高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省秦皇島市山海關(guān)區(qū)2025屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，解得，所以，由，即，解得，所以，則.故選：C2.下列關(guān)于復(fù)數(shù)的說法，正確的是（）A.復(fù)數(shù)的任何偶數(shù)次冪都不小于零B.若實(shí)數(shù)，則是純虛數(shù)C.在復(fù)平面內(nèi)，虛軸上的點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)均為純虛數(shù)D.若復(fù)數(shù)滿足，則均為實(shí)數(shù)【答案】D【解析】對于A中，由虛數(shù)單位，可得A錯(cuò)誤；對于B中，若，那么，所以B錯(cuò)誤；對于C中，虛軸上的點(diǎn)對應(yīng)復(fù)數(shù)，所以C錯(cuò)誤；對于D中，若復(fù)數(shù)滿足，虛數(shù)不能比較大小，則均為實(shí)數(shù)，D正確.故選：D.3.已知向量與單位向量同向，且，則的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由點(diǎn)，可得，且，所以與向量同向的單位向量為.故選：B.4.若點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，可得：，且，解得：或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：B5.已知的內(nèi)角所對的邊分別為，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所?根據(jù)正弦定理可得，所以.因?yàn)?，所以根?jù)余弦定理，可得：，化簡可得，所以.因?yàn)闉榈倪?，，所?故選：D.6.如圖，在棱長為2的正方體中，、分別為、的中點(diǎn)，則過點(diǎn)、、的平面與側(cè)面的交線長為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)平面分別交棱、于點(diǎn)、，如下圖所示：因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面平面，所以，又因?yàn)?，由等角定理及圖形可知，則，即，故，故，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以，又因?yàn)?，由等角定理及圖形可得，所以，即，所以，所以，故.因此，平面與側(cè)面的交線長為.故選：A.7.在平面直角坐標(biāo)系中，“”是“為第四象限角”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】先證必要性，若是第四象限的角，則，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，“”是“為第四象限角”的必要條件，再證充分性，若，則可得不是第二，三象限的角且不是坐標(biāo)軸上的角，所以，若，則與題設(shè)矛盾，所以，所以為第四象限角，所以“”是“為第四象限角”的充要條件.故選：C.8.如圖，在四面體中，平面平面，側(cè)面是等邊三角形，底面是等腰直角三角形，，則四面體的外接球的體積是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)槭堑妊苯侨切?，，，則的外接圓半徑，因?yàn)閭?cè)面是等邊三角形，設(shè)其外接圓半徑為，由正弦定理可得，解得，設(shè)外接圓圓心為，外接圓的圓心為，因平面平面，過作平面的垂線，過作平面的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為四面體外接球的球心，設(shè)球心到平面的距離為，則等于的外接圓的圓心到的距離，在等邊三角形中，到的距離為，即，所以外接球的半徑，所以.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（100，102），則下列選項(xiàng)正確的是（）（參考數(shù)值：隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.6826），P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）＝0.9974）A.E（X）＝100 B.D（X）＝100C.P（X≥90）＝0.8413 D.P（X≤120）＝0.9987【答案】ABC【解析】∵隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（100，102），∴，∴，故A正確；，故B正確；根據(jù)題意可得，P（90＜X＜110）＝0.6826，P（80＜X＜120）＝0.9544，∴P（X≥90）＝，故C正確；P（X≤120）＝，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．10.已知函數(shù)且，則（）A.是周期函數(shù) B.的圖象是軸對稱圖形C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱 D.【答案】AB【解析】由于，所以是周期函數(shù)，故A正確；定義域?yàn)椋?，從而為偶函?shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，故B正確；由于，從而當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，的圖象不一定關(guān)于點(diǎn)對稱，故C不正確；當(dāng)時(shí)，，令，則此時(shí)，故D不正確.故選：AB11.已知函數(shù)，則（）A.的極小值是1B.恰有2個(gè)零點(diǎn)C.方程恰有1個(gè)實(shí)根D.對任意的，都有【答案】ACD【解析】，，令，可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值，故A正確；由在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，且，可知無零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；令，則，即，令，，令，則，令，可得，令，可得，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，，故，則，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以和兩條曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程恰有1個(gè)實(shí)根，故C正確；由，令，，當(dāng)時(shí)，，所以的圖象在上為凹的，所以對任意的，都有，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.安排4位顧客去三家餐館就餐，其中一位顧客由于飲食特殊性，只能安排在餐館，則不同的安排方案共有___________種．【答案】27【解析】由題意可知，其中一位顧客由于飲食特殊性，只能安排在餐館，則剩下3位顧客每人就餐餐館有3種安排方案，故不同的安排方案共有種.故答案為：.13.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，直線經(jīng)過點(diǎn)與的左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，若與的其中一條漸近線垂直，則的離心率的取值范圍為___________．【答案】【解析】由題意可得雙曲線的兩漸近線方程為，由對稱性不妨設(shè)直線與漸近線垂直時(shí)，由題意可得直線的斜率為，又直線與雙曲線的左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，則，所以，所以，所以，所以，即，解得，所以的離心率的取值范圍為.故答案為：.14.已知函數(shù)滿足對都有成立．當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為___________．【答案】【解析】因?yàn)閷Χ加?，所以是上的奇函?shù)，又時(shí)，，顯然在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則，即；由，可得，故得，則有或，即或x<0x2-3x-1>0，解得：所以不等式的解集為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.某村為提高村民收益，種植了一批蘋果樹，現(xiàn)為了更好地銷售，從該村的蘋果樹上隨機(jī)摘下100個(gè)蘋果，測得其質(zhì)量（單位：克）均分布在區(qū)間內(nèi)，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖：（1）按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從質(zhì)量落在區(qū)間的蘋果中隨機(jī)抽取5個(gè)，再從這5個(gè)蘋果中隨機(jī)抽取2個(gè)，求這2個(gè)蘋果質(zhì)量均小于200克的概率；（2）以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)值代表這組數(shù)據(jù)的平均水平，已知該村每畝蘋果樹上大約還有50000個(gè)蘋果待出售，某電商提出兩種收購方案：．所有蘋果均以4元/千克收購；．低于225克的蘋果以元/個(gè)的價(jià)格收購，高于或等于225克的蘋果以1元/個(gè)的價(jià)格收購．請你通過計(jì)算為該村選擇收益最好的方案．解：（1）由題圖可得蘋果質(zhì)量在區(qū)間和的比為，所以應(yīng)分別在質(zhì)量為的蘋果中抽取2個(gè)和3個(gè)，所以所求概率為．（2）由題中頻率分布直方圖可知，蘋果質(zhì)量在區(qū)間的頻率為，同理，蘋果質(zhì)量在區(qū)間的頻率依次為，若按方案收購：總收益為：（元）．若按方案收購：由題意知蘋果質(zhì)量低于225克的個(gè)數(shù)為，蘋果質(zhì)量高于或等于225克的個(gè)數(shù)為，所以總收益為（元）．因?yàn)椋苑桨傅氖找姹确桨傅氖找娓?，?yīng)該選擇方案B．16.如圖，四棱錐中，平面，底面為直角梯形，，點(diǎn)在棱上．（1）若為的中點(diǎn)，證明：；（2）若兩條異面直線所成角的余弦值為，求的值．（1）證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，所以，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（2）解：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則．設(shè)異面直線與所成角為，則，整理得，解得或（舍去），所以，所以.17.設(shè)函數(shù)．（1）求的圖象在處的切線方程；（2）記，若，試討論在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．解：（1），所以，又，所以的圖象在處的切線方程為．（2）由已知得，所以，令，則．當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，，所以存在，使得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．因?yàn)?，故函?shù)在上無零點(diǎn)，又因?yàn)?，由零點(diǎn)存在定理可得在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1．18.如圖，已知為半圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，直線分別與軸交于點(diǎn)，記的面積為，的面積為．（1）若的焦點(diǎn)為，且的最小值為，求的值；（2）若存在點(diǎn)，使得，求的取值范圍．解：（1）由題意可得，設(shè)，則且，，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有最小值，解得．（2）由，得，所以，設(shè)，所以，，所以，又，整理得，所以過點(diǎn)的切線方程為，于是，同理得過點(diǎn)的切線方程為，所以．因?yàn)辄c(diǎn)在兩條切線上，所以，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，的方程為，于是．，所以，所以．于是點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡方程為，根據(jù)題意拋物線與半圓有交點(diǎn)，記，則，又因?yàn)?，解得，即的取值范圍為?9.對于無窮數(shù)列，若存在常數(shù)，使得對任意的正整數(shù)，恒有成立，則稱數(shù)列是從第項(xiàng)起的周期為的周期數(shù)列．當(dāng)時(shí)，稱數(shù)列為純周期數(shù)列；當(dāng)時(shí)，稱數(shù)列為混周期數(shù)列．（1）已知數(shù)列滿足：，判斷是否是純周期數(shù)列，并求；（2）記為不超過的最大整數(shù)，設(shè)各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列滿足①若，證明：數(shù)列是純周期數(shù)列；②證明：不論為何值，總存在，使得．（1）解：寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)：1，3，2，，，，1，3，2，，，，1…，數(shù)列是周期為6的純周期數(shù)列，．（2）證明：①時(shí)，，此時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列，為純周期數(shù)列；時(shí)，，此時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列，為純周期數(shù)列；時(shí)，，此時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列，為純周期數(shù)列；根據(jù)上述計(jì)算得出猜想：當(dāng)時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列也是純周期數(shù)列．下面進(jìn)行驗(yàn)證：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)數(shù)列為常數(shù)列，也是純周期數(shù)列．②首先，根據(jù)①的分析，發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列，也是純周期數(shù)列，滿足題意；接下來證明，當(dāng)時(shí)，也存在，使得，因?yàn)椋灾恍枰C明數(shù)列中始終存在值為1的項(xiàng)即可．當(dāng)時(shí)，顯然存在值為1的項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，有或，若為偶數(shù)，則，若為奇數(shù)時(shí)，則，，所以，即無論為奇數(shù)還是偶數(shù)，均有；特別的，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，且，類似的，可得無論為奇數(shù)還是偶數(shù)