高中數(shù)學(xué)競賽試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sinx\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(3\pi\)D.\(4\pi\)2.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB\)等于（）A.\(\{1,2\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{3,4\}\)D.\(\{1,4\}\)3.直線\(y=2x+1\)的斜率是（）A.\(-2\)B.\(-\frac{1}{2}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(2\)4.若\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(3,4)\)，則\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow\)等于（）A.\(11\)B.\(10\)C.\(9\)D.\(8\)5.方程\(x^{2}-5x+6=0\)的根是（）A.\(x=2\)或\(x=3\)B.\(x=-2\)或\(x=-3\)C.\(x=1\)或\(x=6\)D.\(x=-1\)或\(x=-6\)6.已知\(\cos\alpha=\frac{1}{2}\)，且\(0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2}\)，則\(\alpha\)等于（）A.\(\frac{\pi}{6}\)B.\(\frac{\pi}{3}\)C.\(\frac{\pi}{4}\)D.\(\frac{\pi}{2}\)7.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(a_{3}=5\)，則公差\(d\)為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)8.函數(shù)\(y=\log_{2}x\)的定義域是（）A.\((0,+\infty)\)B.\([0,+\infty)\)C.\((-\infty,0)\)D.\((-\infty,0]\)9.拋物線\(y^{2}=4x\)的焦點坐標(biāo)是（）A.\((1,0)\)B.\((0,1)\)C.\((-1,0)\)D.\((0,-1)\)10.若\(x\gt0\)，\(y\gt0\)且\(x+y=1\)，則\(xy\)的最大值是（）A.\(\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(1\)D.\(2\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是奇函數(shù)（）A.\(y=x^{3}\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=\cosx\)D.\(y=x+1\)2.下列屬于基本不等式的有（）A.\(a^{2}+b^{2}\geqslant2ab\)B.\(\frac{a+b}{2}\geqslant\sqrt{ab}(a\gt0,b\gt0)\)C.\(a+b\geqslant2\sqrt{ab}\)D.\(a^{2}+b^{2}\leqslant2ab\)3.直線的方程形式有（）A.點斜式B.斜截式C.兩點式D.截距式4.以下哪些是橢圓的性質(zhì)（）A.到兩定點距離之和為定值B.離心率\(e\in(0,1)\)C.標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式D.漸近線方程5.關(guān)于數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)，以下說法正確的是（）A.等比數(shù)列通項公式\(a_{n}=a_{1}q^{n-1}\)B.等差數(shù)列前\(n\)項和\(S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}\)C.常數(shù)列既是等差數(shù)列也是等比數(shù)列D.等比數(shù)列公比\(q\neq0\)6.三角函數(shù)\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)中，影響函數(shù)的因素有（）A.\(A\)B.\(\omega\)C.\(\varphi\)D.\(x\)7.以下哪些集合運算正確（）A.\(A\cupA=A\)B.\(A\capA=A\)C.\(A\cup\varnothing=A\)D.\(A\cap\varnothing=A\)8.復(fù)數(shù)\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)）的相關(guān)概念正確的是（）A.實部是\(a\)B.虛部是\(b\)C.模\(\vertz\vert=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)D.共軛復(fù)數(shù)\(\overline{z}=a-bi\)9.空間中直線與平面的位置關(guān)系有（）A.直線在平面內(nèi)B.直線與平面平行C.直線與平面相交D.異面10.下列函數(shù)中，在其定義域上單調(diào)遞增的有（）A.\(y=2^{x}\)B.\(y=x^{3}\)C.\(y=\lnx\)D.\(y=\cosx\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.若\(a\gtb\)，則\(a^{2}\gtb^{2}\)。（）3.函數(shù)\(y=x^{2}\)是偶函數(shù)。（）4.等比數(shù)列的公比可以為\(0\)。（）5.直線\(Ax+By+C=0\)（\(A,B\)不同時為\(0\)）的斜率\(k=-\frac{A}{B}\)。（）6.圓\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)的圓心是\((0,0)\)，半徑是\(r\)。（）7.向量\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)平行，則\(\overrightarrow{a}=\lambda\overrightarrow\)（\(\lambda\inR\)）。（）8.\(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha+\sin\beta\)。（）9.雙曲線的離心率\(e\gt1\)。（）10.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在定義域上是減函數(shù)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=3\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)的最大值、最小值及周期。-答案：最大值為\(3\)，最小值為\(-3\)。周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{2}=\pi\)。2.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=2\)，\(d=3\)，求\(a_{5}\)。-答案：根據(jù)等差數(shù)列通項公式\(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)，\(n=5\)時，\(a_{5}=a_{1}+4d=2+4×3=14\)。3.求過點\((1,2)\)且斜率為\(3\)的直線方程。-答案：由點斜式\(y-y_{0}=k(x-x_{0})\)（\(x_{0}=1\)，\(y_{0}=2\)，\(k=3\)），可得\(y-2=3(x-1)\)，整理得\(y=3x-1\)。4.已知\(\cos\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})\)，求\(\sin\alpha\)。-答案：根據(jù)\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)，\(\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}\)，因為\(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})\)，\(\sin\alpha\gt0\)，所以\(\sin\alpha=\sqrt{1-(\frac{3}{5})^{2}}=\frac{4}{5}\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\log_{a}x\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）的單調(diào)性與\(a\)的關(guān)系。-答案：當(dāng)\(a\gt1\)時，函數(shù)\(y=\log_{a}x\)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增；當(dāng)\(0\lta\lt1\)時，函數(shù)\(y=\log_{a}x\)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞減。2.如何判斷直線與圓的位置關(guān)系？-答案：可通過比較圓心到直線的距離\(d\)與圓半徑\(r\)的大小判斷。\(d\gtr\)時，直線與圓相離；\(d=r\)時，直線與圓相切；\(d\ltr\)時，直線與圓相交。3.說說等比數(shù)列與等差數(shù)列在通項公式和性質(zhì)上的區(qū)別。-答案：通項公式上，等差數(shù)列\(zhòng)(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)，等比數(shù)列\(zhòng)(a_{n}=a_{1}q^{n-1}\)。性質(zhì)方面，等差數(shù)列有等差中項等，等比數(shù)列有等比中項等，兩者運算規(guī)則不同。4.舉例說明基本不等式在實際問題中的應(yīng)用。-答案：如用一定長度的材料圍矩形場地，求面積最大值問題。設(shè)長為\(x\)，寬為\(y\)，周長\(2(x+y)\)一定，由基本不等式\(\frac{x+y}{2}\geqslant\sqrt{xy}\)，可求出面積\(xy\)最大值。答案一、單