壓軸題04相似三角形

部盤重點?抓核心

相似三角形是中考數學中難度跨度大、與其他考點結合性比較強、重要性比較高的一個考點，所以全

國各地很多壓軸題基本都會有相似三角形的參與。對與這類壓軸題，相似三角形常用考點有：

1、相似三角形的性質：相似三角形對應角相等，對應邊成比例；

而相似三角形對應邊成比例是幾何問題求長度時列方程最常用的等量關系。

2、相似三角形的判定：

①平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似；

②有兩個角對應相等的兩個三角形相似；

③兩邊對應成比例，且夾角相等的兩個三角形相似；

④三邊對應成比例的兩個三角形相似。

3、相似三角形的其他應用：

①兩相似三角形的周長比=相似比；對應邊上的高線、中線之比=相似比；對應角的角平分線之比=相似

比；

②兩相似三角形的面積比二相似比的平方；

③三角形的重心：三角形三邊中線的交點叫做重心；三角形的重心分每一條中線成1:2的兩條線段;

4、相似三角形常見模型：

①平行類相似——A字圖'8字圖，如圖：當DE〃BC時，ZkADEs^ABC

②K型圖，如圖：當NA=ND=NBCE時，△ABCsADCE

③手拉手相似，如圖：當△ABCs/JkDE時，ZkABDs/iACE

④母子三角形：如圖，當NACD=NB時，△ACDS2^ABC

⑤射影定理：如圖，則△ADCs/iCDBs/iACB

0

壓軸題型一：相似三角形選擇題

1.(2024?巴中)如圖，是用12個相似的直角三角形組成的圖案.若。4=1,則。G=()

125V512564326

A.-----B.---C.—D.----

64642727

2.（2024?德州）如圖，RtAABCZABC=90°，BD±AC,垂足為。，AE平分N8AC,分別交5。,

5C于點RE.若A3：BC=3：4,貝！JBRFD為（）

C.4：3D.2：1

3.（2024?溫州三模）如圖，正方形ABC。由四個全等的直角三角形拼接而成，連結“尸交。E于點若

)

42

A.-B.-C.-D.-

9273

4.(2024?南通)在△ABC中，/B=/C=a(0°<a<45°),AH1BC,垂足為H。是線段8C上的動

點（不與點”，C重合），將線段。“繞點。順時針旋轉2a得到線段。E.兩位同學經過深入研究，小

明發(fā)現：當點￡落在邊AC上時，點。為8C的中點；小麗發(fā)現：連接AE,當AE的長最小時，AH2=

請對兩位同學的發(fā)現作出評判（）

A.小明正確，小麗錯誤B.小明錯誤，小麗正確

C.小明、小麗都正確D.小明、小麗都錯誤

5.（2024?東營）如圖，在正方形ABC。中，AC與BD交于點。，X為A8延長線上的一點，且2D,

連接分別交AC,BC于點E,F,連接8E,則下列結論:

?CFV3

①---:

BF2

@tanZH=V3-1；

③BE平分/CBD；

@2AB2=DE'DH.

其中正確結論的個數是（）

D

A.1個B.2個C.3個D.4個

壓軸題型二：相似三角形填空題

1.（2024?蘇州）如圖，△ABC中，ZACB=90°,CB=5,CA=10,點。，E分另I」在AC,AB邊上，AE=展AD,

連接DE,將△ADE沿。E翻折，得到△尸￡比，連接CE,CF.若的面積是△BEC面積的2倍,

則AO=.

2.（2024?成都）如圖，在Rt/VIBC中，NC=90°,A￡＞是△ABC的一條角平分線，E為中點，連接

BE.若BE=BC,CD=2,貝U8。

3.（2024?無錫）如圖，在△A8C中，AC=2,AB=3,直線CN〃AB,E是BC上的動點（端點除外），射

線AE交CM于點D.在射線AE上取一點P,使得AP=2ED,作PQ//AB,交射線AC于點Q.設AQ

=尤，PQ=y.當尤=y時，CD;在點E運動的過程中，y關于x的函數表達式

4.（2024?重慶）如圖，在△A8C中，延長AC至點。，使C￡）=CA,過點。作Z）E〃C8,KDE=DC,連

接AE1交8C于點?若NC4B=NCR1,CF=1,貝！JBF

D

E

5.（2024?東阿縣模擬）如圖，正方形ABC。的邊長為12,QB的半徑為6,點P是OB上一個動點，則PD+^PC

的最小值為

6.（2024?濟寧）如圖，ZkABC中，AB^AC,ZBAC=90°,4。是△ABC的角平分線.

(1)以點2為圓心,適當長為半徑畫弧，分別交BA,BC于點、E,F.

(2)以點A為圓心,BE長為半徑畫弧,交AC于點G.

(3)以點G為圓心,跖長為半徑畫弧,與（2）中所畫的弧相交于點

(4)畫射線AH.

(5)以點8為圓心,長為半徑畫弧,交射線AH于點M.

連接MC,MB.KB分別交AC,于點N,P.

根據以上信息，下面五個結論中正確的是.（只填序號）

①BD=CD；②NA8M=15。③/APN=/ANP；=-；⑤MC?=MN*MB.

AD2

壓軸題型三：相似三角形常見模型

1.（2024?西寧）【感知特例】

（1）如圖1,點A,3在直線/上，AC±l,DBM,垂足分別為A,B,點尸在線段AB上，且PCLPD

垂足為p.

結論：AC，BD=AP，BP

（請將下列證明過程補充完整）

證明：VACX/,BDLl,PC±PD

：.NCAP=/DBP=/CPD=90°,

：.ZC+ZAPC=90°,

,+ZAPC=90°,

,（同角的余角相等）

AAPC-,（兩角分別相等的兩個三角形相似）

???=,（相似三角形的對應邊成比例）

即AC?BD=AP*BP.

【建構模型】

（2）如圖2,點A,8在直線/上，點尸在線段上，且NCAP=/DBP=NCPD.結論

?2尸仍成立嗎？請說明理由.

【解決問題】

（3）如圖3,在AABC中，AC=BC=5,A8=8,點P和點。分別是線段AB,8C上的動點，始終滿足

ZCPD=ZA.設AP長為x（0<x<8）,當尤=時，8D有最大值是.

圖］圖2圖3

2.（2024?江西）綜合與實踐

如圖，在RtZkABC中，點。是斜邊A8上的動點（點。與點A不重合），連接CD,以CO為直角邊在

CECB

C。的右側構造RtZXCDE,ZZ）CE=90°,連接BE,一=一=m.

特例感知

(1)如圖1,當機=1時，8E與A。之間的位置關系是,數量關系是.

類比遷移

(2)如圖2,當"zWl時，猜想BE與AD之間的位置關系和數量關系，并證明猜想.

拓展應用

(3)在(1)的條件下，點尸與點C關于。E對稱，連接。凡EF,BF,如圖3.已知AC=6,設A。

=x,四邊形的面積為y.

①求y與x的函數表達式，并求出y的最小值；

②當8F=2時，請直接寫出的長度.

3.(2024?資陽)(1)【觀察發(fā)現】如圖1,在中，點。在邊BC上.若/B4Z)=/C,則人林二區(qū)”

BC,請證明；

(2)【靈活運用】如圖2,在△ABC中，NBAC=60°,點。為邊BC的中點，CA=CD=2,點E在AB

上，連接A。，DE.若/AED=NCAD,求BE的長；

(3)【拓展延伸】如圖3,在菱形ABC。中，48=5,點E,尸分別在邊ADCD上,NABC=2/EBF,

圖1圖2圖3

4.（2024?齊齊哈爾）綜合與實踐

如圖1,這個圖案是3世紀我國漢代的趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，受

這幅圖的啟發(fā)，數學興趣小組建立了“一線三直角模型”.如圖2,在△ABC中，NA=90°,將線段8C

繞點8順時針旋轉90°得到線段8。，作交AB的延長線于點E.

（1）【觀察感知】如圖2,通過觀察，線段與。E的數量關系是；

（2）【問題解決】如圖3,連接C。并延長交A8的延長線于點若AB=2,AC=6,求△2。產的面積；

BN

（3）【類比遷移】在（2）的條件下，連接CE交8。于點N,則一=；

BC----------------

（4）【拓展延伸】在（2）的條件下，在直線A8上找點P,使tan/BCP=',請直接寫出線段AP的長

度.

壓軸題型四：相似三角形綜合題

1.（2024?上海）如圖所示，在矩形ABCD中，E為邊C￡）上一點，且AE_L8O.

（1）求證：AD2=DE-DC；

⑵廠為線段AE延長線上一點，且滿足￡尸=6=扣0,求證：CE=AD.

F

2.(2024?船山區(qū)校級模擬)如圖，在菱形ABCD中，點M是8C上一點，連接AM并延長分別交BD和

OC的延長線于點。和點N,連接CQ.

CQQM

(1)求證：—

NQCQ

(2)連接AC,若AM_LBC,且QN=8,MN=6,求8。的長.

D

3.(2024?臨夏州)如圖1,在矩形ABC。中，點E為邊上不與端點重合的一動點，點/是對角線3。

上一點，連接BE,AF交于點。，且

【模型建立】

(1)求證：AF1BE；

【模型應用】

1

(2)若AB=2,AO=3,DF=^BF,求。E的長；

【模型遷移】

(3)如圖2,若矩形ABC￡)是正方形，DF=jBF,求絲的值.

2AD

IT

4.（2024?赤峰）數學課上，老師給出以下條件，請同學們經過小組討論，提出探究問題.如圖1,在AABC

中，AB=AC,點。是AC上的一個動點，過點。作。于點E,延長￡￡）交BA延長線于點立

請你解決下面各組提出的問題:

（1）求證：AD=AF；

⑵探喘噎的關系;

AD1DF2AD4DF8

某小組探究發(fā)現，當點=/，-=-;當而=/，-=-

請你繼續(xù)探究:

AD7DF

①當而=4時,直接寫出法的值;

ADmDF

②當而=￡時,猜想法的值（用含相,”的式子表示），并證明;

（3）拓展應用：在圖1中，過點歹作尸PLAC,垂足為點P,連接CR得到圖2,當點。運動到使/

,AD771AP

ACF=/ACB時，若一—,直接寫出訪的值（用含m,n的式子表不）.

DCn

圖1圖2

5.(2024?甘南州)某學校數學興趣小組在數學課外活動中，對多邊形內兩條互相垂直的線段做了如下探究:

(1)如圖1,在正方形A8CD中，點、E,P分別是AB,上的兩點，連接。E,CF,且。猜

想并計算”的值；

CF

CE

(2)如圖2,在矩形ABCD中，ZDBC=30°,點E是A。上的一點，連接CE,BD,且CELBD,求——的

BD

值；

(3)如圖3,在四邊形ABC。中，NA=/8=90°,點E為A8上一點，連接QE,過點C作。E的垂

線交EZ)的延長線于點G,交的延長線于點E求證：DE-AB^CF-AD.

壓軸題04相似三角形

3盤重點?抓核心

相似三角形是中考數學中難度跨度大、與其他考點結合性比較強、重要性比較高的一個考點，所以全

國各地很多壓軸題基本都會有相似三角形的參與。對與這類壓軸題，相似三角形常用考點有：

1、相似三角形的性質：相似三角形對應角相等，對應邊成比例；

而相似三角形對應邊成比例是幾何問題求長度時列方程最常用的等量關系。

2、相似三角形的判定：

①平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似；

②有兩個角對應相等的兩個三角形相似；

③兩邊對應成比例，且夾角相等的兩個三角形相似；

④三邊對應成比例的兩個三角形相似。

3、相似三角形的其他應用：

①兩相似三角形的周長比=相似比；對應邊上的高線、中線之比=相似比；對應角的角平分線之比=相似

比；

②兩相似三角形的面積比=相似比的平方；

③三角形的重心：三角形三邊中線的交點叫做重心；三角形的重心分每一條中線成1:2的兩條線段；

4、相似三角形常見模型：

①平行類相似——A字圖'8字圖，如圖：當DE〃BC時，AADEs^ABC

②K型圖，如圖：當NA=ND=NBCE時，△ABCs^DCE

③手拉手相似，如圖：當△ABCs/JkDE時，ZkABDs/iACE

④母子三角形：如圖，當NACD=NB時，△ACDS2^ABC

⑤射影定理：如圖，則△ADCs/iCDBs/iACB

0

壓軸題型一：相似三角形選擇題

1.(2024?巴中)如圖，是用12個相似的直角三角形組成的圖案.若。4=1,則。G=()

125V512564326

A.---------B.-----C.—D.-------

64642727

【分析】先根據相似三角形的性質得出圖中直角三角形的一個銳角為30°,再利用特殊角的三角函數值

結合相似三角形的性質即可解決問題.

【解答】解：因為圖中12個直角三角形都相似，

所以360°+12=30°,

即直角三角形中較小的銳角為30°.

在RtZXOAB中，

cosXAOB=緇，

因為乙408=30°,

,0AV3

所以=T'

0B2

同理可得，

OFV3OCV30DV3V3OFV3

OC2OD2OE~2'OF~2'OG~2

廣…04V3,27

所以二7=（TT）6

OG27'64'

又因為OA=\,

所以OG=f^.

故選：C.

【點評】本題主要考查了相似三角形的性質，熟知相似三角形的性質是解題的關鍵.

2.（2024?德州）如圖，RtZXABC中，ZABC=90°,BD1AC,垂足為。，AE平分/A4C,分別交

BC于點、F,E.若AB：BC=3：4,則FD為（）

A.5：3B.5：4C.4：3D.2：1

【分析】設AB=3x,BC=4x,根據勾股定理得到AC=7AB2+BC2=5x,根據相似三角形的性質得到

AD=|x,根據等腰三角形的性質得到BE=8凡根據相似三角形的性質即可得到結論.

【解答】解：BC=3：4,

.?.設AB=3x,BC=4x,

VZABC=90°,

：.AC=y/AB2+BC2=5x,

'：BD±AC,

ZADB=ZABC=90°,

*：ZBAD=ZCABf

：.△ABDS^ACB,

ABAD

?t?—,

ACAB

.3xAD

??—,

5%3%

?*AD—5x,

TAE平分N5AC,

???ZBAF=ZDAFf

：./AEB=/AFD,

丁ZAFD=ZBFE,

:./BEF=/BFE,

；.BE=BF,

VZABE=ZADF=9Q°,

ZBAE=ZDAFf

：.AABE^AADF,

.BEAB

??—,

DFAD

*BFAB3x5

??----Q--，

DFAD|x3

方法二：VAB：BC=3：4,

???設A8=3x,BC=4x,

VZABC=9Q°,

：.AC=7AB2+BC?=5x,

VBZ)±AC,

ZADB=ZABC=90°,

9

：ZBAD=ZCABf

：.△ABDS^ACB,

.AB_AD_

??—,

ACAB

.3xAD

??—,

5%3x

Q

：.AD=^x,過/H_LA8于從

TAE是N5AC的平分線，FDLAC,

:?FH=FD,

???/A_FH_AD

?smZABDND=麗=詬

.BFAB5

?'DF~AD~3'

故選：A.

【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質，勾股定理，角平分線的定義，熟練掌握相似三角形的判

定和性質定理是解題的關鍵.

3.（2024?溫州三模）如圖，正方形A3CQ由四個全等的直角三角形拼接而成，連結HF交DE于點M.若

【分析】延長CB,DE,交于點N,設A"=l,AE=2,依據即可得出8N=1.5；再根

HM

據ADHMsANFM,即可得到——的值.

FM

【解答】解：如圖所示，延長C3,DE,交于點N,設AH=1,AE=2,

???正方形A3CD由四個全等的直角三角形拼接而成,

：.BE=1,DH=BF=2,

,：AD//BN,

???AADEsXBNE,

—AD=A—E,Bp—3=2一,

BNBEBN1

；?BN=1.5,

U：DH//NF,

:.ADHMsANFM,

tHMPH24

"FM~NF~3.5~7’

故選：C.

【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質，解決問題的關鍵是延長CbDE,構造兩對“8”字

模型相似三角形，利用相似三角形的對應邊成比例進行計算.

4.（2024?南通）在△ABC中，ZB=ZC=a（0°<a<45°）,AH±BCf垂足為H,。是線段上的動

點（不與點”，C重合），將線段。〃繞點。順時針旋轉2a得到線段OE兩位同學經過深入研究，小

明發(fā)現：當點E落在邊AC上時，點。為HC的中點；小麗發(fā)現：連接AE,當AE的長最小時，AH2=

請對兩位同學的發(fā)現作出評判（）

A.小明正確，小麗錯誤B.小明錯誤，小麗正確

C.小明、小麗都正確D.小明、小麗都錯誤

【分析】旋轉得到。ZHDE=2a,當點E落在邊AC上時，利用三角形的外角推出/CEZ）=a

=ZC,進而得到。E=CD,推出DH=CD,判斷小明的說法，連接AE,HE,等邊對等角，求出NDHE=

1

乙DEH=|（180°-2a）=90。-a,進而求出/AMD-推出點E在射線HE上運動，

根據垂線段最短，得到時，AE的長最小，進而推出判斷小麗的說法即可.

（解答］解：；將線段DH繞點D順時針旋轉2a得到線段DE,

:.DH=DE,ZHDE=2a,

當點E落在邊AC上時，如圖:

：.ZCED=a=ZCf

:?DE=CD,

：.DH=CD,

???。為?！ǖ闹悬c，

故小明的說法是正確的;

連接AE,HE,

1

:?乙DHE=乙DEH=.（180。-2a）=90°-a,

VAHXBC,

AZAHB=ZAHD=90°,

???ZAHE=ZAHD-ZDHE=a,

???點E在射線“右上運動，

?,?當AE_LHE時，AE的長最小，

???當AE的長最小時，ZAEH=ZAHB=90°,

又?：/B=NC=a=NAHE,

4EAH

：.—=—,

AHAB

.\AH2=ABM￡,

故小麗的說法正確;

故選：C.

【點評】本題考查旋轉的性質，三角形的外角，等腰三角形的判定和性質，垂線段最短，相似三角形的

判定和性質，熟練掌握旋轉的性質，根據題意，正確的作圖，確定點E的軌跡，是解題的關鍵.

5.（2024?東營）如圖，在正方形ABCQ中，AC與8。交于點O,"為AB延長線上的一點，且

連接。X,分別交AC,BC于點、E,F,連接8E,則下列結論:

_CFV3

①一=—

BF2

@tanZH=V3-1；

③BE平分/CBD；

@2AB2=DE'DH.

其中正確結論的個數是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】通過證明△?DCFs可得號=故①錯誤；由tanH=船=V2-1,故②錯誤；

DHBF2a門

由正方形的性質可得AC垂直平分2D,ZCDB^ZCBD,可得DE=BE,由角的數量關系可求

NDBE,即BE平分/CB。，故③正確；通過證明可得2AB?=DE?DH,故④正確；即

可求解.

【解答】解：^AB=BC=CD=AD=a,

:四邊形ABC。是正方形,

：.CD//AB,BD=y[2a=BH,

:.△DCFs△HBF,

DCCFa42.

—=-=，故①錯陜;

BHBFv2a2

DA_a

,.*tanH=

4Ha-\-41a

.,.tanH=V2-1,故②錯誤;

?；BD=BH,

：.ZH=NBDH,

9：CD//AB,

：./CDE=NH,

：.ZCDE=ZBDE=/H,

???四邊形ABC。是正方形，

???AC垂直平分8D,/CDB=/CBD,

:?DE=BE,

:?/EDB=/EBD,

:,NCDE=NCBE,

：.NCBE=NDBE,

:?BE平分NCBD,故③正確；

,/ZBDE=/BDE,ZEDB=ZH=NDBE,

:?叢DEBs叢DBH,

.空DB

??=,

DBDH

：.DB2=DE'DH,

：.2.AB2=DE-DH,故④正確；

故選：B.

【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質，正方形的性質，解直角三角形等知識，靈活運用這些性

質解決問題是解題的關鍵.

壓軸題型二：相似三角形填空題

L(2024?蘇州)如圖,△ABC中,ZACB=90°,CB=5,CA=10,點。,E分別在AC,AB邊上,AE=短￡>,

連接DE,將△AOE沿。E翻折，得到△尸￡比，連接CE,CF.若的面積是△BEC面積的2倍，

,10

則A￡>=—.

-3-

【分析】設AD=x,AE=V5x,根據折疊性質得。尸=AO=x,ZADE=ZFDE,過E作EH_LAC于”，

EHAHAE

設EF與AC相交于M,證明得到一=—=一，進而得到EH=x,AH=2x,證明

BCACAB

RtAEHD是等腰直角三角形，得到NHDE=/HED=45°,可得/即M=90°,證明△/。A/g/kEHM

1Q

(AAS),得到。M=MH=2%，貝UCM=4C—AD—DM=10-尹，根據三角形的面積公式結合已知可

得(10--久=2(25-5x),然后解一元二次方程求解X的值即可.

【解答】解：：4石=迅月。，

.,.設4。=尤，AE—V5x,

?/AADE沿DE翻折，得到△fDE,

：.DF=AD=x,ZADE=ZFDE,

過萬作EHL4c于H,設EP與AC相交于M,

則/AHE=/ACB=90°,

又：ZA=ZA,

AAHEsAACB,

.EHAHAE

"BC~AC~AB'

'：CB=5,CA=10,AB=y/AC2+BC2=V102+52=5花，

.EHAHV5x

5—10—5后

：.EH=x,AH=VXF2-EH2=2%,貝UDH=AH-AD=x=EH,

；.RtZ\EHD是等腰直角三角形，

：.ZHDE=ZHED=45°,則/4?！?/石。尸=135°,

：.ZFDM^135°-45°=90°,

在△下。M和中,

NFDM=乙EHM=90°

乙DMF=4HME

、DF=EH

MFDMm4EHM(A4S),

13

：.DM=MH=^x,CM=AC-AD-DM=10-|x,

1I133

=SACME+SACMF=nCM,EH+5CM,DF—(10—,xx2=(10-,x,

乙乙乙乙乙

11

SABEC=SAABC—^LAEC=aXl0x5—=25-5x,

■:&CEF的面積是ABEC的面積的2倍,

3

???(10-界)?％=2(25-5%),

貝ij3/-40x+100=0,

1n

解得久1=手，X2=10（舍去）,

則力D=學

、a10

故答案為：—

3

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質、折疊性質、等腰直角三角形的判定與性質、全等三角形

的判定與性質、三角形的面積公式等知識，是綜合性強的填空壓軸題，熟練掌握相關知識的聯系與運用

是解答的關鍵.

2.（2024?成都）如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,是△ABC的一條角平分線，E為中點，連接

,1+V17

BE.若BE=BC,CD=2,則8。=------

-2

【分析】連接CE,過E作E/LL8C于凡設無，則8c=x+2,由/AC8=90°,E為中點，可

iCECD

得CE=AE=DE=aAD,有NCAE=NACE,/ECD=/EDC,證明可得一二一,

/BCCE

0,ACBC

/CED=NCBE,故。爐=。。?8。=2(x+2)=2x+4,MffiAABC^ABEF,得一二一,而AC=2ER

BFEF

即得2EF2=(X+1)(X+2),從而生嚀出2=(2x+4)-I2,即可解得答案.

【解答】解：連接CE,過E作于R如圖:

VZACB=90°，E為A0中點,

，CE=AE=DE=1AD,

：.ZCAE=ZACE,NECD=NEDC,

：.ZCED=2ZCAD,

?：BE=BC,

:?NECD=NBEC,

；?/BEC=/EDC,

?：NECD=NBCE,

:?△ECDS^BCE,

CECD

：.——=—,/CED=NCBE,

BCCE

；?CE2=CD?BC=2(X+2)=2X+4,

VAD平分NCA3,

：.ZCAB=2ZCAD.

:?NCAB=NCED,

??.NCAB=NCBE,

VZACB=90°=NBFE,

：.△ABC"△BER

.ACBC

??=,

BFEF

?：CE=DE,EFLBC,

1

：.CF=DF=^CD=1.

;后為人。中點，

：.AC=2EF,

.2EFx+2

'<%+1—EF'

；.2￡F2=(X+1)(X+2),

1/EF2=C￡2-CF2,

=⑵+4)

解得尸土孝生或戶上尹（小于0,舍去）,

【點評】本題考查相似三角形的判定與性質，涉及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、等腰三角

形的性質、三角形的中位線性質、三角形的外角性質、解一元二次方程等知識，有一定的難度，熟練掌

握三角形相關知識是解答的關鍵.

3.（2024?無錫）如圖，在△ABC中，AC=2,AB=3,直線CM〃A2,E是BC上的動點（端點除外），射

線AE交CM于點D在射線AE上取一點P,使得AP=2EZ）,作尸?！ˋB,交射線AC于點。.設A。

=x,PQ=y.當x=y時，CD=2；在點E運動的過程中，y關于x的函數表達式為_y=.

Q/-/P

AQPQ

【分析】易得CD〃PQ,則△APQS^ADC,得出二代入數據即可求出CD=2；根據△APQs

2CDDE2丫「

AADC,得出CD=把V，設。E=f,則4尸=2。通過證明△CDEs/XBAE,得出——=——，貝i]4E=歲，

進而得出4D=AE+DE=~3^y—，結合△APQS^AOC,可得祭=笫，代入各個數據，即可得出y

關于尤的函數表達式.

【解答】解：VCM//AB,PQ//AB,

J.CD//PQ,

AAPQ^/\ADC,

:.絲=絲，用=三,

ACCD2CD

???1=y,

:.CD=2；

:AAPQ^AADC,

.絲_絲-2L

ACCD2CD

整理得：CD=?,

設DE=3

\'AP=2ED,

：.AP^2t,

'：CM//AB,

二△CDES/XBAE,

2y

CDDEt

--=---,即---=---,

ABAE3AE

整理得：2E=簧，

：,AD=AE+DE=^+t=^^,

???AAPQ^AADC.

AQAPx2t

—=—,艮|3-=?

ACAD2t(3x+2y)

-2y-

整理得：、=福，

故答案為：2,y=

【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是掌握相似三角形對應邊成比例.

4.（2024?重慶）如圖，在△ABC中，延長AC至點。，使CZ）=CA,過點。作?！辍–8,MDE=DC,連

接AE交8c于點尺若/CAB=NCR1,CP=1,則8/=3

D

E

【分析】由平行線的等分線段定理推出由三角形中位線定理推出。丘=2。尸=2,得至IJAC=2CT

=2,由△CA/S/XCBA,推出AC：BC=CF：AC,求出8C=4,即可得到8月的長.

【解答】解：,.,CZ)=CA,DE//CB,

：.AF=EFf

???C/是△4￡)￡；的中位線，

:?DE=2CF=2,

■:DE=DC,

：.AC=2CF=2,

9：ZCAB=ZCFA,ZACF=ZACB,

AACAF^ACBA,

：.AC：BC=CF：AC,

A2：BC=1：2,

：.BC=4f

:?BF=BC-FC=3.

故答案為：3.

【點評】本題考查相似三角形的判定和性質，三角形中位線定理，平行線等分線段定理，關鍵是由三角

形中位線定理得到AC=2C尸=2,由△CAFS2\Q5A,推出AC：BC=CF：AC.

5.(2024?東阿縣模擬)如圖，正方形A3C。的邊長為12,OB的半徑為6,點尸是上一個動點，則PD+^PC

的最小值為15.

BC

1

【分析】連接尸5,在5C上截取BE=3,可證得從而PE=[PC.

【解答】解：如圖，

連接尸5,在8。上截取5E=3,則CE=BC-8E=12-3=9,

.BEPB1

??PB~BC~2

■:/PBE=/CBP,

:.ABPESABCP,

.PEBE1

??PC~PB~21

1

；?PE=^PC,

1

：.PD+^PC=PD+PE,

???當點。、P、E共線時，尸。+尸石最小,

?：DE=VCP2+CE2=V122+92=15,

.*.PD+*PC的最小值為15,

故答案為15.

【點評】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，勾股定理等知識，解決問題的關鍵是叢輔助線，構

造相似三角形.

6.(2024?濟寧)如圖，△ABC中，AB=AC,ZBAC=9Q°,AO是△ABC的角平分線.

(1)以點8為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交54,BC于點E,F.

(2)以點A為圓心，BE長為半徑畫弧，交AC于點G.

(3)以點G為圓心，EF長為半徑畫弧，與(2)中所畫的弧相交于點H.

(4)畫射線AH.

(5)以點2為圓心，BC長為半徑畫弧，交射線于點

(6)連接MC,MB.MB分別交AC,AD于點N,P.

根據以上信息，下面五個結論中正確的是①②⑤.(只填序號)

4MV3

①BZ)=CD；②/ABM=15。③/APN=/ANP；④一=-；⑤Md=MN*MB.

AD2

A

//\\N^rIV?v\

【分析】根據等腰三角形的性質即可判斷出①；過M作MKLBC于點K,證出四邊形AOKM為矩形，

即可通過邊的比值關系求出/MBK=30°,即可求出判斷②；利用三角形外角和分別求出兩個角

的值進行

比較即可判斷③；設AP=尤，則PD=AD-尤，用含x的式子分別表達出AM和AD的長度后即可判斷④；

判定出LBMCs△CMN即可判斷⑤.

【解答】解：TAB=AC,/BAC=9。；

三角形ABC為等腰直角三角形，ZABD=ZACD=45°,

又是△ABC的角平分線，

11

AZBAD^ZCAD=^ZBAC^x90°=45°,

ZABD=ZACD=ZBAD=ZCAD=45°,

：.BD=AD=DC,故①正確；

根據題意作圖可得：ZMAC=ZABD=45°,BM=BC,

過M作MK_L8C于點K,則NMK2=90°,如圖：

：是△ABC的角平分線，由三線合一可得：AD1BC,即NAOC=90°,

VZDAM=ZDAC+ZMAC=450+45°=90°,

/.ZDAM=ZMKB=ZADC=90°,

四邊形ADKM為矩形,

11

???MK=AD=今BC=專BM,

：.ZMBK=30°,

AZABM=AABD-ZMBK=45°-30°=15°,故②正確；

VZAPN=ZABM+ZBAD=15°+45°=60°,NANP=NMBK+NDAC=30°=75

：.ZAPN^ZANP,故③錯誤；

設AP=x,則尸。=AO-x,

9：AM//BC,

：.ZAMB=ZMBC=30°,

.*.tanZAMB=tan30o=瑞=肅=等，即AM=底，

八cc。PDAD-x/3pinA八3X+73X

tanZMBC=tan30=-HH=—TTT-=亍，即AZ)=----□----，

DUAU3Z

*=&=?-'，故④錯誤；

2

添加解法：在Rt^MBC中，tan/MBC=萬2%=￡

Zi/*7J

(3-V3)AD=V3AM,

AMI-

A—■=V3-1,故④錯誤;

180。一4MBC180°-30°n。

?：NBMC=NBCM=

2-2—=75

:/MNC=NANP=15°，

/MNC=ZBCM,

又〈NBMC=NCMN,

:.ABMCsACMN,

：.MC：MN=MB：MC,

:.Md=MN,MB,故⑤正確；

綜上所述，正確的有：①②⑤;

故答案為：①②⑤.

【點評】本題為尺規(guī)作圖幾何綜合題，涉及到了等腰三角形的性質即判定，矩形的判定，含30度角的直角

三角形的定義，銳角三角函數的比值關系，相似三角形的判定及性質等知識點，靈活運用角的等量代換是

解題的關鍵.

壓軸題型三：相似三角形常見模型

1.（2024?西寧）【感知特例】

（1）如圖1,點A,8在直線/上，ACM,DBLI,垂足分別為A,8,點尸在線段AB上，且PCLLP。，

垂足為P.

結論：AC-BD=AP'BP

（請將下列證明過程補充完整）

證明：VAC±Z,BD1l,PC±PD

：.NCAP=NDBP=NCPD=90°,

.\ZC+ZAPC=90°,

ZDPB.+ZAPC^90°,

ZC=NDPB,（同角的余角相等）

/.AAPCsABDP,（兩角分別相等的兩個三角形相似）

4cAP

,（相似三角形的對應邊成比例）

-BP——BD—

即AC?BD=AP*BP.

【建構模型】

（2）如圖2,點A,B在直線/上，點尸在線段上，且/CAP=/DBP=/CPD.結論

?8尸仍成立嗎？請說明理由.

【解決問題】

（3）如圖3,在AABC中，AC=BC=5,A8=8,點尸和點。分別是線段AB,8C上的動點，始終滿足