山大附中高中考試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sinx\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(3\pi\)D.\(4\pi\)2.直線\(y=2x+1\)的斜率是（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-2\)3.集合\(A=\{1,2,3\}\)，集合\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB\)=（）A.\(\{1\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{4\}\)D.\(\{1,2,3,4\}\)4.若\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(3,4)\)，則\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow\)=（）A.\((4,6)\)B.\((-2,-2)\)C.\((2,2)\)D.\((1,3)\)5.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則公差\(d\)=（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)6.函數(shù)\(y=\log_2x\)的定義域是（）A.\((0,+\infty)\)B.\((-\infty,0)\)C.\([0,+\infty)\)D.\((-\infty,+\infty)\)7.已知\(\cos\alpha=\frac{1}{2}\)，且\(0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2}\)，則\(\sin\alpha\)=（）A.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)B.\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)8.拋物線\(y^2=4x\)的焦點坐標是（）A.\((1,0)\)B.\((0,1)\)C.\((-1,0)\)D.\((0,-1)\)9.若\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，且\(x+y=1\)，則\(xy\)的最大值是（）A.\(\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(1\)D.\(2\)10.已知\(f(x)=x^3+x\)，則\(f(-1)\)=（）A.\(-2\)B.\(0\)C.\(2\)D.\(4\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是奇函數(shù)（）A.\(y=x\)B.\(y=x^2\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=\cosx\)2.下列屬于基本不等式應用的有（）A.求函數(shù)\(y=x+\frac{1}{x}(x\gt0)\)最小值B.證明\(a^2+b^2\geq2ab\)C.求\(y=x^2+2x+3\)的最值D.比較\(a\)與\(b\)的大小3.直線的方程形式有（）A.點斜式B.斜截式C.兩點式D.截距式4.以下哪些是橢圓的性質(zhì)（）A.到兩定點距離之和為定值B.離心率\(e\lt1\)C.有漸近線D.標準方程有兩種形式5.關(guān)于等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)，正確的是（）A.\(a_{n+1}^2=a_n\cdota_{n+2}\)B.公比\(q\neq0\)C.通項公式\(a_n=a_1q^{n-1}\)D.前\(n\)項和\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)（\(q\neq1\)）6.以下函數(shù)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增的有（）A.\(y=2^x\)B.\(y=x^2\)C.\(y=\lnx\)D.\(y=\frac{1}{x}\)7.向量的運算包括（）A.加法B.減法C.數(shù)乘D.數(shù)量積8.三角函數(shù)的誘導公式中，正確的有（）A.\(\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha\)B.\(\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha\)C.\(\tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha\)D.\(\sin(-\alpha)=\sin\alpha\)9.立體幾何中，線面平行的判定方法有（）A.平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行B.如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行C.一條直線垂直于一個平面，那么與這條直線平行的直線也垂直于該平面D.若直線\(l\)不在平面\(\alpha\)內(nèi)，且與平面\(\alpha\)內(nèi)無數(shù)條直線平行，則\(l\parallel\alpha\)10.以下屬于對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的有（）A.定義域為\((0,+\infty)\)B.過定點\((1,0)\)C.當\(a\gt1\)時，在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增D.與指數(shù)函數(shù)\(y=a^x\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）互為反函數(shù)三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.函數(shù)\(y=\tanx\)的定義域是\(x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\)。（）3.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)。（）4.直線\(Ax+By+C=0\)（\(A\)、\(B\)不同時為\(0\)）的斜率為\(-\frac{A}{B}\)。（）5.等差數(shù)列的前\(n\)項和公式是\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)。（）6.函數(shù)\(y=3\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的振幅是\(3\)。（）7.雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)的漸近線方程是\(y=\pm\frac{a}x\)。（）8.若\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=0\)，則\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow\)。（）9.對于函數(shù)\(y=f(x)\)，如果\(f(a)=f(b)\)，那么\(a=b\)。（）10.圓\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)的圓心坐標是\((a,b)\)，半徑是\(r\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=2x^2-4x+3\)的對稱軸和頂點坐標。答案：對于二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)，對稱軸\(x=-\frac{2a}\)，此函數(shù)\(a=2\)，\(b=-4\)，則對稱軸\(x=1\)。把\(x=1\)代入函數(shù)得\(y=1\)，所以頂點坐標為\((1,1)\)。2.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)為第二象限角，求\(\cos\alpha\)和\(\tan\alpha\)的值。答案：因為\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)為第二象限角，所以\(\cos\alpha=-\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=-\frac{4}{5}\)，\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\frac{3}{4}\)。3.求直線\(2x-y+3=0\)與\(x+y-6=0\)的交點坐標。答案：聯(lián)立方程組\(\begin{cases}2x-y+3=0\\x+y-6=0\end{cases}\)，兩式相加消去\(y\)得\(3x-3=0\)，解得\(x=1\)，把\(x=1\)代入\(x+y-6=0\)得\(y=5\)，交點坐標為\((1,5)\)。4.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(d=3\)，求\(a_5\)和\(S_5\)。答案：由等差數(shù)列通項公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，可得\(a_5=2+(5-1)\times3=14\)。由前\(n\)項和公式\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)，\(S_5=\frac{5\times(2+14)}{2}=40\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)和\((-\infty,0)\)上的單調(diào)性，并說明理由。答案：在\((0,+\infty)\)上，任取\(x_1\ltx_2\)，\(f(x_1)-f(x_2)=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}\gt0\)，即\(f(x_1)\gtf(x_2)\)，所以單調(diào)遞減；在\((-\infty,0)\)上同理可證也單調(diào)遞減。2.舉例說明基本不等式在生活中的應用。答案：比如用一定長度的柵欄圍矩形場地，設(shè)長為\(x\)，寬為\(y\)，周長\(2(x+y)\)一定，面積\(S=xy\)。由基本不等式\(x+y\geq2\sqrt{xy}\)，當\(x=y\)時面積最大。像建矩形倉庫等場景可利用此原理。3.探討直線與圓的位置關(guān)系有哪些判斷方法。答案：一是幾何法，通過比較圓心到直線的距離\(d\)與圓半徑\(r\)的大小，\(d\gtr\)相離，\(d=r\)相切，\(d\ltr\)相交；二是代數(shù)法，聯(lián)立直線與圓的方程，消元得一元二次方程，根據(jù)判別式\(\Delta\)判斷，\(\Delta\gt0\)相交，\(\Delta=0\)相切，\(\Delta\lt0\)相離。4.說一說數(shù)列在實際生活中的應用場景。答案：在貸款還款中，如等額本息還款方式涉及等比數(shù)列。每月還款包含本金和利息，隨著還款次數(shù)增加，本金逐漸減少，利息也相應變化，可用數(shù)列知識計算。還有細胞分裂、樹木生長