工程數(shù)學(xué)函授試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)矩陣\(A\)為\(3\)階方陣，且\(\vertA\vert=2\)，則\(\vert2A\vert=(\)\)A.\(4\)B.\(8\)C.\(16\)D.\(32\)2.向量組\(\alpha_1=(1,0,0)\)，\(\alpha_2=(0,1,0)\)，\(\alpha_3=(0,0,1)\)的秩為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(0\)3.設(shè)\(A\)、\(B\)為\(n\)階方陣，則下列等式正確的是（）A.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)B.\((AB)^T=A^TB^T\)C.\(\vertAB\vert=\vertA\vert\vertB\vert\)D.\(A^{-1}B^{-1}=(AB)^{-1}\)4.線性方程組\(Ax=0\)僅有零解的充分必要條件是（）A.\(A\)的行向量組線性無關(guān)B.\(A\)的列向量組線性無關(guān)C.\(A\)的行向量組線性相關(guān)D.\(A\)的列向量組線性相關(guān)5.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布，且\(P(X=1)=P(X=2)\)，則\(\lambda=(\)\)A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)6.已知\(P(A)=0.4\)，\(P(B)=0.5\)，且\(A\)與\(B\)相互獨(dú)立，則\(P(A\cupB)=(\)\)A.\(0.7\)B.\(0.8\)C.\(0.9\)D.\(1\)7.設(shè)\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，則\(Y=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim(\)\)A.\(N(0,1)\)B.\(N(1,0)\)C.\(N(\mu,\sigma^2)\)D.\(N(0,\sigma^2)\)8.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，若\(A\)滿足\(A^2-A-2E=0\)，則\(A^{-1}=(\)\)A.\(A-E\)B.\(\frac{1}{2}(A-E)\)C.\(A+E\)D.\(\frac{1}{2}(A+E)\)9.若向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性相關(guān)，則（）A.至少有一個(gè)零向量B.至少有兩個(gè)向量成比例C.至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示D.向量組的秩等于\(s\)10.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)的概率密度為\(f(x)=\begin{cases}kx,&0\leqx\leq1\\0,&其他\end{cases}\)，則\(k=(\)\)A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列關(guān)于矩陣的說法正確的是（）A.若\(A\)是對稱矩陣，則\(A^T=A\)B.可逆矩陣一定是方陣C.若\(AB=AC\)，且\(A\)可逆，則\(B=C\)D.矩陣的乘法滿足交換律2.向量組\(\alpha_1=(1,1,0)\)，\(\alpha_2=(1,0,1)\)，\(\alpha_3=(0,1,1)\)，以下說法正確的是（）A.線性無關(guān)B.線性相關(guān)C.能由\(\alpha_1,\alpha_2\)線性表示D.秩為\(3\)3.設(shè)\(A\)、\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=0\)，則（）A.\(A=0\)或\(B=0\)B.\(\vertA\vert=0\)或\(\vertB\vert=0\)C.\(r(A)+r(B)\leqn\)D.\(A\)的列向量組線性相關(guān)或\(B\)的行向量組線性相關(guān)4.關(guān)于線性方程組\(Ax=b\)，以下說法正確的是（）A.若\(r(A)=r(A|b)\)，則方程組有解B.若\(r(A)\ltr(A|b)\)，則方程組無解C.若\(r(A)=n\)（\(n\)為未知數(shù)個(gè)數(shù)），則方程組有唯一解D.若\(r(A)\ltn\)，則方程組有無窮多解5.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，則（）A.概率密度函數(shù)\(f(x)\)關(guān)于\(x=\mu\)對稱B.\(E(X)=\mu\)C.\(D(X)=\sigma^2\)D.\(P(X\gt\mu)=\frac{1}{2}\)6.下列事件運(yùn)算關(guān)系正確的是（）A.\(A\cupB=B\cupA\)B.\(A\capB=B\capA\)C.\((A\cupB)\cupC=A\cup(B\cupC)\)D.\((A\capB)\capC=A\cap(B\capC)\)7.設(shè)\(X\)、\(Y\)為兩個(gè)隨機(jī)變量，且\(E(XY)=E(X)E(Y)\)，則（）A.\(X\)與\(Y\)相互獨(dú)立B.\(X\)與\(Y\)不相關(guān)C.\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)D.\(Cov(X,Y)=0\)8.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(\xi\)是對應(yīng)的特征向量，則（）A.\(A\xi=\lambda\xi\)B.\((\lambdaE-A)\xi=0\)C.\(\vert\lambdaE-A\vert=0\)D.\(\lambda\)是\(\vert\lambdaE-A\vert\)的根9.以下哪些是概率的基本性質(zhì)（）A.\(0\leqP(A)\leq1\)B.\(P(\Omega)=1\)C.\(P(\varnothing)=0\)D.若\(A\subseteqB\)，則\(P(A)\leqP(B)\)10.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)的分布函數(shù)為\(F(x)\)，則（）A.\(F(x)\)單調(diào)不減B.\(F(-\infty)=0\)C.\(F(+\infty)=1\)D.\(F(x)\)右連續(xù)三、判斷題（每題2分，共10題）1.若矩陣\(A\)的行列式\(\vertA\vert=0\)，則\(A\)不可逆。（）2.向量組中向量個(gè)數(shù)大于向量維數(shù)時(shí)，向量組一定線性相關(guān)。（）3.若\(A\)、\(B\)為\(n\)階方陣，則\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)。（）4.線性方程組\(Ax=b\)有解的充要條件是\(r(A)=r(A|b)\)。（）5.設(shè)\(X\)、\(Y\)為隨機(jī)變量，若\(X\)與\(Y\)相互獨(dú)立，則\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)。（）6.若事件\(A\)與\(B\)互斥，則\(P(A\capB)=0\)。（）7.矩陣\(A\)的秩等于它的行向量組的秩，也等于它的列向量組的秩。（）8.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，若\(A\)滿足\(A^2=E\)，則\(A\)的特征值只能是\(1\)或\(-1\)。（）9.概率為\(0\)的事件是不可能事件。（）10.若\(A\)為\(n\)階方陣，且\(A\)的列向量組線性無關(guān)，則\(Ax=0\)只有零解。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述矩陣可逆的充要條件。答案：\(n\)階方陣\(A\)可逆的充要條件是\(\vertA\vert\neq0\)，此時(shí)\(A^{-1}=\frac{1}{\vertA\vert}A^\)，\(A^\)為\(A\)的伴隨矩陣。2.如何判斷向量組的線性相關(guān)性？答案：可通過向量組構(gòu)成矩陣的秩判斷。若矩陣秩等于向量組向量個(gè)數(shù)，則線性無關(guān)；若矩陣秩小于向量組向量個(gè)數(shù)，則線性相關(guān)。也可用定義，看是否存在不全為零的數(shù)使線性組合為零向量。3.簡述正態(tài)分布的性質(zhì)。答案：正態(tài)分布概率密度函數(shù)圖像關(guān)于\(x=\mu\)對稱，\(E(X)=\mu\)，\(D(X)=\sigma^2\)。\(X\)取值在\((\mu-\sigma,\mu+\sigma)\)等特定區(qū)間有固定概率，且曲線在\(x=\mu\)處達(dá)到峰值。4.什么是線性方程組的基礎(chǔ)解系？答案：線性方程組\(Ax=0\)解空間中的極大線性無關(guān)組，就是基礎(chǔ)解系?；A(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)為\(n-r(A)\)，\(n\)是未知數(shù)個(gè)數(shù)，\(r(A)\)是系數(shù)矩陣\(A\)的秩。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論矩陣運(yùn)算中乘法不滿足交換律的原因及影響。答案：矩陣乘法定義要求前一矩陣列數(shù)等于后一矩陣行數(shù)，\(AB\)與\(BA\)可能因行列數(shù)不匹配無法都有意義。即便都有意義，結(jié)果也常不同。這導(dǎo)致運(yùn)算時(shí)不能隨意交換順序，增加了矩陣運(yùn)算復(fù)雜性，影響到一些運(yùn)算規(guī)律推導(dǎo)與應(yīng)用。2.探討線性方程組解的結(jié)構(gòu)與向量組線性相關(guān)性的關(guān)系。答案：線性方程組\(Ax=0\)有非零解時(shí)，其系數(shù)矩陣\(A\)的列向量組線性相關(guān)；只有零解時(shí)列向量組線性無關(guān)。\(Ax=b\)有解時(shí)，解可由特解與\(Ax=0\)基礎(chǔ)解系線性表示，反映向量組間線性組合關(guān)系。3.結(jié)合實(shí)際談?wù)劯怕试谏钪械膽?yīng)用。答案：在保險(xiǎn)行業(yè)，通過計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)事件發(fā)生概率制定合理保險(xiǎn)費(fèi)率；在天氣預(yù)報(bào)中，用概率描述降水等天氣現(xiàn)象可能性；在抽獎(jiǎng)活動里，依據(jù)概率計(jì)算中獎(jiǎng)可能性，幫助人們理性看待結(jié)果。4.討論特征值與特征向量在工程實(shí)際中的意義。答案：在振動分析中，特征值決定振動頻率，特征向量表示振動方向；在圖像處理里，用于數(shù)據(jù)降維與圖像壓縮；在結(jié)構(gòu)力學(xué)中，能分析結(jié)構(gòu)固有頻率和振型，對工程設(shè)計(jì)與故障診斷有重要指導(dǎo)意義。答案