課時(shí)規(guī)范練60用樣本估計(jì)總體基礎(chǔ)鞏固練1.某工廠隨機(jī)抽取20名工人,對(duì)他們某天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),數(shù)據(jù)如下表,則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是()件數(shù)7891011人數(shù)37541A.8.5 B.9 C.9.5 D.102.(2024·湖南長沙二模)已知樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x100的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差均為4,則數(shù)據(jù)-x1-1,-x2-1,…,-x100-1的平均數(shù)與方差分別為()A.-5,4 B.-5,16 C.4,16 D.4,43.(2022·全國甲,理2,文2)某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí).為了解講座效果,隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民,讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問卷,這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖,則()A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差4.一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1,4,4,x,7,8(其中x≠7),若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是眾數(shù)的54倍,則該組數(shù)據(jù)的方差和第60百分位數(shù)分別是(A.165,5 C.163,6 5.(多選題)下列統(tǒng)計(jì)量中可用于度量樣本x1,x2,…,xn的離散程度的有()A.x1,x2,…,xn的標(biāo)準(zhǔn)差B.x1,x2,…,xn的中位數(shù)C.x1,x2,…,xn的極差D.x1,x2,…,xn的平均數(shù)6.(多選題)(2021·新高考Ⅰ,9)有一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn,由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1,y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c為非零常數(shù),則()A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同7.(多選題)(2024·廣東茂名一模)如今中秋節(jié)逐漸演化為賞月、頌月等活動(dòng),以月之圓兆人之團(tuán)圓,為寄托思念故鄉(xiāng)、思念親人之情,祈盼豐收、幸福,成為豐富多彩、彌足珍貴的文化遺產(chǎn).某校舉行與中秋節(jié)相關(guān)的“中國傳統(tǒng)文化”知識(shí)競(jìng)賽,隨機(jī)抽查了100人的成績(jī)整理后得到如圖所示的頻率分布直方圖,則下列結(jié)論正確的是()A.樣本的眾數(shù)為75B.樣本的第71百分位數(shù)為75C.樣本的平均值為68.5D.該校學(xué)生中得分低于60分的約占20%8.(2024·廣東深圳二模)已知樣本x1,x2,x3的平均數(shù)為2,方差為1,則x12,9.(2024·廣東珠海一模)甲、乙兩班同學(xué)參加了同一學(xué)科的考試,其中甲班50人,乙班40人.甲班的平均成績(jī)?yōu)?2,方差為90;乙班的平均成績(jī)?yōu)?0,方差為60.那么甲、乙兩班全部90名學(xué)生的平均成績(jī)是,方差是.綜合提升練10.(2024·陜西榆林三模)在一次數(shù)學(xué)?？贾?從甲、乙兩個(gè)班各自抽出10個(gè)人的成績(jī),甲班的十個(gè)人成績(jī)分別為x1,x2,…,x10,乙班的十個(gè)人成績(jī)分別為y1,y2,…,y10.假設(shè)這兩組數(shù)據(jù)中位數(shù)相同、方差也相同,則把這20個(gè)數(shù)據(jù)合并后()A.中位數(shù)一定不變,方差可能變大B.中位數(shù)可能改變,方差可能變大C.中位數(shù)一定不變,方差可能變小D.中位數(shù)可能改變,方差可能變小11.(多選題)(2024·浙江嘉興二模)已知一組數(shù)據(jù)1,3,5,7,9,其中位數(shù)為a,平均數(shù)為x,極差為b,方差為s2.現(xiàn)從中刪去某一個(gè)數(shù),得到一組新數(shù)據(jù),其中位數(shù)為a',平均數(shù)為x',極差為b',方差為s'2,則下列說法中正確的是(A.若刪去3,則a<a'B.若刪去9,則xC.無論刪去哪個(gè)數(shù),均有b≥b'D.若x=x',則s12.(2024·河南新鄉(xiāng)二模)若一組數(shù)據(jù)a1,a2,a3,a4,a5的平均數(shù)為3,方差為185,則a1,a2,a3,a4,a5,9這6個(gè)數(shù)的平均數(shù)為,方差為13.(13分)(2024·廣東廣州模擬)某市為提高市民對(duì)文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識(shí),舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識(shí)競(jìng)賽,從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本,將樣本的成績(jī)(滿分100分,成績(jī)均為不低于40分的整數(shù))分成六段:[40,50),[50,60),…,[90,100],得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中a的值;(2)求樣本成績(jī)的第75百分位數(shù);(3)已知落在[50,60)的平均成績(jī)是56,方差是7,落在[60,70)的平均成績(jī)?yōu)?5,方差是4,求兩組成績(jī)的總平均數(shù)z和總方差s2.創(chuàng)新應(yīng)用練14.(2024·廣東佛山模擬)已知a,b,c是正整數(shù),且a∈[10,20],b∈(20,30],c∈(30,40],當(dāng)a,b,c方差最小時(shí),寫出滿足條件的一組a,b,c的值.答案：1.C解析抽取的工人總數(shù)為20,20×75%=15,那么這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是9+102=9.52.B解析由題意知x1,x2,…,x100的方差為16,則-x1,-x2,…,-x100的平均數(shù)為-4,方差為(-1)2×16=16,故-x1-1,-x2-1,…,-x100-1的平均數(shù)為-4-1=-5,方差為16.3.B解析對(duì)于A,中位數(shù)為(70%+75%)÷2=72.5%>70%,A錯(cuò)誤;對(duì)于B,平均數(shù)為89.5%>85%,B正確;對(duì)于C,從圖中可以看出,講座前問卷答題的正確率的波動(dòng)幅度要大于講座后問卷答題的正確率的波動(dòng)幅度,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,講座后問卷答題的正確率的極差為20%,講座前問卷答題的正確率的極差為35%,D錯(cuò)誤.故選B.4.C解析中位數(shù)為4+x2,眾數(shù)為4,由題意知4+x2=4×54,解得x=6,該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為x=16×(1+4+4+6+7+8)=5,該組數(shù)據(jù)的方差是s2=16×[(1-5)2+(4-5)2+(4-5)2+(6-5)2+(7-5)2+(8-5)2]=1635.AC解析標(biāo)準(zhǔn)差和極差度量的是數(shù)據(jù)的離散程度;中位數(shù)和平均數(shù)反映的是數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).故選AC.6.CD解析x=1n∑i=1nxi,y=1n∑i=1nxi+nc=x+c,故A錯(cuò)誤;兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相差c,故B錯(cuò)誤;sx2=1n∑i=1n(xi-x)2,sy2=1n∑i=1n[(xi+c)-(x+c)]27.AC解析依題意,(0.015+0.025+0.035+0.005+2a)×10=1,解得a=0.010,因?yàn)樽罡咝【匦蔚闹悬c(diǎn)橫坐標(biāo)為75,所以眾數(shù)是75,故A正確;設(shè)樣本的第71百分位數(shù)為x,又10×(0.010+0.015+0.025)=0.5,所以0.5+(x-70)×0.035=0.71,解得x=76,故B錯(cuò)誤;因?yàn)槠骄鶖?shù)為45×0.1+55×0.15+65×0.25+75×0.35+85×0.1+95×0.05=68.5,故C正確;樣本中得分低于60分的占(0.010+0.015)×10=25%,所以該校學(xué)生中得分低于60分的約占25%,故D錯(cuò)誤.故選AC.8.5解析由題意知,x1+x2+x33=2,所以由(x1-2)2+(x2-9.804703解析甲、乙兩班全部90名學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)?2×50+90×方差為5050+40×[90+(72-80)2]+4050+40×[60+(90-80)2]=59×10.A解析不妨設(shè)x1≤x2≤…≤x10,y1≤y2≤…≤y10,則x1,x2,…,x10的中位數(shù)為x5+x62,y1,y2,…y10的中位數(shù)為y5+y62,因?yàn)閤5+x62=y5+y62,所以x5≤y5≤y6≤x6或y5≤x5≤x6≤y6,則合并后數(shù)據(jù)的中位數(shù)是x5+x62或者y5+y62,所以中位數(shù)不變.設(shè)甲班成績(jī)數(shù)據(jù)的方差為s2,平均數(shù)為x,乙班成績(jī)數(shù)據(jù)的方差為s2,平均數(shù)為y,合并后總數(shù)為20,平均數(shù)為ω,方差為s'2,s'2=110+10{10[s2+(x-11.ACD解析若刪去3,則根據(jù)中位數(shù)的定義,a=5,a'=5+72=6,滿足a<a',A正確;若刪去9,根據(jù)平均數(shù)的定義,x=1+3+5+7+95=5,x'=1+3+5+74=4,x>x',B錯(cuò)誤;根據(jù)極差的定義,若去掉的數(shù)是3,5,7中的一個(gè),顯然去掉前后極差都是9-1=8,滿足b=b',若去掉1,b'=9-3=6<b=8,若去掉9,b'=7-1=6<b=8,綜上,b≥b',C正確;原數(shù)據(jù)平均數(shù)x=5,去掉一個(gè)數(shù)后平均數(shù)保持不變,即x'=5,則剩下的四個(gè)數(shù)之和為5×4=20,顯然去掉的數(shù)只能是5,由方差的定義,s2=15[(1-5)2+(3-5)2+(5-5)2+(7-5)2+(9-5)2]=8,s'2=14[(1-5)2+(3-5)2+(7-5)2+(9-5)212.48解析依題意,知這6個(gè)數(shù)的平均數(shù)為5×3+96=4,又15[(a1-3)2+(a2-3)2+…+(a5-3)2]=185,所以(a12+a22+…+a52)-6(a1+a2+…+a5)+5×9=18,又a1+a2+…+a5=3×5=15,所以∑i=15ai2=63,所以這6個(gè)數(shù)的方差為16(∑i=1513.解(1)因?yàn)槊拷M小矩形的面積之和為1,所以(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1,則a=0.030.(2)成績(jī)落在[40,80)內(nèi)的頻率為(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65,落在[40,90)內(nèi)的頻率為(0.005+0.010+0.020+0.030+0.025)×10=0.9,設(shè)第75百分位數(shù)為m(40<m<90),由0.65+(m-80)×0.025=0.75,得m=84,故第75百分位數(shù)為84.(3)由圖可知,成績(jī)?cè)赱50,60)的市民人數(shù)為100×0.1=10,成績(jī)?cè)赱60,70)的市民人數(shù)為100×0.2=20,故這兩組成績(jī)的總平均數(shù)為z=10×56+20×6510+20=62,由樣本方差計(jì)算總體方差公式可得總方差為s2=1030×[7+(56-62)2]+203014.20,25,31或20,26,31(寫其中一組即可)解析設(shè)x=a+b+c3,則s2=13[(a-x)2+(b-x)2+(c-x)2]=13[a2+b2+c2+3x2-2x(a+b+c)]=13[a2+b2+c2-13(a+b+c)2]=19[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2