二項式定理考試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.$(a+b)^n$展開式的項數(shù)是（）A.$n$B.$n+1$C.$n-1$D.$2n$2.二項式$(x+2)^{5}$中，第三項的二項式系數(shù)為（）A.10B.20C.40D.803.二項式$(1-2x)^{6}$展開式中$x^{3}$的系數(shù)是（）A.-160B.160C.-20D.20二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.以下關(guān)于二項式定理說法正確的是（）A.$(a+b)^n$的展開式中通項公式為$T_{r+1}=C_{n}^{r}a^{n-r}b^{r}$B.二項式系數(shù)之和為$2^n$C.二項式展開式中各項系數(shù)之和可以通過令字母都為1得到2.二項式$(x+y)^{n}$（$n\inN^+$）展開式中的性質(zhì)有（）A.奇數(shù)項的二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)和B.中間一項的二項式系數(shù)最大C.二項式展開式中每一項次數(shù)都為$n$三、判斷題（每題2分，共20分）1.二項式展開式中每一項都是整式。（）2.二項式系數(shù)$C_{n}^{r}$與該項的系數(shù)相等。（）3.若$(a+bx)^n$展開式中各項系數(shù)之和為$1$，則$a+b=1$。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.求二項式$(x-\frac{1}{x})^{6}$展開式中的常數(shù)項。答：通項$T_{r+1}=C_{6}^{r}x^{6-r}(-\frac{1}{x})^{r}=(-1)^{r}C_{6}^{r}x^{6-2r}$，令$6-2r=0$，得$r=3$，則常數(shù)項為$(-1)^{3}C_{6}^{3}=-20$。2.已知二項式$(2x+1)^n$展開式中各項系數(shù)和為243，求$n$的值。答：令$x=1$，則各項系數(shù)和為$(2\times1+1)^n=3^n$，由$3^n=243$，即$3^n=3^5$，得$n=5$。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論如何利用二項式定理求近似值，舉例說明。答：將所給數(shù)轉(zhuǎn)化為二項式形式，利用二項式展開式，當(dāng)$n$較大且某些項值很小時可忽略。例如求$1.02^5$，可寫成$(1+0.02)^5$，按二項式展開$C_{5}^{0}+C_{5}^{1}\times0.02+C_{5}^{2}\times0.02^2+\cdots$，保留前幾項計算得近似值。2.二項式定理在數(shù)列求和中有怎樣的應(yīng)用，請舉例闡述。答：如求數(shù)列$1,2C_{n}^{1},3C_{n}^{2},\cdots,(n+1)C_{n}^{n}$的和，可構(gòu)造二項式$f(x)=(1+x)^n$，求導(dǎo)后借助已知條件和一些運算得出和。例如對于$S_n=\sum_{k=0}^{n}(k+1)C_{n}^{k}$，通過變