高級中學名校試卷PAGEPAGE1黑龍江省龍東聯(lián)盟2024-2025學年高一上學期期中考試數(shù)學試題考生注意：1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：必修第一冊第一章至第四章4.3對數(shù).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意，，所以.故選：D2.函數(shù)的定義域為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題知，解得，所以定義域為.故選：A.3.若，，則的值是（）A.3 B. C.2 D.【答案】C【解析】由，得，又，所以.故選：C4.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題知函數(shù)的定義域為，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，排除C，D，令，得，排除A，故B正確.故選：B5.若不等式對一切實數(shù)都成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】當時，對有，不滿足條件；當時，對任意均有，滿足條件；當時，對有，不滿足條件.所以的取值范圍是.故選：C.6.若“，”為真命題，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】若“，”為真命題，則，又函數(shù)的圖像開口向上，對稱軸為，所以時，，所以.故選：B7.已知函數(shù)（且）在上單調遞減，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題知，，解得.故選：A.8.已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，對任意，都有成立，則（）A.4 B.2 C. D.0【答案】D【解析】因為函數(shù)是上的奇函數(shù)，所以.又對任意，都有成立，令，得，即，所以，則，所以，則，故，所以.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，則下列不等式中，一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】因為，所以，所以，A正確；因為，所以，，所以，即，B正確；取，，此時，C錯誤；取，，，此時，，，D錯誤.故選：AB10.已知函數(shù)，則（）A.為偶函數(shù) B.在上單調遞減C.在上單調遞增 D.的最小值為9【答案】ACD【解析】對于A，由題知，的定義域為，且，所以為偶函數(shù)，故A正確；對于B，C，D，令，則當時，，當且僅當時取最小值2，易證當時，為增函數(shù)，當時，為減函數(shù)，又函數(shù)為增函數(shù)，由復合函數(shù)的單調性可知，當時，在上單調遞增，在上單調遞減，最小值為，又函數(shù)為偶函數(shù)，所以在上單調遞增，最小值為9，故B錯誤，C，D正確，故選：ACD.11.已知函數(shù)的定義域為，，且當時，，則（）A.B.當時，C.若對任意的，都有，則實數(shù)的取值范圍是D.若，則有8個互不相等的實數(shù)根【答案】AC【解析】函數(shù)的定義域為，滿足，即，所以，故A正確；當時，，則，故B錯誤；將函數(shù)在上的圖象每次向右平移2個單位長度，再將縱坐標伸長為原來的2倍即可得函數(shù)在，，……上的圖象，同理將函數(shù)在上的圖象每次向左平移2個單位長度，再將縱坐標縮短為原來的倍即可得函數(shù)在，……上的圖象，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，因為當時，，所以當，，則，則，令，即，解得，，又因為對任意的，都有，結合圖象可得，C正確；因為，易知在，上單調遞減，作出函數(shù)和的圖象，由此可得兩函數(shù)有7個交點，所以有7個互不相等的實數(shù)根，故D錯誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.命題“”的否定是____________.【答案】【解析】因為全稱命題的否定為特稱命題，故命題“”的否定為：“”.故答案為：.13.已知函數(shù)（且）的圖像過定點，正實數(shù)，滿足，則的最小值為______.【答案】12【解析】函數(shù)的圖像過定點，所以，，即，所以，當且僅當，時等號成立.故答案為：1214.已知函數(shù)，若時，方程的解分別為，，方程的解分別為，（），則的最小值為____________.【答案】【解析】由，得或，所以，，所以.由，或，所以，，所以，所以.令，易知在上單調遞增；所以當時，所以，即的最小值為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)為冪函數(shù)，且在上單調遞增.（1）求的值；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）因為為冪函數(shù)，且在上單調遞增，所以解得.（2）由（1）知函數(shù)，為奇函數(shù)且在上單調遞增，由，得，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.16.已知集合或，.（1）當時，求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）當時，或，所以或.（2）由“”是“”的充分不必要條件可得是的真子集，令，解得或，當時，，所以集合或，因為是的真子集，所以等號不同時取得，解得，所以；當時，集合，滿足是的真子集；當時，，所以集合或，因為是真子集，所以，等號不同時取得，解得，所以，綜上，實數(shù)的取值范圍為.17.已知函數(shù).（1）證明：函數(shù)在區(qū)間上單調遞增；（2）設，若對任意的，，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.（1）證明：設，則，因為，所以，，，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，（2）解由（1）知，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，所以當時，，則問題轉化為，當時，恒成立又函數(shù)在上單調遞減，所以，所以，解得，故實數(shù)的取值范圍為18.某企業(yè)投資生產一批新型機器，其中年固定成本為200萬元，每生產臺，需另投入生產成本萬元，且，當生產5臺時需另投入生產成本75萬元.若每臺設備售價70萬元，通過市場分析，該企業(yè)生產的這批機器能全部銷售完.（1）求的值；（2）求該企業(yè)投資生產這批新型機器的年利潤（萬元）關于年產量（臺）的函數(shù)關系式（利潤銷售額成本）；（3）這批新型機器年產量為多少臺時，該企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤.解：（1）將，代入，得，解得.（2）由題意得，，.當時，由（1）知，，則；當時，.則，所以年利潤（萬元）關于年產量（臺）的函數(shù)關系式為：.（3）由（2）得當時，，所以當時，；當時，，，當且僅當，即時等號成立，所以當時，.又，故時，利潤最大，最大利潤是500萬元.綜上所述，年產量為22臺時，該企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤是500萬元.19.若函數(shù)在區(qū)間上的最大值記為，最小值記為，且滿足，則稱函數(shù)是在區(qū)間上的“美好函數(shù)”.（1）函數(shù)；；中，哪個函數(shù)是在區(qū)間上的“美好函數(shù)”？并說明理由；（2）已知函數(shù).①函數(shù)是在區(qū)間上的“美好函數(shù)”，求的值；②當時，函數(shù)是在區(qū)間上的“美好函數(shù)”，求的值.解：（1）因為函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，所以，，所以，故是在區(qū)間上的“美好函數(shù)”；因為函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，所以，，所以，故不是在區(qū)間上的“美好函數(shù)”；因為在區(qū)間上單調遞增，所以，，所以，故是在區(qū)間上的“美好函數(shù)”.（2）①有題知.因為，所以.令，則，當時，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，此時，，所以有；當時，函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，此時，，所以有綜上所述，；②由題可知，函數(shù).因為，所以.令，則，.