微專題29與圓有關的位置關系

考點精講

構建知識體系

圓外1

圓上一■（點與圓的位置關系hd切線的性質與判定］

-與圓有關的位置關系-

相離］---------------------

相切-卜直線與圓的位置關系］

三角形與圓卜

q內切圓

相交一i

考點梳理

1.點與圓的位置關系

點在圓外d=04①r

點在圓上d=OB②r

點在圓內d=OC③rR------

2.直線與圓的位置關系（2024年首次涉及考查）

位置關系相離相切相交

d與r的

d?________.d?________r

關系

交點的

有兩個公共點

個數

示意圖

3.切線的性質與判定（6年6考）

（1）性質定理：圓的切線⑦于過切點的半徑（或直徑）

⑵性質：①切線和圓只有一個公共點；②圓心到切線的距離等于圓的半徑；③切

線垂直于過切點的半徑；④經過圓心且垂直于切線的直線必過切點；⑤經過切點

且垂直于切線的直線必過圓心

⑶判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

(4)判定方法：①直線與圓公共點已知：連半徑，證垂直；②直線與圓公共點未知:

作垂直，證半徑

4.切線長與切線長定理

在經過圓外一點的圓的切線上，這點與⑧之間的線段的長

切線長

度，叫做這點到圓的切線長

從圓外一點可以引圓的⑨_____條切線，它們的切線長⑩—，這

切線長定理一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.(探索并證明切線長定理*

選學)

5.三角形的內切圓

(1)定義：與三角形各邊都相切的圓

(2)圓心0：內心(三角形的內切圓圓心或三角形三條?的交點)

⑶性質：三角形的內心到三角形?的距離相等

(4)角度關系：如圖③，圖④，ZBOC=90°+|ZBAC

【知識拓展】

任意三角形的內切圓直角三角形的內切圓

利用等面積法可得：二*

利用等面積法可得：廠=票詈°c

a十匕十c.

利用切線長定理可得：廠=

練考點

1.已知oo的半徑為3,尸為平面內一點，0尸=4,則點尸在。0.(填

“內”“上”或“外”)

2.已知圓的半徑為3,圓心到某直線的距離為2,則此直線與圓的位置關系

為.(填“相交”“相切”或“相離”)

3.如圖，AC是。。的直徑.

(1)若是。0的切線，則NAC5=°；

(2)若A3=5,5C=4,AC=3,則與。0.(填“相交”“相切”或“相

離”)

4.如圖，PA,尸5是的切線，A,5為切點，連接ABOA,OB,PO,P0

交。0于點C,交45于點。，ZOAB=30°.

第4題圖

(l)ZAPB的度數為；

(2)若。4=4,則的長為.

5.如圖，在△A5C中，ZC=90°,AC=3,5。=4,則△斗臺。的內切圓半徑r

第5題圖

6.如圖，△A5C的外接圓半徑為5,其圓心0恰好在中線上，若A5=CZ）,

則4A5C的面積為.

第6題圖

高頻考點

考點與切線有關的證明及計算（6年6考）

一、切線的判定（6年4考）

方法解讀

1.利用平行證垂直：

當需要證明的切線有一條垂線時，可證明過切點的半徑與這條垂線平行.

2.利用等角轉換證垂直：

題干中直接給出角度關系或給出切線與弦的夾角等于某個圓周角時，常通過等角

代換來證明.

3.利用三角形全等證垂直：

常在“共點雙切線型”圖形中運用，通過連接圓心與兩條切線的交點構造全等三

角形來證得垂直.

4.作垂直，證半徑：

過圓心作直線的垂線段，證明垂線段長等于半徑.

方法一連半徑、證垂直

例1（利用平行證垂直）核心設問如圖，在等腰△ABC中，AB=AC,以4。為

直徑的。。交于點E,過點E作于點E求證:石尸是。0的切線.[2019

廣東24⑵題考查]

A

0

例1題圖

例2（利用等角轉換證垂直）如圖，A5是。。的直徑，。是圓上一點，過點。的

直線8交延長線于點。，且求證：是。。的切線.

例2題圖

例3（利用三角形全等證垂直）核心設問如圖，在R3A5C中，ZACB=90°,

以為直徑作。0,交A3于點。，點E為AC上一點，連接。E若。E=CE,

求證：DE是OO的切線.[2020廣東22⑴題考查]

例3題圖

方法二作垂直、證半徑

例4核心設問如圖，在R3ABC中，ZACB=90°,以AC上一點。為圓心,

OC長為半徑作。O,連接BO,若BO平分NA5C,求證：AB是。O的切線.[2024

廣東17⑵題考查]

c

0

例4題圖

二、切線性質的相關證明及計算(6年2考)

方法解讀

1.證明角相等的方法：

(1)根據直角三角形中兩銳角互余，進行等量代換找到對應的角；

(2)根據平行線與等腰三角形的性質，進行等量代換找到相對應的角；

(3)通過證明兩個三角形全等，得到對應的角相等.

2.求線段長的方法：

⑴若題干中含有30°,45°,60°等特殊角度或出現三角函數sin、cos、tan時,

考慮利用三角函數求線段長；

(2)若題干無特殊角或三角函數，觀察圖形發(fā)現已知邊與所求邊分別所在的三角形

存在相似關系，考慮作輔助線將所求線段轉化到直角三角形中，利用相似三角形

求線段長.

3.證明線段平行的方法：

(1)通過角之間的等量代換，利用同位角相等、內錯角相等或同旁內角互補的方法

證明兩直線平行.

(2)設法將兩條線段放在同一個三角形中，利用中位線(或等分點)的性質證明兩直

線平行.

例5如圖①，在AABC中，ZA=90°,E是BC上一點,以5E為直徑的。O

與AC相切于點。，連接5。，DE.

A

D

~oJE~C

例5題圖①

(1)求證：/ABD=NCDE；

(2)求證：平分NA5C；

(3)若NA5/)=30°，AD=V3,求0。的長;

(4)如圖②，若下為8的中點，連接ERZC=30°,求證:EF//AB.

例5題圖②

真題及變式

命題點切線的判定及性質(6年6考)

1.(2020廣東22題8分)如圖①，在四邊形A5CD中，AD//BC,ZDAB=90°,

AB是。O的直徑，CO平分N5CD.

(1)求證：直線與相切；

(2)如圖②，記(1)中的切點為E,尸為優(yōu)弧&上一點，AD=1,5。=2.求tanZAPE

的值.

圖①圖②

第1題圖

2.(2019廣東24題9分?北師九下習題改編)如圖①，在△4臺。中，AB=AC,QO

是△ABC的外接圓，過點。作N5cZ)=NAC5交。O于點。，連接A。交于

點、E,延長OC至點尸，使。尸=AC,連接AE

(1)求證：ED=EC；

(2)求證：A尸是。O的切線；

(3)如圖②，若點G是△ACZ)的內心，BCBE=25,求BG的長.

AA

第2題圖

新考法

3.［真實問題情境］陀螺(如圖①)是中國民間最早的娛樂工具之一，歷經千年發(fā)

展成為備受世界喜愛的一項運動.玩木制陀螺時需要掌握一定的技巧，其中發(fā)動

陀螺尤為重要.某數學興趣小組畫出如圖②所示的示意圖，陀螺的截面圖記作

GO,將鞭繩纏繞陀螺后余下的鞭繩為4C,點。為接頭，繩桿為尸C,發(fā)動陀螺

時需將手放在優(yōu)弧&處固定陀螺，連接A5,AP,A尸交。。于點。，連接50且

ZABC=ZADB.

(1)求證：尸。與相切；

(2)實踐中發(fā)現，當AC與。。相切于點A,且4CLPC時，發(fā)動陀螺更加穩(wěn)定，

若陀螺半徑r=4cm,NA4P=30°,求繩桿。尸的長度.

第3題圖

考點精講

①〉②:③<④〉⑤=@<⑦垂直⑧切點

⑨兩⑩相等平分線3條邊

練考點

1.外

2.相交

3.(1)90；(2)相切

4.(1)60°；(2)8

5.1

6.32

高頻考點

例1證明：如解圖，連接OE,

'：OC=OE,

：./OEC=/C.

\'AB=AC,

：.ZB=ZC,

：.ZOEC=ZB,

：.OE//AB.

'：EFLAB,

：.EFLOE,

?「OE是。。的半徑，

是。。的切線.

例1題解圖

例2證明：如解圖，連接0C,

?「A5是的直徑，

ZACB=90°,

：.ZCAB^ZB=90°.

又?:04=0。，

：.ZCAB=ZAC0,

,：ZDCA=ZB,

：.ZDC0=ZAC0+ZDCA=ZCAB+ZB=90°,

即CD±OC.

?「OC是。0的半徑，

???CZ)是OO的切線.

例3證明：如解圖，連接0。，0E,

在^ODE與4OCE中，

(OD=0C

<OE=OE,

(DE=CE

.*.△ODE注△OCE(SSS),

：.ZODE=ZOCE=90°,

即ODLDE,

?.?。。是。0的半徑，

.,.DE是的切線.

戶

例3題解圖

例4證明：如解圖，過點。作于點

：.ZODB=ZOCB=90°,

：.OC±BC,

?：B0平分NA5C,

：.OD=OC,

?.?。。是。0的半徑，

???0。是。。的半徑，

.二A5是。。的切線.

例4題解圖

例5(1)證明：:5石為。。的直徑,

：.ZBDE=90°,

ZADB+ZCDE=90°,

VZA=90°,

ZABD+ZADB=90°,

ZABD=ZCDE；

⑵證明：如解圖①，連接0。，

?「AC是切線，

：.ZODC=90°,

VZA=90°,

J.AB//OD,

ZABD=ZODB,

?：OB=OD,

：.ZOBD=ZODB,

：.ZABD=ZOBD,

平分NA5C；

例5題解圖①

(3)解:如解圖①,連接0。，

由(1)知ZABD=ZCDE,由(2)知ZABD=Z0BD,

VZA=90°,NA瓦)=30°,AD=W,

：.ZOBD=ZODB=ZCDE=30°,BD=243,

.,.ZDOC=60°,

?「AC與。O相切于點。，

.*.ZODC=90°,

AZC=90°-60°=30°,

：.ZCDE=ZC,

：.DE=CE,

VZBDE=90°,

：.BE=^-=4,DE=-BE=2,

cos30°2

：.CE=DE=2,

：.OC=4；

(4)證明：如解圖②，連接00,

由(2)得NODC=90°,

VZC=30°,

ZDOC=60°,

,：OD=OE,

.*.△ODE為等邊三角形，

：.ZODE=60°,

:./CDE=90°-60°=30°,

：.ZCDE=ZC,

：.CE=DE=OE,

???點E是。。的中點.

?.?點廠是CD的中點，

:.EF是AODC的中位線，

.,.EF//OD,

由(2)知，OD//AB,

：.EF//AB.

A

例5題解圖②

真題及變式

1.(1)證明：如解圖①，過點。作OELCO于點E,

'.'AD//BC,/DAB=90°,

：.ZOBC=90°,

：.ZOBC=ZOEC,

VCO平分/BCD,

.*.Z1=Z2,

XVco=co,

50%△EOC(AAS),

：.OE=OB,

?.?05為的半徑，

為的半徑，

又丁0ELCD,

，直線與。0相切；（3分）

（2）解:如解圖②，連接0Z）,0E,

由⑴得0E=08

：.0E=0A,

ZOAD=ZOED=90°,0D=0D,

Z.RtAAOD^RtAEOD（HL）,

1

：.DE=AD=1Z3=Z4=-ZAOE,

92

i

ZAPE=-ZAOE=N3,

2

由（1）得4BOC咨AEOC,

：.CE=BC=2,

：.CD=DE+CE=3.（5分）

過點。作。尸，5C,垂足為點尸，則四邊形A5FD為矩形,

CF=BC—BF=BC—AD=1,

在R3。/。中，DF=lcD2-CF2=2V2,

0A=-AB=-DF^^2,

22

/.tanZAPE'=tanZ3=-=-p——?（8分）

OAV22v7

BcBFc

圖①圖②

第1題解圖

一題多解法

如解圖③，連接5E,AE,并延長4E交的延長線于點尸,

由題意得NAPE=NA5E,ZDAB=9Q°,A5為。0直徑,

與。0相切，；.DE=AD=1,同理可得。石=。5=2,

,JAD//BC,

BPFE=2AE,（5分）

FECE2、）

是。。的直徑，

：.BE±AF,

?；NABE+NBAE=90°,ZABE+ZFBE=90°,

ZBAE=ZFBE,

：.4ABEsABFE,

BEFE2AE

?.霽負值已舍去），

第1題解圖③

2.(1)證明：如解圖①,

"：AB=AC,

：.Z1=Z3,

VZ1=Z2,

.\Z2=Z3.

VZ3=Z4,

?*.Z2=Z4,

：.ED=EC；（2分）

A

第2題解圖①

(2)證明：如解圖②，連接。4,OB,0C,

"：OB=OC,AB=AC,

.?.40是5C的垂直平分線，

：.A0±BC.

?.?由(1)得N2=N3,

：.AB//DF.

,：AB^AC=CF,

：.四邊形ABCF是平行四邊形，

J.AF//BC,

：.A0±AF.

?.?。4是。0的半徑，

尸是。。的切線；(5分)

第3題解圖②

(3)解：如解圖③，連接4G,

VZ1=Z2,Z2=Z5,

.*.Z1=Z5.

「G是△AOC的內心,

.*.Z7=Z8,

VZBAG=Z5+Z7,

Z6=Z1+Z8,

：.NBAG=/6,

：.AB=BG.

VZ3=Z3,Z1=Z5,

:.&ABEs4CBA,