數(shù)。的最大值.

數(shù)學(xué)答案

一、單選題.(本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

符合題目要求.)

1.設(shè)集合人{(lán)(°,1),(1,叫,B={(x,y)\x-y=l}t則()

A.{0,1}B.{(l,o)}C.{(0,1)}D.(1,0)

【答案】B

【解析】

【分析】首先判斷點(diǎn)是否在直線上，再求出交集即可.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)(1,0)在直線X—y=l上，點(diǎn)(0,1)不在直線X—y=l上，

又4={(0』),(1,0)},S={(X,J)|X-J=1),

所以ZcB={(l,0)}.

故選：B

2.已知復(fù)平面內(nèi)坐標(biāo)原點(diǎn)為。，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z,z滿足z(4—3i)=3+4i,則|歷卜()

43

A.-B.-C.1D.2

54

【答案】C

【解析】

【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算易求出z=i,再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可得|9|=1.

3+4i（3+4i）（4+3i）12+9i+16i+12i225..

【詳解】由z（4—3i）=3+4i可得z=z與-----------------------=--1=1

（4-3i）（4+3i）42-9i225

所以可得Z（0,l）,即9=（0,1）；

BPM=A/O2+I2=1.

故選：C

3.在等比數(shù)列｛%｝中，公比9=2且q+g=1，則％=（）

84

A.—B.—C.8D.4

33

【答案】A

【解析】

【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合已知條件求出力=;,再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出火

即可.

【詳解】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，由%+%=1，可得q+%p=l,即3%=1,

[8

解得=§，所以&二a】q=—?

故選：A.

4.已知實(shí)數(shù)。,女。滿足2"+a=2，2/?+Z）=y/5，。=logi63，則（）

A.c<a<bB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

【答案】A

【解析】

【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性得c<|，構(gòu)造函數(shù)/（x）=2*+x,xeR,由函數(shù)的單調(diào)性得g<a<b

及，即可得出判斷.

【詳解】由對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性得，c=logi63<log]64=log]6162=j

構(gòu)造函數(shù)/（x）=2，+x,xeR,則/（a）=2〃+a=2,f（b）=2b+b=45

因?yàn)閥=2'和'=x單調(diào)遞增，所以〃x）單調(diào)遞增，

因?yàn)?<百，即/（。）</（與，所以

又/（g）=2；+g=^|^<2,所以/（。）〉/（；），即a〉J，

所以c<a<Z?，

故選：A.

5.將甲、乙、丙等7名志愿者分到4瓦。三個(gè)地區(qū)，每個(gè)地區(qū)至少分配2人，則甲、乙、丙分

到同一個(gè)地區(qū)的概率為（）

1111

A.—B.—C.—D.—

48247035

【答案】D

【解析】

【分析】先求出將甲、乙、丙等7名志愿者分到4瓦。三個(gè)地區(qū)，每個(gè)地區(qū)至少分配2人共有多

少種分法，再求出甲、乙、丙分到同一個(gè)地區(qū)的分法數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式，即可求得答

案.

【詳解】將甲、乙、丙等7名志愿者分到4民。三個(gè)地區(qū)，每個(gè)地區(qū)至少分配2人，

C3c2

則有3人分到一個(gè)地區(qū)，分配方法共有種,

r2

其中甲、乙、丙分到同一個(gè)地區(qū)的分配方法有港一A；,

屋人

A2A3]]

故所求的概率為方元一=-r=—

L7L4A3I7J)

故選：D

6.如圖，四邊形/BCD為正方形，ED工平面4BCD,FB//ED,AB=ED=3FB=3,則三棱

錐尸-ZCE的體積為()

,…03766n

A.192B.bC.------D.-3-曬---

44

【答案】B

【解析】

【分析】連接8。交/C于點(diǎn)證得平面5。斯，得到四邊形5DG廠為矩形，分別求

得近0,尸河,石尸的長，利用余弦定理求得COSNEMR=-Y亙，得到sinNEMR=m叵，結(jié)

3333

合面積公式和錐體的體積公式，即可求解.

【詳解】如圖所示，連接5。交ZC于點(diǎn)連接尤以,

因?yàn)樗倪呅?BCD為正方形，所以/C/8D,

又因?yàn)槠矫?BC2/C1平面48C。，所以EDL/C,

因?yàn)榇?ClAD=。,EZ),ADu平面BDEF，所以/C平面BDEF，

又因?yàn)锽M=DM==BD，過尸作尸3，?！暧?,可得四邊形3DG尸為矩形，則

22

FG=BD=30EG=2,

所以EM=：32+半=乎,FM=j+半■=容，EF=?+(3亞『=應(yīng)，

由余弦定理得cosZEMF=ME'ME—EF?=_V|3,

2ME-MF33

所以sinZEMF=&-cos?/EMF=生畫

33

所以…；ME-MFS3',

=

所以VF-ACE『A-EFM+^C-EFM=§/C，^^EFM=6-

故選：B.

7.已知AZ8C的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,A=2B,b=2,c=~,則。=()

2

A1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)正弦定理及余弦定理解三角形即可得解.

【詳解】在中，由正弦定理得一竺=」一=——&——

sinBsin2B2siiLBcos5

得。=2Z)cos5=4cos瓦

由余弦定理得a=4cos5=4x十°——

2ac2xax一

2

化簡整理得/=9,得。=3.

故選：C

8.若對(duì)于任意正數(shù)方y(tǒng)，不等式x(l+lnx)之xh9-町恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

111「1)「1)

仁/'+°°D-7,+c0

DC」l_C/Lc/

【答案】c

【解析】

【分析】對(duì)不等式分離參數(shù)得到-'，令/=上，構(gòu)造函數(shù)g?)=電3,/e(0,+8),

yxyxt

則a>g(Omax，通過導(dǎo)數(shù)研究g(O單調(diào)性求出最大值即可?

【詳解】由不等式》。+1曲)之對(duì)取一犯恒成立，且x>0,j>0,

XXXV

分離參數(shù)得盯之ImO一x,所以a2—(lny-lnx)—,即a2—In1----,

,jjyxy

設(shè)/=上，得ri1"T,/e(0,+oo),設(shè)g")=='1,Ze(0,+oo),則

Xtt

g'(7)=T-,由g'⑶=0得"e?,當(dāng)fe(0,e2)時(shí)，g'⑶>0,g⑺單調(diào)遞增；當(dāng)/e@,+8)

時(shí)，g")<0，g?)單調(diào)遞減;

所以g?)而=gC)=m=J

所以a2—.

e

故選：C

二、多選題.(本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.)

9.已知雙曲線C:--y2=l的實(shí)軸長是虛軸長的3倍,則下列關(guān)于雙曲線C的說法正確的是（）

m

A.實(shí)軸長為6B.虛軸長為2C.焦距為20D.離心率為

2^/2

亍

【答案】AB

【解析】

【分析】對(duì)含參數(shù)的雙曲線方程，一般先考慮焦點(diǎn)位置，再確定的值，利用條件求出各個(gè)基

本量，再逐一判斷選項(xiàng)即可.

2

【詳解】由雙曲線方程上―/=1可知加>0,且。=通力=1,由題意，a=3b,代入解得：

m

m=9,

故實(shí)軸長為2a=2?=6,虛軸長為2b=2,故A項(xiàng)，B項(xiàng)都正確；

焦距2c=251=2癡，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；離心率為e=￡=巫，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

a3

故選：AB.

10.將函數(shù)/（》）=25吊10%+:］（0>0）的圖象向左平移日個(gè)單位長度后，函數(shù)圖像關(guān)于y軸

I”3

對(duì)稱，則下列說法正確的是（）

A.0可能等于3B./（x）的周期可以是4兀

?。┰冢?。喘

一定為奇函數(shù)D.上單調(diào)遞減

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件平移后的圖像為偶函數(shù)，確定口的取值，利用。=^+3人（丘2）判斷A、

B兩個(gè)選項(xiàng)；求出/解析式，利用奇函數(shù)定義判斷函數(shù)的奇偶性進(jìn)而判斷C選項(xiàng)；利用

換元法令/=+利用函數(shù)/?)?</(冬的單調(diào)性，判斷/(X)0<x<=J的單調(diào)

3<33y<3(0J

性進(jìn)而判斷D選項(xiàng).

【詳解】函數(shù)/(X)=2sinLx+yj(?>0)的圖象向左平移1個(gè)單位得：

c.[697171

g(x)=2sin。x+9+E—2sincoxH------F_,因?yàn)間(x)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,

I33,

所以g(x)為偶函數(shù)，所以m+1=3+也(丘Z)解得0=；+3k(keZ)；

若刃=3,則工+3左=3,解得左=?,因?yàn)樽骵Z,所以4=3不成立，A錯(cuò)誤;

266

O1j

若/(X)的周期可以是4兀，則」=4兀，解得。=彳，又因?yàn)?=—+33

co22

即1=工+3左，解得左=0符合斤eZ,B正確；

22

因?yàn)榛?一+3左(丘Z),所以/二2sin

2

_

_.?17?71j71-+3kjx2kit=2sin[；+3左)x

=2sin—+3kx------2左兀+一=2sin

U)33

令〃(x)=2sin—+3左\x,/z(-x)=2sin--+3k\x=-2sin—+3k\x

所以〃(—%)=—〃(x),所以/［x--一定為奇函數(shù)，C正確；

TTTTTT/TTITT?

令1=0X+—,則因?yàn)?<x<—,則一</<—,所以y(x)=2sin|twx+—K0〉o)化為

33033v3J

/?)=2sin/,/(/)在［§,5］上單調(diào)遞增，在I，,3-］上單調(diào)遞減，

所以/(X)在［(),1］上不單調(diào)，D錯(cuò)誤.

故選：BC

11.已知函數(shù)/（X）的定義域?yàn)镽,滿足/（x+y）+/（x—y）=2/（x）/（y）,且/⑴=—1,

則（）

A./（0）=1B./（x）為奇函數(shù)

C/⑴+/⑵+…+”2024）=0D.[/（x）]2+[/（x+l）]2=l

【答案】AC

【解析】

【分析】利用賦值法可求周期，/（0）,結(jié)合賦值法可以排除選項(xiàng)B,D.

【詳解】對(duì)于A,令x=l,y=0得，2/（1）=2/（1）/（0）,因?yàn)?。）=—1,所以/（0）=1,A

正確；

對(duì)于B,因?yàn)?（0）=1片0,所以/（x）一定不是奇函數(shù)，B不正確；

對(duì)于C,由/（2）+/（0）=2/（2）/（0）得/（2）=1；由/（3）+/（1）=2/（2）/。）=—2得

/⑶一1；

由/（4）+/⑵=2/（3）/（1）=2得44）=1；由〃5）+/⑶=2/（4）/⑴=—2得

/（5）=-1,L,

所以/（x）的周期為2,所以/⑴+/（2）+…+42024）=0,C正確;

對(duì)于D令x=l,/2（1）=1,/2（2）=1,所以[/⑴T+[/（2）T=2/1,D錯(cuò)誤.

故選：AC

三、填空題.（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）

12.如圖，已知正方體48co—4AGA的棱長為2,若人為棱44的中點(diǎn)，過力，c,4三點(diǎn)作

正方體的截面，則截面的周長為

【答案】3亞+2石##2宕+3行

【解析】

【分析】取斗。的中點(diǎn)M,連接KM,MC,作出截面KMC4,分別求出邊長，進(jìn)而求出截面的

周長.

【詳解】如圖，取4G的中點(diǎn)“，連接KN,MC,則KA///&G，

則在正方體ABCD一451GA中，AA{ICC、,AAX=CCX,

所以四邊形Z4GC是平行四邊形，

所以ZC//&G，

又KA///4G，所以KM///C,

則四邊形KMC4即為過4C,4三點(diǎn)截面，

因?yàn)檎襟w力BCD-4AG2的棱長為2,

所以ZC=2后，KM=曰4K=MC=&=6

則其周長為ZC+KA/+ZK+MC=2亞+行+&+指=3拒+26?

13.已知橢圓C：W+%=i（a〉b〉O）的左、右焦點(diǎn)分別為片和鳥，N是橢圓。上一點(diǎn)，

線段大N與y軸交于若NN及用=三，|片=則橢圓C的離心率為

【答案】3-V7

【解析】

【分析】設(shè)|"兇=加，貝I山閭=2加，由條件得。=加，在△△有月中，由余弦定理得

（2?-3C）2=7C2,即可求解橢圓的離心率.

【詳解】因?yàn)殛柦校簗人明=2:1,所以設(shè)MV|=加，則陽"|=2加，

因?yàn)?入%乙=百，所以=F=cosg=g,所以c=加，所以出N|=3加=3c,

32MJ2

由橢圓定義知：優(yōu)N|=2a—3c,

在ANFiF2中,由余弦定理得：（2a—3c『=（2c『+（3c）2—2x2cx3cxg,

所以（2a—3c『=7。2,所以2a—3c=/或2a—3c=—瓦，所以2。=（3+不卜或

2a=（3-近卜，又a〉c,所以2a=（3+6卜，

所以橢圓。的離心率為e=￡=^^=3—近.

a3+J7

故答案為：3-J7

恒成立，實(shí)數(shù)加的最大值是

【答案】3+2行##2行+3

【解析】

【分析】將不等式轉(zhuǎn)化，應(yīng)用基本不等式求出最大值，即可得到答案.

【詳解】由題意，a-b>0.b-c>0,a-c>0f

1m....2(Q—a—c

所“以it——2-——>----轉(zhuǎn)化為一^----c-)+----->m,

a-bb-ca-ca-bb-c

2(a-b+b—c)a-b+b-c日口2(b-c)a-b

可得「------------+-----------Nm,即2+=------+1+------->m,

a-bb-ca-bb-c

因?yàn)?+21叱0+1+區(qū)心23+2五，當(dāng)且僅當(dāng)a—6=/(人—c)時(shí)等號(hào)成立，

a-bb-c

所以實(shí)數(shù)加的最大值是3+2夜.

故答案為：3+2亞

四、解答題.(本大題共5小題，共77分.寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)

15.設(shè)數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S,，已知%=l,2〃a“-2S“=eN*.

(1)求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式；

(2)令〃=當(dāng)2,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和7；.

【答案】(1)an=n

VI

(2)T“=—

"2"

【解析】

【分析】(1)由退一步相減得出數(shù)列｛6｝的通項(xiàng)公式；

(2)由錯(cuò)位相減得出也｝的前〃項(xiàng)和卻

【小問1詳解】

由題知：—2S"=〃?—”①，

當(dāng)〃22時(shí)，

①-②得：2“%-2(“-1)4_]-2(S“-S“_J=-1)+

即2(〃-l)a“=2(〃-1),

所以。〃一。〃一1=L〃22,〃EN*，

從而數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)%=1,公差d=l的等差數(shù)列，

所以數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為%=〃.

【小問2詳解】

因?yàn)?=〃，所以〃="&===（2—，

"2"2"I<2）

H+b2+b3+---+bn,

即1=lxg]+°x[]+（T）xg]+…+（2-"U③，

京i（￡|+”出+（T）*出+…+（2-"）x出?.

③-④得：

+（-l）x[]+（T）xg]+..?+（T）xg]_（2-〃）x

2

n

n+\

ri

所以。=袤?

16.在直角梯形/BCO中，AD//BC,BC=2AB=24D=4,ABLBC,點(diǎn)E為4D中點(diǎn),沿

將△45。折起，使5￡J_CO,

（1）求證：481平面/CD；

(2)求二面角E—5C—。的余弦值,

【答案】(1)證明見解析

⑵

11

【解析】

【分析】(1)利用平面幾何的知識(shí)證得8。，再利用線面垂直的判定與性質(zhì)定理即可得證；

(2)根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面與平面BCD的法向量，再利用空間向

量法即可得解.

【小問1詳解】

在梯形中，AB=2,AD=2,AB±AD,

所以BD=2叵,CD=26,

又BC=4,所以臺(tái)/^+⑺？=臺(tái)。2,.

又BE1CD,BDcBE=B,BD,BEu平面ABD,故CD_L平面ABD,

AB（z平面ABD,.\ABYCD,

又_L&D,CDcAD=D,CD,AD<=平面/CD,.：NB1平面ACD.

【小問2詳解】

取BD中點(diǎn)。，連接/。，由于48=4。，則A0=6，

因?yàn)镃D_L平面N8D,ZOu平面N8。，所以49d.eD,

又BDcCD=D,BD,CDu平面BCD,所以4。工平面BCD,

以08,04分別為x軸、z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)坐標(biāo)系，

5

則8（正,0,0）,。（—行,0,0）,C（—夜,2行,0）,2（0,0,行）,.??￡—芋,0二,

7

設(shè)平面EBC的法向量為m=(x,y9z)，

又礪=--,0,—,5C=(-272,272,0),

、22,

'3亞行八

------XH------Z——0

22，令x=l,則y=l,z=3,.,.加=(1,1,3),

—2A/2X+2y/2y-0

易知平面BCD的一個(gè)法向量為n=(0,0,1),

TT

設(shè)二面角￡—8C—￡>為仇0<e<一,

2

由2/)_!/--\|」應(yīng)向_3_3A/TT

所以COS。=COS〈加,〃〉=,.=—7==———，

\m\\n\Vil11

故二面角E-BC-D的余弦值為土叵.

11

17.某項(xiàng)測試共有8道題，每道題答對(duì)5分，不答或答錯(cuò)得0分.某人答對(duì)每道題的概率都是,,

4

每道試題答對(duì)或答錯(cuò)互不影響，設(shè)某人答對(duì)題目的個(gè)數(shù)為Z.

(1)求此人得分的期望;

(2)指出此人答對(duì)幾道題的可能性最大，并說明理由.

【答案】(1)10

(2)此人答對(duì)2道題的可能性最大；理由見解析.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)已知條件，確定X?,得分為5X,求￡(5X)=5￡(X)=5x2=10

即可;

(2)根據(jù)二項(xiàng)分布概率公式有尸(X=k)=C；k=0,1,2…，8,通過作商法求出

十=I+三一，與I比較大小即可確定4在k=2時(shí)取最大值.

【小問1詳解】

某人答對(duì)每道題的概率都是工，則答對(duì)題目的個(gè)數(shù)X服從二項(xiàng)分布,

4

即X?￡(X)=8X1=2,由于每道題答對(duì)得5分，

所以此人答題得分為5X,因此，在此項(xiàng)測試中,

此人答題得分的期望為￡(5X)=5￡(X)=5x2=10.

【小問2詳解】

設(shè)此人答對(duì)k道題的可能性為尸(X=k)=cj；],左=0,1,2,…,8,

P（X=k）

t己p=P（X=k）,則片

kP[X=k-\）

____8_!___x_1

=上產(chǎn)-小+普，15

_____oj_____x￡3k3k

[k-\)\[9-k)\4

9

當(dāng)左<W時(shí)，Pk>Pk-1，Pk隨左的增加而增加，即22〉Pl〉Po；

9

當(dāng)左〉[時(shí)，Pk<Pk_x,P上隨左的增加而減小，即％<27<…<夕2；

所以當(dāng)左=2時(shí)，22最大，因此此人答對(duì)2道題的可能性最大.

18.如圖，已知拋物線(7:r=2/5>0)的焦點(diǎn)為尸，拋物線C上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的最小距離為1.

(1)求拋物線。的方程;

(2)過點(diǎn)尸作互相垂直的兩條直線012,人與拋物線C交于46兩點(diǎn)，4與拋物線C交于G

〃兩點(diǎn)，M,N分別為弦48繆的中點(diǎn)，求|詼|?I舷'I的最小值.

【答案】(1)y2=4x

（2）8

【解析】

【分析】(1)由拋物線c上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的最小距離為1,所以2=1,即可求得拋物線的方程；

2

(2)設(shè)直線的斜率為A,則直線3的斜率為-1，得到直線43的方程為歹=k(x-1),聯(lián)立

k

方程，求得乂+%=±進(jìn)而求得MN的坐標(biāo)，得到的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式，

k

即可求解.

【小問1詳解】

解：因?yàn)閽佄锞€C上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的最小距離為1,所以5=1,解得。=2,

所以拋物線C的方程為/=4x.

【小問2詳解】

解：由(1)可知焦點(diǎn)為6(1,0),

由已知可得所以直線切的斜率都存在且均不為0,

設(shè)直線的斜率為A,則直線圈的斜率為-工，

k

所以直線4夕的方程為y=k(x-l)f

y=k(x-l)

聯(lián)立方程＜2:,消去X得02—4〉—4左=0,

y=4x

、4

設(shè)點(diǎn)A(jq,%),B(X2,%),則必+y2~一，

k