2025年高三年級(jí)高考模擬

數(shù)學(xué)

考生注意：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生

號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂

黑如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答

案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)

選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合A={-7i,-e,O,l,e,7i},B=-x-6＜o(jì)|,則A8=()

A.{0,1,e}B.{-e,0,l}C.{-e,0,l,e}D.{0,l,e,7i}

2.已知向量〃z=(2,—1),n=(-1,3),貝")=()

A.8B.10C.12D.16

3.已知z是方程3f+2x+l=0的一個(gè)復(fù)數(shù)根，貝U|z|=()

4.已知3上夕=3利＞1,則x+2y的最小值是(

C.4A/2

5.現(xiàn)有5種顏色的筷子各一雙，從中任取兩根筷子，若已知取到的筷子中有紅色的，則兩

根筷子都是紅色的概率為()

A.-B.-C.—D.—

591317

6.在一個(gè)建筑工程中，工程師需要根據(jù)斜坡的傾斜角度來(lái)計(jì)算一些結(jié)構(gòu)的受力情況.設(shè)斜坡

2

的傾斜角度為60＜。＜彳，經(jīng)測(cè)算分析，發(fā)現(xiàn)tanetan26=：,若該斜坡的摩擦系數(shù)為

7.小王到某公司面試，一共要回答3道題，每道題答對(duì)得2分，答錯(cuò)倒扣1分，設(shè)他每道題

答對(duì)的概率均為且每道題答對(duì)與否相互獨(dú)立，記小王答完3道題的總得分為X,

則當(dāng)雙X）+D（X）取得最大值時(shí)，P=（）

A,-B.-C.-D.-

4334

8.在銳角三角形PMN中，MN=2,PQLMN,垂足為Q,2QM-QN=MN2-PQ2,則點(diǎn)

P的軌跡為（）

A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2,離心率為|■的橢圓的一部分

B.長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2點(diǎn)，離心率為1的橢圓的一部分

C.實(shí)軸長(zhǎng)為2,離心率為6的雙曲線的一部分

D.實(shí)軸長(zhǎng)為2夜，離心率為手的雙曲線的一部分

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)

中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)

的得0分.

9.已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為%+優(yōu)），若｛外,_｝為遞減數(shù)列，｛%“｝為遞增數(shù)列，

則r的可能取值為（）

A.-6B.-4C.-2D.3

10.已知點(diǎn)后,）3（天,為）均在拋物線C：y2=2px（p>0）±,尸是C的焦點(diǎn)，則下列

說(shuō)法正確的是（）

A.p=2B.直線A///>軸

C.若%<-1,則|不卜忸尸ID.若

11.已知函數(shù)〃x）=sinxcos（x+0）,。為常數(shù)，則下列說(shuō)法正確的有（）

A.“X）的最小正周期為兀

JT「311

B.當(dāng)°時(shí)，的值域?yàn)?1工

6Loo.

C.在一"^一券+Eq—券+?9左eZ上單調(diào)遞增

D.若對(duì)于任意的。，函數(shù)>=〃（。為常數(shù)）的圖象均與曲線y=|/（x）|總有公共點(diǎn)，則

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

ae0,—

_2_

三、填空題：本題共3小題.每小題5分，共15分.

12.現(xiàn)有一個(gè)圓錐與一個(gè)球，它們的表面積相等，圓錐的母線長(zhǎng)與球的直徑相等，則圓錐的

底面直徑與母線長(zhǎng)的比值為.

13.已知函數(shù)“X),g(x)的定義域均為R,其中是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且

/(x)+g(x)=or2-x-2,若對(duì)于任意1<網(wǎng)<%<6,都有8(%)一8(1>_2,則實(shí)數(shù)0的

王~X2

取值范圍是.

14.已知三個(gè)正數(shù)小公4構(gòu)成公比為q(q>l)的等比數(shù)列，圓G：(x-?;)2+y2=<(/=l,2,3),

過(guò)圓G上一點(diǎn)P分別作圓G，G的切線，切點(diǎn)分別為Q,R,若考■=￥，則4=.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算

步驟.

15.下表是2020—2024年中國(guó)出生人口數(shù)y(單位：十萬(wàn)人)的數(shù)據(jù)：

年份20202021202220232024

年份代碼X12345

出生人口數(shù)w十萬(wàn)人120106969095

(1)求2020—2024年中國(guó)每年出生人口數(shù)的平均數(shù)；

(2)某研究人員建立了y關(guān)于尤的回歸模型夕=120-6》，用該回歸模型預(yù)測(cè)從哪一年開(kāi)始中

國(guó)出生人口數(shù)將低于700萬(wàn)；

(3)求(2)中回歸模型的決定系數(shù)尺2,并評(píng)價(jià)其擬合效果.(如果0.854^41,就認(rèn)為擬合

效果好，如果0.7<0.85,就認(rèn)為擬合效果一般，如果爐<。7,就認(rèn)為擬合效果差)

2

Z(X--X)5

附：丈=1一禺--------，E(y,-y)F567.

S(x-y)2T

Z=1

16.如圖，在VABC中，AB=5,AC=3,點(diǎn)。,E是BC邊上的兩點(diǎn)，點(diǎn)。在民E之間，

ZBAD=ZCAE.

A

B

D

A.D,CE,,/士

⑴求益礪的值;

An

Q)若BC=7,ABYAE,求不；的值.

DE

17.如圖，四棱錐P-ABCD的所有頂點(diǎn)均在同一個(gè)球的球面上，且AB=A￡)=4,BC1CD,

(1)證明：平面尸AB_L平面A5C。；

⑵求四棱錐尸-ASCD體積的最大值;

(3)當(dāng)四棱錐P-ABCD的體積最大時(shí)，求直線尸C與平面P3D所成角的正弦值.

18.已知匕eR,函數(shù)/(3)=彳-依%*+6.

⑴若a=l,b=-l,求曲線y=在點(diǎn)(-2,/■(-2))處的切線方程;

(2)若a>0,g(x)=/'(x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間;

⑶若對(duì)任意6eR,〃x)至多有2個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

22

19.已知橢圓C：：+g=l(a>6>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)

(1)求C的離心率.

(2)設(shè)A,B分別為C的左、右頂點(diǎn)，P,。為C上異于A,B的兩動(dòng)點(diǎn)，且直線8Q的斜率恒

為直線AP的斜率的5倍.

①當(dāng)b的值確定時(shí)，證明：直線PQ過(guò)x軸上的定點(diǎn)；

②按下面方法構(gòu)造數(shù)列帆｝：當(dāng)八年時(shí)，直線PQ過(guò)的定點(diǎn)為河(口,0),且4=2,設(shè)

1

-1"證明：4+d2T---卜<1.

3

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

1.A

【分析】解不等式，得到8={引-2<*<3},根據(jù)交集概念求出交集.

【詳解】由題意可得3={尤卜2<尤<3},集合A中的元素中，屬于8的有0,1,e.

故AB={0,l,e}.

故選：A

2.B

【分析】由平面向量線性運(yùn)算與數(shù)量積的坐標(biāo)表示，可得答案.

【詳解】由題意可得加一〃=（3,-4）,故加?（m-〃）=2x3+（—l）x（-4）=10.

故選：B.

3.B

【分析】根據(jù)實(shí)系數(shù)一元二次方程根的性質(zhì)，結(jié)合復(fù)數(shù)模的公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】由題，因?yàn)锳=4—4x3=—8v0,所以z和N是方程3爐+2x+l=0的兩個(gè)根，

所以Z.彳=%即，=；,所以忖=1.

故選：B.

4.D

【分析】先由已知等式化簡(jiǎn)得到x+2y=孫，且x>0,y>0,利用基本不等式將其化成關(guān)于

尤+2》的不等式（尤+2y）（x+2y-8）20,解之即得.

【詳解】由3口9>=3V>1可得3*+2>=39>1,即x+2y=肛>0,故x>0,y>0,

由2（x+2y）=x-2y4（x[2y）2,可得（彳+2〉）（》+2〉一8）20,

當(dāng)且僅當(dāng)無(wú)=2y時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)x=4,y=2時(shí)，x+2y取得最小值為8.

故選：D.

5.D

【分析】根據(jù)條件概率的計(jì)算公式即可求解.

【詳解】設(shè)事件M為“兩根筷子都是紅色的”，則尸（M）=g=±.

設(shè)事件N為“取到的筷子中有紅色的"，貝i]P（N）=l-與=].

答案第1頁(yè)，共13頁(yè)

所求即為尸(“河)=^^P(M)1

P(N)-17,

故選：D

6.B

2

【分析】根據(jù)正切的二倍角公式由tan6tan28=§求出tan。的值，再將所求式子

—利用三角函數(shù)的二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于tan。的

sin26+cos2。

式子，最后代入tan。的值進(jìn)行計(jì)算.

【詳解】已知tan6tan26=2,則豆里里=2,

3l-tan*3

BP6tan*2634(=2-2tan26?,解得tai?*；,

4

TT1

因?yàn)?<9<一,故tan9=—，

22

3

2222

的,,_1___+__s_in__0__________2_s_i_n___+__c_o_s__0_____—____2_t_a_n__3_+__1___—_9±L——6

sin20+cos202sin0cos6+cos2-sin22tan^+l-tan2077

4

故選：B.

7.C

【分析】設(shè)答對(duì)題的個(gè)數(shù)為y,由條件可得y?3(3,p),結(jié)合二項(xiàng)分布期望公式和方差公式

求E(y),D(y),根據(jù)關(guān)系X=3Y-3,結(jié)合期望性質(zhì)和方差性質(zhì)求磯X),D(x),由此

可得E(x)+D(x)的解析式，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求結(jié)論.

【詳解】設(shè)答對(duì)題的個(gè)數(shù)為y,由已知可得y~s(3,p),

所以E(y)=3p,o(y)=3p(i-p),

因?yàn)槊康李}答對(duì)得2分，答錯(cuò)倒扣1分，X為小王答完3道題的總得分，

所以X=2F_(3_y)=3Y_3,

所以E(X)=3E(y)—3=9p-3,

￡)(X)=9￡>(y)=9x3p(l-p)=27p(l-p),

2

所以E(X)+D(X)=-2702+360-3=—271p—gI+9,又。<?<1,

答案第2頁(yè)，共13頁(yè)

7

所以當(dāng)P=§時(shí)，E(X)+D(X)取最大值，最大值為9.

故選：C.

8.D

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)尸(x,y),則。(x,0),由三角形為銳角三角形得到xe(-M),

2

利用2QM-QV=加解一PQ2求出一v=1(-1<x<1),根據(jù)方程特征得到答案.

【詳解】以MN所在直線為x軸，的垂直平分線為y軸，的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，

建立平面直角坐標(biāo)系，不妨令N(1,O),設(shè)尸(x,y),則Q(x,O),

因?yàn)槭卿J角三角形，所以

則|QM|=l+x,|例=1,|尸0小

由2QM,QN=MN2-PQ2,得2(l+x)(l—x)=4-J=2-2/=4-丁，

2

整理得5-/=1(-1<芯<1),其為雙曲線的一部分，且雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2應(yīng)，

離心率為這￡=如，

V22

故點(diǎn)P的軌跡為實(shí)軸長(zhǎng)為2啦，離心率為手的雙曲線的一部分.

故選：D

9.CD

【分析】分〃為正偶數(shù)、〃為正奇數(shù)兩種情況，分別化簡(jiǎn)氏+2-%,利用增減性將問(wèn)題轉(zhuǎn)化

為恒成立問(wèn)題，即可求出f的取值范圍.

【詳解】當(dāng)〃為正偶數(shù)時(shí)，an=rr+tn,貝I]-%=4〃+4+2f,

因｛a2n｝為遞增數(shù)列，則4“+4+2f>0對(duì)任意的正偶數(shù)n恒成立，

答案第3頁(yè)，共13頁(yè)

則4x2+4+2f>0,解得f〉-6,

2

當(dāng)”為正奇數(shù)時(shí)，an=-n-tn,則見(jiàn)十？-4,=-4"-4-2f,

因｛/i｝為遞減數(shù)列，則2二<0對(duì)任意的正奇數(shù)〃恒成立,

貝――2/<0,解得r>T,

所以/的取值范圍是(T,+8)，故/的可能取值為-2,3.

故選：CD

10.BCD

【分析】將點(diǎn)代入拋物線方程，求P的值，判斷A的真假；判斷A,尸點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn)，

判斷B的真假；根據(jù)拋物線的焦半徑公式，可判斷CD的真假.

【詳解】對(duì)于A.將j的坐標(biāo)代入C：y2=2px(p>0),得0=1,故A錯(cuò)誤.

對(duì)于B,由題可得尸g,。］,點(diǎn)A,尸的橫坐標(biāo)相同，所以直線AF〃y軸，故B正確.

對(duì)于C,因?yàn)辄c(diǎn)A,8均在C上，所以|A司=g+~|=l,\BF\=x0+^,要使|明<|明，只

需若為<-1,由于y；=2%,所以2%>1,x0>1,故C正確.

對(duì)于D,若聞<2%,因?yàn)榧由?。，所以?lt;4/，故2%<4x；,解得尤0>1,故D正確.

故選：BCD

11.ACD

【分析】利用三角恒等變形化簡(jiǎn)得〃x)=:sin(2x+e)-gsinp,然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)

求解判定ABC；利用分類討論方法，研究函數(shù)y=|/(尤)|的值域，進(jìn)而得到實(shí)數(shù)。的取值范

圍.

［詳解］/(x)=sinxcos(%+°)=sinx(cosxcoscp-sinxsincp)=sinxcosxcos(p-sin2xsin(p

1.c1-cos2x.1.小\1.

=—sin2xcos(p-------------sin0=/sin(2x+0)一萬(wàn)sin0,

易得的最小正周期為手=兀，故A正確；

當(dāng)夕=丁時(shí)，/尤)二sin(2尤+5-9，其值域?yàn)椤敢粅_,1,故B錯(cuò)誤;

OZOy4

兀71

——+2kli<2x+9WQ+2kli(kGZ),

答案第4頁(yè)，共13頁(yè)

故/（無(wú)）在-：琮+航（-導(dǎo)航/eZ）上單調(diào)遞增,故C正確;

當(dāng)sin（2%+0）>sincp時(shí),

止匕時(shí)ye1o,g-gsin0；

當(dāng)sin（2%+0）<sin（p時(shí),

當(dāng)sin（2x+0）=sin。時(shí)，y=0,

因函數(shù)y=4的圖象均與曲線y=Y（x）|總有公共點(diǎn),

I乙乙乙乙\

當(dāng)一兀+2ATIW夕W2^/1（左￡Z）時(shí)，------sin（p—I—sin（p,止匕時(shí)-----sin°2一；

222

當(dāng)2kit<（p<2kit+7i時(shí)，一十—sin?！?---sin°,止匕時(shí)一十—sin。2一,

Mf11-11?1、1

^max^---sin?9,-+-sin?9^>-）

I乙乙乙乙I乙

綜上所述，。€0,；,故D正確.

故選：ACD.

12.75-1

【分析】設(shè)該圓錐的底面半徑為「，母線長(zhǎng)為/,由圓錐與球的表面積公式計(jì)算求解即可.

【詳解】設(shè)該圓錐的底面半徑為「，母線長(zhǎng)為/,則其表面積為無(wú)〃+無(wú)戶，

球的表面積為=兀/，所以?！?兀/2=兀產(chǎn),

即⑶+--1=0,解得L避二1（負(fù)值舍去），

故圓錐的底面直徑與母線長(zhǎng)的比值為彳=6-1.

故答案為：75-1

13?卜%+°0]

【分析】由題意有/（力=一》和g（x）=a?-2,又,㈤-＞（%）＞一2得

答案第5頁(yè)，共13頁(yè)

g(%2)+2%2＞屋石)+2%，令/z(x)=g(x)+2x=依2+2%-2,利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【詳解】??,/(可是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，在/(力+4力=加一x—2中，

用一X去代換工,得/(一九)+g(-X)=辦2+工一2=一/(%)+g(力,

2

f^x)=-x,g(x)=<xv-2,*.<1<^<x2<6,

...由4—?⑷>_2,可得g(赴)+2%>g(xj+2玉,

令/z(x)=g(%)+2%=依之+2%-2,則/z(x)在(1,6)上單調(diào)遞增.

若。＞0,則可無(wú))的圖象的對(duì)稱軸為直線x=-：＜0,圖象開(kāi)口向上，符合題意；

若。＜0,則可”的圖象的對(duì)稱軸為直線x=-：＞0,圖象開(kāi)口向下，

則需一即-gva＜0；若。=0,貝U/?(x)=2x-2在(1,6)上單調(diào)遞增，符合題意.

綜上，a2——.

6

故答案為：一：-09].

14.3

PT?PC,-q23

【分析】根據(jù)相切和勾股定理可得=彳，即可利用三角換元求解.

PQ[PG12-14

2C3(/,0),

【詳解】不妨設(shè)乙=1,r2=q,r3=q,三個(gè)圓心分別為G。，。)，Q(?,0),

222

根據(jù)勾股定理得山?！?|尸c『_i,|P/?|=|PC2|-(Z,

\PR\\PC\-q23/N

2「+,2=/上,

所以?-------(2=~\---p----二:，因?yàn)辄c(diǎn)尸在圓(工一4)

\PQ[|PG|-14I//

故可設(shè)點(diǎn)尸("2COS。+/,/sin。)，其中。片兀，

q2c°sO+/-q『+(^sinOy-q2=33

2q-1)(1+cos0)3q3

則即0n―7=7，

(q2cosd+q2-1)"+年sin。)--142/,2-1)(1+cos6)4，夕+14

解得4=3.

故答案為：3

答案第6頁(yè)，共13頁(yè)

15.(1)101.4

(2)2028年

⑶R2y0.76,這個(gè)模型的擬合效果一般

【分析】(1)利用平均數(shù)公式計(jì)算即可.

(2)回歸模型5=120-6x預(yù)測(cè)中國(guó)出生人口數(shù)低于700萬(wàn)，即9<70.計(jì)算即可.

(3)計(jì)算決定系數(shù)我，由R2的取值范圍評(píng)價(jià)擬合效果即可.

【詳解】(1)9=1(120+106+96+90+95)=率=101.4.

(2)中國(guó)出生人口數(shù)低于700萬(wàn)，即》<70.

y-120-6%<70,解得：尤>],(xeZ),

當(dāng)％=8時(shí)，y=120—6x8=72>70,

當(dāng)x=9時(shí)，9=120—6x9=66v7。，

x=9對(duì)應(yīng)2028年，即預(yù)測(cè)從2028年開(kāi)始中國(guó)出生人口數(shù)將低于700萬(wàn).

(3)當(dāng)x=l,5^=120-6x1=114,%一%=(120-114)2=36,

2

當(dāng)x=2,y=120-6x2=108,y2-y2=(106-108)=4,

2

當(dāng)x=3,9=120-6x3=102,j；3-y3=(96-102)=36,

2

當(dāng)x=4,9=120-6x4=96,y4-y4=(90-96)=36,

2

當(dāng)x=5,9=120-6x5=90,y5-y5=(95-90)=25,

51,

Z(…)

所以R2=l一號(hào)--------

Z(x-y)2

Z=1

I36+4+36+36+25

?1----------------------------

答案第7頁(yè)，共13頁(yè)

1137

=1-------

567

430

567

0.76

因?yàn)镼7VR2<O.85,所以這個(gè)模型的擬合效果一般.

3

16.(1)-

\L)-------

21

【分析】(1)根據(jù)題意，利用三角形的面積公式，得到黑，求得岑=嘗，進(jìn)

)CAE。七3AECE

ADCF

而求得季的假

12兀71

(2)由余弦定理，求得cosZ.BAC=――,得到NBAC=,再由AB_LAE,求得/DAE=—,

利用余弦定理求得COSB=E，得到sinNAED=獸，結(jié)合坐=當(dāng)學(xué)，即可求解.

1414DEsmZDAE

【詳解】(1)解：因?yàn)?R4D=/01E,且AB=5,AC=3,

-AB-ADsinABAD.-.?

所以c趣----------------=些Dr，可得迦=也

S^CAE-AC-AEsinZCAECE3AECE

2

ADCE_3

^5ADCE^3BDAE,所以

AEBD~5

(2)解：因?yàn)锳B=5,AC=3,BC=7,

儂+叱-叱52+32-721

所以cos/A4c

2ABAC

又因?yàn)?Ce(0,7t),所以/3AC=w，

因?yàn)樗?BAD=NCAE=M_'=m，所以=

3263

T7日斗cAB2+BC2-AC252+72-321313

又因?yàn)閏osB=-----------------------=----------=一,所以sinZzAED=cosBD=一,

2ABBC2x5x71414

13

ADsinZAEDu1373

所以---=---------=-^-F=-=——

“人DEsinZDAE百21,

~2

17.(1)證明見(jiàn)解析

32

⑵了

答案第8頁(yè)，共13頁(yè)

⑶4

【分析】（1）由條件先證明AB_LAD，Pfi_LAD,根據(jù)線面垂直判定定理證明AD_L平面上鉆,

根據(jù)面面垂直判定定理證明平面PAB_L平面ABCD.

（2）過(guò)點(diǎn)尸作戶日_LAB,垂足為H,根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理證明PH_L平面ABC。，結(jié)合

錐體體積公式可得丫M:PXIS"O+SBS），再求尸”和△BCD的面積的最大值，由此可

得結(jié)論；

（3）建立空間直角坐標(biāo)系，求直線PC的方向向量與平面PBO的法向量，再結(jié)合向量夾角

公式求結(jié)論.

【詳解】（1）由題意知四邊形存在外接圓，

ikZBAD+ZBCD=Tt,

TT

而B(niǎo)CLCD,即N3CO=—,

2

TT

所以ZBAD=-,故AB_LAT>,

2

由P3J_平面PAD,A￡>u平面PAD,可得PB_LA￡>,

而ABcPB=B,ABu平面FAB,P8u平面FAB,

故A￡>_L平面E4B,

又因?yàn)?）u平面ABC。，故平面MB，平面ABCD.

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)P作也_LAB,垂足為H,

由（1）平面P4B_L平面A2CD,又平面PABc平面ABCD=AB,尸Hu平面

所以PH_L平面A3C3.

設(shè)四邊形ABCD的面積為S,

則四棱錐尸—ABCD的體積丫=；刊/5=3///（5.0+588），

因?yàn)锳B=A￡>=4,AB±AD,所以&ABD=8,

因?yàn)镻B_L平面上4￡>,B4u平面PAD,

答案第9頁(yè)，共13頁(yè)

所以PB_LB4,則點(diǎn)P在以A8為直徑的圓上，

AD

當(dāng)=時(shí)，PH最大,最大值為不-=2.

因?yàn)?CLCD,所以點(diǎn)C在以BO為直徑的圓上，且刖=辦加+心=4后，

當(dāng)3C=CD=4時(shí)，5徵8最大，最大值為8,此時(shí)底面A8C。是正方形.

132

所以四棱錐P-ABCD體積的最大值為匕1ax=]x2x16=?.

(3)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,所在直線分別為x,y軸，過(guò)點(diǎn)A且與平面ABCD垂直的直

線為z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.

由(2)可知3(4,0,0),D(0,4,0),尸(2,0,2),C(4,4,0),

所以尸3=（2,0,-2）,BD=（T,4,0）,PC=（2,4,-2）.

設(shè)平面PBD的法向量為n=(x,y,z),

PB-n=2x-2z=0

貝lj一

BD?n=—4x+4y=0

取x=i,貝（Jy=i,z=i

所以〃=(1,1,1)為平面PBD的一個(gè)法向量,

設(shè)直線PC與平面尸所成的角為

H-PC\|2+4-2|也

則sine=5_=

同回|氐14+16+43

所以直線PC與平面P3D所成角的正弦值為正.

3

4

18.(1)>=無(wú)一一r-l

(2)單調(diào)遞增區(qū)間為12-5/^,-2+,單調(diào)遞減區(qū)間為卜00,-2-A/^)和卜2+A/2,+ooj

答案第10頁(yè)，共13頁(yè)

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程.

(2)求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

(3)分。=0和。工0討論.當(dāng)awO時(shí)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程：=(2工+工2卜工只有1解，求。的取

值范圍.

【詳解】⑴若a=l,b=-\,則/(x)=x-xV-1,r(x)=l-(2x+x2)e\

/、4

所以尸(一2)=1,/(-2)=-3--7,

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)(-2,"-2))處的切線方程為y=(x+2)-3-5，即y=-1.

(2)由題易知g(x)=r(x)=l-。(2%+/)1,所以g'(x)=-a(x?+4x+2)e”.

令g'(x)=0,得尤=-2土行，

當(dāng)x<-2-后或x>-2+夜時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)-2-夜<x<—2+應(yīng)時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

故g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間(-2-72,-2+72),單調(diào)遞減區(qū)間為卜哈-2-⑹和

2+A/2,+<?j.

(3)若。=0,貝ij/(x)=x+b,/(x)僅有1個(gè)零點(diǎn)，符合題意.

若°片0,由〃x)至多有2個(gè)零點(diǎn)，可知〃x)至多有1個(gè)極值點(diǎn)，

則_f(x)=l-a(2x+/)e”至多有1個(gè)變號(hào)零點(diǎn).

由_f(x)=0,可得：=(2x+x2)e\

設(shè)=(21+12)匕",貝ij//(%)=(爐+4%+2)e”,

可得g)在卜2-0,-2+⑹上單調(diào)遞減，在卜8,-2-⑹和卜2+加,+8)上單調(diào)遞增，

所以火力的極大值為〃卜2-夜卜極小值為從-2+后)=

且當(dāng)xe(-co,-2)D(0,+⑹時(shí),h(x)>0,當(dāng)xe(-2,0)時(shí)，/i(x)<0,作出的大致圖象

如下:

答案第11頁(yè)，共13頁(yè)

根據(jù)題意，直線y與可力的圖象至多有1個(gè)交點(diǎn)（切點(diǎn)除外）,

匚12-2*\/2_p.12+2^/2（1+亞忖-①（&-1/2+點(diǎn)

所以Lk或Lk'解得一^-----[----4a<0或。-----------

22

綜上，〃的取值范圍是

22

以⑴￥

⑵①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析

2722

【分析】（1）根據(jù)題意，將點(diǎn)瓦V2V—26代入橢圓方程得bh勺=上1，進(jìn)而求得離心率;

37a29

（2）①由題可知直線尸。的斜率不可能為0,設(shè)尸。的方程為x=9+，〃，與橢圓方程聯(lián)立可得

k

根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合詈=5,解得加=26,進(jìn)而得證；②根據(jù)題意，可得｛2｝是等比數(shù)列,