試卷類型：A汕頭市2022~2023學年度普通高中教學質(zhì)量監(jiān)測高二數(shù)學本試卷共6頁，22小題，滿分150分，考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名?學校?座位號?考生號填寫在答題卡上，用2B鉛筆在答題卡的相應位置填涂考生號.2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.第Ⅰ卷選擇題一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合，再求兩集合的交集.【詳解】由，得，解得，所以，由，得，解得，所以，所以，故選：C2.已知復數(shù)滿足，則的共軛復數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】對化簡求出復數(shù)，再求出其共軛復數(shù)，從而可求出的共軛復數(shù)的虛部.【詳解】由，得，所以，所以的共軛復數(shù)的虛部為，故選：D3.已知向量的夾角為，且，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先計算向量與向量的數(shù)量積，再代入投影向量公式中，即可得答案.【詳解】根據(jù)題意，得，所以，所以向量在向量方向上的投影向量為.故選：C4.一個圓臺的側(cè)面展開圖是半圓面所在的扇環(huán)，兩個半圓半徑分別為2和4，則該圓臺的體積是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出上下底面圓的半徑，進而求出高線，利用圓臺體積公式進行求解.【詳解】設圓臺上底面圓半徑為，則，解得：，設圓臺下底面圓的半徑為，則，解得：，圓臺的母線長為4-2=2，畫出圓臺，如下：過點D作DE⊥AB于點E，則，由勾股定理得：，所以圓臺的體積為.故選：D5.已知數(shù)列的通項公式為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意化簡得到，結合計算規(guī)律，準確計算，即可求解.【詳解】因為數(shù)列的通項公式為，且的周期為，可得，又因為，所以.故選：A.6.數(shù)學對于一個國家的發(fā)展至關重要，發(fā)達國家常常把保持數(shù)學領先地位作為他們的戰(zhàn)略需求.現(xiàn)某大學為提高數(shù)學系學生的數(shù)學素養(yǎng)，特開設了“古今數(shù)學思想”，“世界數(shù)學通史”，“幾何原本”，“什么是數(shù)學”四門選修課程，要求數(shù)學系每位同學每學年至多選門，大一到大三三學年必須將四門選修課程選完，則每位同學的不同選修方式有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】B【解析】【分析】先分類，再每一類中用分步乘法原理即可.【詳解】由題意可知三年修完四門課程，則每位同學每年所修課程數(shù)為或或若是，則先將門學科分成三組共種不同方式.再分配到三個學年共有種不同分配方式，由乘法原理可得共有種，若是，則先將門學科分成三組共種不同方式，再分配到三個學年共有種不同分配方式，由乘法原理可得共有種，若是，則先將門學科分成三組共種不同方式，再分配到三個學年共有種不同分配方式，由乘法原理可得共有種所以每位同學的不同選修方式有種，故選：B.7.已知橢圓方程是其左焦點，點是橢圓內(nèi)一點，點是橢圓上任意一點，若的最大值為，最小值為，那么（）A. B.4 C.8 D.【答案】C【解析】【分析】利用橢圓的定義轉(zhuǎn)化為的最值問題，數(shù)形結合即可求解.【詳解】由題意，設橢圓的右焦點為，連接，則，如圖：當點P在位置M時，取到最大值，當點P在位置N時，取到最小值，所以的取值范圍是，即，所以的最大值，最小值，所以.故選：C.8.已知函數(shù)，，若，，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先由，，再結合函數(shù)函數(shù)的圖象可知，，這樣轉(zhuǎn)化，利用導數(shù)求函數(shù)的最大值.【詳解】由題意得，，，即，令函數(shù)，則，所以，時，，在上單調(diào)遞減，時，，在上單調(diào)遞增，又當時，，時，，作函數(shù)的圖象如圖所示.由圖可知，當時，有唯一解，故，且，∴設，，則，令解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，即的最大值為.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值，本題的關鍵是觀察與變形，，并且由函數(shù)圖象判斷，只有一個零點，所以，這樣后面的問題迎刃而解.二?多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.對變量和的一組樣本數(shù)據(jù)，，…，進行回歸分析，建立回歸模型，則（）A.殘差平方和越大，模型的擬合效果越好B.若由樣本數(shù)據(jù)得到經(jīng)驗回歸直線，則其必過點C.用決定系數(shù)來刻畫回歸效果，越小，說明模型的擬合效果越好D.若和的樣本相關系數(shù)，則和之間具有很強的負線性相關關系【答案】BD【解析】【分析】利用殘差平方和的含義判斷選項A，由回歸方程必過樣本中心判斷選項B，由相關系數(shù)的含義判斷選項C，D．【詳解】解：因為殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，故選項A錯誤；因為回歸方程必過樣本中心，故選項B正確；因為系數(shù)越接近1，說明模型的擬合效果越好，故選項C錯誤；由相關系數(shù)為負且接近1，則和之間具有很強的負線性相關關系，故選項D正確．故選：BD．10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)最大值為1B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.函數(shù)的圖像關于直線對稱D.函數(shù)的圖像向右平移個單位可以得到函數(shù)的圖像【答案】AD【解析】【分析】由題可得，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)及三角函數(shù)圖象變換逐項判斷即得.【詳解】∵函數(shù)，∴，當時，函數(shù)取得最大值1，A正確；令，當時，，在區(qū)間上不單調(diào)遞增，故B錯誤；當時，，函數(shù)的圖像不關于直線對稱，C錯誤；函數(shù)的圖像向右平移個單位得到函數(shù)，D正確．故選：AD.11.已知雙曲線和圓，則（）A.雙曲線的離心率為B.雙曲線的漸近線方程為C.當時，雙曲線與圓沒有公共點D.當時，雙曲線與圓恰有兩個公共點【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程求出離心率與漸近線方程，即可判斷A、B，求出圓心到漸近線的距離，即可判斷C，設雙曲線上的點的坐標為，表示出的距離，即可得到圓心到雙曲線上的點的距離的最小值，從而判斷D.【詳解】解：由已知得，，則，所以雙曲線的離心率，故選項A正確；雙曲線的漸近線方程為，即，故選項B錯誤；因為圓心到雙曲線的漸近線的距離，所以當時，圓與雙曲線的漸近線相切，此時雙曲線與圓沒有公共點，故選項C正確；設雙曲線上的點的坐標為，，則圓心到點的距離為

，當且僅當時取等號，所以圓心到雙曲線上的點的距離的最小值為，且雙曲線上只有兩個點到圓心的距離為，所以當時，雙曲線與圓恰有兩個公共點，故選項D正確．故選：ACD12.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，底面交于點O，M是棱上的動點，則（）A.三棱錐體積的最大值為B.存在點M，使平面C.點M到平面的距離與點M到平面的距離之和為定值D.存在點M，使直線與所成的角為【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)題意以A為坐標原點，AB，AD，AS所在直線分別為軸，利用向量法判斷CD，根據(jù)底面積不變，高最大時，錐體體積最大，判斷A選項.根據(jù)線面平行的判定定理判斷B即可求解.【詳解】以A為坐標原點，AB，AD，AS所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖，設，則,由是棱上的動點，設，,因為底面為正方形，故,又底面所以,又,所以底面,所以當與D重合時，三棱錐體積的最大且為，故A對.當為中點時，是的中位線，所以，又平面，平面，所以平面，故B正確；點到平面的距離，點到平面的距離,所以，故C正確.,,若存在點，使直線與所成的角為30°則，化簡得，無解，故D錯誤；故選：ABC第Ⅱ卷非選擇題三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.展開式中所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為32，則展開式中的常數(shù)項為_________．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】根據(jù)所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為求出，再根據(jù)二項展開式的通項即可求出常數(shù)項.【詳解】由題意及二項式系數(shù)的性質(zhì)可得，解得，所以其展開式的通項為，依題意令解得，所以展開式中的常數(shù)項為，故答案為：14.已知，則______．【答案】【解析】【分析】由題意利用二倍角的正切公式求得的值，再利用兩角和的正切公式求得的值．【詳解】已知，，則，故答案為．【點睛】本題主要考查二倍角的正切公式，兩角和的正切公式的應用，屬于基礎題．15.已知直線是曲線與曲線的公切線，則的值為__________.【答案】2【解析】【分析】由求得切線方程，結合該切線也是的切線列方程，求得切點坐標以及斜率，進而求得直線，從而求得正確答案.【詳解】設是圖像上的一點，，所以在點處的切線方程為，①，令，解得，，所以，，所以或（此時①為，，不符合題意，舍去），所以，此時①可化為，所以.故答案為：16.已知數(shù)列中，，，設，若對任意的正整數(shù)，當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【詳解】∵，（，），當時，，，…，，并項相加，得：，

∴，又∵當時，也滿足上式，

∴數(shù)列的通項公式為，∴

，令（），則，∵當時，恒成立，∴在上是增函數(shù)，

故當時，，即當時，，對任意的正整數(shù)，當時，不等式恒成立，則須使，即對恒成立，即的最小值，可得，∴實數(shù)的取值范圍為，故答案為.點睛：本題考查數(shù)列通項及前項和，涉及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于難題通過并項相加可知當時，進而可得數(shù)列的通項公式，裂項、并項相加可知，通過求導可知是增函數(shù)，進而問題轉(zhuǎn)化為，由恒成立思想，即可得結論.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.在中，為上一點，，，.（1）若，求外接圓的半徑；（2）設（為銳角），若，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由余弦定理可求出，再根據(jù)正弦定理即可求出；（2）由題意可知，由平方關系求得，設，在中由余弦定理即可求出的值，由正弦定理可求得，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出．【詳解】（1）由余弦定理得，解得；又，解得；∴外接圓的半徑為.（2）由，所以，所以；由，得；設，則，，在中，，，，，由余弦定理得，解得；所以，；由正弦定理，即，解得；所以，即的面積為.18.已知正項數(shù)列前n項和為，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，數(shù)列的前n項和為，證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用計算整理，可得，再利用等差數(shù)列的通項公式得答案；（2）將變形得，利用裂項相消法可得，進一步觀察可得證明結論.【小問1詳解】①，當時，②，①-②得，整理得，，，又當時，，解得，數(shù)列是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，；【小問2詳解】由（1）得，，，即.19.如圖，在五面體中，平面，平面是梯形，，，，E平分．

（1）求證：平面平面；（2）若二面角余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析;（2）．【解析】【分析】（1）證明出，從而可證明平面，然后可得證面面垂直；（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，由二面角的向量法求得的長，再由線面角的向量法求得結論．【小問1詳解】由題意，，∴，，平面，平面，∴，，平面，∴平面，平面，∴平面平面；【小問2詳解】分別以為軸建立空間直角坐標系，如圖，設，，則，，，，，，設平面的一個法向量為，則，取，則，平面的一個法向量為，所以，解得，∴，又，，∴直線與平面所成角的正弦值．20.某數(shù)學興趣小組為研究本校學生數(shù)學成績與語文成績的關系，采取有放回的簡單隨機抽樣，從學校抽取樣本容量為200的樣本，將所得數(shù)學成績與語文成績的樣本觀測數(shù)據(jù)整理如下：語文成績合計優(yōu)秀不優(yōu)秀數(shù)學成績優(yōu)秀503080不優(yōu)秀4080120合計90110200（1）根據(jù)的獨立性檢驗，能否認為數(shù)學成績與語文成績有關聯(lián)？（2）在人工智能中常用表示在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的優(yōu)勢，在統(tǒng)計中稱為似然比.現(xiàn)從該校學生中任選一人，表示“選到的學生語文成績不優(yōu)秀”，表示“選到的學生數(shù)學成績不優(yōu)秀”請利用樣本數(shù)據(jù)，估計的值.（3）現(xiàn)從數(shù)學成績優(yōu)秀的樣本中，按分層抽樣的方法選出8人組成一個小組，從抽取的8人里再隨機抽取3人參加數(shù)學競賽，求這3人中，語文成績優(yōu)秀的人數(shù)的概率分布列及數(shù)學期望.附：【答案】（1）認為數(shù)學成績與語文成績有關；（2）；（3）分布列見解析，.【解析】【分析】（1）零假設后，計算的值與比較即可；（2）根據(jù)條件概率公式計算即可；（3）分層抽樣后運用超幾何分布求解.【小問1詳解】零假設：數(shù)學成績與語文成績無關.據(jù)表中數(shù)據(jù)計算得：根據(jù)小概率值的的獨立性檢驗，我們推斷不成立，而認為數(shù)學成績與語文成績有關；【小問2詳解】∵，∴估計的值為；【小問3詳解】按分層抽樣，語文成績優(yōu)秀的5人，語文成績不優(yōu)秀的3人，隨機變量的所有可能取值為.，，，，∴的概率分布列為：0123∴數(shù)學期望.21.已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點相同，曲線的離心率為為上一點且.（1）求曲線和曲線的標準方程；（2）過的直線交曲線于兩點，若線段的中點為，且，求四邊形面積的最大值.【答案】（1），（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率以及拋物線的焦半徑即可求解，進而可根據(jù)的關系求解，（2）聯(lián)立直線與拋物線的方程得韋達定理，根據(jù)弦長公式求解弦長，進而根據(jù)向量共線得面積的關系為，結合對勾函數(shù)的性質(zhì)即可求