課時(shí)規(guī)范練56最值與范圍問題1.(15分)(2024·廣東茂名二模)已知橢圓C:x22+y2=1,右焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線l交C于A,B(1)若直線l的傾斜角為π4,求|AB|(2)記線段AB的垂直平分線交直線x=-1于點(diǎn)M,當(dāng)∠AMB最大時(shí),求直線l的方程.2.(17分)(2024·湖南長(zhǎng)沙一模)已知拋物線C:y2=2x的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)P,過點(diǎn)P的直線與C交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)).(1)若點(diǎn)A是線段PB的中點(diǎn),求點(diǎn)A的坐標(biāo);(2)若直線AF與C交于點(diǎn)D,記△BDP內(nèi)切圓的半徑為r,求r的取值范圍.3.(17分)(2024·山東青島模擬)已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為e,左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,且直線y=ex是雙曲線x24-y2=1的一條漸近線.直線x=x0與橢圓E交于C,D兩點(diǎn),且△CDF1的周長(zhǎng)最大值為8.橢圓E的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)P,Q為橢圓上異于A,B的兩動(dòng)點(diǎn),直線PQ與x軸相交于點(diǎn)M(m,0),記直線(1)求k1(2)若m=1,設(shè)△AQP和△BPQ的面積分別為S1,S2,求|S1-S2|的最大值.4.(17分)(2024·江蘇南通二模)已知雙曲線E的漸近線為y=±33x,左頂點(diǎn)為A(-3,0)(1)求雙曲線E的方程;(2)直線l:x=t交x軸于點(diǎn)D,過點(diǎn)D的直線交雙曲線E于B,C,直線AB,AC分別交l于G,H,若O,A,G,H均在圓P上,①求點(diǎn)D的橫坐標(biāo);②求圓P面積的取值范圍.答案：1.解(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).由題意可得F(1,0),因?yàn)橹本€l的傾斜角為π4,所以k=tanπ4=1,因此直線l的方程為y=x-1,聯(lián)立方程x22+y2=1,y=x-1,消去y得3x2-4x=0,解得x1=0,x2=(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由題意得,直線l的斜率不為0,故設(shè)l的方程為x=my+1,聯(lián)立方程x22+y2=1,x=my+1,消去x得(m2+2)因此y1+y2=-2mm2+2,y1所以|AB|=1+m2(設(shè)線段AB的中點(diǎn)為G,則yG=y1+y22=-mm2+2,xG=myG+1=2m2+2,所以lMG:y=-m(x-1m2+2),可得M(-1,m3+3mm2+2),所以|MG|=1+m2(m2+4)m2+2,所以tan∠AMB2=12|AB||MG|=21+m2m2+4,2.解(1)由題意知P(-12,0),設(shè)點(diǎn)A(x0,y0),因?yàn)辄c(diǎn)A是線段PB的中點(diǎn),所以B(2x0+12,2y0),又點(diǎn)A,B都在拋物線C上,所以y02=2x0,4y02=2(2x0+12),解得x0=14(2)如圖,由題意可知直線AB的斜率存在且不為0,F(12,0),設(shè)直線AB的方程為y=k(x+12),k≠0,A(x1,y1),B(x2,y2),由點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè),則0<x1<x設(shè)D(x3,y3),直線BD與x軸交于點(diǎn)E,聯(lián)立y=k(x+12),y2=2x得k2x2+(k2-2)x+k24=0,易知Δ=(k2-2)2-k4=4-4k2>0,解得-1<k<1,k≠0,x1+x2=2-k2k2,x1x2=14,所以0<x1<12<x2,而F(12,0),所以直線AF的斜率存在,所以直線AF的方程為y=y1x1-12(x-12),與y2=2x聯(lián)立消去y得,y12x2-(y12+2x12-2x1+12)x+14y12=0,又y12=2x1,所以化簡(jiǎn)得2x1x2-(2x12+12)x+12x1=0,解得x=14x1或x=x1.因?yàn)橹本€AF的斜率存在,所以x3=14x1=x2,所以BD⊥x所以r=(x2+1令t=x2+12,t>1,則r=112t-1+1t2+1t,因?yàn)楹瘮?shù)y=1x2=x-2,y=12x-1,y=1x在(1,+∞)上均單調(diào)遞減,則函數(shù)y=12x-1+1x2+1x在(1,+∞3.解(1)設(shè)CD與x軸的交點(diǎn)為H,由題意可知|CH|≤|CF2|,則|CF1|+|CH|≤|CF1|+|CF2|=2a,當(dāng)直線CD過右焦點(diǎn)F2時(shí),△CDF1的周長(zhǎng)取最大值4a=8,所以a=2.雙曲線x24-y2=1的漸近線為y=±12x,又直線y=ex是雙曲線x24-y2=1的一條漸近線,所以e=12,即ca=12,所以c=1,b2=a2-c2=3,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y23=1.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),直線PQ的方程為x=ty+m,與橢圓方程聯(lián)立x24+y23=1,x=ty+m,消去x得(3t2+4)y2+6tmy+3m2-12=0,則判別式Δ=(6tm)2-4(3t2+4)(3m2-12)=144t2-48m2+192>0,即3t2+4>m2,y1+y2=由題意,k2≠0,所以k(2)若m=1,則直線PQ的方程為x=ty+1,由(1)知y1+y2=-6t3t2+4,y1y2=-93t2+4,S1=12|AM|·|y1-y2|,S2=12|BM|·|y1-y2|,所以|S1因?yàn)閠2≥0,則t2+1≥1.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=3x+1x在[1,+∞)上單調(diào)遞增,故3t2+1+1t2+1≥4,所以|S1-S2|≤124=3,當(dāng)且僅當(dāng)t2+1=1,4.解(1)因?yàn)殡p曲線的漸近線關(guān)于坐標(biāo)軸及原點(diǎn)對(duì)稱,又頂點(diǎn)在x軸上,可設(shè)雙曲線的方程為x2a2?y2b2=1(a>0,b>0),因?yàn)殡p曲線的左頂點(diǎn)為A(-3,0),所以a=3,b=1,所以雙曲線E的方程為x23-y2=(2)如圖,①由題知,直線BC斜率存在,設(shè)D(t,0),B(x1,y1),C(x2,y2),直線BC的方程為my=x-t,將x=my+t代入雙曲線方程,消去x整理得(m2-3)y2+2mty+t2-3=0,易知該方程有兩解,所以m2-3≠0且Δ=12(t2+m2-3)>0,則y1+y2=-2mtm2-3,y設(shè)直線AG的傾斜角為α,不妨設(shè)0<α<π2,則∠AGH=π2-α,由O,A,G,H四點(diǎn)共圓知∠HOD=∠AGH,所以直線OH的傾斜角為π2-α,kAG·kOH=tanα·tan(π2-α)=又A(-3,0),直線AC的方程為y=y2x2+3(x+3),令x=t,則y=y2(t+3)x2+3,從而H(t,y2所以kAG·kOH=y1x1+3×y2(t+3)t(x2+3)=1?將x1=my1+t,x2=my2+t代入上式,得(t+3)y1y2=t(my1+t+3)(my2+t+3),所以(t+3)y1y2=t[m2y1y2+m(t+3)(y1+y2)+(t+3)2],所以(t+3)·t2-3m2-3=t[m2·t2-3m2-3+m(t+3)·-2mtm2-3+(t+3)2],化簡(jiǎn)得4t2+33②直線AG的方程為y=tanα·(x+3),由①知t=34,所以G(34,53直線OH的方程為y=1tanαx,所以H(34,34tanα),若G,H在x軸上方時(shí),G在H的上方,即tanα>0時(shí),534tanα>34tanα;若G,H在x軸下方時(shí),即tanα<0時(shí),534tanα<34tanα,所以tanα>55或tanα<-55.又直線AG與雙曲線的漸近線不平行,所以tanα≠±33.所以0<α<π,tanα>55或tanα<55且tanα≠±33.因?yàn)镺G=(34)

2+(53tanα4)

2=143(1+25tan2α),設(shè)圓P的半徑為R,面積為S,則2R=OGsinα