高臺一中2025春學(xué)期高二年級6月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.1．下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的有（）A． B．C． D．2.如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的部分圖象，則的一個(gè)極大值點(diǎn)為（）A. B. C. D.3.從中任取個(gè)不同的數(shù)，事件“取到的個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件“取到兩個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則A. B. C. D.4.如圖，在棱長為1的正方體中，分別為的中點(diǎn)，則與所成的角的余弦值為（）A. B. C. D.5．隨機(jī)變量，，則的值為（

）A．B．C． D．6．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．7．設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則等于（

）A． B． C． D．8.有甲、乙兩個(gè)盒子，甲盒子里有個(gè)紅球，乙盒子里有個(gè)紅球和個(gè)黑球，現(xiàn)從乙盒子里隨機(jī)取出個(gè)球放入甲盒子后，再從甲盒子里隨機(jī)取一球，記取到的紅球個(gè)數(shù)為個(gè)，則隨著的增加，下列說法正確的是（

）A．增加，增加 B．增加，減小C．減小，增加 D．減小，減小二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，有二個(gè)正確選項(xiàng)的，每個(gè)選項(xiàng)3分，有三個(gè)正確選項(xiàng)的，每個(gè)選項(xiàng)2分，有選錯(cuò)的得0分.9.某企業(yè)根據(jù)市場調(diào)研得到研發(fā)投入（億元）與產(chǎn)品收益（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下，則下列敘述正確的是（

）參考公式：,A．B．由散點(diǎn)圖知變量和負(fù)相關(guān)C．相關(guān)系數(shù)r的絕對值|r|越接近0，表示x，y的線性相關(guān)程度越強(qiáng)D．用最小二乘法求得關(guān)于的線性回歸直線方程為10．在棱長為2的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的為（

）A．平面B．直線與所成角的余弦值為C．D．直線與平面所成角的正弦值為11.已知函數(shù)，則下列說法中正確的是（）A.函數(shù)的最大值是 B.在上單調(diào)遞減C.對任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且，若，則D.若關(guān)于x的方程有3個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．如圖，平行六面體的底面是邊長為1的正方形，且，，則線段的長為第年12345收入3810141513鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略堅(jiān)持農(nóng)業(yè)農(nóng)村優(yōu)先發(fā)展，目標(biāo)是按照產(chǎn)業(yè)興旺?生態(tài)宜居?鄉(xiāng)風(fēng)文明?治理有效?生活富裕的總要求，建立健全城鄉(xiāng)融合發(fā)展體制機(jī)制和政策體系，加快推進(jìn)農(nóng)業(yè)農(nóng)村現(xiàn)代化.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)通過建立幫扶政策，使得該鄉(xiāng)鎮(zhèn)財(cái)政收入連年持續(xù)增長，具體數(shù)據(jù)如表所示：由上表可得關(guān)于的近似回歸方程為，則第6年該鄉(xiāng)鎮(zhèn)財(cái)政收入預(yù)計(jì)為億元.14.設(shè)函數(shù)，若恒成立，則a的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，15題13分，16題15分，17題15分，18題17分，19題17分，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線方程為.(1)求和的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間.16.究學(xué)生每天整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題的情況，某校數(shù)學(xué)建模興趣小組在本校某年級學(xué)生中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生，調(diào)查他們平時(shí)的數(shù)學(xué)成績和整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題的情況，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：數(shù)學(xué)總評優(yōu)秀的人數(shù)數(shù)學(xué)總評非優(yōu)秀的人數(shù)合計(jì)每天都整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題的人數(shù)90不是每天都整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題的人數(shù)40100合計(jì)200（1）完成上述樣本數(shù)據(jù)的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績總評優(yōu)秀與每天都整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題有關(guān)；（2）從參與該實(shí)驗(yàn)的人中任選1人，A表示事件“選到的人數(shù)學(xué)成績總評優(yōu)秀”，B表示事件“選到的人每天都整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題”．利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，求的值．（3）按照比例采用分層隨機(jī)抽樣的方法從不是每天都整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題的學(xué)生中隨機(jī)抽取5名學(xué)生，再從這5名學(xué)生中選3名做進(jìn)一步訪談，設(shè)這3人中數(shù)學(xué)成績總評非優(yōu)秀的人數(shù)為，求的分布列和期望．附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82817．如圖，四邊形是正方形，平面平面，,，，.

(1)求證：平面；(2)求二面角的大小.(3)點(diǎn)在直線BD上，直線與直線CE的夾角為，二面角為，是否存在點(diǎn)，使得.如果存在，請求出；如果不存在，請說明理由.18．已知函數(shù)．（1）求的極值；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）若，求a的取值范圍．19．甲、乙兩人為了提升籃球的競技水平，進(jìn)行投籃比賽.已知甲和乙每次進(jìn)球的概率分別是和，且每人每次進(jìn)球與否互不影響.制定比賽規(guī)則如下：一輪比賽，甲、乙雙方需各投籃3次.一輪比賽結(jié)束后，當(dāng)一方的進(jìn)球數(shù)比另一方的進(jìn)球數(shù)至少多2個(gè)時(shí)，則該方獲勝并得1分，另一方不得分.其他情況，雙方均不得分.(1)若，（i）假設(shè)甲、乙兩人各投籃一次，求至少有一人進(jìn)球的概率；（ii）求在一輪比賽結(jié)束后，乙獲得1分的概率.(2)若，問至少進(jìn)行多少輪比賽后，乙累計(jì)得分的期望值可以達(dá)到3分？參考答案1B2.如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的部分圖象，則的一個(gè)極大值點(diǎn)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)極大值點(diǎn)的定義結(jié)合圖象判斷即可.【詳解】極大值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0，且在該點(diǎn)左側(cè)附近導(dǎo)數(shù)值為正，在該點(diǎn)右側(cè)附近導(dǎo)數(shù)值為負(fù)，選項(xiàng)中只有符合.故選：B.3.從中任取個(gè)不同的數(shù)，事件“取到的個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件“取到兩個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得和的值，然后利用條件概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求的概率.【詳解】依題意,,故.故選B.4.如圖，在棱長為1的正方體中，分別為的中點(diǎn)，則與所成的角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解異面直線的夾角余弦值.【詳解】以D作坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)與所成角的大小為，則.5A6A【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，又，令，解得，所以函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：A7.設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點(diǎn)】基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得切線方程，進(jìn)而得到，累乘即可得到結(jié)果.【詳解】，，在點(diǎn)處的切線方程為：，令得：，.故選：D.8C【詳解】由題意可知，從乙盒子里隨機(jī)取出個(gè)球，含有紅球個(gè)數(shù)服從超幾何分布，其中，其中，且，.故從甲盒中取球，相當(dāng)于從含有個(gè)紅球的個(gè)球中取一球，取到紅球個(gè)數(shù)為.故，隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，所以，隨著的增大，減小；，隨著的增大，增大.故選：C.10在棱長為2的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的為（

）A．直線與所成角的余弦值為 B．平面C． D．直線與平面所成角的正弦值為【答案】BC【知識點(diǎn)】證明線面平行、空間位置關(guān)系的向量證明、異面直線夾角的向量求法、線面角的向量求法【分析】A選項(xiàng)，建立，建立空間直角坐標(biāo)系，得到，設(shè)直線與所成角為，利用得到答案；B選項(xiàng)，證明出，得到線面平行；C選項(xiàng)，計(jì)算出，得到垂直關(guān)系；D選項(xiàng)，求出平面的法向量，利用線面角的夾角公式求出答案.【詳解】A選項(xiàng)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，故，則，設(shè)直線與所成角為，11.11.已知函數(shù)，則下列說法中正確的是（）A.函數(shù)的最大值是B.在上單調(diào)遞減C.對任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且，若，則D.若關(guān)于x的方程有3個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是【答案】ACD【解析】【分析】直接求導(dǎo)得出函數(shù)單調(diào)性，繼而可得函數(shù)最值情況判斷AB；利用函數(shù)值相等，結(jié)合極值點(diǎn)偏移構(gòu)造函數(shù)判斷C；結(jié)合函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合將的范圍轉(zhuǎn)換成復(fù)合型二次函數(shù)的值域求解判斷D.【詳解】對于AB，函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，A正確，B錯(cuò)誤；對于C，依題意，，，則，不等式，令，令，求導(dǎo)得，而當(dāng)時(shí)，，于是，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即，因此，又在上單調(diào)遞減，則，C正確；對于D，令，若關(guān)于的方程有3個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，解得或，且，則或，當(dāng)時(shí)，，解得，與矛盾；當(dāng)時(shí)，，，整理得，則的取值范圍是，因此的取值范圍是，D正確.故選：ACD12.如圖，平行六面體的底面是邊長為1的正方形，且，，則線段的長為（）A. B. C. D.【答案】B13.14.15.16．解：（1）完善列聯(lián)表，如下：數(shù)學(xué)成績總評優(yōu)秀的人數(shù)數(shù)學(xué)成績總評非優(yōu)秀的人數(shù)合計(jì)每天都整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題的人數(shù)9010100不是每天都整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題的人數(shù)6040100合計(jì)15050200由題可知，所以有的把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績總評優(yōu)秀與每天都整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題有關(guān)．（2）由分層隨機(jī)抽樣可知，抽取的5名學(xué)生中有2名數(shù)學(xué)成績總評非優(yōu)秀．所有可能的取值為0，1，2，知，，，所以的分布列為012故．17．【詳解】（1）如圖，以A為原點(diǎn)，、、為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

依題意，得A0,0,0，，，，，，取的中點(diǎn)M，連接，則，，，所以，則，又平面，平面，所以平面.（2）取中點(diǎn)，則，又，則，由且都在面內(nèi)，則面，由，則面，面，故，由，、平面，所以平面，故為平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面的法向量n=x,y,z所以，即，令，得.所以，由圖，二面角為鈍二面角，所以二面角的大小為.18．【答案】（1）極小值為，無極大值．（2）答案見解析（3）．【詳解】（1）．令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．在處取得極小值，極小值為，無極大值．（2）的定義域?yàn)椋簦瑒t為常函數(shù)，無單調(diào)區(qū)間．若，則的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間．（3）因?yàn)?，所以，即．令函?shù)，上式等價(jià)于．在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，即．因?yàn)椋?，所以．故a的取值范圍是．19．【答案】（1）（i）因?yàn)榧缀鸵颐看芜M(jìn)球的概率分別是和，所以甲、乙兩人各投籃一次，至少有一人進(jìn)球的