高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省安陽(yáng)市林州市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知向量與共線，則實(shí)數(shù)（）A.-9 B.-3 C.3 D.1【答案】A【解析】因?yàn)橄蛄颗c共線，所以，解得.故選：A.2.某科技公司隨著技術(shù)的進(jìn)步和管理的逐漸規(guī)范，生產(chǎn)成本逐年降低，該公司對(duì)2011年至2023年的生產(chǎn)成本（萬(wàn)元）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)作出如下散點(diǎn)圖：由此散點(diǎn)圖，判斷下列四個(gè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型中最適合作為2011年至2023年該公司的生產(chǎn)成本與時(shí)間變量的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根據(jù)圖中散點(diǎn)圖可知，散點(diǎn)大致分布在一條“對(duì)數(shù)型”函數(shù)曲線的周圍，而對(duì)于A選項(xiàng)是“拋物線型”的擬合函數(shù)，且是增加的；B選項(xiàng)是“直線型”的擬合函數(shù)，且是增加的；D選項(xiàng)是“冪函數(shù)型”的擬合函數(shù)，且是增加的，只有C選項(xiàng)的擬合函數(shù)符合題意.故選：C3.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則的公差（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】因?yàn)?所以,所以.故選：C.4.已知雙曲線的頂點(diǎn)為橢圓的焦點(diǎn)，的離心率與的離心率之積為1，則的方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意知，對(duì)于橢圓，焦點(diǎn)為和，離心率為.設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，又雙曲線的離心率與橢圓的離心率之積為1，所以雙曲線的離心率為，即，又，所以，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B5.已知為第三象限角，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)闉榈谌笙藿?，所以，，則.故選：D6.已知是虛數(shù)單位，集合，則中的元素個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.0 D.無(wú)數(shù)個(gè)【答案】B【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得,圓心圓心又因?yàn)?,兩圓相交有兩個(gè)交點(diǎn)，則中的元素個(gè)數(shù)為2.故選：B.7.已知函數(shù)在處取得極小值1，則在區(qū)間上的最大值為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】，因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極小值1，所以，解得，可得，且，解得，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，，，，則在區(qū)間上的最大值為6.故選：C.8.在三棱錐中，，則與平面所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】中，，由余弦定理，有，為中點(diǎn)，連接，由，有，，平面，則有平面，平面，所以平面平面，平面平面，作，垂足為，平面，得平面，則與平面所成角為，，，則有，得，則.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某籃球隊(duì)員進(jìn)行投籃練習(xí)，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)可知，該隊(duì)員每次投籃的命中率均為，若該隊(duì)員投籃4次，投進(jìn)球的個(gè)數(shù)記為，且，則（）A. B.C. D.至少進(jìn)1個(gè)球的概率為0.9919【答案】ABD【解析】由題意知，，則，解得，所以，，所以至少進(jìn)1個(gè)球的概率為.故選：ABD10.已知的展開式的第2項(xiàng)與第3項(xiàng)系數(shù)的和為，則（）A. B.展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和為C.展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和為32 D.展開式的常數(shù)項(xiàng)為【答案】AD【解析】展開式的通項(xiàng)為，且，展開式的第2項(xiàng)與第3項(xiàng)系數(shù)的和為，則有，由解得，A選項(xiàng)正確；令，展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；令，得，則的展開式的常數(shù)項(xiàng)為，D選項(xiàng)正確.故選：AD.11.已知關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的可能取值為（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】①當(dāng)時(shí)，恒成立，則，②當(dāng)時(shí)，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以,所以；③當(dāng)時(shí)，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則______．【答案】【解析】函數(shù)，因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以，對(duì)恒成立，即，對(duì)恒成立，即，對(duì)恒成立，則，解得，故答案為：-113.某職業(yè)技術(shù)學(xué)校組織6名學(xué)生到3家工廠實(shí)習(xí)，每家工廠至少去1人，至多去3人，且每名學(xué)生只能去1家工廠，則不同的分配方法共有______種．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】由題意，人分成組有和兩種分法，當(dāng)按分組時(shí)，則不同的分配方法有種，當(dāng)按分組時(shí)，則不同的分配方法有種，綜上，不同的分配方法共有種.故答案為：.14.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且為銳角三角形，，則面積的取值范圍為______．【答案】【解析】由，，則，即，又，又，所以.由正弦定理得，所以，又，，，所以，則，得，所以，所以.即的面積的取值范圍為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.在數(shù)列中，已知．（1）證明：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）由題意知，，兩邊同除以，得，，，則，根據(jù)等比數(shù)列的定義知，是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，，；（2）由（1）知，，，①，②①②，得，．16.某公司生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，在該公司的倉(cāng)庫(kù)中有甲產(chǎn)品7萬(wàn)件、乙產(chǎn)品3萬(wàn)件，按甲、乙產(chǎn)品的數(shù)量比例，用分層隨機(jī)抽樣的方法從這10萬(wàn)件產(chǎn)品中抽取一個(gè)容量為10的樣本，對(duì)樣本中的每件產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，測(cè)得樣本中甲產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為，乙產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為．（1）若從樣本中再隨機(jī)抽取3件進(jìn)行深度測(cè)試，求至少抽到2件乙產(chǎn)品的概率；（2）若從樣本中的甲產(chǎn)品和乙產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取2件，將抽到的這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：（1）由分層隨機(jī)抽樣方法知，抽取的容量為10的樣本中，甲產(chǎn)品有件，乙產(chǎn)品有件，從這個(gè)容量為10的樣本中再隨機(jī)抽取3件，不同抽取方法的種數(shù)為，其中至少抽到2件乙產(chǎn)品的不同抽取方法種數(shù)為，至少抽到2件乙產(chǎn)品的概率為．（2）由題意知在這個(gè)容量為10的樣本中，甲產(chǎn)品中有件優(yōu)質(zhì)品，有件不是優(yōu)質(zhì)品，乙產(chǎn)品中有件優(yōu)質(zhì)品，有件不是優(yōu)質(zhì)品，則的所有可能取值為1，2，3，4．，，，，的分布列為1234．17.如圖，在三棱柱中，平面平面，，分別為棱的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.解：（1）如圖，連接，設(shè)，連接，因?yàn)榉謩e是棱的中點(diǎn)，所以且，所以四邊形為平行四邊形，則為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，平面平面，所以平面，得到，以為坐?biāo)原點(diǎn)，向量的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，由，得到，所以，易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，由，得到，令，得，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.已知是拋物線的焦點(diǎn)，縱坐標(biāo)為的點(diǎn)在上，且，是上兩點(diǎn)，直線不與軸垂直，且直線關(guān)于軸對(duì)稱．（1）求的方程；（2）求證：直線過(guò)定點(diǎn)；（3）求的取值范圍．解：（1）由題知，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，根據(jù)拋物線定義知，，解得或4（舍去），的方程為．（2）由（1）知．設(shè)，，直線的方程為，代入，整理得，則，，．直線，關(guān)于軸對(duì)稱，，，，，直線過(guò)定點(diǎn)．（3）由（Ⅱ）知，，，，，又在時(shí)單調(diào)遞增，，的取值范圍為．19.已知函數(shù)．（1）若，討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．解：（1）由已知，得的定義域?yàn)椋?，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；若，則，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．（2）由題知，，恰有2個(gè)零點(diǎn)，方程恰有2個(gè)正實(shí)數(shù)解，即方程恰有2個(gè)正實(shí)數(shù)解，即方程恰有2個(gè)正實(shí)數(shù)解．設(shè)，即方程恰有2個(gè)正實(shí)數(shù)解，顯然在上單調(diào)遞增，，即方程恰有