高一暑假作業(yè)7：立體幾何初步一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.(2024·重慶市市轄區(qū)·單元測試)正四棱臺的上、下底面邊長分別為2，4，側(cè)棱長為3，則該四棱臺的體積為(

)A. B. C. D.562.(2024·江蘇省蘇州市·月考試卷)已知m，n表示兩條不同的直線，，表示兩個不同的平面，則A.若，，則 B.若，，則

C.若，，則 D.若，，則3.(2024·湖南省株洲市·月考試卷)在正方體中，動點E在棱上，動點F在線段上，O為底面ABCD的中心，若，，則四面體的體積(

)

A.與x，y都有關(guān) B.與x，y都無關(guān) C.與x有關(guān)，與y無關(guān) D.與y有關(guān)，與x無關(guān)4.(2024·浙江省杭州市·期中考試)如圖，為水平放置的的直觀圖，其中，，則在原平面圖形中有(

)

A. B. C. D.5.(2024·湖北省孝感市·月考試卷)直三棱柱中，，M，N分別是，的中點，，則BM與AN所成角的余弦值為(

)A. B. C. D.6.(2024·湖北省武漢市·聯(lián)考題)己知四面體ABCD的所有棱長均為2，M，N分別為棱AD，BC的中點，F(xiàn)為棱AB上異于A，B的動點.有下列結(jié)論：

①線段MN的長度為

②若點G為線段MN上的動點，則無論點F與G如何運動，直線FG與直線CD都是異面直線;

③異面直線MN和CD所成的角為

④的最小值為

其中正確的結(jié)論為(

)A.①③④ B.②③ C.②③④ D.①④7.(2024·廣東省廣州市·期中考試)正方體的棱長為2，點分別是棱中點，則過點三點的截面面積是(

)

A. B. C. D.8.(2024·浙江省金華市·單元測試)在正三棱柱中，若三棱錐的體積等于底面三角形邊長的倍，則該正三棱柱外接球表面積的最小值為A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.(2024·湖南省·單元測試)下列四個命題中正確的是(

)A.若兩條直線互相平行，則這兩條直線確定一個平面

B.若四點不共面，則這四點中任意三點都不共線

C.若兩條直線沒有公共點，則這兩條直線是異面直線

D.兩條異面直線不可能垂直于同一個平面10.(2024·江蘇省·單元測試)如下圖，透明塑料制成的長方體容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器傾斜．隨著傾斜度的不同，下列說法中正確的是(

)

A.有水的部分始終呈棱柱狀，沒有水的部分也始終呈棱柱狀

B.水面EFGH所在四邊形的面積為定值

C.棱始終與水面所在平面平行

D.當(dāng)容器傾斜如圖所示時，是定值11.(2024·江蘇省·模擬題)如圖，在棱長為1的正方體中，P為線段上一動點包括端點，則以下結(jié)論正確的有(

)

A.三棱錐的體積為定值

B.過點P平行于平面的平面被正方體截得的多邊形的面積為

C.直線與平面所成角的正弦值的范圍為

D.當(dāng)點P與重合時，三棱錐的外接球的體積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.(2023·山東省德州市·期末考試)在正六棱柱中，若底面邊長為1，高為3，則BC到平面的距離為__________.13.(2024·全國·月考試卷)如圖，已知圓錐PO的底面半徑OA的長度為1，母線PA的長度為2，半徑為的球與圓錐的側(cè)面相切，并與底面相切于點O，則__________；若球與球、圓錐的底面和側(cè)面均相切，則球的表面積為__________.

14.(2023·湖南省·期末考試)在長方體中，，，點E為棱BC上靠近點C的三等分點，點F是長方形內(nèi)一動點含邊界，且直線，EF與平面所成角的大小相等，則線段長度的取值范圍為__________.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(2024·廣東省·單元測試)本小題13分

在四面體ABCD中，H，G分別是AD，CD的中點，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的點，且

求證：，F(xiàn)，G，H四點共面；

直線EH，BD，F(xiàn)G相交于一點．16.本小題15分

如圖，在凸五面體ABCDEF中，底面ABCD為矩形，，，，，M為棱FC上一點，平面ADM與棱FB交于點

求證：；

若，平面，求證：M是FC的中點．17.(2024·山東省·月考試卷)本小題15分設(shè)倒圓錐形容器的軸截面為一個等邊三角形，在此容器內(nèi)注入水，并浸入半徑為為常數(shù)的一個實心球，使球與水面恰好相切，求此無蓋圓錐容器的表面積和容積；試求取出球后水面高為多少？18.(2024·廣東省·模擬題)本小題17分

如圖，四棱錐中，底面ABCD，，，，M為線段AD上一點，，N為PC的中點．

證明：平面PAB；

求直線AN與平面PMN所成角的正弦值．

19.(2024·浙江省·單元測試)本小題17分已知一圓形紙片的圓心為O，直徑，圓周上有C、D兩點.如圖，，，點P是上的動點.沿AB將紙片折為直二面角，并連結(jié)PO，PD，PC，

當(dāng)平面PCD時，求PD的長；

當(dāng)三棱錐的體積最大時，求二面角的余弦值.

1.【答案】A

【解析】解：連接AC，，作平面ABCD，

由正四棱臺性質(zhì)可知點E在AC上，

因為正四棱臺的上、下底面邊長分別為2，4，

所以，

所以四邊形為等腰梯形，

所以，

所以，

因為上下底面面積分別為：，，

所以四棱臺的體積為

故選：

根據(jù)正四棱臺的性質(zhì)和已知先求高，然后由棱臺的體積公式可得．

本題考查臺體的體積，解題關(guān)鍵是掌握臺體體積公式．屬于中檔題．2.【答案】C

【解析】【分析】本題考查命題真假的判斷，空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查分析能力及空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識逐一判斷即可．【解答】

解：對于若，，則n與

相交，或或，故A錯誤；

對于若，，則或m與相交，或，故B錯誤；

對于若，，則在內(nèi)一定存在直線，于是，得，故C正確；

對于若，，則或與相交，故D錯誤.

故選3.【答案】B

【解析】【分析】本題考查利用等體積法求多面體的體積，考查空間想象能力，屬于中檔題．

連接AO，AE，AF，OE，OF，EF，結(jié)合等積法說明四面體的體積是與x，y無關(guān)的定值．【解答】

解：如圖，連接AO，AE，AF，OE，OF，EF，

，平面，

平面，

平面，

到平面的距離為定值，

，到直線AO的距離為定值，

的面積為定值．

，

四面體的體積是與x，y無關(guān)的定值．

故選：4.【答案】C

【解析】【分析】本題考查斜二測畫法的應(yīng)用，涉及余弦定理解三角形，屬于中檔題.

在直觀圖中，求出的長，得出原圖形中的長，從而可得原圖形中各線段長，再計算后判斷各選項．【解答】解：設(shè)，，

在和中分別應(yīng)用余弦定理得：

解得或舍去則在原圖形，，，如圖，顯然，

，故選5.【答案】C

【解析】【分析】本題考查異面直線所成角的求法，作出異面直線所成角的平面角是解題的關(guān)鍵，同時考查余弦定理的應(yīng)用．

畫出圖形，找出BM與AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM與AN所成角的余弦值．【解答】解：直三棱柱中，，M，N分別是，的中點，如圖：

取BC的中點為O，連接ON，

易知，則MNOB是平行四邊形，BM與AN所成角為或其補角，

，

設(shè)，，，，，

，

在中，由余弦定理可得：

故選：6.【答案】A

【解析】【分析】本題考查空間幾何體中的動點問題，屬于中檔題.【解答】

解：

對于①，在等腰中，MN為AD邊上的高，所以，故①正確；

對于②如圖，F(xiàn)取為AB的中點，G取為MN的中點，I取為CD的中點，則由正方體的性質(zhì)易知，該三點在一條直線上，故此時FG與CD相交于I，故②錯誤；

對于③，取AD中點E，中使用余弦定理，易得異面直線MN和CD所成的角為故③正確；

對于④：

將面ABC和面ABD展開并鋪平，確定的最小值，

連接MN，此時MN交AB于F，為最小值，7.【答案】D

【解析】【分析】本題考查空間幾何體的截面問題.

利用正方體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合平面的基本性質(zhì)做出截面，再計算其面積得結(jié)論.【解答】解：如圖：

在平面內(nèi)，把線段PQ向兩邊延長，交的延長線于M，交的延長線于N，

則平面平面

又因為P，Q分別是棱的中點，是正方體，所以由平面幾何知識得

因為平面PQR與平面有兩個交點M與R，所以平面平面，

因此作直線MR交于G，交的延長線于

又因為R是BC的中點，，是正方體，所以由平面幾何知識得G是的中點，且

因為平面PQR與平面有兩個交點N與O，所以平面平面，

因此，若直線NO交于E，交AB于F，則同理可得E，F(xiàn)分別是，AB的中點.

連接FR，GQ，PE，則正六邊形EFRGQP是平面PQR與正方體的截面.

又因為正方體的棱長為2，所以正六邊形EFRGQP的邊長為，

因此正六邊形EFRGQP的面積為，

即過點三點的截面面積是.8.【答案】B

【解析】【分析】本題主要考查球與多面體的切接問題，屬于較難題.

記底面三角形的邊長為2a，由題中條件，得到，結(jié)合三棱錐的體積公式，即可得出；先記底面三角形外接圓圓心為G，連接，設(shè)底面外接圓半徑為r，求出；記三棱柱的外接球的球心為O，半徑為R，連接OG，，根據(jù)球的性質(zhì)，以及棱柱的特征，得到，再由勾股定理，以及基本不等式求出的最小值，即可得出外接球表面積的最小值.【解答】解：在正三棱柱中，側(cè)棱和底面垂直，即平面；又三棱錐的體積等于底面三角形邊長的，記底面三角形的邊長為2a，即，所以，即，所以，因為底面三角形是正三角形，所以其外接圓圓心與中心重合，記作點G，連接，設(shè)底面外接圓半徑為r，則；記三棱柱的外接球的球心為O，半徑為R，連接OG，，根據(jù)球的性質(zhì)可得平面；再由棱柱外接球的特征可得；則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立；因此正三棱柱外接球表面積的最小值為

故本題選：9.【答案】ABD

【解析】【分析】本題主要考查點、線、面之間的性質(zhì)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)點線面之間的關(guān)系逐個判斷即可.【解答】

解：對于A，兩條相互平行的直線可以確定一個平面，正確；

對于B，如果有三點共線，因為直線及直線外一點確定一個平面，

所以這四個點必共面，與四點不共面矛盾，所以正確；

對于C，兩條平行直線可以確定一個平面，也沒有公共點，選項C錯誤；

對于D，垂直于同一個平面的的兩條直線一定平行，

所以兩條異面直線不可能垂直同一平面，正確，

故選10.【答案】ACD

【解析】【分析】本題主要考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，線面平行的判定定理，棱柱的體積，題目較難.

A.由棱柱的結(jié)構(gòu)特征直接判斷即可；分析四邊形EFGH的邊的變化情況，即可判斷；利用線面平行的判定定理，將問題轉(zhuǎn)化為線線平行，即可得證；利用水的體積不變，即棱柱的體積不變，高不變，即可得證.【解答】

解：由已知得：平面平面，

即平面平面DHGC，

由棱柱的結(jié)構(gòu)特征知：有水和無水的部分都始終呈棱柱狀，故A正確；

B.水面四邊形中FG的長度始終不變，但EF的長度是變化的，

所以水面四邊形的面積是變化的，故B錯誤；

C.由已知得：，又平面EFGH，平面EFGH

則平面EFGH，即棱始終與水面

EFGH平行，故C正確；

D.當(dāng)時，水的部分始終呈棱柱狀，且水的體積不變，

即棱柱的體積不變，又棱柱的高不變，

則棱柱的底面EFB的面積不變，則是定值，故D正確；

故選11.【答案】BCD

【解析】【分析】本題考查棱錐和球的體積計算，考查幾何體中的截面問題，考查線面角的求解，屬于中檔題．

根據(jù)各選項涉及的相關(guān)知識依次判斷正誤．【解答】

解：A選項：，A不正確；

B選項：此平面為平面，故三角形的面積為，B選項正確；

C選項：設(shè)點P到平面的距離為h，

由知，點P到平面的距離為，

當(dāng)點P在線段上運動時，為端點時，，

設(shè)直線與平面所成角為，，則，C正確；

D選項：，所以三棱錐的外接球的球心為的中點，

故外接球半徑為，三棱錐的外接球的體積為，D正確.

故選12.【答案】

【解析】【分析】本題考查了線面距離，考查了線面垂直的判定定理，屬中檔題．

由線面垂直的判定定理，結(jié)合三角形的面積公式及勾股定理求解即可．【解答】

解：取AD中點O，BC中點N，的中點M，

連接OM、ON、MN，

則，，，平面OMN，

即平面

過N作交OM于點H，

因為平面OMN，所以

因為平面，

即平面

又底面邊長為1，高為3，

則，，，

則，

即，

BC到平面的距離為

故答案為：13.【答案】

；

【解析】【分析】本題主要考查了棱錐的內(nèi)切球問題，球的表面積公式，屬于中檔題.

利用等邊三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，求出圓錐軸截面內(nèi)切圓的半徑，設(shè)圓與圓的公切線為CD，切點為F，則為等邊三角形，即可求出，進(jìn)而得到球的表面積.【解答】

解：作出圓錐的軸截面如圖所示：

因為圓錐PO的底面半徑OA的長度為1，母線PA的長度為2，

所以為邊長為2的等邊三角形，其內(nèi)切圓半徑為，

則，解得，

由，得，

由，得，

設(shè)圓與圓的公切線為CD，切點為F，

則為等邊三角形，，

所以，

，

則球的表面積為

故答案為14.【答案】

【解析】【分析】本題考查直線與平面所成角，屬于較難題.【解答】

解：如圖1所示，連接，作交AD于G，連接因為平面，所以為與平面所成的角．因為平面，所以為EF與平面所成的角．因為，EF與平面所成角的大小相等，所以，則，又因為，所以，則點F在的中垂線上，即點F在線段HⅠ上運動，如圖

因為，，E為棱BC上靠近C的三等分點，

所以，

則，

因為，所以，

又，可得，，，，

當(dāng)點F在點I處時，線段的長度取到最大值，最大值為，

當(dāng)點F在點K處，線段的長度取到最小值，最小值為，

所以線段的長度的取值范圍為

15.【答案】證明：如圖所示，

空間四邊形ABCD中，H，G分別是AD，CD的中點，

；

又，

，

，

、F、G、H四點共面；

設(shè)EH與FG交于點P，

平面ABD

在平面ABD內(nèi)，

同理P在平面BCD內(nèi)，

且平面平面，

點P在直線BD上，

直線EH，BD，F(xiàn)G相交于一點．

【解析】本題考查了確定平面的條件以及三線共點的應(yīng)用問題，屬于中檔題．

利用三角形的中位線平行于第三邊和平行線分線段成比例定理，得到EF、GH都平行于AC，由平行線的傳遞性得到，根據(jù)兩平行線確定一平面得出證明；

利用分別在兩個平面內(nèi)的點在這兩個平面的交線上，即可證明．16.【答案】解：證明：為矩形，，

平面FBC，平面FBC，

平面

又平面平面，平面ADMN，

；

證明：連接

，，，ED、平面CDEF，

平面CDEF，又平面CDEF，

則

，

平面平面BCF，且平面平面，

平面BCF，又平面BCF，

則

在梯形CDEF中，，，，，

可得，則M為FC的中點．

【解析】本題考查線面平行的判定與性質(zhì)，考查線面垂直、面面垂直，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．

由已知證明平面FBC，再由線面平行的性質(zhì)可得；

連接DF，由已知證明平面CDEF，則進(jìn)一步得到再由面面垂直的性質(zhì)可得平面BCF，則求解三角形得到，可得M為FC的中點．17.【答案】解：軸截面是正三角形，圓O是正三角形PAB的內(nèi)切圓，由題意知，，，

則，

所以，，所以無蓋圓錐容器的表面積，無蓋圓錐的容器為在容器內(nèi)注入水，并放入一個半徑為r的鐵球，這時水面記為AB，將球從圓錐內(nèi)取出后，這時水面記為EF，也是正三角形，

設(shè)無蓋圓錐的容器、實心球的體積、取出球后水的體積分別為、、，取出球后水面高為h，則取出球后水面半徑，所以，