高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省唐山市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故選：A.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題知，，所以.故選：B.3.設(shè)命題，，則為（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】命題，的否定：，.故選：C.4.設(shè)函數(shù)，則的零點所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為和為增函數(shù)，所以也為增函數(shù)，因為，，所以根據(jù)零點存在性定理可知的零點一定位于區(qū)間內(nèi).故選：C.5.已知冪函數(shù)的圖象過點，則下列關(guān)于的說法正確的是（）A.是奇函數(shù) B.是偶函數(shù)C.的定義域為 D.在上單調(diào)遞增【答案】D【解析】因為函數(shù)為冪函數(shù)，設(shè)，則，解得，所以，所以，函數(shù)的定義域為，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，且該函數(shù)在上單調(diào)遞增，ABC都錯，D對.故選：D.6.若不等式的解集為，則不等式的解集為（）A. B.或C. D.或【答案】D【解析】由題意，方程有兩根為和4，故由韋達(dá)定理，，解得，則不等式即，解得或.故選：D.7.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，，，，所以.故選：C.8.已知，若，，則是的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由得，解得，則，由得，則，所以若成立，則成立，但成立，但不一定成立，則是的充分不必要條件.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，則關(guān)于的說法正確的有（）A.最小正周期為B.圖象關(guān)于直線對稱C.圖象關(guān)于點對稱D.向左平移個單位長度得到的圖象【答案】AC【解析】由可知周期為，故A正確；函數(shù)的對稱軸：由，可得，故B錯誤；函數(shù)的對稱中心：由，得，當(dāng)時，，故對稱中心為，故C正確；函數(shù)向左平移個單位長度得，故D錯誤.故選：AC.10.下列命題為真命題的有（）A.若，則 B.若，則C.的最小值為2 D.的最大值為5【答案】AD【解析】對于選項A：因為，則，可得，故A正確；對于選項B：例如，則，故B錯誤；對于選項C：例如，則，可知2不為的最小值，故C錯誤；對于選項D：因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，可得，所以的最大值為5，故D正確.故選：AD.11.已知函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的有（）A.在上單調(diào)遞增 B.為奇函數(shù)C. D.【答案】ABD【解析】對于A，由，因與在上均為增函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，即A正確；對于B，不妨記，函數(shù)定義域為，且，即為奇函數(shù)，故B正確；對于C，因，而，故，即C錯誤；對于D，因，，故，即D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的定義域是______.【答案】【解析】由題知且，所以且，即函數(shù)定義域是.13.已知，且為第二象限角，則______.【答案】【解析】，且為第二象限角，，，，，，，，.14.已知函數(shù)，則______；若關(guān)于的方程有4個不等的實數(shù)根，則的取值范圍是______．【答案】【解析】依題意，，；令，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則或，當(dāng)或時，方程有兩個相等的根，當(dāng)或時，方程有兩個同號且不相等的實根，方程化為，而，當(dāng)時，在上遞減；當(dāng)時，在上遞減，因此由方程有4個不等的實數(shù)根，得方程在上各有一個實根，則函數(shù)在的圖象與直線有兩個交點，如圖：觀察圖象知，當(dāng)時，直線與在的圖象有兩個交點，所以的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.求下列各式的值：（1）；（2）.解：（1）.（2）.16.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若，求的值域.解：（1），令，，解得，.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，.（2）因為，所以，當(dāng)時，即時，取得最大值，最大值為；當(dāng)時，即時，取得最小值，最小值為.所以的值域為.17.已知函數(shù)且.（1）求的定義域；（2）判斷的奇偶性，并說明理由；（3）若，求滿足的的取值集合.解：（1）對于函數(shù)且，由，解得，故函數(shù)的定義域為.（2）函數(shù)為偶函數(shù).理由如下：函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，又，故函數(shù)為偶函數(shù).（3）依題意，若，則，解得.設(shè)，，因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.又在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.因為，所以，解得，所以的取值集合為.18.已知函數(shù).（1）若，求的值；（2）若，求在區(qū)間上的最小值；（3）設(shè)函數(shù)，若對任意的，總存在，使得，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）由，得，即：，解得.（2）當(dāng)時，，令，因為，所以，所以，當(dāng)時，取最小值，所以在區(qū)間上的最小值為.（3）若對任意的，總存在，使得，可得：.又因為，所以對任意的，，則對任意的恒成立，即，即，令，.因為在區(qū)間上為增函數(shù)，所以，所以實數(shù)的取值范圍是.19.某公園計劃在一個扇形草坪內(nèi)建設(shè)矩形花園，為了充分利用這塊草坪，要求該矩形的四個頂點都落在邊界上.經(jīng)過測量，在扇形中，，，記，共設(shè)計了兩個方案：方案一:如圖1，點在半徑上，點在半徑上，是扇形弧上的動點，此時矩形的面積記為；方案二:如圖2，點分別在半徑和上，點，在扇形弧上，，記此時矩形的面積為.（1）分別用表示兩個方案中矩形的面積，；（2）分別求出，的最大值，并比較二者最大值的大小.解：（1）如圖1，在中，，，