第二章習題課1本章重點2例題

1本章重點2例題微觀粒子的波粒二象性波函數(shù)的物理意義態(tài)疊加原理定態(tài)薛定諤方程（能量本征值方程）含時薛定諤方程的一般解連續(xù)性方程的意義一維定態(tài)的性質(zhì)一維無限深勢阱中粒子的能量本征值和本征函數(shù)一維方勢阱中粒子能量本征解的求解過程線性諧振子的能量本征值和本征函數(shù)勢壘貫穿首先將波函數(shù)歸一化1本章重點2例題例1.若描述粒子狀態(tài)的波函數(shù)為，式中α為實常數(shù)，求該粒子的坐標取值概率密度函數(shù)。解：粒子的坐標概率密度為1本章重點2例題令得概率密度極大值例2.半壁無限高勢阱的位勢為

求粒子能量在

范圍內(nèi)的解。解：定態(tài)薛定諤方程為1本章重點2例題令，則1本章重點2例題下面由波函數(shù)的標準條件定解：有限性：連續(xù)性：此即能量本征值滿足的超越方程。該方程只能用數(shù)值法求解或用作圖法求解。1本章重點2例題討論若，則這正是一維無限深勢阱的結(jié)果。它們的交點就是束縛態(tài)能級滿足的解。由圖知，至少存在一個束縛態(tài)的條件為束縛態(tài)存在的條件令，則1本章重點2例題該式表明，當勢阱強度小于時，不存在束縛態(tài)。勢阱強度例3.有限深對稱方勢阱

討論束縛態(tài)能級和波函數(shù)。令，則令，則解法一：1本章重點2例題阱內(nèi)：因為，所以具有確定宇稱。因此偶宇稱奇宇稱由于該問題歸一化很麻煩，通常不歸一化，而把系數(shù)取為1。阱外：左邊：因為，所以1本章重點2例題右邊：因為，所以注意：若波函數(shù)是偶宇稱，則取“+”；若波函數(shù)是奇宇稱，則取“-”。且阱內(nèi)外波函數(shù)應連續(xù)，如圖所示。偶宇稱奇宇稱引入，，則時，、連續(xù)，則1本章重點2例題對偶宇稱：時，、連續(xù)，則1本章重點2例題對奇宇稱：偶宇稱奇宇稱圖中兩曲線交點即為方程組的解。顯然，粒子至少有一個束縛態(tài)能級。1本章重點2例題上面兩式可以合并成一個：解法二：1本章重點2例題有限性：連續(xù)性：1本章重點2例題所以1本章重點2例題兩種方法結(jié)果一致。（1）波函數(shù)歸一化1本章重點2例題例4.高斯波包。一個自由粒子的初始波函數(shù)為，其中A常數(shù)，a是正的實常數(shù)。（1）把波函數(shù)歸一化；（2）求出；（3）求出，并畫出

時和t很大時的（作為x的函數(shù)）。定性上，當時間增加時，有什么變化？解：（2）1本章重點2例題所以1本章重點2例題1本章重點2例題下面求。令