高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省洛陽市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題.1.（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】.故選：C.2.已知集合，集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，解得，令，解得，即，故D正確.故選：D.3.已知，若，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對于函數(shù)，，，，又在定義域上單調(diào)遞增，且，所以，所以，即.故選：B.4.要得到函數(shù)的圖象，需將的圖象（）A.向左平移個單位長度 B.向左平移個單位長度C.向右平移個單位長度 D.向右平移個單位長度【答案】A【解析】A選項(xiàng)，把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向左平行移動個單位長度得到，A正確；B選項(xiàng)，把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向左平行移動個單位長度得到，B錯誤；C選項(xiàng)，把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動個單位長度得到，C錯誤；D選項(xiàng)，把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動個單位長度得到，D錯誤.故選：A.5.已知均為實(shí)數(shù)，且，下列命題正確的是（）A.是的充分條件 B.是的必要條件C.是充分條件 D.是的必要條件【答案】D【解析】對于A，令，滿足，不滿足，則不是的充分條件，故A錯誤，對于B，令，滿足，不滿足，則不是的必要條件，故B錯誤，對于C，令，滿足，不滿足，則不是的充分條件，故C錯誤，對于D，若，由不等式性質(zhì)得，則是必要條件，故D正確.故選：D.6.在計(jì)算機(jī)的算法分析中，常用時間復(fù)雜度來衡量一個算法的優(yōu)劣，算法的時間復(fù)雜度是指算法完成一次運(yùn)行所需要的運(yùn)算次數(shù)，若用(單位∶次)表示算法的時間復(fù)雜度，它是算法求解問題數(shù)據(jù)規(guī)模n的函數(shù).已知某算法的時間復(fù)雜度()，一臺計(jì)算機(jī)每秒可以進(jìn)行1.3億次運(yùn)算，則要保證該算法能在此計(jì)算機(jī)上1秒內(nèi)完成一次運(yùn)行，則n的最大值為（）A.40 B.50 C.60 D.70【答案】B【解析】由題意知：，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴滿足1秒內(nèi)完成一次運(yùn)行，n的最大值為50.故選：B.7.設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則的最小正周期為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】記函數(shù)的最小正周期為，則，可得．又，且，又，所以函數(shù)的一個對稱中心為，函數(shù)的一條對稱軸為，又，，解得．故選：C.8.已知函數(shù)，當(dāng)時，，則a的最小值為（）A.0 B.1 C.e D.【答案】D【解析】當(dāng)時，，在上遞增，且；當(dāng)時，在上遞增，且，所以在R上遞增，令，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以恒成立，因?yàn)?，即，即，所以，即，令?則在上遞增，所以，則，即，所以a的最小值為.故選：D.二、多選題.9.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，其零點(diǎn)分別為，若，則關(guān)于x的方程的解所在的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，故其零點(diǎn)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，所以，則關(guān)于x的方程為.分別畫出和的圖象，如圖：則由圖象可知兩函數(shù)有兩個交點(diǎn)，令，則有兩個零點(diǎn)，因?yàn)?，，，，，，，所以關(guān)于x的方程的解所在的區(qū)間是，2,3.故選：AD.10.已知函數(shù)的最小值為1，則下列說法正確的是（）A.的最小正周期為B.圖象的一條對稱軸為直線C.圖象的一個對稱中心為點(diǎn)D.在上單調(diào)遞增【答案】ABD【解析】，因?yàn)榈淖钚≈禐?，故，故，所以，所以的最小正周期為，故A正確；，而為函數(shù)的最小值，故圖象的一條對稱軸為直線，故B正確；而函數(shù)圖象的對稱中心的縱坐標(biāo)為，故不是函數(shù)圖象的對稱中心，故C錯誤；當(dāng)，，而在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)滿足：①；②若，則．則下列結(jié)論正確的有（）A. B.C.若，則 D.若，則【答案】ABC【解析】對于A，令，而，代入得，解得或，當(dāng)時，令，得到，解得，此時也有，與若，則矛盾，故排除，綜上，，故A正確，對于B，令，結(jié)合，得到，化簡得，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，故，解得或，而，故不成立，綜上，成立，故B正確，對于C，若，令，得到，故，則，故C正確，對于D，令，滿足，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，滿足當(dāng)時，，而，，故滿足，得到，故D錯誤.故選：ABC.三、填空題.12.已知集合，若，則實(shí)數(shù)a的最小值是______．【答案】2【解析】，又，且，所以，所以實(shí)數(shù)a的最小值是2.13.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為________．【答案】（開區(qū)間也給分）【解析】令，解得，令，則，由于，故，故單調(diào)遞增區(qū)間為：.14.已知，且（表示x，y中較小者），則h的最大值為______．【答案】【解析】∵，∴，∴，當(dāng)時，，時，，時，，∴，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴時，，∴，又當(dāng)，，即，∴的最大值是．四、解答題.15.設(shè)函數(shù)是增函數(shù)，，若p和q均正確，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：由p正確可得，∴或.由，得，又在上遞減，∴的最大值為.由q正確，得，∴，由p，q均正確知，∴或，∴a的取值范圍為.16.（1）求值：.（2）在銳角三角形ABC中，，求的值.解：（1）.（2）由已知A，B，C均為銳角，由，得，∴，∴，又，∴.又，故，，故，∴，從而.17.已知.（1）將化成最簡形式；（2）求滿足的x的集合．解：（1）∵，∴.（2）結(jié)合（1）知，即為，∴，∴，∴，∴，故x取值的集合為．18.已知，函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時，．（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）設(shè)，當(dāng)時，求函數(shù)的值域．解：（1）由得，即，∴，即，依題意知，該不等式組的解集為．∴方程的兩根為0，1．，解得．經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時，符合題意，故.（2），令，因，則且，故，因函數(shù)在上遞減，在上遞增，又，，則，故，故，∴函數(shù)hx的值域?yàn)椋?9.果蔬清洗劑主要由表面活性劑，乳化劑、香精和色素等成分組成，使用果蔬清洗劑可以去除果蔬表面的部分農(nóng)藥殘留．但由于其本身也是一種化學(xué)物質(zhì)，使用后可能會造成二次污染，因此部分人群仍習(xí)慣于僅用清水清洗果蔬．已知用1個單位量的清水可清除果蔬上殘留農(nóng)藥量的，用水越多，清洗掉的農(nóng)藥量也越多，但總還有農(nóng)藥殘留在果蔬上．設(shè)用x單位量的清水清洗一次后，果蔬上殘留的農(nóng)藥量與本次清洗前殘留的農(nóng)藥量之比為函數(shù)．（1）試根據(jù)問題的實(shí)際含義，確定的值，并在此基礎(chǔ)上，求出a，b的值；（2）現(xiàn)用單位量的清水，既可以清洗一次，也可以把水平均分成2份，先后清洗兩次．哪種方案清洗后果蔬上殘留的農(nóng)藥量比較少?請說明理由．解：（1）根據(jù)問題的實(shí)際意義，可知，將代入，得，解得．（2）由（1）知，設(shè)果蔬未被清洗時，農(nóng)藥殘留量為單位1，若用單位量的水清洗一次，則農(nóng)藥殘留量為，若將單位量的水平均分成2份，先后清洗2次，則農(nóng)藥殘留量為，而，①當(dāng)，即時，，將水均分成2份，清洗兩次，農(nóng)藥殘留量比較少．②當(dāng)，即時，，兩種方式下，農(nóng)