線概試題及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.若事件\(A\)與\(B\)互斥，則\(P(A\cupB)\)等于（）A.\(P(A)+P(B)\)B.\(P(A)P(B)\)C.\(P(A)-P(B)\)D.\(P(B)-P(A)\)2.設(shè)隨機變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(0,1)\)，\(\varPhi(x)\)是其分布函數(shù)，則\(\varPhi(0)\)的值為（）A.\(0\)B.\(0.5\)C.\(1\)D.\(2\)3.已知隨機變量\(X\)的期望\(E(X)=2\)，方差\(D(X)=4\)，則\(E(X^{2})\)等于（）A.\(8\)B.\(6\)C.\(4\)D.\(2\)4.設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，總體均值為\(\mu\)，樣本均值\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)，則\(E(\overline{X})\)等于（）A.\(n\mu\)B.\(\mu\)C.\(\frac{\mu}{n}\)D.\(0\)5.設(shè)隨機變量\(X\)的概率密度函數(shù)為\(f(x)=\begin{cases}2x,&0\ltx\lt1\\0,&其他\end{cases}\)，則\(P(X\lt0.5)\)等于（）A.\(0.25\)B.\(0.5\)C.\(0.75\)D.\(1\)6.對于任意兩個隨機變量\(X\)和\(Y\)，若\(E(XY)=E(X)E(Y)\)，則（）A.\(X\)與\(Y\)相互獨立B.\(X\)與\(Y\)不相關(guān)C.\(D(XY)=D(X)D(Y)\)D.\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)7.設(shè)總體\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，則\(\lambda\)的矩估計量為（）A.\(\overline{X}\)B.\(S^{2}\)C.\(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)D.\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2\)8.設(shè)\(X\)服從參數(shù)為\(n,p\)的二項分布，已知\(E(X)=6\)，\(D(X)=4\)，則\(n\)和\(p\)的值分別為（）A.\(n=18\)，\(p=\frac{1}{3}\)B.\(n=12\)，\(p=\frac{1}{2}\)C.\(n=9\)，\(p=\frac{2}{3}\)D.\(n=6\)，\(p=1\)9.設(shè)隨機變量\(X\)的分布函數(shù)為\(F(x)\)，則\(F(x)\)的性質(zhì)不包括（）A.\(0\leqF(x)\leq1\)B.\(F(x)\)單調(diào)不減C.\(F(-\infty)=0\)D.\(F(x)\)一定連續(xù)10.已知\(P(A)=0.6\)，\(P(B)=0.4\)，\(P(AB)=0.2\)，則\(P(A|B)\)等于（）A.\(0.5\)B.\(0.4\)C.\(0.3\)D.\(0.2\)多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是概率的基本性質(zhì)（）A.非負(fù)性B.規(guī)范性C.可列可加性D.單調(diào)性2.設(shè)隨機變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^{2})\)，則（）A.其概率密度函數(shù)關(guān)于\(x=\mu\)對稱B.\(P(X\leq\mu)=0.5\)C.\(\mu\)是期望D.\(\sigma^{2}\)是方差3.以下哪些是隨機變量的數(shù)字特征（）A.期望B.方差C.協(xié)方差D.相關(guān)系數(shù)4.設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，以下哪些是統(tǒng)計量（）A.\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)B.\(S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)C.\(\sum_{i=1}^{n}X_i^2\)D.\(X_1+\mu\)（\(\mu\)為總體均值）5.若事件\(A\)與\(B\)相互獨立，則（）A.\(P(AB)=P(A)P(B)\)B.\(P(A|B)=P(A)\)C.\(P(B|A)=P(B)\)D.\(A\)與\(\overline{B}\)也相互獨立6.以下哪些分布是離散型分布（）A.兩點分布B.二項分布C.泊松分布D.正態(tài)分布7.對于估計量的評選標(biāo)準(zhǔn)有（）A.無偏性B.有效性C.一致性D.準(zhǔn)確性8.設(shè)隨機變量\(X\)和\(Y\)的聯(lián)合分布函數(shù)為\(F(x,y)\)，則（）A.\(F(-\infty,y)=0\)B.\(F(x,-\infty)=0\)C.\(F(+\infty,+\infty)=1\)D.\(F(x,y)\)關(guān)于\(x\)和\(y\)單調(diào)不減9.已知\(X\)服從均勻分布\(U(a,b)\)，則（）A.\(E(X)=\frac{a+b}{2}\)B.\(D(X)=\frac{(b-a)^2}{12}\)C.概率密度函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a},&a\ltx\ltb\\0,&其他\end{cases}\)D.\(P(X\gt\frac{a+b}{2})=0.5\)10.設(shè)\(A,B,C\)為三個事件，則\(A\cupB\cupC\)的對立事件為（）A.\(\overline{A}\cap\overline{B}\cap\overline{C}\)B.\(\overline{A\cupB\cupC}\)C.\(\overline{A}\cup\overline{B}\cup\overline{C}\)D.\(\overline{A}\overline{B}\overline{C}\)判斷題（每題2分，共10題）1.概率為\(0\)的事件一定是不可能事件。（）2.若隨機變量\(X\)與\(Y\)相互獨立，則\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)。（）3.樣本均值\(\overline{X}\)是總體均值\(\mu\)的無偏估計量。（）4.連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)\(f(x)\)一定是連續(xù)的。（）5.若\(P(A)+P(B)=1\)，則\(A\)與\(B\)為對立事件。（）6.隨機變量\(X\)的方差\(D(X)\)恒大于\(0\)。（）7.總體\(X\)的矩估計量是唯一的。（）8.對于任意事件\(A\)和\(B\)，\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)。（）9.設(shè)\(X\)服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^{2})\)，則\(Y=\frac{X-\mu}{\sigma}\)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布\(N(0,1)\)。（）10.相關(guān)系數(shù)\(\rho_{XY}=0\)時，\(X\)與\(Y\)一定相互獨立。（）簡答題（每題5分，共4題）1.簡述概率的公理化定義。答：設(shè)\(E\)是隨機試驗，\(\varOmega\)是它的樣本空間。對于\(E\)的每一事件\(A\)賦予一個實數(shù)，記為\(P(A)\)，稱為事件\(A\)的概率，如果集合函數(shù)\(P(\cdot)\)滿足非負(fù)性、規(guī)范性、可列可加性。2.簡述期望和方差的定義及意義。答：期望\(E(X)\)是隨機變量取值的加權(quán)平均，反映隨機變量取值的平均水平；方差\(D(X)=E[(X-E(X))^{2}]\)，衡量隨機變量取值相對于均值的離散程度。3.什么是無偏估計量？答：設(shè)\(\hat{\theta}\)是參數(shù)\(\theta\)的一個估計量，若\(E(\hat{\theta})=\theta\)，則稱\(\hat{\theta}\)是參數(shù)\(\theta\)的無偏估計量，即估計量的期望等于被估計的參數(shù)。4.簡述正態(tài)分布的特點。答：正態(tài)分布概率密度函數(shù)圖象呈鐘形，關(guān)于\(x=\mu\)對稱，在\(x=\mu\)處達(dá)到峰值；\(x\)越遠(yuǎn)離\(\mu\)，概率密度越??；\(\mu\)決定其位置，\(\sigma\)決定其分散程度。討論題（每題5分，共4題）1.在實際應(yīng)用中，如何根據(jù)數(shù)據(jù)特點選擇合適的概率分布模型？答：先分析數(shù)據(jù)特征，如離散還是連續(xù)。離散數(shù)據(jù)若結(jié)果只有兩種，考慮兩點分布；若多次獨立重復(fù)試驗，關(guān)注二項分布；若事件發(fā)生次數(shù)不定，考慮泊松分布。連續(xù)數(shù)據(jù)若呈現(xiàn)中間多兩邊少且對稱，考慮正態(tài)分布；若在某區(qū)間均勻取值，考慮均勻分布。2.為什么樣本均值是總體均值的良好估計量？答：樣本均值具有無偏性，即其期望等于總體均值，從平均意義上看，用樣本均值估計總體均值不會產(chǎn)生系統(tǒng)偏差。同時，隨著樣本量增大，樣本均值依概率收斂于總體均值，具有一致性，所以是總體均值的良好估計量。3.討論相關(guān)系數(shù)\(\rho_{XY}\)的取值范圍及意義。答：\(\rho_{XY}\)取值范圍是\([-1,1]\)。\(\rho_{XY}=1\)表示\(X\)與\(Y\)完全正線性相關(guān)；\(\rho_{XY}=-1\)表示完全負(fù)線性相關(guān)；\(\rho_{XY}=0\)表示\(X\)與\(Y\)不相關(guān)。其絕對值越接近\(1\)，線性相關(guān)程度越強，越接近\(0\)，線性相關(guān)程度越弱。4.舉例說明概率在生活中的應(yīng)用。答：如保險行業(yè)，根據(jù)大量數(shù)據(jù)和概率知識，計算不同風(fēng)險事件發(fā)生概率，以此確定保險費率。抽獎活動，通過概率計算確定中獎可能性。還有天氣預(yù)報，利用概率預(yù)測降水等天氣情況，幫助人們安排活動和