壓軸題04相似三角形

部盤重點(diǎn)?抓核心

相似三角形是中考數(shù)學(xué)中難度跨度大、與其他考點(diǎn)結(jié)合性比較強(qiáng)、重要性比較高的一個(gè)考點(diǎn)，所以全

國(guó)各地很多壓軸題基本都會(huì)有相似三角形的參與。對(duì)與這類壓軸題，相似三角形常用考點(diǎn)有：

1、相似三角形的性質(zhì)：相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例；

而相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例是幾何問題求長(zhǎng)度時(shí)列方程最常用的等量關(guān)系。

2、相似三角形的判定：

①平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；

②有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；

③兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個(gè)三角形相似；

④三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似。

3、相似三角形的其他應(yīng)用：

①兩相似三角形的周長(zhǎng)比=相似比；對(duì)應(yīng)邊上的高線、中線之比=相似比；對(duì)應(yīng)角的角平分線之比=相似

比；

②兩相似三角形的面積比二相似比的平方；

③三角形的重心：三角形三邊中線的交點(diǎn)叫做重心；三角形的重心分每一條中線成1:2的兩條線段;

4、相似三角形常見模型：

①平行類相似——A字圖'8字圖，如圖：當(dāng)DE〃BC時(shí)，ZkADEs^ABC

②K型圖，如圖：當(dāng)NA=ND=NBCE時(shí)，△ABCsADCE

③手拉手相似，如圖：當(dāng)△ABCs/JkDE時(shí)，ZkABDs/iACE

④母子三角形：如圖，當(dāng)NACD=NB時(shí)，△ACDS2^ABC

⑤射影定理：如圖，則△ADCs/iCDBs/iACB

0

壓軸題型一：相似三角形選擇題

1.(2024?巴中)如圖，是用12個(gè)相似的直角三角形組成的圖案.若。4=1,則。G=()

125V512564326

A.-----B.---C.—D.----

64642727

2.（2024?德州）如圖，RtAABCZABC=90°，BD±AC,垂足為。，AE平分N8AC,分別交5。,

5C于點(diǎn)RE.若A3：BC=3：4,貝！JBRFD為（）

C.4：3D.2：1

3.（2024?溫州三模）如圖，正方形ABC。由四個(gè)全等的直角三角形拼接而成，連結(jié)“尸交。E于點(diǎn)若

)

42

A.-B.-C.-D.-

9273

4.(2024?南通)在△ABC中，/B=/C=a(0°<a<45°),AH1BC,垂足為H。是線段8C上的動(dòng)

點(diǎn)（不與點(diǎn)”，C重合），將線段?！袄@點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2a得到線段。E.兩位同學(xué)經(jīng)過深入研究，小

明發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)￡落在邊AC上時(shí)，點(diǎn)。為8C的中點(diǎn)；小麗發(fā)現(xiàn)：連接AE,當(dāng)AE的長(zhǎng)最小時(shí)，AH2=

請(qǐng)對(duì)兩位同學(xué)的發(fā)現(xiàn)作出評(píng)判（）

A.小明正確，小麗錯(cuò)誤B.小明錯(cuò)誤，小麗正確

C.小明、小麗都正確D.小明、小麗都錯(cuò)誤

5.（2024?東營(yíng)）如圖，在正方形ABC。中，AC與BD交于點(diǎn)。，X為A8延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且2D,

連接分別交AC,BC于點(diǎn)E,F,連接8E,則下列結(jié)論:

?CFV3

①---:

BF2

@tanZH=V3-1；

③BE平分/CBD；

@2AB2=DE'DH.

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

D

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

壓軸題型二：相似三角形填空題

1.（2024?蘇州）如圖，△ABC中，ZACB=90°,CB=5,CA=10,點(diǎn)。，E分另I」在AC,AB邊上，AE=展AD,

連接DE,將△ADE沿。E翻折，得到△尸￡比，連接CE,CF.若的面積是△BEC面積的2倍,

則AO=.

2.（2024?成都）如圖，在Rt/VIBC中，NC=90°,A￡＞是△ABC的一條角平分線，E為中點(diǎn)，連接

BE.若BE=BC,CD=2,貝U8。

3.（2024?無錫）如圖，在△A8C中，AC=2,AB=3,直線CN〃AB,E是BC上的動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），射

線AE交CM于點(diǎn)D.在射線AE上取一點(diǎn)P,使得AP=2ED,作PQ//AB,交射線AC于點(diǎn)Q.設(shè)AQ

=尤，PQ=y.當(dāng)尤=y時(shí)，CD;在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過程中，y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式

4.（2024?重慶）如圖，在△A8C中，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)。，使C￡）=CA,過點(diǎn)。作Z）E〃C8,KDE=DC,連

接AE1交8C于點(diǎn)?若NC4B=NCR1,CF=1,貝！JBF

D

E

5.（2024?東阿縣模擬）如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為12,QB的半徑為6,點(diǎn)P是OB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PD+^PC

的最小值為

6.（2024?濟(jì)寧）如圖，ZkABC中，AB^AC,ZBAC=90°,4。是△ABC的角平分線.

(1)以點(diǎn)2為圓心,適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交BA,BC于點(diǎn)、E,F.

(2)以點(diǎn)A為圓心,BE長(zhǎng)為半徑畫弧,交AC于點(diǎn)G.

(3)以點(diǎn)G為圓心,跖長(zhǎng)為半徑畫弧,與（2）中所畫的弧相交于點(diǎn)

(4)畫射線AH.

(5)以點(diǎn)8為圓心,長(zhǎng)為半徑畫弧,交射線AH于點(diǎn)M.

連接MC,MB.KB分別交AC,于點(diǎn)N,P.

根據(jù)以上信息，下面五個(gè)結(jié)論中正確的是.（只填序號(hào)）

①BD=CD；②NA8M=15。③/APN=/ANP；=-；⑤MC?=MN*MB.

AD2

壓軸題型三：相似三角形常見模型

1.（2024?西寧）【感知特例】

（1）如圖1,點(diǎn)A,3在直線/上，AC±l,DBM,垂足分別為A,B,點(diǎn)尸在線段AB上，且PCLPD

垂足為p.

結(jié)論：AC，BD=AP，BP

（請(qǐng)將下列證明過程補(bǔ)充完整）

證明：VACX/,BDLl,PC±PD

：.NCAP=/DBP=/CPD=90°,

：.ZC+ZAPC=90°,

,+ZAPC=90°,

,（同角的余角相等）

AAPC-,（兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似）

???=,（相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例）

即AC?BD=AP*BP.

【建構(gòu)模型】

（2）如圖2,點(diǎn)A,8在直線/上，點(diǎn)尸在線段上，且NCAP=/DBP=NCPD.結(jié)論

?2尸仍成立嗎？請(qǐng)說明理由.

【解決問題】

（3）如圖3,在AABC中，AC=BC=5,A8=8,點(diǎn)P和點(diǎn)。分別是線段AB,8C上的動(dòng)點(diǎn)，始終滿足

ZCPD=ZA.設(shè)AP長(zhǎng)為x（0<x<8）,當(dāng)尤=時(shí)，8D有最大值是.

圖］圖2圖3

2.（2024?江西）綜合與實(shí)踐

如圖，在RtZkABC中，點(diǎn)。是斜邊A8上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)。與點(diǎn)A不重合），連接CD,以CO為直角邊在

CECB

C。的右側(cè)構(gòu)造RtZXCDE,ZZ）CE=90°,連接BE,一=一=m.

特例感知

(1)如圖1,當(dāng)機(jī)=1時(shí)，8E與A。之間的位置關(guān)系是,數(shù)量關(guān)系是.

類比遷移

(2)如圖2,當(dāng)"zWl時(shí)，猜想BE與AD之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明猜想.

拓展應(yīng)用

(3)在(1)的條件下，點(diǎn)尸與點(diǎn)C關(guān)于。E對(duì)稱，連接。凡EF,BF,如圖3.已知AC=6,設(shè)A。

=x,四邊形的面積為y.

①求y與x的函數(shù)表達(dá)式，并求出y的最小值；

②當(dāng)8F=2時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)度.

3.(2024?資陽(yáng))(1)【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖1,在中，點(diǎn)。在邊BC上.若/B4Z)=/C,則人林二區(qū)”

BC,請(qǐng)證明；

(2)【靈活運(yùn)用】如圖2,在△ABC中，NBAC=60°,點(diǎn)。為邊BC的中點(diǎn)，CA=CD=2,點(diǎn)E在AB

上，連接A。，DE.若/AED=NCAD,求BE的長(zhǎng)；

(3)【拓展延伸】如圖3,在菱形ABC。中，48=5,點(diǎn)E,尸分別在邊ADCD上,NABC=2/EBF,

圖1圖2圖3

4.（2024?齊齊哈爾）綜合與實(shí)踐

如圖1,這個(gè)圖案是3世紀(jì)我國(guó)漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，受

這幅圖的啟發(fā)，數(shù)學(xué)興趣小組建立了“一線三直角模型”.如圖2,在△ABC中，NA=90°,將線段8C

繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段8。，作交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

（1）【觀察感知】如圖2,通過觀察，線段與。E的數(shù)量關(guān)系是；

（2）【問題解決】如圖3,連接C。并延長(zhǎng)交A8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)若AB=2,AC=6,求△2。產(chǎn)的面積；

BN

（3）【類比遷移】在（2）的條件下，連接CE交8。于點(diǎn)N,則一=；

BC----------------

（4）【拓展延伸】在（2）的條件下，在直線A8上找點(diǎn)P,使tan/BCP=',請(qǐng)直接寫出線段AP的長(zhǎng)

度.

壓軸題型四：相似三角形綜合題

1.（2024?上海）如圖所示，在矩形ABCD中，E為邊C￡）上一點(diǎn)，且AE_L8O.

（1）求證：AD2=DE-DC；

⑵廠為線段AE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且滿足￡尸=6=扣0,求證：CE=AD.

F

2.(2024?船山區(qū)校級(jí)模擬)如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)M是8C上一點(diǎn)，連接AM并延長(zhǎng)分別交BD和

OC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。和點(diǎn)N,連接CQ.

CQQM

(1)求證：—

NQCQ

(2)連接AC,若AM_LBC,且QN=8,MN=6,求8。的長(zhǎng).

D

3.(2024?臨夏州)如圖1,在矩形ABC。中，點(diǎn)E為邊上不與端點(diǎn)重合的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)/是對(duì)角線3。

上一點(diǎn)，連接BE,AF交于點(diǎn)。，且

【模型建立】

(1)求證：AF1BE；

【模型應(yīng)用】

1

(2)若AB=2,AO=3,DF=^BF,求。E的長(zhǎng)；

【模型遷移】

(3)如圖2,若矩形ABC￡)是正方形，DF=jBF,求絲的值.

2AD

IT

4.（2024?赤峰）數(shù)學(xué)課上，老師給出以下條件，請(qǐng)同學(xué)們經(jīng)過小組討論，提出探究問題.如圖1,在AABC

中，AB=AC,點(diǎn)。是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)。作。于點(diǎn)E,延長(zhǎng)￡￡）交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)立

請(qǐng)你解決下面各組提出的問題:

（1）求證：AD=AF；

⑵探喘噎的關(guān)系;

AD1DF2AD4DF8

某小組探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)=/，-=-;當(dāng)而=/，-=-

請(qǐng)你繼續(xù)探究:

AD7DF

①當(dāng)而=4時(shí),直接寫出法的值;

ADmDF

②當(dāng)而=￡時(shí),猜想法的值（用含相,”的式子表示），并證明;

（3）拓展應(yīng)用：在圖1中，過點(diǎn)歹作尸PLAC,垂足為點(diǎn)P,連接CR得到圖2,當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到使/

,AD771AP

ACF=/ACB時(shí)，若一—,直接寫出訪的值（用含m,n的式子表不）.

DCn

圖1圖2

5.(2024?甘南州)某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，對(duì)多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線段做了如下探究:

(1)如圖1,在正方形A8CD中，點(diǎn)、E,P分別是AB,上的兩點(diǎn)，連接。E,CF,且。猜

想并計(jì)算”的值；

CF

CE

(2)如圖2,在矩形ABCD中，ZDBC=30°,點(diǎn)E是A。上的一點(diǎn)，連接CE,BD,且CELBD,求——的

BD

值；

(3)如圖3,在四邊形ABC。中，NA=/8=90°,點(diǎn)E為A8上一點(diǎn)，連接QE,過點(diǎn)C作。E的垂

線交EZ)的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E求證：DE-AB^CF-AD.

壓軸題04相似三角形

3盤重點(diǎn)?抓核心

相似三角形是中考數(shù)學(xué)中難度跨度大、與其他考點(diǎn)結(jié)合性比較強(qiáng)、重要性比較高的一個(gè)考點(diǎn)，所以全

國(guó)各地很多壓軸題基本都會(huì)有相似三角形的參與。對(duì)與這類壓軸題，相似三角形常用考點(diǎn)有：

1、相似三角形的性質(zhì)：相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例；

而相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例是幾何問題求長(zhǎng)度時(shí)列方程最常用的等量關(guān)系。

2、相似三角形的判定：

①平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；

②有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；

③兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個(gè)三角形相似；

④三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似。

3、相似三角形的其他應(yīng)用：

①兩相似三角形的周長(zhǎng)比=相似比；對(duì)應(yīng)邊上的高線、中線之比=相似比；對(duì)應(yīng)角的角平分線之比=相似

比；

②兩相似三角形的面積比=相似比的平方；

③三角形的重心：三角形三邊中線的交點(diǎn)叫做重心；三角形的重心分每一條中線成1:2的兩條線段；

4、相似三角形常見模型：

①平行類相似——A字圖'8字圖，如圖：當(dāng)DE〃BC時(shí)，AADEs^ABC

②K型圖，如圖：當(dāng)NA=ND=NBCE時(shí)，△ABCs^DCE

③手拉手相似，如圖：當(dāng)△ABCs/JkDE時(shí)，ZkABDs/iACE

④母子三角形：如圖，當(dāng)NACD=NB時(shí)，△ACDS2^ABC

⑤射影定理：如圖，則△ADCs/iCDBs/iACB

0

壓軸題型一：相似三角形選擇題

1.(2024?巴中)如圖，是用12個(gè)相似的直角三角形組成的圖案.若。4=1,則。G=()

125V512564326

A.---------B.-----C.—D.-------

64642727

【分析】先根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出圖中直角三角形的一個(gè)銳角為30°,再利用特殊角的三角函數(shù)值

結(jié)合相似三角形的性質(zhì)即可解決問題.

【解答】解：因?yàn)閳D中12個(gè)直角三角形都相似，

所以360°+12=30°,

即直角三角形中較小的銳角為30°.

在RtZXOAB中，

cosXAOB=緇，

因?yàn)橐?08=30°,

,0AV3

所以=T'

0B2

同理可得，

OFV3OCV30DV3V3OFV3

OC2OD2OE~2'OF~2'OG~2

廣…04V3,27

所以二7=（TT）6

OG27'64'

又因?yàn)镺A=\,

所以O(shè)G=f^.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.（2024?德州）如圖，RtZXABC中，ZABC=90°,BD1AC,垂足為。，AE平分/A4C,分別交

BC于點(diǎn)、F,E.若AB：BC=3：4,則FD為（）

A.5：3B.5：4C.4：3D.2：1

【分析】設(shè)AB=3x,BC=4x,根據(jù)勾股定理得到AC=7AB2+BC2=5x,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到

AD=|x,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BE=8凡根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：BC=3：4,

.?.設(shè)AB=3x,BC=4x,

VZABC=90°,

：.AC=y/AB2+BC2=5x,

'：BD±AC,

ZADB=ZABC=90°,

*：ZBAD=ZCABf

：.△ABDS^ACB,

ABAD

?t?—,

ACAB

.3xAD

??—,

5%3%

?*AD—5x,

TAE平分N5AC,

???ZBAF=ZDAFf

：./AEB=/AFD,

丁ZAFD=ZBFE,

:./BEF=/BFE,

；.BE=BF,

VZABE=ZADF=9Q°,

ZBAE=ZDAFf

：.AABE^AADF,

.BEAB

??—,

DFAD

*BFAB3x5

??----Q--，

DFAD|x3

方法二：VAB：BC=3：4,

???設(shè)A8=3x,BC=4x,

VZABC=9Q°,

：.AC=7AB2+BC?=5x,

VBZ)±AC,

ZADB=ZABC=90°,

9

：ZBAD=ZCABf

：.△ABDS^ACB,

.AB_AD_

??—,

ACAB

.3xAD

??—,

5%3x

Q

：.AD=^x,過/H_LA8于從

TAE是N5AC的平分線，F(xiàn)DLAC,

:?FH=FD,

???/A_FH_AD

?smZABDND=麗=詬

.BFAB5

?'DF~AD~3'

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，角平分線的定義，熟練掌握相似三角形的判

定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

3.（2024?溫州三模）如圖，正方形A3CQ由四個(gè)全等的直角三角形拼接而成，連結(jié)HF交DE于點(diǎn)M.若

【分析】延長(zhǎng)CB,DE,交于點(diǎn)N,設(shè)A"=l,AE=2,依據(jù)即可得出8N=1.5；再根

HM

據(jù)ADHMsANFM,即可得到——的值.

FM

【解答】解：如圖所示，延長(zhǎng)C3,DE,交于點(diǎn)N,設(shè)AH=1,AE=2,

???正方形A3CD由四個(gè)全等的直角三角形拼接而成,

：.BE=1,DH=BF=2,

,：AD//BN,

???AADEsXBNE,

—AD=A—E,Bp—3=2一,

BNBEBN1

；?BN=1.5,

U：DH//NF,

:.ADHMsANFM,

tHMPH24

"FM~NF~3.5~7’

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是延長(zhǎng)CbDE,構(gòu)造兩對(duì)“8”字

模型相似三角形，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行計(jì)算.

4.（2024?南通）在△ABC中，ZB=ZC=a（0°<a<45°）,AH±BCf垂足為H,。是線段上的動(dòng)

點(diǎn)（不與點(diǎn)”，C重合），將線段。〃繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2a得到線段OE兩位同學(xué)經(jīng)過深入研究，小

明發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)E落在邊AC上時(shí)，點(diǎn)。為HC的中點(diǎn)；小麗發(fā)現(xiàn)：連接AE,當(dāng)AE的長(zhǎng)最小時(shí)，AH2=

請(qǐng)對(duì)兩位同學(xué)的發(fā)現(xiàn)作出評(píng)判（）

A.小明正確，小麗錯(cuò)誤B.小明錯(cuò)誤，小麗正確

C.小明、小麗都正確D.小明、小麗都錯(cuò)誤

【分析】旋轉(zhuǎn)得到。ZHDE=2a,當(dāng)點(diǎn)E落在邊AC上時(shí)，利用三角形的外角推出/CEZ）=a

=ZC,進(jìn)而得到。E=CD,推出DH=CD,判斷小明的說法，連接AE,HE,等邊對(duì)等角，求出NDHE=

1

乙DEH=|（180°-2a）=90。-a,進(jìn)而求出/AMD-推出點(diǎn)E在射線HE上運(yùn)動(dòng)，

根據(jù)垂線段最短，得到時(shí)，AE的長(zhǎng)最小，進(jìn)而推出判斷小麗的說法即可.

（解答］解：；將線段DH繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2a得到線段DE,

:.DH=DE,ZHDE=2a,

當(dāng)點(diǎn)E落在邊AC上時(shí)，如圖:

：.ZCED=a=ZCf

:?DE=CD,

：.DH=CD,

???。為。〃的中點(diǎn)，

故小明的說法是正確的;

連接AE,HE,

1

:?乙DHE=乙DEH=.（180。-2a）=90°-a,

VAHXBC,

AZAHB=ZAHD=90°,

???ZAHE=ZAHD-ZDHE=a,

???點(diǎn)E在射線“右上運(yùn)動(dòng)，

?,?當(dāng)AE_LHE時(shí)，AE的長(zhǎng)最小，

???當(dāng)AE的長(zhǎng)最小時(shí)，ZAEH=ZAHB=90°,

又?：/B=NC=a=NAHE,

4EAH

：.—=—,

AHAB

.\AH2=ABM￡,

故小麗的說法正確;

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的外角，等腰三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，相似三角形的

判定和性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)題意，正確的作圖，確定點(diǎn)E的軌跡，是解題的關(guān)鍵.

5.（2024?東營(yíng)）如圖，在正方形ABCQ中，AC與8。交于點(diǎn)O,"為AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且

連接。X,分別交AC,BC于點(diǎn)、E,F,連接8E,則下列結(jié)論:

_CFV3

①一=—

BF2

@tanZH=V3-1；

③BE平分/CBD；

@2AB2=DE'DH.

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】通過證明△?DCFs可得號(hào)=故①錯(cuò)誤；由tanH=船=V2-1,故②錯(cuò)誤；

DHBF2a門

由正方形的性質(zhì)可得AC垂直平分2D,ZCDB^ZCBD,可得DE=BE,由角的數(shù)量關(guān)系可求

NDBE,即BE平分/CB。，故③正確；通過證明可得2AB?=DE?DH,故④正確；即

可求解.

【解答】解：^AB=BC=CD=AD=a,

:四邊形ABC。是正方形,

：.CD//AB,BD=y[2a=BH,

:.△DCFs△HBF,

DCCFa42.

—=-=，故①錯(cuò)陜;

BHBFv2a2

DA_a

,.*tanH=

4Ha-\-41a

.,.tanH=V2-1,故②錯(cuò)誤;

?；BD=BH,

：.ZH=NBDH,

9：CD//AB,

：./CDE=NH,

：.ZCDE=ZBDE=/H,

???四邊形ABC。是正方形，

???AC垂直平分8D,/CDB=/CBD,

:?DE=BE,

:?/EDB=/EBD,

:,NCDE=NCBE,

：.NCBE=NDBE,

:?BE平分NCBD,故③正確；

,/ZBDE=/BDE,ZEDB=ZH=NDBE,

:?叢DEBs叢DBH,

.空DB

??=,

DBDH

：.DB2=DE'DH,

：.2.AB2=DE-DH,故④正確；

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性

質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵.

壓軸題型二：相似三角形填空題

L(2024?蘇州)如圖,△ABC中,ZACB=90°,CB=5,CA=10,點(diǎn)。,E分別在AC,AB邊上,AE=短￡>,

連接DE,將△AOE沿。E翻折，得到△尸￡比，連接CE,CF.若的面積是△BEC面積的2倍，

,10

則A￡>=—.

-3-

【分析】設(shè)AD=x,AE=V5x,根據(jù)折疊性質(zhì)得。尸=AO=x,ZADE=ZFDE,過E作EH_LAC于”，

EHAHAE

設(shè)EF與AC相交于M,證明得到一=—=一，進(jìn)而得到EH=x,AH=2x,證明

BCACAB

RtAEHD是等腰直角三角形，得到NHDE=/HED=45°,可得/即M=90°,證明△/。A/g/kEHM

1Q

(AAS),得到。M=MH=2%，貝UCM=4C—AD—DM=10-尹，根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合已知可

得(10--久=2(25-5x),然后解一元二次方程求解X的值即可.

【解答】解：：4石=迅月。，

.,.設(shè)4。=尤，AE—V5x,

?/AADE沿DE翻折，得到△fDE,

：.DF=AD=x,ZADE=ZFDE,

過萬作EHL4c于H,設(shè)EP與AC相交于M,

則/AHE=/ACB=90°,

又：ZA=ZA,

AAHEsAACB,

.EHAHAE

"BC~AC~AB'

'：CB=5,CA=10,AB=y/AC2+BC2=V102+52=5花，

.EHAHV5x

5—10—5后

：.EH=x,AH=VXF2-EH2=2%,貝UDH=AH-AD=x=EH,

；.RtZ\EHD是等腰直角三角形，

：.ZHDE=ZHED=45°,則/4?！?/石。尸=135°,

：.ZFDM^135°-45°=90°,

在△下。M和中,

NFDM=乙EHM=90°

乙DMF=4HME

、DF=EH

MFDMm4EHM(A4S),

13

：.DM=MH=^x,CM=AC-AD-DM=10-|x,

1I133

=SACME+SACMF=nCM,EH+5CM,DF—(10—,xx2=(10-,x,

乙乙乙乙乙

11

SABEC=SAABC—^LAEC=aXl0x5—=25-5x,

■:&CEF的面積是ABEC的面積的2倍,

3

???(10-界)?％=2(25-5%),

貝ij3/-40x+100=0,

1n

解得久1=手，X2=10（舍去）,

則力D=學(xué)

、a10

故答案為：—

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、折疊性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形

的判定與性質(zhì)、三角形的面積公式等知識(shí)，是綜合性強(qiáng)的填空壓軸題，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用

是解答的關(guān)鍵.

2.（2024?成都）如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,是△ABC的一條角平分線，E為中點(diǎn)，連接

,1+V17

BE.若BE=BC,CD=2,則8。=------

-2

【分析】連接CE,過E作E/LL8C于凡設(shè)無，則8c=x+2,由/AC8=90°,E為中點(diǎn)，可

iCECD

得CE=AE=DE=aAD,有NCAE=NACE,/ECD=/EDC,證明可得一二一,

/BCCE

0,ACBC

/CED=NCBE,故。爐=。。?8。=2(x+2)=2x+4,MffiAABC^ABEF,得一二一,而AC=2ER

BFEF

即得2EF2=(X+1)(X+2),從而生嚀出2=(2x+4)-I2,即可解得答案.

【解答】解：連接CE,過E作于R如圖:

VZACB=90°，E為A0中點(diǎn),

，CE=AE=DE=1AD,

：.ZCAE=ZACE,NECD=NEDC,

：.ZCED=2ZCAD,

?：BE=BC,

:?NECD=NBEC,

；?/BEC=/EDC,

?：NECD=NBCE,

:?△ECDS^BCE,

CECD

：.——=—,/CED=NCBE,

BCCE

；?CE2=CD?BC=2(X+2)=2X+4,

VAD平分NCA3,

：.ZCAB=2ZCAD.

:?NCAB=NCED,

??.NCAB=NCBE,

VZACB=90°=NBFE,

：.△ABC"△BER

.ACBC

??=,

BFEF

?：CE=DE,EFLBC,

1

：.CF=DF=^CD=1.

;后為人。中點(diǎn)，

：.AC=2EF,

.2EFx+2

'<%+1—EF'

；.2￡F2=(X+1)(X+2),

1/EF2=C￡2-CF2,

=⑵+4)

解得尸土孝生或戶上尹（小于0,舍去）,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，涉及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、等腰三角

形的性質(zhì)、三角形的中位線性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、解一元二次方程等知識(shí)，有一定的難度，熟練掌

握三角形相關(guān)知識(shí)是解答的關(guān)鍵.

3.（2024?無錫）如圖，在△ABC中，AC=2,AB=3,直線CM〃A2,E是BC上的動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），射

線AE交CM于點(diǎn)D在射線AE上取一點(diǎn)P,使得AP=2EZ）,作尸?！ˋB,交射線AC于點(diǎn)。.設(shè)A。

=x,PQ=y.當(dāng)x=y時(shí)，CD=2；在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過程中，y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為_y=.

Q/-/P

AQPQ

【分析】易得CD〃PQ,則△APQS^ADC,得出二代入數(shù)據(jù)即可求出CD=2；根據(jù)△APQs

2CDDE2丫「

AADC,得出CD=把V，設(shè)。E=f,則4尸=2。通過證明△CDEs/XBAE,得出——=——，貝i]4E=歲，

進(jìn)而得出4D=AE+DE=~3^y—，結(jié)合△APQS^AOC,可得祭=笫，代入各個(gè)數(shù)據(jù)，即可得出y

關(guān)于尤的函數(shù)表達(dá)式.

【解答】解：VCM//AB,PQ//AB,

J.CD//PQ,

AAPQ^/\ADC,

:.絲=絲，用=三,

ACCD2CD

???1=y,

:.CD=2；

:AAPQ^AADC,

.絲_絲-2L

ACCD2CD

整理得：CD=?,

設(shè)DE=3

\'AP=2ED,

：.AP^2t,

'：CM//AB,

二△CDES/XBAE,

2y

CDDEt

--=---,即---=---,

ABAE3AE

整理得：2E=簧，

：,AD=AE+DE=^+t=^^,

???AAPQ^AADC.

AQAPx2t

—=—,艮|3-=?

ACAD2t(3x+2y)

-2y-

整理得：、=福，

故答案為：2,y=

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例.

4.（2024?重慶）如圖，在△ABC中，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)。，使CZ）=CA,過點(diǎn)。作?！辍–8,MDE=DC,連

接AE交8c于點(diǎn)尺若/CAB=NCR1,CP=1,則8/=3

D

E

【分析】由平行線的等分線段定理推出由三角形中位線定理推出。丘=2。尸=2,得至IJAC=2CT

=2,由△CA/S/XCBA,推出AC：BC=CF：AC,求出8C=4,即可得到8月的長(zhǎng).

【解答】解：,.,CZ)=CA,DE//CB,

：.AF=EFf

???C/是△4￡)￡；的中位線，

:?DE=2CF=2,

■:DE=DC,

：.AC=2CF=2,

9：ZCAB=ZCFA,ZACF=ZACB,

AACAF^ACBA,

：.AC：BC=CF：AC,

A2：BC=1：2,

：.BC=4f

:?BF=BC-FC=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，平行線等分線段定理，關(guān)鍵是由三角

形中位線定理得到AC=2C尸=2,由△CAFS2\Q5A,推出AC：BC=CF：AC.

5.(2024?東阿縣模擬)如圖，正方形A3C。的邊長(zhǎng)為12,OB的半徑為6,點(diǎn)尸是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PD+^PC

的最小值為15.

BC

1

【分析】連接尸5,在5C上截取BE=3,可證得從而PE=[PC.

【解答】解：如圖，

連接尸5,在8。上截取5E=3,則CE=BC-8E=12-3=9,

.BEPB1

??PB~BC~2

■:/PBE=/CBP,

:.ABPESABCP,

.PEBE1

??PC~PB~21

1

；?PE=^PC,

1

：.PD+^PC=PD+PE,

???當(dāng)點(diǎn)。、P、E共線時(shí)，尸。+尸石最小,

?：DE=VCP2+CE2=V122+92=15,

.*.PD+*PC的最小值為15,

故答案為15.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是叢輔助線，構(gòu)

造相似三角形.

6.(2024?濟(jì)寧)如圖，△ABC中，AB=AC,ZBAC=9Q°,AO是△ABC的角平分線.

(1)以點(diǎn)8為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交54,BC于點(diǎn)E,F.

(2)以點(diǎn)A為圓心，BE長(zhǎng)為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)G.

(3)以點(diǎn)G為圓心，EF長(zhǎng)為半徑畫弧，與(2)中所畫的弧相交于點(diǎn)H.

(4)畫射線AH.

(5)以點(diǎn)2為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧，交射線于點(diǎn)

(6)連接MC,MB.MB分別交AC,AD于點(diǎn)N,P.

根據(jù)以上信息，下面五個(gè)結(jié)論中正確的是①②⑤.(只填序號(hào))

4MV3

①BZ)=CD；②/ABM=15。③/APN=/ANP；④一=-；⑤Md=MN*MB.

AD2

A

//\\N^rIV?v\

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可判斷出①；過M作MKLBC于點(diǎn)K,證出四邊形AOKM為矩形，

即可通過邊的比值關(guān)系求出/MBK=30°,即可求出判斷②；利用三角形外角和分別求出兩個(gè)角

的值進(jìn)行

比較即可判斷③；設(shè)AP=尤，則PD=AD-尤，用含x的式子分別表達(dá)出AM和AD的長(zhǎng)度后即可判斷④；

判定出LBMCs△CMN即可判斷⑤.

【解答】解：TAB=AC,/BAC=9。；

三角形ABC為等腰直角三角形，ZABD=ZACD=45°,

又是△ABC的角平分線，

11

AZBAD^ZCAD=^ZBAC^x90°=45°,

ZABD=ZACD=ZBAD=ZCAD=45°,

：.BD=AD=DC,故①正確；

根據(jù)題意作圖可得：ZMAC=ZABD=45°,BM=BC,

過M作MK_L8C于點(diǎn)K,則NMK2=90°,如圖：

：是△ABC的角平分線，由三線合一可得：AD1BC,即NAOC=90°,

VZDAM=ZDAC+ZMAC=450+45°=90°,

/.ZDAM=ZMKB=ZADC=90°,

四邊形ADKM為矩形,

11

???MK=AD=今BC=專BM,

：.ZMBK=30°,

AZABM=AABD-ZMBK=45°-30°=15°,故②正確；

VZAPN=ZABM+ZBAD=15°+45°=60°,NANP=NMBK+NDAC=30°=75

：.ZAPN^ZANP,故③錯(cuò)誤；

設(shè)AP=x,則尸。=AO-x,

9：AM//BC,

：.ZAMB=ZMBC=30°,

.*.tanZAMB=tan30o=瑞=肅=等，即AM=底，

八cc。PDAD-x/3pinA八3X+73X

tanZMBC=tan30=-HH=—TTT-=亍，即AZ)=----□----，

DUAU3Z

*=&=?-'，故④錯(cuò)誤；

2

添加解法：在Rt^MBC中，tan/MBC=萬2%=￡

Zi/*7J

(3-V3)AD=V3AM,

AMI-

A—■=V3-1,故④錯(cuò)誤;

180。一4MBC180°-30°n。

?：NBMC=NBCM=

2-2—=75

:/MNC=NANP=15°，

/MNC=ZBCM,

又〈NBMC=NCMN,

:.ABMCsACMN,

：.MC：MN=MB：MC,

:.Md=MN,MB,故⑤正確；

綜上所述，正確的有：①②⑤;

故答案為：①②⑤.

【點(diǎn)評(píng)】本題為尺規(guī)作圖幾何綜合題，涉及到了等腰三角形的性質(zhì)即判定，矩形的判定，含30度角的直角

三角形的定義，銳角三角函數(shù)的比值關(guān)系，相似三角形的判定及性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用角的等量代換是

解題的關(guān)鍵.

壓軸題型三：相似三角形常見模型

1.（2024?西寧）【感知特例】

（1）如圖1,點(diǎn)A,8在直線/上，ACM,DBLI,垂足分別為A,8,點(diǎn)尸在線段AB上，且PCLLP。，

垂足為P.

結(jié)論：AC-BD=AP'BP

（請(qǐng)將下列證明過程補(bǔ)充完整）

證明：VAC±Z,BD1l,PC±PD

：.NCAP=NDBP=NCPD=90°,

.\ZC+ZAPC=90°,

ZDPB.+ZAPC^90°,

ZC=NDPB,（同角的余角相等）

/.AAPCsABDP,（兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似）

4cAP

,（相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例）

-BP——BD—

即AC?BD=AP*BP.

【建構(gòu)模型】

（2）如圖2,點(diǎn)A,B在直線/上，點(diǎn)尸在線段上，且/CAP=/DBP=/CPD.結(jié)論

?8尸仍成立嗎？請(qǐng)說明理由.

【解決問題】

（3）如圖3,在AABC中，AC=BC=5,A8=8,點(diǎn)尸和點(diǎn)。分別是線段AB,8C上的動(dòng)點(diǎn)，始終滿足