高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省豫西北教研聯(lián)盟（平許濟洛）2025屆高三下學(xué)期第三次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.集合，，則（）．A. B. C. D.M【答案】A【解析】由題設(shè)，則.故選：A2.已知非零向量，滿足，若，則與的夾角為（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，且，所以，所以，所以，又，所以.故選：B3.若復(fù)數(shù)z滿足，則的取值范圍為（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】由，即對應(yīng)點在以復(fù)平面的原點為圓心，1為半徑的圓上，由表示上述圓上點到點的距離，結(jié)合圓的性質(zhì)，易知.故選：D4.已知圓錐的母線長為，側(cè)面展開圖的面積為，則該圓錐的外接球的表面積為（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】若圓錐底面半徑為，則，可得，故圓錐的高，若圓錐外接球的半徑為，則球心到圓錐底面距離，所以，即，可得，故外接球的表面積為.故選：A5.設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，，上頂點為A，直線交C于另一點B，的內(nèi)切圓與相切于點P，若|，則橢圓C的離心率為（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意，如下示意圖，是內(nèi)切圓與的切點，因為左、右焦點分別為，，上頂點為A，（橢圓參數(shù)關(guān)系），由，結(jié)合對稱性、圓的切線性質(zhì)，令，且，所以，所以，可得，故，故選：C6.將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得到函?shù)的圖象，若在上只有一個極大值點，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得到函?shù)的圖象，則，當(dāng)時，，因為在上只有一個極大值點，則，解得，因為，故正整數(shù)最大值為.故選：D.7.函數(shù)滿足：，，且，則（）．A4900 B.4950 C.5000 D.5050【答案】B【解析】令，則，可得，令，則，可得，令，則，可得，令，，則，可得，當(dāng)時，則，顯然也滿足上式，所以，故.故選：B8.若，都有，則a的取值范圍為（）．A B. C. D.【答案】D【解析】由題設(shè)，，即，令且，則，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)，此時，則，不合題設(shè)，故，所以，而在上單調(diào)遞增，則，問題化為，在上恒成立，令且，則，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，所以，故.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.函數(shù)，且為奇函數(shù)，下列說法正確的有（）．A.，B.當(dāng)時，C.直線是曲線的一條切線D.若在區(qū)間上存在兩個極值點，則【答案】ACD【解析】由題設(shè)，即，所以，即恒成立，所以，，A對；故，所以，或時，，即在上單調(diào)遞增，時，，即在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，此時，故，B錯；由上分析，極大值，極小值，顯然是曲線的一條切線，C對；若在區(qū)間上存在兩個極值點，則，故，D對.故選：ACD10.已知正方形的邊長為2，取正方形各邊的中點E，F(xiàn)，G，H，作第2個正方形，然后再取正方形各邊的中點I，J，K，L，作第3個正方形，依此方法一直繼續(xù)下去．若把正方形的面積記為數(shù)列的首項，后繼各正方形的面積依次為，，…，，…，則下列結(jié)論正確的為（）．A.B.前10個正方形的面積之和為C.數(shù)列的前100項之和為D.若這個作圖過程可以一直繼續(xù)下去，則所有這些正方形的面積之和將趨近于8【答案】BD【解析】由題設(shè)，第個正方形的邊長為，則對角線長為，如下圖示，所以，即，又，即是首項為4，公比為的等比數(shù)列，故，所以，A錯；前10項和，B對；由，則其前100項之和，C錯；由項和恒成立，D對.故選：BD11.已知曲線C過坐標(biāo)原點O，且C上的點P到兩個定點，的距離之積為4，則下列結(jié)論正確的是（）．A. B.的面積的最大值為2C.的最大值為4 D.的周長的取值范圍為【答案】ABD【解析】令，則且，由于曲線過原點，則，A對；所以，僅當(dāng)時取等號，所以，且均在曲線上，則曲線關(guān)于軸及原點對稱，根據(jù)對稱性，只需分析從的變化過程，此時從，又，僅當(dāng)取等號，所以的面積的最大值為2，B對；由，整理得，所以，則，C錯；由，而，根據(jù)對稱性，只需分析從的變化過程，對于在上單調(diào)遞增，即，所以，此時在上單調(diào)遞增，所以，D對.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若直線與拋物線相交于A，B兩點，則__________．【答案】【解析】聯(lián)立直線與拋物線得，可得，解得或，不妨令，，則，，所以.故答案為：13.已知函數(shù)，若存在實數(shù)b，使函數(shù)恰有三個零點，則a取值范圍為__________．【答案】【解析】由在上單調(diào)遞增，且值域為，對于，當(dāng)，則，而，此時最多有兩個零點；當(dāng)時，則，此時的大致圖象如下，由在上單調(diào)遞增，且，結(jié)合上圖，當(dāng)，即時，，恰有三個零點，當(dāng)，即時，，恰有三個零點；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，此時函數(shù)最多有兩個零點，不符題意；綜上，.故答案為：14.甲、乙、丙、丁四人玩踢毽子游戲，第一次由甲踢出，每次踢出時，踢出者都等可能地將毽子踢給另外三個人中的任何一人．若第二次踢出后恰好踢給乙，則此毽子是由丙踢出的概率為__________，第次踢出后，毽子恰好踢給乙的概率為__________．【答案】①.②.【解析】由已知條件可知，前兩次踢出的毽子被接到的情況有（乙，甲），（乙，丙），（乙，?。?，（丙，甲），（丙，乙），（丙，?。?，（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙），共種，設(shè)事件：第二次踢出后恰好踢給乙，事件：第二次的毽子由丙踢出，乙接到，則事件包含：（丙，乙），（丁，乙）兩種情況；事件包含（丙，乙）一種情況，則，，則；設(shè)第次踢出后，毽子恰好踢給乙的概率為，易知若第次踢出后，毽子恰好踢給乙，則第次踢出后，毽子恰好不踢給乙，再由其踢給乙，則，且，則，則數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則，即.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．（1）求證：；（2）若，，求的面積．（1）證明：因為，由題和正弦定理得，所以，所以，由正弦定理得；（2）解：由余弦定理且可知，，因為，所以，所以，，可知，所以，所以，所以，所以的面積.16.為豐富學(xué)生的課余生活，某地舉辦了2025年數(shù)學(xué)文化知識挑戰(zhàn)賽，舉辦方從中隨機抽取了100名學(xué)生的成績，并進(jìn)行統(tǒng)計整理，現(xiàn)將成績（滿分100分）劃分為四個分?jǐn)?shù)段：，，，．已知，各分?jǐn)?shù)段人數(shù)的頻數(shù)統(tǒng)計如下表：分?jǐn)?shù)段頻數(shù)1030mn（1）求m，n的值；（2）按成績進(jìn)行分層，采用分層隨機抽樣的方法從這100人中抽取10人，再從這10人中隨機抽取4人，設(shè)抽到的4人中成績在內(nèi)的人數(shù)為X，求X的分布列與期望；（3）由以往比賽成績的數(shù)據(jù)分析可知，學(xué)生成績．已知今年該地共有20000名學(xué)生參加比賽，估計成績在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)．參考數(shù)據(jù)：若，則，，．解：（1）已知抽取的學(xué)生總數(shù)為100名，即各分?jǐn)?shù)段頻數(shù)之和為100，可得到方程，化簡得.又因為，將其代入，可得，即，解得.把代入，可得.（2）計算分層抽樣后成績在內(nèi)的人數(shù)：成績在內(nèi)的頻數(shù)為人.從100人中抽取10人，根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)，抽取的10人中成績在內(nèi)的人數(shù)為人，那么成績不在內(nèi)的人數(shù)為人.表示抽到的人中成績在內(nèi)的人數(shù)，所以的可能取值為，，，，.計算取各個值的概率：.....列出的分布列：可得.（3）已知，則，.，.今年該地共20000名學(xué)生參加比賽，所以成績在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)約為人.17.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，E為的中點，點F在線段上，且．（1）求證：平面；（2）求平面和平面的夾角的余弦值；（3）設(shè)點G在線段上，且，判斷直線是否在平面內(nèi)？請說明理由．（1）證明：因為平面，平面，則，又，都在平面內(nèi)，所以平面；（2）解：在平面內(nèi)過點作的垂線交于點，平面，平面，則，構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，則，因為為的中點，所以，故，所以，，設(shè)平面的一個法向量為，則，取則，平面的一個法向量為，則，所以平面和平面的夾角的余弦值；（3）解：直線在平面內(nèi)，理由如下：因為點在上，且，，所以，，由（2）知平面的一個法向量為，所以，所以直線在平面內(nèi).18.在平面直角坐標(biāo)系中，點P是圓上任意一點，點的坐標(biāo)為，線段的垂直平分線與直線相交于點Q，記動點Q的軌跡為曲線C．（1）求C方程；（2）已知點，若垂直于x軸的直線與C相交于A，B兩點，設(shè)直線和C的另外一個交點為D．（?。┣笞C：直線過定點E；（ⅱ）過點E作直線l交C于M，N兩點（M，N在y軸右側(cè)），求的面積的最小值．解：（1）由在線段的垂直平分線上，則，點是圓上任意點，則，，所以，所以的軌跡是以為焦點，實軸長為4的雙曲線，對應(yīng)雙曲線參數(shù)為，則軌跡方程為；（2）（i）設(shè)，則，直線，聯(lián)立雙曲線，得，，且，，由，則，整理得，又，，所以，顯然直線過定點，得證；（ii）由直線過點，與雙曲線右支交于，故斜率必不為0，所以，可設(shè)，，聯(lián)立雙曲線，整理得，，則，則，，，令，則，又在上單調(diào)遞減，則，此時，即，所以最小.19.若存在正實數(shù)a，對任意，使得，則稱函數(shù)在D上是一個“函數(shù)”．（1）已知函數(shù)在區(qū)間上是一個“函數(shù)”，求a；（2）當(dāng)時，．證明：函數(shù)在區(qū)間上是一個“函數(shù)”；（3）證明：．（1）解：由在區(qū)間上是一個“函數(shù)”，所以任意，恒