2025年中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練：圖形的變換

一、單選題

1.2025年乙巳蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”為主題，如圖為春晚主標(biāo)識，它采用的基本數(shù)學(xué)變

換是（）

A.平移B.軸對稱C.位似D.旋轉(zhuǎn)

2.如圖，VABC放在平面直角坐標(biāo)系中，其中A（2,O）,3（4,4）,C（l,3）.將VA3C先向左平移4

個單位得到瓦G,再繞點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到2G,則點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)B2的坐標(biāo)

A.（-6,2）B.（-2,0）C.（2,-3）D.（2,-2）

3.如圖，將VABC沿著的方向平移得到其中AC與BC交于。，連接CC',則下列結(jié)

論一定成立的是（）

A

B'

A.AB=CCB.ZA=/B'C.B'C=2BDD.NB'=NBCC'

4.小明用兩個全等的等腰三角形設(shè)計了一個“蝴蝶”的平面圖案.如圖，△OAB與AODC都是等腰三

角形，且它們關(guān)于直線/對稱，E,歹分別是底邊AB,CO的中點(diǎn)，OE1OF,下列推斷錯誤的是

()

A.OBVODB.ZBOC=ZAOE

C.OE=OFD.ZBOC+ZAOD=180°

5.如圖，在VABC中，ZACB=90。，AC=BC,將線段CB繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)打（0°<a<90。），得

到線段CO,連接8D,過點(diǎn)A作5。交8。的延長線于點(diǎn)E,連接AD,那么的度數(shù)（）

A.隨著。的增大而增大B.隨著。的增大而減小

C.不變D.隨著。的增大，先增大后減小

6.如圖，點(diǎn)A、B、C、A\B'和C均在格點(diǎn)上，若AA5'C'可由VA3C繞點(diǎn)尸旋轉(zhuǎn)得到，則尸的坐

(-2,4)C.(-2,2)D.(-1,2)

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將邊長為1的正六邊形。ABCDE繞。點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)i個45。，得到

正六邊形當(dāng)i=2026時，頂點(diǎn)G的坐標(biāo)是（）

8.把一副三角板如圖①放置，其中NACB=ND￡C=90。，ZA=45°,"=30。，斜邊AB=4,CD=5,

把三角板。CE繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)15。得到A2cg（如圖②），此時A3與皿交于點(diǎn)O,則線段AR的

C.2A/2D.4

二、填空題

9.如圖，VABC和AA'Q。是邊長分別為5和2的等邊三角形，點(diǎn)"、。、8、C都在直線/上，NABC

固定不動，將AA'Q。在直線/上自左向右平移.開始時，點(diǎn)C'與點(diǎn)B重合，當(dāng)點(diǎn)方移動到與點(diǎn)。重

合時停止.設(shè)AAB'。移動的距離為X,兩個三角形重疊部分的面積為兀請寫出y與龍之間的函數(shù)

關(guān)系式.

3

10-如圖'直線-丁+3分別與X軸，y軸交于點(diǎn)A,B,直線分別與X軸，y軸交

于點(diǎn)C,￡>,直線乙，4相交于點(diǎn)E，將AABO向右平移5個單位得到AAB'O',若點(diǎn)"好落在直線4

11.如圖，已知點(diǎn)C是直線/外一定點(diǎn)，AB是直線/上的動線段，AB=5,連接AC、BC,2.=15.求

當(dāng)AC+3C取最小值時sin/CBA的值.小聰在解題過程中發(fā)現(xiàn)：“借助物理學(xué)科的相對運(yùn)動思維，若

將A3看作靜線段，則點(diǎn)C在平行于直線/的直線上運(yùn)動”.請你參考小聰?shù)乃悸非螽?dāng)AC+BC取最小

值時sin/CBA=.

12.如圖1,在VABC中，ZB=45°,。為AB中點(diǎn)，點(diǎn)E從點(diǎn)8出發(fā)以每秒1個單位的速度向點(diǎn)C運(yùn)

動(到達(dá)點(diǎn)C后停止),設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動的時間為t,DE+AE的長為V,圖2是點(diǎn)E運(yùn)動時，隨/變化的

關(guān)系圖像.加卜,6石)為曲線部分的最低點(diǎn)，貝心的值為.

13.如圖，兩座城市A和B在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為4(3,6)、8(1,2),鐵路所在的直線為y=x,

計劃在鐵路上修建一個站點(diǎn)P,使站點(diǎn)尸到兩城市的距離和最小，則站點(diǎn)P的坐標(biāo)為—.

14.如圖，等邊VABC中，AB=12,點(diǎn)。是BC邊上一動點(diǎn)，將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到

△ACE,點(diǎn)尸是AC邊的中點(diǎn)，連接BF,EF,則3F+EF的最小值是

15.如圖，已知等腰直角VABC,ZACB=90°,AB=后，點(diǎn)C是矩形3CGb與V43C的公共頂點(diǎn)，

且CE=1,CG=3；點(diǎn)。是CB延長線上一點(diǎn)，且6=2.連接BG,。尸，在矩形ECGF繞點(diǎn)C按順時

針方向旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當(dāng)線段BG達(dá)到最長和最短時，線段。F對應(yīng)的長度分別為相和“，則‘

16.如圖1,含30。和45。角的兩塊三角板ABC和DE尸疊合在一起，邊BC與EF重合,BC=EF=24

cm,點(diǎn)尸為邊BC(￡F)的中點(diǎn)，邊ED與相相交于點(diǎn)H,現(xiàn)將三角板ABC繞點(diǎn)P按逆時針方向旋轉(zhuǎn)

角度“(如圖2),設(shè)邊與EF相交于點(diǎn)0,則當(dāng)。從0。至！J90。的變化過程中，點(diǎn)。移動的路徑長

三、解答題

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，己知菱形的邊長是6,ZAOC=120°,點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)B

k

在反比例函數(shù)y=E(x>0)的圖象上.

⑴求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)把菱形。記C向右平移機(jī)個單位長度，對應(yīng)得到菱形O'AB'C,當(dāng)反比例函數(shù)圖象經(jīng)過菱形

O'AB'C'一邊的中點(diǎn)時，求相的值.

18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，VABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為4-3,-2),2(-1,-1)?(0,-3).

⑴把VABC向上平移4個單位長度得△AgG，(A3,c的對應(yīng)點(diǎn)分別是A，4，G).請做出△A4G.

(2)以點(diǎn)。為旋轉(zhuǎn)中心，將VABC逆時針旋轉(zhuǎn)90。得鳥G,畫出人48￡2(4,8(的對應(yīng)點(diǎn)分別是

A,B,,C2).

(3)設(shè)點(diǎn)尸是x軸上的動點(diǎn)，當(dāng)AAB2P周長取最小時，寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)

19.如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在平面直角坐標(biāo)系中，VABC

的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為B（-2,3）,C（-5,2）.

（1）畫出VA3C關(guān)于>軸對稱的△AAG；

⑵畫出V43C繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90。后得到的AA&CZ,并寫出點(diǎn)多的坐標(biāo)；

⑶在（2）的條件下，直接寫出點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)生的過程中所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留兀）.

20.情境：正方形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，我們可以通過以下幾種方式獲得正方形.（說

明：紙片折疊過程中無縫隙、無邊沿重疊）

圖3

操作:

(1)如圖1,將VABC紙片沿中位線即折疊，使點(diǎn)A的對稱點(diǎn)。落在邊BC上，再將紙片分別沿等

腰△曲和等腰ADHC的底邊上的高線ERHG折疊，折疊后的三個三角形拼合形成一個四邊形

EFGH.當(dāng)四邊形EFG”為正方形時，直接寫出AD與BC的數(shù)量關(guān)系.

(2)如圖2,將平行四邊形ABCD沿AE,G尸折疊后，點(diǎn)B和點(diǎn)C在點(diǎn)打處重合，點(diǎn)。落在點(diǎn)A處.若

四邊形AEFG為正方形，BE=3,FC=2,求平行四邊形ABCD的面積.

探究：

(3)如圖3,E,F,G,"分別為梯形ABCD四條邊的中點(diǎn)，梯形ABCD上底與下底的和為高的2倍,

請根據(jù)以上信息畫出一種裁剪方式，使裁剪后的四塊圖形打散后能夠拼成一個正方形.(裁剪線用虛

線，并標(biāo)注清楚相應(yīng)的幾何符號)

21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于△Q4B和點(diǎn)尸(不與點(diǎn)。重合)給出如下定義：若邊。4,OB1.

分別存在點(diǎn)M點(diǎn)N,使得點(diǎn)。與點(diǎn)尸關(guān)于直線MV對稱，則稱點(diǎn)尸為△OAB的“翻折點(diǎn)”.

⑴已知點(diǎn)A(0,2),3(2,0),點(diǎn)N為直線>=履+1與邊。4,OB的交點(diǎn).設(shè)點(diǎn)。為鉆的“翻

折點(diǎn)”.

①當(dāng)左=_1時，寫出O,的坐標(biāo)：；

②連接80',則3。長度的取值范圍是;

⑵直線丁=-(尤+6色>0)與無軸，y軸分別交于A,8兩點(diǎn)；若存在以直線A3為對稱軸，且斜邊長

為4的等腰直角三角形，使得該三角形邊上任意一點(diǎn)都為△OAB的“翻折點(diǎn)”，直接寫出6的取值范圍.

22.【問題出示】

(1)如圖①，在等腰三角形A3C中，ZBAC^30°,BC=BA=16,點(diǎn)M是直線AC上的動點(diǎn)，線段

BM的最小值是;

【問題探究】

(2)如圖②，線段最短時，：在(1)的條件下，線段師是AABM的角平分線，點(diǎn)尸、Q分別在

邊BN、上運(yùn)動，連接MP、QP,MP+QP的最小值是；

【問題拓展】

(3)如圖③，線段最短時，；(1)的條件下，點(diǎn)￡在邊上運(yùn)動，連接3E,將線段班繞點(diǎn)

8順時針旋轉(zhuǎn)60。，得到線段BF,連接求線段的最小值.

B

AMC

圖①

《2025年中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練：圖形的變換》參考答案

題號12345678

答案DDDBCBBA

1.D

【分析】本題主要考查圖形的變換，熟練掌握平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱及位似是解題的關(guān)鍵；因此此題可

根據(jù)平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱及位似可進(jìn)行求解.

【詳解】解：由圖可知：該圖采用的基本數(shù)學(xué)變換是旋轉(zhuǎn)；

故選D.

2.D

【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，平移變換等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，正確作出圖形是解

決問題的關(guān)鍵，根據(jù)平移變換，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)畫出圖像即可解決問題.

【詳解】解：如圖所示：

觀察圖像可知：耳（2,-2）

故選：D.

3.D

【分析】本題主要考查了平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，由平移的性質(zhì)得出3c=9C',

BC//B'C,進(jìn)而可得出四邊形3CC'3是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】解：???將VA3C沿著A3的方向平移得到AA'3'C',

：.BC=B'C',BC//B'C",

???四邊形BCCB是平行四邊形，

NB'=NBCC,

故選：D

4.B

【分析】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，同角的余角相等，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì),

掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

軸對稱的性質(zhì)，同角的余角相等，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)逐項排除即可.

【詳解】解：A>'JOELOF,

：.ZBOE+NBOF=9。。,

由對稱得ZAOB=ZDOC,

■:E,尸分別是底邊AB,C。的中點(diǎn)，△Q4B與AODC都是等腰三角形，

ZBOE=-ZAOB,ZDOF=-ZDOC,

22

ZBOF+ZDOF=90°,

OB±OD,結(jié)論正確，故不符合題意；

B、N3OC不一定等于NAO3結(jié)論錯誤，故符合題意；

C、由對稱得：△。鉆絲AODC,

：.ZB=NC,AB=DC,

,:E,歹分別是底邊AB,CO的中點(diǎn)，

：.BE=-AB,CF=-CD,

22

OE=OF,結(jié)論正確，故不符合題意；

D、如圖，過點(diǎn)。作

H

：./GOD+NDOH=90。,

???ZBOH+ZDOH=90°,

:./GOD=/BOH,

由對稱得NBOH=NCOH,

???ZGOD=/COH,

同理可證，ZAOM=ZBOH,

：.AAOD+ZBOC=ZAOD+ZAOM+ADOG=1^°,結(jié)論正確，故不符合題意,

故選：B.

5.C

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問

題是本題的關(guān)鍵.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得3C=CD=AC,由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求

ZBDC+ZCDA=1(360°-ZACB)=135°=ZBDA,由外角的性質(zhì)可求NDAE=ZBDA-ZAED=45°,

即可求解.

【詳解】解：：將線段CB繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)。(0°<?<90。)，得到線段C。，

BC=CD=AC,

:.NCBD=NCDB,ZADC=NCAD,

：.NBDC+ZCDA=1(360°一NAG?)=135。=ZBDA,

??ABDA=ZAED+ZDAE=135°,

NDAE=ZBDA-ZAED=45°,

的度數(shù)是定值，不變

故選：C.

6.B

【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形變化一旋轉(zhuǎn)，理解旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.

根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，找出對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心.

【詳解】解：連接B8',CC,分別作兩條線段的垂直平分線交于點(diǎn)P,如圖所示：

二點(diǎn)尸即為旋轉(zhuǎn)中心,坐標(biāo)為(-2,4),

故選：B

7.B

【分析】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)，正六邊形的性質(zhì)，圓的對稱性，銳角三角函數(shù)，掌握以上知識是

解題的關(guān)鍵；以。為圓心，OC為半徑作。。得到將邊長為1的正六邊形OABCDE繞點(diǎn)。順時針旋

轉(zhuǎn)i個45。，即把0C繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)i個45。，G026與G重合，利用正六邊形的性質(zhì)與銳角三角函

數(shù)求解G的坐標(biāo)，從而可得答案.

【詳解】解：如圖以。為圓心，OC為半徑作。。；

將邊長為1的正六邊形OABCDE繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)，個45。；

即把OC繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)i個45。；

C旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)點(diǎn)依次為C-C2,……；

VI周=360°；

OC繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)8次回到原位置;

：2026+8=253…2；

?1.c2026與G重合；

如圖：

?.?多邊形是正六邊形；

每個內(nèi)角為120。；

即NO2c2星=120°；

???正六邊形是軸對稱圖形；

/.ZOC2B2=ZOC2D2=gzo2c2與=60°

*.*B2c2=1;

/.OB2=5,GtanZ.OCnB2=lxtan60°=6；

???G坐標(biāo)為（瘋1）；

即G026的坐標(biāo)為（點(diǎn)1）；

故答案為：B.

8.A

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得NACR=45。，進(jìn)而可求出A。,。。，再結(jié)合勾股定理即可求解.

【詳解】解：由圖①可得：ZACD=ZACB-Z.DCE=30°

因?yàn)樾D(zhuǎn)角度為15。

.-.ZACO=30°+15°=45°

vZA=45°

ZAOC=180°-ZA-ZACO=90°

VAB=4,AACB為等腰直角三角形

AC=￥=2&

AT

AO=CO=-^=2

V2

:CDT=CD=5

/.ODl=5-2=3

在放△AO。1中：AD1=JA（）2+OD：=舊

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)、勾股定理的應(yīng)用.根據(jù)已知條件進(jìn)行幾何推導(dǎo)是解題關(guān)鍵.

—X2（0<X<2）

4

9.y=<A/3(2<X<5)

—(7-X)2(5<X<7)

【分析】根據(jù)運(yùn)動過程可分三種情況討論：當(dāng)0<x42時，兩個三角形重疊部分為的面積，

當(dāng)2<xV5時，兩個三角形重疊部分為AAbC的面積，當(dāng)5<xW7時，兩個三角形重疊部分為△BCD

的面積，分別求解即可.

【詳解】當(dāng)0<xW2時，如圖1所示，兩個三角形重疊部分為△BC'。的面積，

由題意得，BCf=x,

???VABC和△49。是邊長分別為5和2的等邊三角形,

.?.ABC'D是邊長x的等邊三角形,

過點(diǎn)。作DELBC于點(diǎn)E,

BE——Xy

2

..DE——x9

2

?QJM"J6_62

△BCD2224

即片與Z；

■4

當(dāng)2<xV5時，如圖2所示，兩個三角形重疊部分為AAB'C的面積,

由題意得，BC=2,

過點(diǎn)A作AELB'C'于點(diǎn)E,

A'E=j3,

S,,,=--B'C'-A'E=-xyf3x2=y/3,

A°Krj22

即y=>/3；

當(dāng)5<xW7時，如圖3所示，兩個三角形重疊部分為△3'CD的面積,

由題意得，BC=x,

???VABC和AA，夕。是邊長分別為5和2的等邊三角形，

.?.△BCD是等邊三角形，且3'C=7-x,

過點(diǎn)。作OEL8C于點(diǎn)E,

拒

DE=~-(l-x),

s/CD=；，BCDE=；.(J-%).與a一天)=與@—x)2,

即照￥(7T)2；

——x2(0<x<2)

綜上，寫出y與龍之間的函數(shù)關(guān)系式為y=<的(2<xW5).

—(7-X)2(5<X<7)

AAA

圖3

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，列二次函數(shù)解析式，勾股定理，平移與三角形面積問

題，熟練掌握知識點(diǎn)并能夠分類討論是解題的關(guān)鍵.

10.20:21

【分析】由平移的性質(zhì)可知：9(5,3),代入/2,從而得出/2的函數(shù)解析式，求出。E和8C的長度.

【詳解】：＞=上+3

4

???5(0,3)

將5向右平移5個單位后9(5,3)

二夕在直線4：＞=一元+加

m=8

4：y=-x+8

/.Z)(0,8),C(8,0)

因?yàn)橹本€力，/2相交于點(diǎn)E

3,20

.*.—%+3=—x+8,解得x=——

47

.36

一1

.02036、

77

由HE//DHEs△COB'

.DEEH

??；—；

BCBO

DE:B'C=2Q:21

故答案為20：21

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)解析式、相似的性質(zhì)及判定，平移的性質(zhì)，熟練并靈活的使用性質(zhì)及判定

是關(guān)鍵

12

11.—

13

【分析】過點(diǎn)C作/1〃/,作點(diǎn)B關(guān)于直線4的對稱點(diǎn)B',交直線4于點(diǎn)E,連接A8'交直線4于點(diǎn)P,

連接P8,過點(diǎn)尸作于點(diǎn)。，連接C3',當(dāng)A、C、？三點(diǎn)共線時，即點(diǎn)C運(yùn)動到點(diǎn)尸處時，

AC+3C取最小值.，先求出PZ）和82的值，再通過勾股定理求出=13,通過角度的代換，證

得ZPAB=ZPBA,通過sinZCBA=sinZPBA=sinZPAB=——-即可求解.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作《〃/,作點(diǎn)8關(guān)于直線4的對稱點(diǎn)交直線4于點(diǎn)E,連接A9交直

線4于點(diǎn)尸，連接PB,過點(diǎn)尸作PD_LAB于點(diǎn)。，連接CB',

東.?點(diǎn)？是點(diǎn)B關(guān)于直線乙的對稱點(diǎn),

，直線4垂直平分B'B，

PB'=PB,BE=BE,CB'=CB,

AC+BC=AC+B'C>AB',

.,.當(dāng)A、C、B三點(diǎn)共線時，即點(diǎn)C運(yùn)動到點(diǎn)尸處時，AC+3C取最小值.

,/AB=5,S=—AB-PD=15,

q

..PD=^^=6

-AB

2

4〃/,且PDJ_AB,k±BB',

ZPDB=ZDPE=NPEB=90°,

四邊形PftBE是矩形,

:.PD=BE=B'E=6,ZEBD=90°,

:.BB=2BE=n,NEBP+NPBA=90。,ZB'+ZPAB=90°,

PB'=PB,

:.ZB'=ZEBP,

:.NPAB=NPBA,

?.?BB'=12,AB=5,

在R3ABB'中，AB'2=AB2+BB'2，

.?.?=5/52+12?=13,

RR，1Q

sinZCBA=sinZPBA=sinZPAB=——=—.

AB'13

12

.??當(dāng)AC+3C取最小值時，sinZCBA=—.

12

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了動點(diǎn)最值的將軍飲馬模型，線段垂直平分線的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，三

角函數(shù)，勾股定理，熟練掌握動點(diǎn)最值類模型的解題思路是解題關(guān)鍵.

12.472

【分析】作點(diǎn)。關(guān)于BC的對稱點(diǎn)尸，連接由軸對稱的性質(zhì)可知，BD=BP,ED=EP,

NEBP=ZABC=45°,ZABP=ZABC+AEBP=90°,根據(jù)E4+ED=E4+EP2AP,所以當(dāng)A,E,P三

點(diǎn)共線時，DE+AE的值最小，為"的長，由圖可知，y=ED+EA=AP=6y/5,過點(diǎn)E作EF_LAB

BP1

于點(diǎn)F,根據(jù)勾股定理求出3尸=6,得到3D=6,AB=12,根據(jù)解直角三角形得到tanZBAP

AB2

BFr-

進(jìn)而得到BE=---=4A/2,即可求解.

cosZABC

【詳解】解：作點(diǎn)D關(guān)于2C的對稱點(diǎn)P,連接3尸,尸￡4尸，

由軸對稱的性質(zhì)可知，BD=BP,ED=EP,NEBP=ZABC=45°,

ZABP=ZABC+ZEBP=90°,

?.,EA+ED-EA+EP>AP,

當(dāng)三點(diǎn)共線時，DE+AE的值最小，為AP的長，如圖所示：

由題圖2可知，止匕時＞==

過點(diǎn)E作于點(diǎn)/，

'/。為A8中點(diǎn)，

:.AB=2BD=2BP,

在RbABP中，

■1-AB2+BIfi=AP2,

.-.（2BP）2+BP2=（6V5）2,

:.BP=6（負(fù)值已舍去），

：.BD=6,AB=12,

-.-EF±AB,/4BC=45。,

:.ZBEF=ZABC=45°,

:.BF=EF,

1

tanZBAP=—

AB2

FF1

...——=tanZBAP=-,

AF2

:.AF=2EF=2BF

:.BF=-AB=4,

3

BE=———=40,

cosZABC

a的值為4JI,

故答案為：45份.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，軸對稱，勾股定理，從函數(shù)圖象中獲取信息等知識，掌握相關(guān)知

識是解題的關(guān)鍵.

13m

【分析】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，兩點(diǎn)之

間，線段最短等.熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.先確定點(diǎn)8關(guān)于直線＞=為對稱的點(diǎn)9的

坐標(biāo)，連接A9與直線丁=尤的交點(diǎn)即為點(diǎn)P,再求出直線的解析式，聯(lián)立方程組，求出兩直線的

交點(diǎn)坐標(biāo)即可.

【詳解】解：作點(diǎn)8關(guān)于直線y=x對稱的點(diǎn)連接A9,如圖：

:點(diǎn)8與點(diǎn)3'關(guān)于直線y=X對稱，

BP=BP,

i^BP+AP=B'P+AP,

當(dāng)點(diǎn)A、B\P三點(diǎn)共線時，BP+AP的值最小，最小值為線段AB'的長,

即點(diǎn)P是A9與直線，=%的交點(diǎn)；

點(diǎn)(%,%)關(guān)于直線y=%對稱點(diǎn)坐標(biāo)為(%,%),

.?.點(diǎn)8(1,2)關(guān)于直線y=x對稱的點(diǎn)？的坐標(biāo)為(2,1),

設(shè)直線A&的解析式為y=kx+b,

6=3k+b

將4(3,6),E(2,1)代入解析式,得

l=2k+b9

k=5

解得:

b=—9’

/.直線A8,的解析式為y=5x-9.

???點(diǎn)尸是直線y=5x-9與直線y=x的交點(diǎn),

y=5x-9

故聯(lián)立方程組

y=x

9

x=—

4

解得：

9

y二—

4

即點(diǎn)尸的坐標(biāo)為

故答案為:

14.9^/3

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)

性質(zhì)定理，正確作出輔助線，構(gòu)造直角三角形解答.

過點(diǎn)E作EGLAC于點(diǎn)G,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)易得5B=AHsin60o=6A/L由旋轉(zhuǎn)可得

BO=CE,ZACE=ZABE?=60°,設(shè)3D=CE=x，則CG=CECOS60°=LX,GE=CEsin60。=立尤，

22

19

GF^CF-CG^6--x,根據(jù)勾股定理得出防2=G/2+GE2=(X-3)-+27,推出當(dāng)x=3時，EF。有

最小值27,則防最小值=36，即可解答.

【詳解】解：過點(diǎn)E作EGLAC于點(diǎn)G,

：VABC為等邊三角形，點(diǎn)歹是AC邊的中點(diǎn)，

BF1AC,ZBAF=ZABD^60°,AB=AC=12,

：.CF=-AC=6,

2

，BF=AB-sin60°=6V3,

由旋轉(zhuǎn)可得BD=CE,ZACE=ZABD=60°,

設(shè)BD=CE=x,

VEGLAC,ZACE=60°,

CG=C￡-cos60°=-x,GE=CE-sin60°=—x,

22

貝IJGF=GF-CG=6—LX,

2

EF2=GF2+GE2

-_Ir62XJ+[7

=36-6x+x2

=(X-3)2+27,

...當(dāng)x=3時，E尸有最小值27,

/.EF最小值=V27=3A/3,

，M+EF的最小值=66+3/=94,

故答案為：9^/3.

A

15.歷

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)可求得AC=BC=1,當(dāng)線段3G達(dá)到最長時，此時

點(diǎn)G在點(diǎn)C的下方，且B,C,G三點(diǎn)共線，求得BG=4,DG=5,根據(jù)勾股定理求得。尸=而，即機(jī)=而；

當(dāng)線段BG達(dá)到最短時，此時點(diǎn)G在點(diǎn)C的上方，且8,C,G三點(diǎn)共線，則BG=2,DG=1,根據(jù)勾股

定理求得。尸=0,即進(jìn)而求出‘的值

n

【詳解】解：：VABC為等腰直角三角形，ABf，

:.ZA=ZABC=45°,

/.AC=BC=AB-sin45°=V2x—=1,

2

當(dāng)線段BG達(dá)到最長時，此時點(diǎn)G在點(diǎn)C的下方，且8,C,G三點(diǎn)共線，如圖：

則BG=BC+CG=4,OG=r)B+8G=5,

在RtZkDG尸中'DF=ylDG2+GF2=yl52+l2=726>

m=A/26，

當(dāng)線段5G達(dá)到最短時，此時點(diǎn)G在點(diǎn)C的上方，且3,C,G三點(diǎn)共線，如圖:

FG

貝l]BG=CG-BC=2,DG=BG-DB=l,

在RtZkDGF中，DF=^DG1+GF1=712+12=>/2>

■■n=A/2，

一=華=屈,

nV2

故答案為：VB.

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理，根據(jù)旋轉(zhuǎn)推出線段3G最長和最短時的位置是解題的

關(guān)鍵

16.4jcm

【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)變化，解直角三角形，求點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)

鍵.根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度畫出圖形，在。變化的過程中，。點(diǎn)從E點(diǎn)運(yùn)動到8。與族垂直時，43與跖的

交點(diǎn)處，進(jìn)行計算即可得到答案.

【詳解】解：當(dāng)。從0°至U90。的變化過程中，如圖所示，

EF=24cm,

/.BP=12cm,

當(dāng)0。<。<60。時，。點(diǎn)從￡點(diǎn)開始向尸方向運(yùn)動，

當(dāng)a=60。時，。石的移動到最大距離，

此時B4_LEF,

在中，ZB=30°,BP=12cm,

/.QP=6cm,

/.QE=6cm,

當(dāng)60。＜90。時，。點(diǎn)開始離開。點(diǎn)向E點(diǎn)方向運(yùn)動,

當(dāng)a=90。時，Q點(diǎn)停止運(yùn)動，

在RGBP。中，QP=4y/3cm,

Ee=(12-4V3)cm,

二。點(diǎn)返回運(yùn)動的路徑長為6-(12-4括)=(46-6)cm,

點(diǎn)。移動的路徑長為6+4A/^-6=,

故答案為：443.

17小班

17.(l)y=-----

X

、3、15

(2)m=3^m=—^m=-

【分析】(1)過點(diǎn)2作BDLx軸于點(diǎn)。，確定網(wǎng)3,34)，解答即可;

(2)過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)E,確定四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意，菱形。4BC向右平移機(jī)個單位

長度，對應(yīng)得到菱形ON'B'C,則。'(加,0),C'(m+6,0),4卜3+加,3抬)，8'(3+〃?,34)，分類確

定中點(diǎn)坐標(biāo)，解答即可.

【詳解】(1)解：過點(diǎn)8作軸于點(diǎn)。，

:菱形Q4BC的邊長是6,ZAOC=120°,

；.OA=OC=BC=BA=6,NOCB=60°,

：.BD=BC-sinNOCB=6xsin60°=3y/3,CD=BC-cosZOCB=6xcos60°=3,

/.OD=OC-CD=3,

/.B(3,3A/3),

k

..?點(diǎn)8在反比例函數(shù)y=：(x>0)的圖象上.

**?左=3x3^/5=9^3，

反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=盟.

X

(2)解：過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)E,

AOA^OC^BC^BA=6,ZAOE=60°,C(6,0),0(0,0),

AE=OA-sinAAOE=6xsin60°=3A/3，OE=OA-cosAAOE=6xcos60°=3,

/.A（-3,3^）,

根據(jù)題意，菱形。WC向右平移機(jī)個單位長度，對應(yīng)得到菱形O'AB'C',

,C（m+6,0）,4卜3+孤3班），2'（3+根,34），

雙曲線與x軸無交點(diǎn)，

故不經(jīng)過O'C'的中點(diǎn)，

當(dāng)y=”經(jīng)過AE的中點(diǎn)時，此時中點(diǎn)坐標(biāo)為,3若），

故機(jī)=*=3；

3V3

當(dāng)y=2叵經(jīng)過C?的中點(diǎn)時，此時中點(diǎn)坐標(biāo)為^+m^~2~

X

3739A/3

故虧;

-+m

2

3

解得m=-；

當(dāng)y=2叵經(jīng)過AO'的中點(diǎn)時,此時中點(diǎn)坐標(biāo)為一1"+5。生

X

373973

故；-二?；

一_+m

2

解得根=￡;

…3、15

綜上所述，根=二或機(jī)=3或力

2~2

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，反比例函數(shù)的解析式，三角函數(shù)的應(yīng)用，平移，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，熟

練掌握性質(zhì)和三角函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

18.(1)見解析

(2)見解析

⑶T，o]

【分析】本題考查了平移作圖，旋轉(zhuǎn)作圖，以及一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題，軸對稱的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)

合是解題的關(guān)鍵;

(1)根據(jù)平移的性質(zhì)，作出44月G；

(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，作出VA3c

(3)作關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)名，則四(1,1),連接44交x軸于點(diǎn)P,進(jìn)而待定系數(shù)法求解析式，進(jìn)

而求得P點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解.

【詳解】(1)解：如圖所示，△A4G即為所求;

(2)解：如圖所示，即為所求;

(3)解：如圖所示，作生關(guān)于X軸的對稱點(diǎn)鳥，則鳥(1,1),連接A鳥交X軸于點(diǎn)尸,

：4層的長度固定，尸4+尸32=尸4+尸鳥當(dāng)尸在A鳥上時，PA+尸外取得最小值，即AA與尸周長取最

小，

；.尸點(diǎn)即為所求；

設(shè)直線AP解析式為y=^+b(%70),代入4(-3,-2),4(1,1)

\-2=-3k+b

\l=k+b

解得：:4

b=-

I4

31

當(dāng)y=。時，-x-\—=0

44

解得：x二-§

故答案為：

19.(1)見詳解

(2)見詳解，(-3,0)

(3)當(dāng)

2

【分析】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，軸對稱和扇形面積公式等知識，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確找出

對應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題意畫出即可；關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變；

(2)根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)8、C以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)90。后的對應(yīng)點(diǎn)，然后順次連接即可得

出AA層C2,再在圖上得出點(diǎn)鳥的坐標(biāo)，即可作答.；

(3)先求出=再由旋轉(zhuǎn)角等于90。，利用弧長公式即可求出.

【詳解】(1)解：用C如圖所示:

(2)解：AAB2c2如圖所示,

:.由圖得點(diǎn)層的坐標(biāo)(-3,0)；

(3)解：依題意，AB=A/12+22=75?

點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B2的過程中所經(jīng)過的路徑長絲生晝=.

1802

20.(1)AD=BC；(2)50；(3)作圖見解析

【分析】本題考查四邊形綜合，涉及折疊性質(zhì)、正方形性質(zhì)，讀懂題意，發(fā)揮空間想象能力構(gòu)造圖形

是解決問題的關(guān)鍵.

（1）由折疊性質(zhì)、正方形性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合即可得到答案；

（2）由折疊性質(zhì)、正方形性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合即可得到答案；

（3）如圖所示，沿著虛線剪開，利用旋轉(zhuǎn)和平移即可組合成一個正方形.

【詳解】解：（1）由折疊性質(zhì)可知，AD=2EF,BF=DF,DG=CG,

FG=FD+DG=BF+GC,即8C=2/G,

當(dāng)四邊形EFG8為正方形時，EF=FG,

AD與BC的數(shù)量關(guān)系是AD=BC；

（2）由折疊性質(zhì)可知，GA=GD,EB=EH,FH=FC,

BC=2EF=2（EH+HF）=2（BE+FC）,

若四邊形A￡FG為正方形，BE=3,"=2,則BC=2EF=2x（3+2）=10,

AE=EF=5,

二平行四邊形ABC。的面積為8CxAE=10x5=50；

（3）沿著虛線剪開，如圖所示:

將四邊形HDGI繞著點(diǎn)G順時針旋轉(zhuǎn)，使GD與GC重合;將四邊形AHIE繞著點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn),使AE

與BE重合；如圖所示:

沿著H剪開，將HF與〃重合，如圖所示:

即可構(gòu)成一個正方形.

21.⑴①。，1）；②小-1MB0V2

（2）621+77

【分析】（1）①根據(jù)已知條件得出進(jìn)而求得o'坐標(biāo)，即可求解；

②連接BM,O'M,O'O,NO',根據(jù)MN為線段OO'的垂直平分線，當(dāng)點(diǎn)O'運(yùn)動到線段8M上時,

30'最小，當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動到點(diǎn)8時，30'最大，根據(jù)題意即可求得的范圍；

（2）根據(jù)一次函數(shù)得出0）3（0,6）,對于中，先固定N點(diǎn)，當(dāng)M運(yùn)動時始終有

4

NO=NO,進(jìn)而得出以A為圓心，為半徑的。A與以5為圓心，6為半徑的。2的兩圓的公共部

分，當(dāng)以直線A3為對稱軸時，斜邊為4的等腰直角三角形邊上任意一點(diǎn)都是的“翻折點(diǎn)”，即該等腰

直角三角形在上述封閉圖形內(nèi)，進(jìn)而根據(jù)勾股定理，求得6的值，結(jié)合圖形即可求解.

【詳解】（1）解：①當(dāng)上=—1時，直線y=&+l為y=-x+l,

當(dāng)x=0時，y=l,

當(dāng)y=0時，x=l,

?點(diǎn)M,N為y=-x+l與邊OA,08的交點(diǎn)，

:.OM=1,ON=1,N（1,O）,

作點(diǎn)。關(guān)于直線肋V的對稱點(diǎn)O',OO'交MN于點(diǎn)C,

CM=CN,

：.crib

O'(1,1),

故答案為：（1」）;

②連接RW,O'M,O'O,NO',

當(dāng)x=0時，y=1,

?點(diǎn)M,N為、=丘+1與邊04,08的交點(diǎn)，

:.OM=1,M(0,l),

V3(2,0),

OB—2,

: