2025年上海市楊浦區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷

一、單選題：本題共4小題，共18分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.「.1"「中，一、加?！笔恰鞍艘?”的I條件.

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

2.3名同學(xué)報名參加社團活動，有4個社團可以報名，這些社團招收人數(shù)不限，但每位同學(xué)只能報名其中1

個社團，則這3位同學(xué)可能的報名結(jié)果共有：?種.

A.6B.24C.64D.81

3.已知N、B、C是單位圓上的三個點，若1無麗—v”，則的最大值為（）

v'5

A.V,12B.1+C.v2-1D.-i

4.設(shè)/是由左個二次函數(shù)組成的集合，對于連續(xù)的正整數(shù)1,2,3,2025,存在二次函數(shù)

“f?,■-V1-2H2V.?.門一可重復(fù)|,使得jh,上2，（不，…,，「巾2K是等差

數(shù)列，則后的最小可能值是（）

A.507B.1013C.1519D.2025

二、填空題：本題共12小題，共53分。

5.已知集合』;{L2.；，」）,H-1,?I＞，則」〕.

6.不等式'’，"的解集為____.

JT-2

7.函數(shù)4-"I的最小正周期是.

8.已知、in…,，貝?。菀?.

5

9.已知“?（I,八.”且“?。-2,則的最大值為.

10.在（工+白）’的二項展開式中，常數(shù)項的值為.

11.已知復(fù)數(shù)z滿足|一1一I,其中i為虛數(shù)單位，貝！I的最小值為.

12.不等式，，,對一切實數(shù)x恒成立，則實數(shù)。的取值范圍為.

13.植物社團的同學(xué)觀察一株植物的生長情況，為了解植物高度“單位：厘米）與生長期一單位：天，之間

的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了某4天的植物高度，并制作了如下對照表：

生長期X391117

植物高度y214>■,

第1頁，共19頁

由表中數(shù)據(jù)可得回歸方程“=6中“一”2,試預(yù)測生長期是30天時，植物高度約為______厘米

).x,jfi—njry.

.(a=；-------,6=y—ox)

14.如圖，點分別是直角三角形NBC的邊上的點，斜邊/C與扇形的弧/7Z

相切，己知」「一，川」，則陰影部分繞直線N3旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體

積為.

15.如圖，阿基米德橢圓規(guī)是由基座、帶孔的橫桿、兩條互相垂直的空

槽、兩個可動滑塊/、2組成的一種繪圖工具，橫桿的一端C上裝有鉛

筆，假設(shè)兩條互相垂直的空槽和帶孔的橫桿都足夠長，將滑塊/、8固

定在帶孔的橫桿上，令滑塊/在中一條空槽上滑動，滑塊3在另一條空

槽上滑動，鉛筆C隨之運動就能畫出橢圓.當(dāng)/、8之間的距離為14厘

米時，若需要畫出一個離心率為'的橢圓，則B、C之間的距離為

厘米.

16.C由若干個多邊形所覆蓋的區(qū)域，稱為這些多邊形的并集，例如圖

中，梯形/CDE是.I”，與矩形的并集.已知〃是正整數(shù)，在平

面直角坐標(biāo)系xOy中，直線人的方程為［/=-2)?〃，若直線r交x

軸于點交y軸于點&，則/AtOBi.,AQBj、…、L

的并集，其面積為.

三、解答題：本題共5小題，共78分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.(本小題14分)

已知函數(shù)“人」?是定義在火上的偶函數(shù).

第2頁，共19頁

I1I當(dāng)"IL,、」時，…."一一II,求，、."，時，"—，的表達式；

⑵當(dāng)j?I」J時，…「-2n2r.,若實數(shù)/滿足/："-2：-f!-\求f的取值范圍.

18.本小題14分）

座落于楊浦濱江的世界技能博物館由百年歷史文化保護建筑改建而成，其中的支柱保留了原有的正八棱柱,

既考慮了結(jié)構(gòu)力學(xué)優(yōu)勢，又體現(xiàn)了對歷史建筑的尊重和傳承.如圖，C：、。分別為正八棱柱的上下兩個底面

的中心，已知（，,lI,th>

小求證：'/；

「求點。到平面.4（,<；的距離.

19.?本小題14分，

為弘揚中華民族傳統(tǒng)文化、增強民族自豪感，某學(xué)校開展中華古詩詞背誦比賽，分為初賽和復(fù)賽.全校同學(xué)

都參加了初賽，并隨機抽取一個班級進行初賽成績統(tǒng)計，已知該班級共有40位學(xué)生，他們的初賽分?jǐn)?shù)的頻

率分布直方圖如圖所示：

I，計算b的值，并估計該校這次初賽的平均分?jǐn)?shù).

j初賽分?jǐn)?shù)達到80及以上的同學(xué)，稱為優(yōu)秀參賽選手，現(xiàn)從班級中隨機選出2位同學(xué)，用X代表其中的

優(yōu)秀參賽選手人數(shù)，求X的分布；

」為增加比賽的趣味性，復(fù)賽規(guī)則如下：復(fù)賽試題將從題庫中隨機抽取，每位參賽選手將有機會回答填空、

選擇和簡答各1題；每答對1題得1分，答錯或不答得0分，每位選手可以自行選擇回答問題的順序，若答

對一題可繼續(xù)答下一題，直到3題全部答完；若答錯或不答則比賽結(jié)束.例如：選手甲可自行按“簡答一填

空一選擇”順序答題，甲答對第一題得1分，并繼續(xù)回答第二題且答錯得0分，結(jié)束比賽，總分為1分.

小楊作為優(yōu)秀參賽選手，代表班級參加復(fù)賽.根據(jù)他初賽的答題正確頻率，可估計他填空、選擇和簡答的答

題正確概率分別為：

第3頁，共19頁

題型填空選擇簡答

答題正確概率5r;

若小楊每次答題的結(jié)果都相互獨立，那么為盡量在比賽中獲得較高分?jǐn)?shù)，小楊應(yīng)該采用怎樣的答題順序？

請說明理由.

新

20.本小題18分）

已知雙曲線【的標(biāo)準(zhǔn)方程為.’廠I，點尸是雙曲線r右支上的一個動點.

2

11求雙曲線「的焦點坐標(biāo)和漸近線方程；

」，過點P分別向兩條漸近線作垂線，垂足為點匕，求，八八八的值；

小若"八如圖，過尸作圓。：,:?的切線/,切點為交雙曲線「的左支于點。，分別

交兩條漸近線于點/、8設(shè)十。求實數(shù)、的取值范圍.

21.?本小題18分?

已知函數(shù)V/一的導(dǎo)函數(shù)為I，，，若函數(shù)"/，”的定義域為及，且不等式：，對任意

，-"成立，則稱函數(shù)”—『一是“超導(dǎo)函數(shù)”.

11判斷/--，"1是否為“超導(dǎo)函數(shù)”，并說明理由；

12）若函數(shù)v，八”與，/「都是“超導(dǎo)函數(shù)”，且對任意了=",都有從r,I）、，，/?：n,記

第4頁，共19頁

F(J-|，…刖門，求證：函數(shù)u=F(I)是“超導(dǎo)函數(shù)”；

⑶已知函數(shù)！//”是"超導(dǎo)函數(shù)”且.I，，若有且僅有一個實數(shù)/滿足“mr+I

求°的取值范圍.

第5頁，共19頁

答案和解析

1.【答案】c

【解析】【分析】

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，同時考查了三角函數(shù)與正弦定理等知識，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)充分條件和必要條件的定義，以及正弦定理、三角函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】

解：在1〃「中，角/、B、C的對邊分別是a、b、C,

若、i「l由正弦定理可得“L,則.1一“成立.

若八一8，貝kiu.Irinb成立,

所以"dnA=aaB"是“A=b”的充要條件.

故選（:

2.【答案】C

【解析】解：3名同學(xué)報名參加社團活動，有4個社團可以報名，每位同學(xué)只能報名其中1個社團,

則這3位同學(xué)可能的報名結(jié)果共有|,”種.

故選：「

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可解.

本題考查排列組合相關(guān)知識，屬于中檔題.

3.【答案】D

【解析】解：由題意，/、2、C是單位圓上的三個點，且I?.\」，

不妨設(shè).111.⑴，//Hl,1,1,（siu"）,We[0.2*1.

則加i-1.li，BC=（00?￡由0-1），

則」行11（'>■>-->>-s：tinI—\--I,

當(dāng)xih：”-?時，/“.取得最大值為、？一1.

故選：I）

利用單位圓上點的坐標(biāo)設(shè)出/,B,C的坐標(biāo)，將向量數(shù)量積轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運算即可求解.

本題考查平面向量數(shù)量積運算，單位圓上點的坐標(biāo)表示等知識，屬基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

第6頁，共19頁

【解析】解：設(shè)等差數(shù)列的首項為。，公差為力

則第，項滿足51:J,

每個二次函數(shù)!?<1I?一,..，滿足/'*I'-1'H1,

變形為n,J4M-4,-I<-fj4r/；—II,

對于固定的小，〃l，，，d,這是一個關(guān)于，的二次方程，最多有兩個整數(shù)解，

因此，每個二次函數(shù)最多能覆蓋兩個不同的，值.

所以總共2025個i值需要覆蓋，因此需要個，但z.為整數(shù)，所以需要1013個.

>

故選：H

由等差數(shù)列的基本量法求出通項，結(jié)合題意與二次函數(shù)4一的表達式合并后由二次方程解的個數(shù)求解.

本題考查等差數(shù)列的應(yīng)用，屬于中檔題.

5.【答案】{2.3}

【解析】解:集合.1■；1.2.4,I',i<r1I,

則.1工（2.3}.

故答案為：{2,3

結(jié)合交集的定義，即可求解.

本題主要考查交集及其運算，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】I-1.2）

【解析】解：不等式”，即「1，？，」），解得11-2,

X2

故不等式的解集為；I--'!.

故答案為：Il.2i.

根據(jù)已知條件，結(jié)合分式不等式的解法，即可求解.

本題主要考查分式不等式的解法，是基礎(chǔ)題.

7.【答案】T

【解析】解：函數(shù)，，一川「3?的最小正周期是*-，

?>

故答案為：

由條件根據(jù)函數(shù)“，l、i川一,.的周期為？L可得結(jié)論.

3

本題主要考查函數(shù)“1一川一.?.的周期性，利用了函數(shù),,，I.的周期為二，屬于基礎(chǔ)題.

第7頁，共19頁

8.【答案】言

【解析】【分析】

本題考查二倍角的余弦公式，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

利用?工i1即可得出結(jié)論.

【解答】

解：.、111，，:，

故答案為：L

25

9.【答案】1

【解析】解：〃?I）,?。?力且〃,A2,

則“小-1,當(dāng)且僅當(dāng)“，，，時，等號成立，

4

故ab的最大值為I

故答案為：1.

根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的公式，即可求解.

本題主要考查不等式的運算，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】15

【解析】解：二項展開式通項為：＜，，■

當(dāng)（＞-＞“時，I1,

■常數(shù)項為：，-

故答案為：|二

寫出二項展開式通項，通過，，:（，得到II,從而求得常數(shù)項.

本題考查二項式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】、殳-1

【解析】解：設(shè)一/l,

|二-?，—19

；

則5：!1-1.t|（_J,表示以|1.1?為圓心，1為半徑的圓，

-表示圓上的點到原點的距離,

第8頁，共19頁

故I的最小值為1r1.?1-lie11v21.

故答案為：、1

結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，以及復(fù)數(shù)模公式，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)模公式，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】「，\I或“，",”I

【解析】解：一用表示x到：；的距離，-r表示x到。的距離.

所以它們的和為x至UJ和x至U。的距離之和，

當(dāng)x位于-」和a之間時，距離和取得最小值，

即兩點之間的距禺H-1「—<1+3，

若最小值1，，，」,則原式對所有x恒成立.

解得：<<-3,6或〃-3?-li,

即：J或“(?

故答案為："?：.、-XI或“,(-\"L

解題核心思路：將表達式，,：,，：.理解為點X到-；，的距離與點X到。的距離之和，通過分析其最小

值來確定。的范圍.

本題主要考查絕對值不等式的恒成立問題，需要結(jié)合絕對值的幾何意義和最值分析，屬于中檔題.

13.【答案】7.7

【解析】斛：由就思可知，」=10,*=4.1,

44

因為線性回歸方程“一_，，過點什.”，

所以工7it2-10-6,

解得4.17

所以線性回歸方程”uLI7,

當(dāng)小，時，寸7.7,

即預(yù)測生長期是30天時，植物高度約為77厘米.

故答案為：77

根據(jù)線性回歸方程過點|「力求出”進而得到線性回歸方程，進行預(yù)測即可.

本題主要考查了線性回歸方程的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

第9頁，共19頁

14.【答案】八:、

3

【解析】解：由題意可知，［〃、『2,八：*

設(shè)扇形的半徑為廠，則，2x28=、j,

一陰影部分繞直線N5旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積為I.2'.2V3-'.\.iA3

323

故答案為：入

3

由題意可得的長度及扇形的半徑，再由圓錐的體積減去半球的體積得答案.

本題考查圓錐與球體積的求法，是基礎(chǔ)題.

15.【答案】21

【解析】解：依題意，當(dāng)滑塊3在兩條空槽的交點處時，8C長為橢圓的短半軸長6,

當(dāng)滑塊/在兩條空槽的交點處時，NC長為橢圓的長半軸長a,

則〃11+力,

由橢圓的離心率為:，

5

zv'7"，/b-?I

傳BU1()--，

<iVa?)

解得h2,

oo

即/

11-/，■>

解得b?21，

所以3、C之間的距離為21厘米.

故答案為：口

根據(jù)給定條件，確定橢圓的長短半軸長，再利用橢圓離心率求法列式計算得解.

本題考查了橢圓的方程，重點考查了橢圓離心率的求法，屬基礎(chǔ)題.

16.【答案】更

第10頁，共19頁

【解析】解：如圖,

當(dāng)n=1時，?”n,當(dāng)”時，?-I),即“?f?-,

則隨著三角形的個數(shù)增加，所有三角形圍成的圖形每次增加一個小三角形，

設(shè)直線，..與直線/.的交點為「，聯(lián)立I，解得/_I-l,gp,1

Iy=2*.r4(n4I132f

則?凡.il,K.■zx(w4*1-n)x—■—：,

設(shè)前〃個三角形圍成圖形的面積為、，則$,,「、，s?.,,

日C11.1

且、s'1>

￡/

則、，-$=1,、-=,=：…，、，一I=："“3

由累加法可得，、、，?二,

1

則、：':，〃?2,而、：-?符合上式，貝I)、',((.,￥<,

42”442°

第11頁，共19頁

767

故、,

910M)24

則〃九,…，的并集，其面積為

1021

故答案為：—.

根據(jù)所給直線/的方程，求出點A,點打的坐標(biāo)，分析由、”〃心、…組成的圖形的并集的

變化特點，得到面積的變化規(guī)律，再由累加法求出面積s的表達式，求出.、"，即

G"”的并集.

本題主要考查數(shù)列的應(yīng)用、兩直線的交點坐標(biāo)，屬于中檔題.

17.【答案】1//?【”二，r-11;

l3,

叱fJ1<，<?.

【解析】解：11因為“-『…是定義在R上的偶函數(shù)，

當(dāng)JtU\I時，/>.irj,?II,

則I、.山時，-0,

所以J?'J>',■/-I/：,1,

即」時，U'''JiLr-1?；

I，當(dāng)"II.、」時，…單調(diào)遞增，

又小〃為偶函數(shù)，故，U時，J，單調(diào)遞減，

若實數(shù)t滿足了「W2I，：，則|；U2-fl,

解得:，,，即不等式解集為了：’:，

2424

||由已知函數(shù)解析式，結(jié)合偶函數(shù)定義即可求解；

;，先判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性及奇偶性即可求解.

本題主要考查了函數(shù)奇偶性及單調(diào)性的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

18.【答案】證明見解答.

第12頁，共19頁

【解析】解：；1，證明：如圖,

連接CF,因為底面為正八邊形，所以lie,

又正八棱柱側(cè)棱底面NBCDEFGH/'/,底面N3CDMG”,

所以，，I［，，「'/（',<（',CI平面，/】'，

所以〃「L平面（，

又（"?平面「/?,一,所以

如圖，

連接。C,（）（；x,

因為（）」—1，14?，

3nop

由正八邊形/BCDEFGX的性質(zhì)可得，45,0C=04=l，

8

（“；,為G到底面/。。的距離，（；（；:I,

所以I?…'1'1,,>

由勾股定理可得，」「：40--f/>2，

又士；--」「'_J，所以1<,、二，I，，-\1>—h/，

又C（；2.in3所以-II,\211入

第13頁，共19頁

因為一「(；：’，所以V.W；.,即'.，:Is23,

設(shè)點。到平面.的距離為力

則I\"，，二I,,.!■,,即.；?.、'、、，，,-</-；?S3v,?>即.內(nèi)2>解得〃=；，

所以點。到平面u(;的距離為

3

U結(jié)合圖中幾何關(guān)系由線面垂直的判定定理證明平面「人即可；

I’結(jié)合圖中幾何關(guān)系由等體積法即I,I,.....求解即可.

本題考查空間位置關(guān)系，屬于中檔題.

19......該校這次初賽的平均分?jǐn)?shù)為68分；

分布列見解析；

答案見解析.

【解析】解:1)由頻率分布直方圖中小矩形的面積和為1可得：20x(0.005+b+(H)20+Q0I5)

解得八n.niu；該校這次初賽的平均分?jǐn)?shù)為

20x(30x0.(105+SOx0.010+70x0.(120+90x0.015)-68.

1初賽分?jǐn)?shù)達到80及以上的同學(xué)為…」一W:人，

非優(yōu)秀為28人，由題意可得X的可能取值為0,1,2,

12x11

門、21親=孩焉=d'所以x的分布列為:

X012

11

P5

65130

3按照不同題目順序分類討論：填空，選擇，簡答：

得零分的概率：1“.、M2,得一分的概率：?「II'IIIIS,

得兩分的概率：0.8x0.9-II2=0.144,

得三分的概率：比、.G.'IXIIs=o,*>7(i，

第14頁，共19頁

期望為I-11-1-IIH''-2-II.1I-1?:u.-，7i,二分；

因為填空和簡答的正確率相同，所以“簡答，選擇，填空”的期望與之相同；

填空，簡答，選擇：得零分的概率：1“、H2,

得一分的概率：0.8?11.201(；,

得兩分的概率：0.8xOKx010.064,

得三分的概率：0.8-0.90.576>

期望為EOxO.2+1x0.16+2x0064+3.().576=2.016分;

因為填空和簡答的正確率相同，所以“簡答，填空，選擇”的期望與之相同；

選擇，填空，簡答：得零分的概率：1(L”JL1,

得一分的概率：0.9x(I-Q.8)=0」8,

得兩分的概率：09x(18x0.20.144.

得三分的概率：0.9xOKX0.8=0.576,

期望為11-111*1-*2.II111-I-o-,；??=分；

因為填空和簡答的正確率相同，所以“選擇，簡答，填空”的期望與之相同；

所以/、「「小楊應(yīng)采用“選擇，填空，簡答”或“選擇，簡答，填空”的順序.

I?由頻率分布直方圖的面積和為1計算可得6值，由區(qū)間的中值乘以縱坐標(biāo)值再乘以區(qū)間寬度后相加可得

平均數(shù)；

21先由頻率分布直方圖計算出優(yōu)秀與非優(yōu)秀人數(shù)，再由組合數(shù)結(jié)合古典概率求出相應(yīng)的概率，然后列出分

布列即可；

同?按照答題順序分六種情況，由乘法公式計算相應(yīng)概率，然后求出期望比較即可.

本題考查離散型隨機變量的均值；數(shù)學(xué)期望，，屬于中檔題.

20.【答案】焦點坐標(biāo)為?\1<一漸近線方程為“：、3；IIv?

9

【解析】解：；h雙曲線7的標(biāo)準(zhǔn)方程為，『1，

2

貝1L一4，

所以雙曲線7的焦點坐標(biāo)為I：\JJ,漸近線方程為"-rv12.r;

I，設(shè)/Im.”I,則小」，

第15頁，共19頁

y=代工

m+v2n

\/2m+2n

"-3—

所I以，,

33

m二

解得‘，工孰

所以/.,(〃―圖—氏+嗎,

33

所以西二(⑶+色V2m-n｝麗.(-2m-4n-Vim-n)

.I-I

所以FT7KP(^/2?-2m)(-2m-y/2n)(>/2rri-n)(-V^m-n)

1J9+g-

2產(chǎn)+2J

4m-2,Fl?—2m：2--n-1--—--n--二一2，

999

即用小.，；

印設(shè)切點”、/,則切線/的方程為、，，"2,且、一”?」，

第16頁，共19頁

消去y得I”-1?，

，(1I+工2廠-工2\~2t2—

所以'1〃

/人+川，-3用

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第17頁，共19頁

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1「根據(jù)雙曲線方程求出C,從而求出焦點坐標(biāo)與漸近線方程；

I*設(shè)為川.”1,則-求得雙曲線的漸近線方程分別與相應(yīng)的垂線方程聯(lián)立