第06講點面、線面、面面、異面直線的距離（核心考點講與練）方法技巧方法技巧點到平面的距離求解方法：直接作出點到平面的垂線段，然后求出垂線段的長度，而在作點面垂直時，通常先找面面垂直，然后作兩個面交線的垂線，利用面面垂直的性質，即可找出垂線段?？臻g立體幾何中的距離包括點點距離、點線距離、點面距離、線線距離、線面距離、面面距離.在這些距離當中，點到平面的距離顯得尤為重要，在高考中也經常出現(xiàn)，并且線線距離、線面距離、面面距離都可以轉化成點到平面的距離去求解。因此，點面距離就成了這一類距離問題的交匯點?？键c考點精講題型一：點面距離一、單選題1．（2021·上海外國語大學閔行外國語中學高二期中）若三角形三個頂點到平面的距離分別為3?6?9，記的重心為G，則點G到平面的距離為（

）A．2?6 B．4?6 C．2?4?6 D．0?2?4?6【答案】D【分析】設，，，平面為平面，根據(jù)重心坐標公式結合符號即可求解．【詳解】設，，，平面為平面，則，當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；綜上所述：點G到平面的距離為0?2?4?6故選：D二、填空題2．（2021·上海中學高二期中）三個平面兩兩垂直，它們的交線交于一點O，空間中一點P到三個平面的距離分別為3、4、5，則OP的長為______【答案】【分析】根據(jù)題設描述可得示意圖，即為一個長、寬、高分別為5、3、4的長方體的體對角線，即可求的長.【詳解】由題意可得如下示意圖：即為一個長方體的體對角線，且長方體的長、寬、高分別為5、3、4，∴，故答案為：.3．（2021·上海市復興高級中學高二期中）我們知道，在平面幾何中，已知三邊邊長分別為，面積為，在內一點到三條邊的距離相等設為，則有.現(xiàn)有三棱錐的兩條棱，其余各棱長均為5，三棱錐內有一點到四個面的距離相等，則此距離等于___________【答案】##【分析】求出三棱錐的體積，利用體積法可求得此距離．【詳解】如圖，設是中點，連接，因為，所以，，平面，所以平面，又，，所以，，，由題意四個面面積相等，設到四個面的距離為，，．故答案為：．4．（2021·上海市七寶中學高二期中）在棱長為1的正方體中，到平面的距離為________.【答案】【分析】設到平面的距離為，先求出，再利用等體積法，通過求出.【詳解】如圖，設到平面的距離為，，又，得.故答案為：5．（2021·上海市南洋模范中學高二期中）已知線段在平面外，、兩點到平面的距離分別為1和3，則線段的中點到平面的距離為___________.【答案】1或2.【分析】根據(jù)兩點與平面的位置關系，進行分類分析，利用梯形、三角形的中位線性質，可以求出線段的中點到平面的距離.【詳解】解：由題可知，、兩點到平面的距離分別為1和3，設線段的中點為，當線段的端點在平面的同側，如下圖：根據(jù)梯形中位線性質可知：線段的中點到平面的距離為；當線段的端點在平面的異側，如下圖：根據(jù)三角形中位線性質可知：線段的中點到平面的距離為，所以線段的中點到平面的距離為1或2.故答案為：1或2.6．（2021·上海·閔行中學高二階段練習）在《九章算術》中，將底面為直角三角形，側棱垂直于底面的三棱柱稱之為塹堵，如圖，在塹堵中，，，塹堵的頂點到直線的距離為m，到平面的距離為n，則的取值范圍是________.【答案】.【分析】設，，利用等面積法和等體積法求出m，n關于a的不等式，根據(jù)a的范圍得出的值．【詳解】設，，則，，，且B到平面的距離為．，，，又，，，，，．故答案為：．【點睛】本題考查了空間距離的計算，棱錐的體積公式，屬于中檔題．三、解答題7．（2021·上海師范大學附屬外國語中學高二階段練習）如圖，三棱柱的底面是等腰直角三角形，∠ACB=∠BCC1=90°，四邊形ACC1A1是菱形，∠ACC1=120°.(1)證明：A1C⊥AB1；(2)若AC=2，求點C1到平面ABB1A1的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)連接可得平面，所以，再由，得，得平面，由平面可得答案；.(2)利用等體積法求點C1到平面AA1B1的距離，由此可得答案.(1)連接，因為四邊形為菱形﹐所以，因為，，，平面，所以平面，且平面，所以，因為，所以，又因為，平面，所以平面，又平面，所以.(2)點C1到平面ABB1A1的距離與點C1到平面AA1B1的距離相等，即三棱錐的底面上的高，設點C1到平面ABB1A1的距離為，則，由(1)平面，∴三棱錐的底面上的高為，∴，∵AC=2，為等腰直角三角形，四邊形ACC1A1是菱形，∴，又∠ACC1=120°∴，的面積，∴，由，∠ACC1=120°可得，∵，，∴，又，∴，∴，∴的面積，∴，∴8．（2021·上海大學附屬南翔高級中學高二期中）已知正三棱錐的體積為，側面與底面所成二面角的大小為60.(1)證明：；(2)求底面中心到側面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)3【分析】（1）取BC的中點D，連接AD、PD，根據(jù)線面垂直的判定和性質可得證；（2）由（1）得是側面與底面所成的二面角的平面角，過點O作，E為垂足，則OE的長就是點O到側面的距離，利用棱錐的體積公式可求得答案.(1)證明：取BC的中點D，連接AD、PD，則，又，所以平面所以.(2)解：如圖，由（1）得平面平面，由是側面與底面所成的二面角的平面角，過點O作，E為垂足，則OE的長就是點O到側面的距離，設OE為h，由題意得點O在AD上，所以又，，所以所以底面中心到側面的距離為3.9．（2021·上海市行知中學高二期中）如圖，AB是圓柱OO1的一條母線，BC是底面的一條直徑，D是圓О上一點，且AB＝BC＝5，CD＝3．(1)求該圓柱的側面積；(2)求點B到平面ACD的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用圓柱的側面積公式計算出側面積.（2）利用等體積法求得到平面的距離.(1)圓柱的底面半徑為，高為，所以圓柱的側面積為.(2)是圓的直徑，所以，，.根據(jù)圓柱的幾何性質可知,由于，所以平面，所以.，，設到平面的距離為，則，即.題型二：線面距離一、填空題1．（2021·上海·華東師范大學松江實驗高級中學高二階段練習）正方體ABCD–A1B1C1D1的棱長為1，則直線B1C1到平面ABCD的距離是_____【答案】1【分析】由直線到平面的距離轉化為點到平面的距離結合正方體的性質可得.【詳解】由正方體的性質可知，平面ABCD，所以直線B1C1到平面ABCD的距離即為B1到平面ABCD的距離，正方體的性質知B1到平面ABCD的距離為1，即直線B1C1到平面ABCD的距離為1.故答案為：1.2．（2021·上海·位育中學高二階段練習）在棱長為2的正方體中，直線到平面的距離為___________.【答案】.【分析】根據(jù)平面，將直線B1C1到平面的距離轉化為C1到平面的距離，進而解出答案.【詳解】如圖，在棱長為2的正方體中，取的中點E，連接，則，且，又平面，平面，所以，而，所以平面，易知平面，則C1到平面的距離即為直線B1C1到平面的距離，所以直線B1C1到平面的距離為.故答案為：.3．（2021·上海徐匯·高二期末）已知長方體的棱，和的長分別為3cm、4cm和5cm，則棱到平面的距離為____________cm【答案】3【分析】由長方體得，平面，再由平面得，棱到平面的距離為cm.【詳解】依題意作圖，在長方體中，有平面，又平面，所以棱AB到平面的距離為cm.故答案為：3.二、解答題4．（2021·上海靜安·高二期末）如圖，正四棱柱的底面邊長為1，異面直線AD與BC1所成角的大小為60°，求A1B1到底面ABCD的距離.【答案】【分析】由，得，則線段的長為到底面ABCD的距離，然后求出即可．【詳解】解：因為，所以為異面直線AD與所成的角，所以，因為正四棱柱中，平面ABCD，平面ABCD，所以線段的長為線段到底面ABCD的距離，因為在中，，，所以，所以線段到底面ABCD的距離為．5．（2021·上?！じ叨ｎ}練習）在直三棱柱中，，，且異面直線與所成的角等于，設；（1）求的值；（2）求直線到平面的距離.【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由題意可得：就是異面直線與所成的角，即，根據(jù)線段的長度關系可得：為等邊三角形，進而可求得答案；（2）由平面得，直線到平面的距離等于點到平面的距離，再根據(jù)求到平面的距離，分別求出兩個三角形的面積即可達到答案．【詳解】解：（1）∵，∴就是異面直線與所成的角，即，又連接，∵，則，∴為等邊三角形，∵，，∴，∴，∴；（2）易知平面，此時有直線上的任意一點到平面的距離等于點到平面的距離，設其為，連接，又∵，，∴平面，并且，∵的面積，并且的面積，∵，∴，∴，∴直線到平面的距離為．【點睛】本題考查線段長的求法，考查三棱錐的體積的求法，解題時要認真審題，注意向量法和等體積法的合理運用，屬于中檔題．題型三：面面距離一、填空題1．（2019·上海大學附屬中學高二階段練習）已知正方體的棱長為1，則平面和平面的距離為________.【答案】1【分析】由正方體的性質得AB為平面和平面的距離【詳解】因為正方體的對面互相平行，AB均于平面和平面垂直，故AB為平面和平面的距離，即為1故答案為1．【點睛】本題考查正方體的基本性質，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，是基礎題．2．（2016·上海·復旦附中高二期中）已知平面平面，直線，直線，點，點，記點A、B之間的距離為a，點A到直線n的距離為b，直線m和n的距離為c，則a、b、c的大小關系是________________________.【答案】

【分析】根據(jù)平面與平面平行的判斷性質，判斷c最小，再根據(jù)點到直線距離和點到直線上任意點距離判斷a最大．【詳解】由于平面α∥平面β，直線m和n又分別是兩平面的直線，當直線m和n異面，（如圖所示）則c<b<a．當直線m和n平行且其確定的平面與平面α，平面β垂直，可得c=b=a．故答案為：c≤b≤a．【點睛】此題主要考查平面間與平面平行的性質，考查點到直線距離及空間想象能力是基礎題二、解答題3．（2021·上海市大同中學高二階段練習）如圖，正方體中，.（1）求證：平面平面；（2）求兩平面與之間的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)正方體的性質，通過證明線面平行證明面面平行即可；（2）作出兩平行平面的公垂線段，再計算公垂線段的長即可得出結論.【詳解】(1)正方體中，且不在平面內，所以平面同理可得，平面又平面平面；（2）如圖，設，連接，，平面，，又正方體中，平面，，又，平面，根據(jù)（1），平面平面平面，圖中線段EF為兩平面的公垂線段，線段EF的長即為兩平面間的距離，平行四邊形中，分別是的中點，是線段的三等分點，，兩平面與之間的距離為.題型四：異面直線的距離一、填空題1．（2021·上海市市西中學高二期中）在長方體ABCD—A1B1C1D1中，若AB=3，BC=4，AA1=2，則異面直線B1B與DC之間的距離為________.【答案】4【分析】利用異面直線間的距離定義即可得出答案.【詳解】由長方體的性質可得是異面直線B1B與DC的公垂線，所以異面直線B1B與DC之間的距離為BC=4.故答案為：42．（2021·上海市延安中學高二期中）已知正方體的棱長為1，異面直線與的距離為____________.【答案】【分析】如圖所示，連接與交于點，證明，，得到距離.【詳解】如圖所示：連接與交于點，則，平面，平面，故，故是異面直線與的距離，.故答案為：.3．（2021·上?！とA師大二附中高二期中）若正四面體的棱長為，則異面直線與之間的距離為____________.【答案】1【分析】由題意畫出圖形，分別取的中點，連接，可得的長是異面直線與的公垂線，求解三角形得答案.【詳解】分別取的中點，連接，，且則的長是異面直線與之間的距離，則.故答案為：14．（2021·上?！とA師大二附中高二階段練習）棱長為1的正四面體ABCD中，對棱AB、CD之間的距離為_________．【答案】【分析】作出并證明表示棱AB、CD之間的距離的線段，再借助直角三角形計算即得.【詳解】設AB，CD的中點為E，F(xiàn)，連接AF，BF,因為ABCD為正四面體，各面均為等邊三角形，邊長為1，則AF=BF=，于是得EF⊥AB，同理可得EF⊥CD，即EF的長即為AB、CD之間的距離，此時，EF＝＝＝，即AB、CD之間的距離為.故答案為：鞏固鞏固提升一、單選題1．（2019·上海市嘉定區(qū)第二中學高二期中）若a，b是異面直線，則下列結論中不正確的為（

）A．一定存在平面與、都平行B．一定存在平面與、都垂直C．一定存在平面與、所成角都相等D．一定存在平面與、的距離都相等【答案】B【分析】根據(jù)異面直線的幾何特征，作與異面直線的公垂線段垂直的平面，且經過公垂線段中點的平面，可以判斷A，D的真假；根據(jù)線面垂直的幾何特征，可以判斷B的真假；過公垂線上一點做直線與、所成角都相等，分析，確定的平面與異面直線，的夾角，可以判斷C的真假，進而得到答案．【詳解】解：若，是異面直線，為他們的公垂線，則當平面時，平面與、都平行，故A正確；若平面與、都垂直，則，這與，是異面直線矛盾，故B錯誤；過公垂線上一點做直線與、所成角都相等，則，確定的平面與、所成角都相等，故C；過公垂線的中點做與垂直的平面，則平面與、的距離都相等，故D正確；故選：B．二、填空題2．（2021·上海市復興高級中學高二期中）四面體中，，，則異面直線與的距離為________【答案】【分析】分別取與的中點、，連接、、、、，證明出為、的公垂線，并計算出的長，由此可得出結果.【詳解】分別取與的中點、，連接、、、、，因為，，、分別為、的中點，則，，且，為的中點，故，同理可證，故為、的共垂線段，且.故答案為：.3．（2018·上海交大附中高二階段練習）如圖，在棱長為的正方體中，為的中點，點在線段上，點到直線的距離的最小值為____________【答案】【分析】取的中點F,連接、,根據(jù)線面平行的性質可得平面,作,過作交于,作,根據(jù)四邊形為矩形即知得點到直線的距離的最小值為,即的值.【詳解】根據(jù)題意,取的中點F,連接、;作交于,過作交于,作,如下圖所示:由題意可知,E、F分別為、的中點,所以因為平面,而平面所以平面所以求點P到直線的距離的最小值即為異面直線與公垂線的長度因為,,且則四邊形為矩形所以,又因為所以平面即所以即為異面直線與公垂線因為正方體的棱長為則由等積法可知所以故答案為:【點睛】本題考查了空間中異面直線距離的求法,找到異面直線的公垂線是解決此類問題的關鍵,對線面平行和線面垂直的理解要求較高,屬于中檔題.4．（2021·上?！じ叨ｎ}練習）在三棱錐PABC中，三條側棱PA、PB、PC兩兩垂直，且，，又M是底面ABC內一點，則M到三個側面的距離的平方和的最小值是________.【答案】【分析】先根據(jù)三棱錐的特點求出其體積，然后利用柯西不等式求得結果．【詳解】令M到三棱錐三個側面的距離分別為x、y、z，∵PA、PB、PC兩兩垂直，且PA＝PB＝3，PC＝4，∴VP﹣ABC?（?PA?PB）?PC（?PA?PB）?z（PB?PC）?y（PA?PC）?x，即?（3×3）×4（3×3）z（3×4）y（3×4），化簡可得：，∴1＝（）2≤[（）2+（）2+（）2]（x2+y2+z2），解得x2+y2+z2．當且僅當?shù)忍柍闪⒂諱是底面ABC內一點，∴M到三棱錐三個側面的距離的平方和的最小值是．故答案為：．【點睛】本題考查點到三棱錐三個側面的距離的平方和的最小值的求法，是中檔題，解題時要注意體積求解的轉化方法的合理運用．三、解答題5．（2021·上海市中國中學高二階段練習）已知空間四邊形各邊及對角線的長都是1．（1）求邊、的距離；（2）求異面直線與所成角大?。敬鸢浮浚?）；（2）．【分析】（1）將四面體放入正方體中，根據(jù)四面體的邊長求出正方體的棱長，可證為與的公垂線，即可得解；（2）連接，可證，再由正方形的性質得到，即可得到；【詳解】解：（1）依題意將四面體放入如圖所示正方體中，因為空間四邊形各邊及對角線的長都是1，所以正方體的棱長為，在矩形中，分別為、的中點，所以，所以面，面，所以，同理可證，所以為與的公垂線，所以與的距離為；（2）連接，因為且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為，所以，所以異面直線與所成角為.6．（2021·上海市甘泉外國語中學高二期中）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側面BCC1B1，ABB1A1均為正方形，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，點D是棱的A1C1中點.(1)求證：平面AB1D⊥平面ACC1A1；(2)求證：BC1∥平面AB1D；(3)求點A1到平面AB1D的距離.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）由題設易知ABC﹣A1B1C1為直棱柱，且兩個底面都為等腰直角三角形，再由線面垂直的性質及判定可得面ACC1A1，最后根據(jù)面面垂直的判定證明結論.（2）是的交點，根據(jù)中位線的性質有，線面平行的判定證明結論.（3）利用等體積法有，即可求A1到平面AB1D的距離.(1)∵AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，∴△為等腰直角三角形，故在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側面BCC1B1，ABB1A1均為正方形，即ABC﹣A1B1C1為直棱柱，易知：△為等腰直角三角形，又D是棱的A1C1中點，則，由面，面，則，而且、面ACC1A1，∴面ACC1A1，又平面AB1D，∴平面AB1D⊥平面ACC1A1；(2)若是的交點，又ABB1A1為正方形，則為的中點，∴在△中，，又面AB1D，面AB1D，∴BC1∥平面AB1D；(3)由（1）知：，而，則，又，∴，由，則，又，若A1到平面AB1D的距離為，∴，可得7．（2021·上海中學高二期中）如圖，三棱錐P?ABC中，底面ABC是正三角形，底面ABC，平面PBC，垂足為G．(1)G是否可能是的垂心？請說明理由；(2)若G恰是的重心，且的邊長為2，求點C到平面ABG的距離．【答案】(1)不可能，理由見解析(2)【分析】（1）設G是的垂心，可得，與已知矛盾；（2）延長交于，連接并延長交于，連接，求出各邊長，利用等體積法可求.(1)設G是的垂心，則,因為平面PBC，平面PBC，所以，因為，所以平面，因為平面，所以，因為底面ABC，平面，所以，因為，所以平面，因為平面，所以，與是正三角形矛盾，所以不可能是的垂心；(2)延長交于，連接并延長交于，因為G是的重心，所以分別為，中點，且，連接，因為是邊長為2的正三角形，所以，因為底面ABC，所以，因為平面PBC，所以，則，則，所以，，，設點C到平面ABG的距離為，可得到平面的距離為，由可得，解得.8．（2021·上海南匯中學高二階段練習）如圖，四邊形ABEF和四邊形ABCD均是直角梯形，，，，.(1)求點F到平面ABCD的距離；(2)證明：平面平面ADF，并說明在平面EBC上，一定存在過C的直線l與直線FD平行.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明平面ABCD即可；（2）先證明平面平面ADF，再利用面面平行的性質定理證明.(1)解：因為，所以，又，AB?CD是相交直線，所以平面ABCD，所以點F到平面ABCD的距離；(2)證明：由題意得，平面ADF，平面ADF，所以平面ADF，同理平面ADF，又，所以平面平面ADF.設平面平面，則l過C點，因為平面平面ADF，平面平面，平面平面，所以.9．（2021·上海市松江二中高二期中）如圖所示，已知圓柱的軸截面是邊長為的正方形，球在圓柱內，且與圓柱的上、下底面均相切.(1)求球的表面積；(2)若為圓柱下底面圓弧的中點，求平面截球所得截面的周長.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出球的半徑，利用球體的表面積公式可求得結果；（2）計算出球心到平面的距離，可求得截面圓的半徑，利用圓的周長公式可求得結果.(1)解：由題意可知，球的直徑為，則，因此，球的表面積為.(2)解：連接、、、，為弧的中點，則，因為平面，平面，則，，故平面，，則，，，則，因為與圓柱的上底面垂直，而為上底面圓的一條直徑，則，，平面，平面，則，因為，則，設點到平面的距離為，由得，因為為的中點，所以，點到平面的距離，所以，平面截球所得截面圓的周長為.10．（2021·上?！とA東師范大學第三附屬中學高二期中）如圖，已知是圓柱的一個軸截面，且圓柱底面半徑為1，高為.動點P從點B繞著圓柱的側面到達點D的距離最短時在側面留下的曲線R，如圖，軸截面繞著軸逆時針旋轉時與曲線R相交于點P.(1)求曲線R長度：（要有必要的文字，圖形，計算過程）(2)當時，求到平面的距離.【答案】(1)(2)【分析】（1）將圓柱一半展開后得到底面的半個圓周為一邊，另一邊為圓柱的高的長方形，由