2025屆云南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三高考適應(yīng)性月考數(shù)學(xué)試題（二）

一、單選題

1.已知復(fù)數(shù)Z滿足Z=l—i,則卜［=（）

A.-B.1C.2D.4

4

【答案】c

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算法則，結(jié)合復(fù)數(shù)模的運(yùn)算公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】：z=l—i,，z2=l—2i—l=—2i，歸1=2,

故選：C

2.“x>4”是“2工>”'的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及充分、必要條件的定義判定即可.

【詳解】當(dāng)x>4時(shí)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知y=2,增長速度更快，知成立，充分性成立；

當(dāng)x=l時(shí)，2,>尤2成立，但x>4不成立，顯然必要性不成立，

故選:A

3.為保證中小學(xué)生享有充足睡眠時(shí)間，促進(jìn)學(xué)生身心健康發(fā)展，教育部辦公廳發(fā)布《關(guān)于進(jìn)一步加

強(qiáng)中小學(xué)睡眠管理工作的通知》，明確學(xué)生睡眠時(shí)間要求.已知某地區(qū)有小學(xué)生1200人，初中生900

人，高中生900人，教育部門為了了解該地區(qū)中小學(xué)生每天睡眠時(shí)間，現(xiàn)用樣本量比例分配的分層

抽樣從該地區(qū)抽取樣本，經(jīng)計(jì)算樣本中小學(xué)生、初中生、高中生每天的平均睡眠時(shí)間分別為9.5小

時(shí)、8小時(shí)、7小時(shí)，則估計(jì)該地區(qū)中小學(xué)生每天的平均睡眠時(shí)間為（）小時(shí).

A.7.5B.8C.8.3D.8.5

【答案】C

【分析】利用加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式可求平均數(shù).

【詳解】由題意可設(shè)小學(xué)生、初中生、高中生中分別抽取4a人，3a人，3a人，

皿9.5x4。+8x3。+7x3a.

則--------布--------=8o3

故選：C.

7

4.設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-3,0),(3,0),直線A"與創(chuàng)/相交于點(diǎn)且它們的斜率之積為

則點(diǎn)M的軌跡方程為()

A.r￡看=U±3)

+=1(B.

96I

C.^+—=1(：=U±3)

xw±3)D.

96l

【答案】D

【分析】利用給定條件直接求解動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程即可.

【詳解】設(shè)點(diǎn)M(x,y),貝IJAM的斜率為膜，BM的斜率為小

x+3X—J

x+3x~33

22

所以L-，=1(XW±3),故D正確.

96I,

故選：D

5.已知a=log42,b=log83,c=flY,貝I]()

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a

【答案】B

I11

【分析】由題意可得〃=萬，再由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)和根式與指數(shù)式的互化分別得出和c＜］即可得

【詳解】由題a=bg42=g,

又由y=log3X是增函數(shù)可知6=log83>log8&=g,

c<a<b,

故選：B.

6.在三棱錐P-ABC中，VABC是邊長為2的等邊三角形，PA=PB=2,PC=R,則該三棱錐

外接球的表面積為()

1620-28

A.—71B.—71C.871D.—71

333

【答案】B

【分析】利用給定條件找到外接球球心，利用勾股定理得到半徑，再求解面積即可.

p.

【詳解】

如圖，取A3的中點(diǎn)。，連接P2C。,

貝！JP￡>=CD=JL又PC=R,所以p/y+cn?=Pf2,

故「DLCD,因?yàn)閂ABC是邊長為2的等邊三角形，

所以CD,A3,因?yàn)槭?gt;「"=￡>,PD,A2u平面上鉆,

所以CD_L平面上4B,因?yàn)镃Du平面ABC,

所以平面PAB，平面ABC,

設(shè)VABC和PAB的外心分別為。，。2，

則。,02分別在線段CD,PD上，

S.O.D=O2D=^CD=^~,設(shè)外接球的球心為O,

連接。。,。。2，。204,

在正方形。。1。。2中，由勾股定理得OD="，

3

由勾股定理得KMOMnADZ+ayni+jq)=g,

20

故5=4兀內(nèi)=7兀，故B正確.

故選：B

7.設(shè)〃%)=1。82(4工+1)+/—x+a,若〃x)存在唯一的零點(diǎn)，則。=()

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式可知F(x)為偶函數(shù)，再由偶函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)論.

【詳解】令g(x)=log2(4"+l)-x,h(x)=x2+a,則/(x)=g(x)+/z(x)；

A

滿足g（-x）=log2（4一+1）+x=log2（4*+l）-log24'+x=log2（4,+1）-x=g（x）,

且〃(-x)=(-x『+a=x2+a=〃(x),所以g(x),7z(x)均為偶函數(shù),

因此〃x)=log2(4*+l)+尤2-尤+a為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于V軸對(duì)稱，

又存在唯一的零點(diǎn)，則/(0)=1+a=0,

可得Q=—1.

故選：A

8.已知函數(shù)〃x)的定義域?yàn)镽,且f(2x-l)為奇函數(shù)，〃尤+1)為偶函數(shù)，當(dāng)xe［-1,1］時(shí)，

f(x)=ax+\,貝U”2025)=()

A.0B.1C.2D.2025

【答案】C

【分析】由函數(shù)奇偶性，確定f(x)為周期函數(shù)，再結(jié)合/(-1)=。，求得。，即可求解.

【詳解】因?yàn)椤?x-l)為奇函數(shù)，所以關(guān)于點(diǎn)(TO)中心對(duì)稱，

又〃x+l)為偶函數(shù)，所以“X)關(guān)于直線x=l對(duì)稱，

所以“元)為周期函數(shù)且周期7=4X”(-1)|=8,

A/(2025)=/(8x253+l)=/(l)=a+l,V/(-l)=-a+l=O,：.a=l,：.f(2025)=a+l=2.

故選:C.

二、多選題

9.已知函數(shù)〃x)=sin［2x+：］,則下列說法正確的是()

A.|■是函數(shù)”力的周期

B.函數(shù)/(x)在區(qū)間［W］上單調(diào)遞增

C.函數(shù)的圖象可由函數(shù)y=bin2x|向左平移5個(gè)單位長度得到〃x)=sin(2x+￡|

D.函數(shù)〃尤)的對(duì)稱軸方程為-與-0左eZ)

【答案】ACD

【分析】利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐一判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】因?yàn)?b+m=sin12x+7i+m=sin]2x+：J=〃x）,所以|■是函數(shù)外力的周期，故A

正確；

,..xe（0，E）,〃=+又丁=卜也"|=sin〃在上不單調(diào)，故B錯(cuò)誤；

?.?函數(shù)〉=向2耳向左平移方個(gè)單位長度得到sin2、+:=sinJx+弓），故C正確；

令2天+生=人無，<%=---（Z:eZ）,故D正確，

4248'，

故選：ACD.

10.已知招，鳥是橢圓“二2八、的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)用的直線與橢圓C交于兩點(diǎn),

0晟+京=l（a>b>°）

則（）

A.AB月的周長為2a+2c

B.當(dāng)直線48垂直于x軸時(shí)，"a2b2

叫=工

C.若|9|=2忸局，|回|=忸胤，則橢圓的離心率g

D.當(dāng)時(shí)，橢圓上存在點(diǎn)P,使得點(diǎn)尸向圓片+/=廿所引的兩條切線互相垂直

【答案】BD

22

【分析】對(duì)于A,由橢圓的定義即可求片的周長；對(duì)于B,將x=c代入二+2=1即可；對(duì)于C,

ab

由|A局=2忸局，|AB|=|3胤及橢圓的定義得忸叫=|。，忸周=g\AF2\=a,\AF\=2a-\AF^=a,

然后在中，由余弦定理即可求解；對(duì)于D,假設(shè)存在這樣的點(diǎn)尸，由

/3。，0。,/3少，。2/^_19,0。=8可知四邊形00*為正方形，則|0升=回，即當(dāng).2",時(shí)，

橢圓上存在點(diǎn)P滿足題意.

【詳解】對(duì)于A,AABK的周長/=|明|+|期+|即|=（|明|+|伍|）+（忸閱+忸周）=4%故A錯(cuò)誤;

222

對(duì)于B,當(dāng)直線AB垂直于R軸時(shí)，將％=。代入r?+2v=1得>=±h幺,

aba

所以叫=等故B正確;

對(duì)于C,因?yàn)閨例|=2|明|不=|班

所以忸耳1=1例|+|典|=3|%I，

因?yàn)樘锸?|+田&|=2。，

所以忸制=|a,\BF2\=^,

所以|4/2|=。，|時(shí)|=2。一|轉(zhuǎn)|=。，

29292

COSA.MN2QH—a—a2

AB-BFf44a_1

在AM中,

2MlAB,3a3ar~3

2Q,—

2

cosA:「平川

在△人耳心中,

―2|可阻一~注~-丁

所以e2=￡=Le力,故C錯(cuò)誤；

a233

對(duì)于D,如圖②所示，假設(shè)橢圓上存在點(diǎn)尸,

過點(diǎn)尸向圓引兩條切線，設(shè)切點(diǎn)為C和。,

因?yàn)镻C_LOC,PD±OD,PC±PD,OC=OD,

所以四邊形oc，*為正方形,

所以|OP卜后,

所以當(dāng)。2傷時(shí)，橢圓上存在點(diǎn)尸滿足題意，故D正確.

圖①圖②

尤2Iy―1

11.已知函數(shù)〃x）=；,則（）

A.函數(shù)/（X）有且只有兩個(gè)零點(diǎn)

B.函數(shù)在（-1,2）上為增函數(shù)

C.函數(shù)〃x）的最大值為5廠

D.若方程/(x)=a有三個(gè)實(shí)根，則。e(0,5ef

【答案】ABD

【分析】解方程〃司=0,求函數(shù)〃元)的零點(diǎn)，判斷A,求函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)，解不等式,⑴>o

可得函數(shù)的遞增區(qū)間，判斷B,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，作函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象，判

斷CD.

【詳解】令〃x)=O,貝U+無一1=0,

.-I-A/5-1+A/5

??玉

所以函數(shù)f(x)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，故A正確；

由己知尸(x)=r：x+2,

令/'(%)>°’得一1v尤<2,

令,(%)V0，得了<-1或%>2,

???/(%)在(-1,2)上為增函數(shù)，在(2,+。)上為減函數(shù),故B正確；

/(X)極大值=7⑵=5e-2,f(x)極大值=f(-l)=-e,

解不等式〃x)>0,得了<菁或x>三,

解不等式/(x)<。，得4-2,

當(dāng)Xf+8時(shí)，當(dāng)Xf-8時(shí)，/■(%)—+<?,

作出了(元)的圖象，由圖象得，f(x)無最大值，故C錯(cuò)誤；

方程〃x)=。有三個(gè)實(shí)根，即、=f⑶與y=。的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

?*-0<a<5e-2,故D正確，

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要

的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解

析幾何、微積分相聯(lián)系.（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù).（3）

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（極值），解決生活中的優(yōu)化問題.（4）考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

三、填空題

12.已知向量4,b滿足1〃1=2,ab=l,若則實(shí)數(shù)2=

【答案

【分析】根據(jù)給定條件，利用垂直關(guān)系的向量表示及數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即得.

【詳解】由得。?(X〃+b),即々a?+〃.。=0,而|〃|=2,d-b=19

則42+1=0,所以2=-工.

4

故答案為：二

4

,（兀］1…

13.已知-w）=亍，則cos2a=.

7

【答案】--/-0.28

【分析】由tan1c-=3及兩角和差的正切公式得tanc=g,然后利用二倍角公式化簡(jiǎn)為齊次式

求解即可.

【詳解】因?yàn)閠an-?tana-11

1+tancr7

4

所以tana=§,

2?22

.2coscr-sina_1-tana7

所以cos2a2=cosa-sma=-------------

cossina1+tan2a25

7

故答案為：一工.

14.已知在數(shù)列｛%｝中，q=2,且對(duì)任意的相，neN+,都有%+,=%,%，設(shè)

23n

f(x)^alx+a2x+a3x++anx，記函數(shù)/⑺在x=l處的導(dǎo)數(shù)為尸⑴，則使得八1)>2025成立

的n的最小值為.

【答案】8

【分析】先依據(jù)題意得出數(shù)列｛瑪｝是等比數(shù)列且求出%=2”，接著結(jié)合題意求出

/'(1)=2+2"+3"++”-2",進(jìn)而得2/(1),于是由錯(cuò)位相減法求出

/⑴=(〃-1)?2"T+2/eN*,再由尸(1)的單調(diào)性和九=7以及〃=8時(shí)的導(dǎo)數(shù)值八1)即可得解.

【詳解】令〃2=1,貝此角=4?！?24,所以誓=2,

所以數(shù)列｛〃,｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，故氏=2x2""=2",

1l

由題/''(x)=%+2%%+303了2+■+nanx'~,

所以f(1^=(1i+2%+3。3++加I”=2+2,21+3?2*++n-2"①，

所以2/'(1)=22+2.23++(“-1).2'+〃.2向②，

由①一②得，-/\1)=2+22+23+?+2"-?-2K+1=2^-2^-n-2n+1=(1-?)-2,,+1-2,

1—2

所以f'(l)=(九-1>2"T+2,”eN*,且廣⑴隨著n的增大而增大，

又當(dāng)”=7時(shí)，/(1)=6X28+2=1538<2025,

當(dāng)"=8時(shí)，/,(1)=7X29+2=3586>2025,

故n的最小值為8.

故答案為：8.

四、解答題

15.VABC的內(nèi)角A,氏C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知acos2?-6cosA=b+c.

(1)求角A；

(2)若。=3,2sinC+sinB=,求VABC的面積.

2

2

【答案】(1)4=］無

口、9-3坦

-4-

【分析】(1)由題意利用邊化角可得sinAcosB-sinBcosA=sin+sinC,再利用sinC=sin(A+B)結(jié)

合和差公式化簡(jiǎn)得cosA=-g,繼而即可求解.

(2)利用和差公式，由2sinC+sin8=且可得cosB=正，繼而可得3=C=j,

由(1)的結(jié)論，結(jié)合正弦定理及。=3,可得。=布,根據(jù)豆哈=$嗚-?利用和差公式可得

sinC=近二變，再由面積公式即可求解.

4

【詳解】(1)acosB-bcosA=b-^-cf

由正弦定理得sinAcosB-sinBcosA=sin5+sinC,

即sinAcosB-sinBcosA=sinB+sin(A+5),

sinAcosB-sinBcosA=sin3+sinAcosB+cosAsin3,

/.-2sinBcosA=sinB,

sin5w0,

/.cosA=--,

2

0<A<71,

：.A=-Tt.

3

(2)2sinC+sinB=2sinf5+-^-j+sinB

/1?心石、

=2——sin8H-c-o-sB+sinB

22

7

=6cosB=^-，

2

V2

cosB---，

2

0<B<K,

:.B=71C=7i—A—B=7i-------=——

43412

ba

由=2g,

sinBsinA

得b=2A/3sinB=2石x—=,

2

.71..717l.717171.71

sin—=sin(----)x=sin—cos---cos—sin—

12343434

百行1&y/6-y/2

-------X----------------X--------=--------------------,

22224

SAARr=—tzZ?sinC=—x3x^/6xsin—

△ABC2212

=、3x?x逆二遮=匕叵.

244

16.已知函數(shù)/(%)=加+而+5+d(存0)的對(duì)稱中心為(％,/(%)),記函數(shù)/(無)的導(dǎo)函數(shù)為尸(x),

函數(shù)尸(x)的導(dǎo)函數(shù)為尸》)，則尸(%)=0.若函數(shù)/(x)=xi+bx-+c的對(duì)稱中心為(1,-2).

⑴求函數(shù)/(尤)的解析式；

(2)若過點(diǎn)(-1,0可作三條直線與函數(shù)y=/(%)圖象相切，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

【答案】⑴/(尤)=/一3尤:

⑵一4。<4.

【分析】(1)根據(jù)給定條件，求出導(dǎo)數(shù)并列出方程組，求解即得.

(2)設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再將給定點(diǎn)代入切線方程，構(gòu)造函數(shù)并借

助導(dǎo)數(shù)求出極值，結(jié)合零點(diǎn)個(gè)數(shù)求出范圍.

【詳解】(1)函數(shù)/(尤)=/+6/+c,求導(dǎo)得尸(x)=3x?+2bx,f"(x)=6x+2b,

廣⑴=6+2匕=0,\b=-3

依題意,

f(T)=l+b+c=-2[c=0

所以函數(shù)/(無)的解析式/(%)=丁-3/.

(2)設(shè)過點(diǎn)(-1J)的直線與函數(shù)y=/(x)圖象相切于點(diǎn)(為,焉-3年)，

則切線斜率k=f'(x0)=3%-6x0,切線為y-3瑞=(3尤:-6x°)(尤-,

由切線過點(diǎn)(-M),得好(*一3%整理得2年一6無。+￡=0,

令g(x)=2x3-6x+t,由過點(diǎn)(-U)可作三條直線與函數(shù)y=/(x)圖象相切，得函數(shù)g(x)有三個(gè)零點(diǎn),

求導(dǎo)得g'(x)=6彳2-6=6(x+l)(x-l),由g'(x)>0,得尤<-1或x>l,由g'(x)v0,得

因此函數(shù)g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，在(-L1)上單調(diào)遞減，

函數(shù)gQ)在尤=-1處取得極大值g(-D=4+r,在x=1處取得極小值g⑴=-4+7，

]g(_l)=4+f>0

由g(x)有三個(gè)零點(diǎn)，得，八，八，解得-4<t<4,

lg(l)=-4+?<0

所以實(shí)數(shù)f的取值范圍是-4<t<4.

17.如圖甲，在梯形ABCD中，AD//BC,NADC=90。，BC=CD=2AD=4,E是C￡>的中點(diǎn),

將VADE沿AE折起,使點(diǎn)￡）到達(dá)點(diǎn)尸的位置，如圖乙，MPC=2A/3.

（1）求證：平面尸AE_L平面ABCE；

（2）求平面上與平面PBC所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

472090

O----------

209

【分析】（1）取AE中點(diǎn)O,證明POLAE,OPVOC,由線面垂直判定定理證明。尸，平面ABCE,

再由面面垂直判定定理證明結(jié)論；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面與平面PBC的法向量，利用向量方法求平面與平面PBC

所成角的正弦值.

【詳解】（1）取AE中點(diǎn)。，連接。尸，OC,則

在Rt.ADE中，AD=DE=2,：.OD=42

在AOEC中，oc-=OE2+CE2-2OE-C￡COS135°=&+2?-2x0x2cosl35。=10

在△POC中，OP=OD=~Ji,oc=4io,PC=26,

OP2+OC2=PC2,

：.OPA-OC,又AEOC=O,AE,OCu平面

OP_L平面ABCE,

又。Pu平面E4E,平面尸AE_L平面ABCE.

(2)連接08,BE,易得AB=BE=2幣,

又。為AE的中點(diǎn)，OB±AE,

Z/

圖3

由(1)知OP_L平面ABCE,OB,OAu平面ABCE,

OPVOB,OP±OA,

：.OP,OA,03兩兩垂直,

如圖3,以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,

則0(0,0,0)，A(虛,0,0),3(0,3a,0),。卜20,0,0),P(0,0,V2)

設(shè)平面PAB的法向量為西=(Xi，yi，zQ,

VPA=(V2,0,-V2),PB=(0H),

nx?PA=y/2x1-6z[=0

取%]=3,貝ij弘=1,Z]=3,

4?PB=3底％-垃z、=0

???々=(3,1,3)為平面QAB的一個(gè)法向量,

設(shè)平面尸5。的法向量為%=(x2,y2,z2),

???PC=(-272,72,-72),

n2-PB=361y2一屈z?=0,

n2?PC=-2y/2x2+y/2y2-A/2Z2=0,

取以=1，則Z2=3,X2=-1,

???%=(-1,1,3)為平面PBC的一個(gè)法向量,

設(shè)平面R4B與平面所成角為。,

々?“3x(-l)+lxl+3x37A/209

貝|cos6=^^二

風(fēng)口叫209

故平面R4B與平面PBC所成角的正弦值為拽回.

209

18.某校組織知識(shí)競(jìng)賽，有AB兩類問題.若A類問題中每個(gè)問題回答正確得20分，否則得。分；

若8類問題中每個(gè)問題回答正確得50分，否則得0分.已知李華同學(xué)能正確回答A類問題的概率為

31

了，能正確回答8類問題的概率為彳.

42

(1)若李華從這兩類問題中隨機(jī)選擇一類問題進(jìn)行回答，求他回答正確的概率；

(2)若李華連續(xù)兩次進(jìn)行答題，有如下兩個(gè)方案：

方案一：第一次答題時(shí)，隨機(jī)選擇兩類問題中的一類問題回答，若答對(duì)，則第二次繼續(xù)回答該類問

題；若答錯(cuò)，則第二次回答另一類問題.

方案二：第一次答題時(shí)，隨機(jī)選擇兩類問題中的一類問題回答，無論是否答對(duì)，第二次回答另一類

問題.

為使累計(jì)得分的期望最大，李華應(yīng)該選擇哪一種方案？

【答案】⑴？

O

(2)選擇方案二.

【分析】(1)利用全概率公式計(jì)算即可；

(2)利用離散型隨機(jī)變量的分布列、期望公式一一計(jì)算判定兩種方案的期望大小即可.

【詳解】(1)設(shè)4="選擇A類問題”，4="選擇B類問題"，3=“選中的問題回答正確”

則尸(4)=尸(4)=子尸(M4)=]P(B|4)=5,

所以P(B)=尸(4)?尸國4)+P(4)?尸3=

(2)若選方案一：設(shè)李華累計(jì)得分為X,則X可能取值為0,20,40,50,100,

P（X=0）=—x—x—+—x—x—,

'72422248

P（X=20）」X，LLL3=2,

1724422432

i339

p（X=40）=-x-x-=—,

v724432

p（X=50）=-x-x-+-x-x-=—,

'722224216

P（X=100）=-x-x-=-,

'72228

則X的分布列為

X0204050100

]_993]_

P

83232168

1993|

E（X）=0x-+20x—+40x—+50x—+100x-=38.75

v783232168

若選方案二：設(shè)李華累計(jì)得分為匕則y可能取值為0,20,50,70,

p（y=o）=—x—x—+—x—x—=-,

'72422248

3

8

P（Y=50）=—x—x—+—x—x—=-

'72242428

AE(Y)>E(X),故選擇方案二.

19.已知點(diǎn)尸(%,%)是拋物線V=2px(p>0)上任意一點(diǎn)，則在點(diǎn)P處的切線方程為

%y=P(x+Xo)―若A，B是拋物線G：y2=依(4>0)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且使得在點(diǎn)A與點(diǎn)8處的兩條

切線相互垂直.

(1)當(dāng)a=6時(shí)，設(shè)這兩條切線交于點(diǎn)。，求點(diǎn)Q的軌跡方程；

(2)(i)求證：由點(diǎn)43及拋物線品的頂點(diǎn)所成三角形的重心的軌跡為一拋物線C1；

(ii)對(duì)C1再重復(fù)上述過程，又得一拋物線Q，以此類推，設(shè)得到的拋物線序列為G，G，C},

C?,試求C”的方程.

3

【答案】=

(2)(i)證明見解析；(ii)y2=^-

【分析】(1)根據(jù)題意，寫出切線方程，再利用垂直得到斜率相乘等于-1進(jìn)行化簡(jiǎn);

（2）（i）在（1）的基礎(chǔ)上，結(jié)合重心的性質(zhì)可以得到重心的軌跡方程；（五）根據(jù)圖象平移對(duì)G重

復(fù)上述過程，得到拋物線要觀察其變換規(guī)律，進(jìn)而歸納出C”的方程.

【詳解】（1）設(shè)8（%,%），。（元2,%），

則以：