2025年中考數(shù)學總復習《二次函數(shù)壓軸之線段問題》專項測試卷及

答案

學校:姓名：班級：考號：

1.已知，拋物線蚱蘇+bx+c與％軸交于4,5兩點，與y軸交于點C,且對稱軸為直線

x=-lOC=3OB=3.

⑴求拋物線的解析式;

(2)如圖1,在第二象限的拋物線上作點。，連接交直線AC于點E,若AAOE與VA3C相

似，求點。的橫坐標；

(3)如圖2,經(jīng)過點尸口，空的直線/：j+f(2<%<3)交拋物線于跖N兩點(M在第

三象限，N在第一象限)，直線TQ：y=r［交線段M尸于點。(不與尸重合)，設

的面積為s,求s的取值范圍.

2.如圖，直線y=-3x+2交y軸于點A,交工軸于點C,拋物線股-卜+法+修過點A,

點C,且交入軸于另一點反

(1)直接寫出：b=_,c=_.

(2)在直線AC上方的拋物線上有一點求四邊形ABC”面積的最大值及此時點M的坐

標；

⑶將線段0A繞工軸上的動點P(“。)順時針旋轉9。。得到線段。處，若線段。以與拋物線只有

一個公共點，請結合函數(shù)圖象，求用的取值范圍.

3.如圖8,在平面直角坐標系中，已知拋物線y=Y+bx+c與4軸相交于4,5兩點，與

y軸相交于C(O,Y)點，點4的坐標為(T。).

(1)求拋物線的解析式及B點坐標；

(2)求VABC的面積；

⑶點尸是直線下方拋物線上一動點，過點尸作y軸平行線交直線8C于點Q,求線段

P。的最大值及此時點P的坐標.

4.已知平面直角坐標系中，0為坐標原點，拋物線y=分+bx+c與％軸交于4,5兩點，

與丁軸的正半軸交于。點，且4-2,0),3(4,0),40,4)；

⑴求拋物線的解析式；

(2)如圖1,點尸是拋物線在第一象限內(nèi)的一點，連接P3，PC,過點尸作E軸于點。，

交8C于點K.記△PBC,的面積分別為S1和邑，求S「邑的最大值；

(3)如圖2,連接AC,點石為線段AC的中點，過點石作比UAC交4軸于點八拋物線上

是否存在點。，使/。也=2/004?若存在，求出點。的坐標；若不存在，說明理由.

5.【綜合探究】

如圖，已知拋物線，=一一2X+3的頂點為。點，且與X軸交于5、A兩點(3在A的左側),

與y軸交于點c,點E為拋物線對稱軸上的一個動點.設對稱軸與X軸交于點尸.

(1)當點E在x軸上方且CE〃加時，求sin/DEC的值；

(2)若拋物線對稱軸上存在一點E,使得+取得最小值，連接AE并延長交第二象

限拋物線為點M,請求出此時線段期的長度.

6.如圖，直線y=-x+4與X軸、y軸分別交于點A與點B,拋物線y=-；/+bx+c經(jīng)過點A、

B,在線段0A上有一動點8%0),點。不與點0,4重合，過點。作X軸的垂線分別交

直線A2于點。，交拋物線于點E

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)當點。是OE的中點時，求機的值；

(3)過點石作垂足為點尸，當點石坐標為多少時，線段所的長最大，最大值為

多少？

7.如圖1,在平面直角坐標系xQy中，已知拋物線y=++bx+3與X軸交于A(3,o)、8兩點，

與y軸交于點C,且關于直線x=i對稱.

⑴求線段48的長；

⑵當o<x<3時，求)的取值范圍；

(3)如圖2,點G為拋物線對稱軸上的點，點網(wǎng)叫％),打〃,％)在對稱軸右側拋物線上，若

△GEF為等腰直角三角形，NEGF=90°,試證明：〃-加為定值.

8.如圖，拋物線丫=浸+及-3交X軸于A(_3,o),3(1,0)兩點,與y軸交于點C.連接AC,

(D求拋物線的解析式；

(2)如圖1,點尸為拋物線在第三象限的一個動點，PMLx軸于點交AC于點G,PE1AC

于點￡,求線段行的最大值；

⑶如圖2,若Q為拋物線上一點，直線。。與線段AC交于點N,是否存在這樣的點Q,

使得以A,O,N為頂點的三角形與AABC相似.若存在，請求出此時點Q的橫坐標；若

不存在，請說明理由.

9.如圖，拋物線'=-；/+%+4與％軸交于45兩點(點4在點5的左側)，與y軸交

于點。，連接8C.

⑴求A,B,。三點的坐標，并直接寫出線段sc所在直線的函數(shù)表達式；

(2)點尸是線段BC上方拋物線上的一個動點，過點尸作正河，尤軸于點交于點N求

線段PN長的最大值.

10.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線>=加+區(qū)-5(。力。)交工軸于A(l,o),c(-5,o)兩點,

與y軸交于點B.

(1)求此拋物線的表達式;

⑵拋物線的對稱軸上是否存在一點使得△麗的周長最小，若存在，請求出點〃

的坐標，若不存在，請說明理由.

⑶連接BC,點尸是線段BC上一點，過點尸作y軸的平行線交拋物線于點。，是否存在

以點0、。、尸為頂點，以。3為一邊的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出

點尸的坐標，若不存在，請說明理由.

11.如圖，已知二次函數(shù)尸加+%+4的圖像與X軸交于A(T0),5兩點，與y軸交于點

C,作直線BC.

(D求直線8C的函數(shù)表達式；

(2)尸是第一象限內(nèi)拋物線上一動點，過點尸作PQL3C于點Q,當線段尸。取得最大值時，

求點尸的坐標.

12.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線了=加+區(qū)-450)與x軸交于A,8兩點，與＞軸

交于點c,點A的坐標為(T,0),且OC=OB.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點M是直線8C下方拋物線上的一個動點(不與3、c重合)，當ABCM面積最大時，求

點M的點坐標及.BCM面積的最大值.

(3)點p為此函數(shù)圖象上任意一點，其橫坐標為機，過點P作加〃X軸，點Q的橫坐標為

-m+5.已知點尸與點Q不重合，且線段尸。的長度隨優(yōu)的增大而減小.

①求優(yōu)的取值范圍；

②當PQW10時，直接寫出線段尸。與二次函數(shù)片加+小4［白加＜3的圖象交點個數(shù)及對

應的加的取值范圍.

13.拋物線產(chǎn)--+2X+3與％軸交于點A,。(點4在點。的右側)，與y軸交于點及一

次函數(shù)、=辰+6經(jīng)過點4,B.

（2）如圖1,過點。的直線交線段A2于點若山烈=4,直接寫出點〃的坐標；

（3）如圖2,點。是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，過點。作DE〃y軸交A3于點區(qū)

DF±AB垂足為下.當止=2時，求點尸的坐標.

14.如圖,直線y=-x+〃與X軸交于點A（3,o）,與y軸交于點5,拋物線y=--+法+C經(jīng)過

A,5兩點，點E（〃?，。）是線段0A上的一個動點（不與點。和點A重合），過點石作EZUx

軸，交直線于點。，交拋物線于點尸，連接形.

（D求拋物線解析式；

（2）當線段加的長度最大時，求點尸的坐標；

⑶若線段加和加為等腰三角形尸叫的腰，求此時點石的坐標.

15.如圖，拋物線L：y=1f+bx+C與x軸交于點A（T0）,B（2,0）,交V軸于點C,點。在拋

物線L上，且CO〃x軸.

(D求拋物線L的函數(shù)解析式;

(2)求線段。的長；

(3)點E在拋物線L上，且其橫坐標為5,拋物線L在點D，E之間的部分(包括點2E)記

作圖象W，若圖象W向上平移根(加＞。)個單位長度后，與直線3C有唯一的公共點，求整

數(shù)加的值；

(4)直線/：y=-x-4與拋物線L交于兩點，把拋物線L和直線/所圍成的封閉圖形的邊界

上橫、縱坐標都是整數(shù)的點稱為“美點”.若在直線尸質(zhì)的兩側的“美點”個數(shù)之比為12

直接寫出人的取值范圍.

參考答案

1.⑴,=-公一2%+3；

(2)匕盧或-若；

⑶型＜sv以

I)12832

【分析】(1)用待定系數(shù)法求解即可；

(2)分兩種情況：①當AAOESAABC時〃OE=WC,②當時ZAOE=ZACB,分別

求解即可；

(3)根據(jù)產(chǎn)"+，經(jīng)過點尸口，)則。+"二得到=*|,代入得照履+*+|,聯(lián)

立股質(zhì)+9+|與廠-x］，解得&-碓可，再根據(jù)三角形面積公式得到

=S=1|x12+2J即可求解.

D乙1KII)

【詳解】(1)解：VOC=3OB=3

：.OB=1

Z.B（1,O）,C（O,3）

又???對稱軸為直線X=「F=T

2a

a+b+c=O

<c=3

a=-1

解得："=-2

c=3

拋物線的解析式為y=T_2X+3；

（2）解：如圖1,①當AAOESAMC時ZAOE=ZABC貝ljOD〃3c

設直線3C解析式為'=〃戊+"

將3(1,0),C(0,3)代入得:

(m+n=0

[n=3

解得；3

/.直線8C角軍析式為y=-3x+3

OD//BC

「?直線解析式為：)=-3%

聯(lián)立拋物線與直線得：f2_2%+3=-3%

整理得：尤2_%_3=0

解得：%=上乎％=呼（舍去）

②當AAOES^24c3時ZAOE=ZACB作BH_LAC如圖2

,/5（1,0）對稱軸為直線x=-l

Z.A（-3,0）

AB=4OC=OA=3

?*.AC=ylo^+OC2=,32+32=30AH=BH=272

CH=tanAAOE=tanZACB==2

CH

EKLOA貝Ijtan/AOE=箓=2

設^OK=mAK=EK=2m

/.OK+AD=3m=AC=3

J點磯T2）

，直線OE解析式為：尸-2尤

聯(lián)立拋物線與直線OE得：一d一2x+3=-2x

解得芯=-3%=下1（舍去）

綜上所述點。的橫坐標為萼或-若

（3）解：直線TQ：尸-尤-；交線段M尸于點Q（不與MP重合）

當尤=0時y="1

?直線/:丁=依+/經(jīng)過點p

?'?直線/：y=^+-k+-

聯(lián)立直線/：好質(zhì)+5%+5與直線7。：y=~x~4

y=kx+—k+—

22

5

y=——

4

解得：%二一即

517

.CT=OC+OT=3+—=——

44

172^+1117

——x

32k+132

■?-2<k<3S隨Z的增大而減小

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)相似三角形的性質(zhì)解直角三角形一

次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求函數(shù)解析式等知識掌握相關知識是解題的關鍵.

2.（1）12

⑵當4=2時四邊形MCN面積最大其最大值為8此時“（2,2）

(3)—3—^17*<m<—4—3+VP7<m<2

【分析】（1）令x=。由y=2得A點坐標令>=。由y=-gx+2得C點坐標將A

C的坐標代入拋物線的解析式便可求得拋物線的解析式進而由二次函數(shù)解析式

（2）連接設求出8（-2,0）得到與邊形ABCM-S^ABO+^^AOM+S40cM再根

據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得最大值便可得M點的坐標

（3）根據(jù)旋轉性質(zhì)求得。點和A點的坐標令。點和A點在拋物線上時求出機的最

大和最小值便可.

【詳解】（1）解：令尤=。得y=-gx+2=2

A（o,2）

令y=。得y=-?+2=。解得x=4

...C（4,0）

把AC兩點代入y=-：/+6尤+c得

（1

'c=2cb,=—

,1解得2

——xl6+48+c=0c=2

I4I

「?拋物線的解析式為y=-%2+；x+2

（2）解：連接ON如圖

設Mp，-+

令y=0得y=_；尤2+（尤+2=0

解得：x=-2或x=4

，5（-2,0）

SxABO+SAAOM+S2CM

則S四邊形A5CN

1cc1c1（121Q

=—x2x2H—x2xH—x44x—xH—x+2

222I42J

12c,

——x+2x+6

2

??.當》=-±=2時四邊形ABCM面積最大其最大值為8

此時M的坐標為（2,2）

(3)解：?.?將線段0A繞工軸上的動點尸(九。)順時針旋轉90。得到線段。A如圖

p(y=PO=rnO'A=OA=2

...Ar(m+2,m)

當A(m+2,m)在拋物線上時有-;(m+2『+；(m+2)+2=wi

解得m=-3±y/17

當點。'(加,租)在拋物線上時有加+；m+2=m

解得加=-4或m=2

J當-3-鹿-4或-3+如(屋2時線段。燈與拋物線只有一個公共點.

【點睛】本題是一個二次函數(shù)的綜合題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)旋轉的

性質(zhì)待定系數(shù)法求函數(shù)圖象與坐標軸的交點求函數(shù)的最大值三角形的面積公

式第(3)關鍵是確定。4點的坐標與位置.

3.⑴拋物線的表達式為y=Y-3尤-48(4,0)

(2)10

(3)線段P。的最大值是4此時點P的坐標為(2,-6)

【分析】本題考查了拋物線與工軸的交點待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式二次函數(shù)的

性質(zhì).

(1)用待定系數(shù)法求解即可

(2)由AB。的坐標得AB=5,OC=4再根據(jù)三角形面積公式求解即可

(3)利用待定系數(shù)法即可求得直線BC的解析式為加=>4設P(蒼龍2一3A4),0<x<4則

2(X,X-4)即可得出尸Q=.(X-2)2+4根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得答案.

【詳解】(1)解:把(OT)(TO)代入y=>+6x+c得:

Jl-〃+c=0

[o+O+c=-4

解得，二

???拋物線的表達式為y=Y-3X-4

令d-3x-4=0則x=-l或4

3(4,0)

(2)解：VA(-I,o)3(4,0)C(0,T)

/.AB=5,OC=4

S△枷=<AROC=gx5x4=10

(3)解：設直線BC的解析式為%c=丘-4

：3(4,0)

...0=4%-4

解得k=1

直線BC的解析式為為c=x-4

設P(x,尤z-3x-4),0<x<4

YP?！▂軸

，Q(x,x-4)

PQ=X—4—^X2—3X—4^=—x2+4x=—(^x-2y+4

，當x=2時PQg=4此時尸(2,-6)

，線段P。的最大值是4此時點P的坐標為(2,-6).

4.(l)y=-^2+x+4

(2)|

⑶存在主力或

【分析】（1）由待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可

（2）求出BC的解析式設P,,一/2+〃7+4］則：儀皿-,〃+4）,以辦0）將S「邑轉化為二次

函數(shù)求最值即可

（3）易得出垂直平分AC設5=4勾股定理求出廠點坐標三線合一結合同角的余

角相等推出NAFE=NOG4=NCFE分別作點E關于》軸和直線b的對稱點6也直線

咫尸心與拋物線的交點即為所求進行求解即可.

【詳解】（1）解：拋物線y=分+6x+c與％軸交于45兩點與y軸的正半軸交于。點

且A（-2,0）,B（4,0）,C（0,4）

4。一2/7+c=0

/.<16a+4b+c=0

c=4

1

ci——

2

解得：<0=1

c=4

???拋物線解析式為：蚱-；/+尤+4

（2）解：?.?8（4,0）C（0,4）

「?設直線5c的解析式為：y=/a+4（k^o）把川4,0）代入得：4左+4=0

，k=-l

y=-x+4

設尸+m+4j（0<m<4）貝［|：K（m,-m+4）,D（m,0）

11

PK=——m7+m+4+m-4=——m9+2mDK=—m+4DB=4—m

22

2

/.S1=^PKOB=-m+4m,S2=^DKDB=^+4）（4-〃z）=；（4-m）?

i

29

?\Sl—S2=-m+4m——（4—m）

,2

...當機=1時岳-邑的最大值為I

（3）解:存在:

?.?A（-2,0）C（0,4）點E為AC的中點

￡（-1,2）

VFE1ACAE=CE=^（-1+2）2+22=75

AF=CF

ZAFE=/CFE

設=。貝I］：CF=AF=a+2

在R5COb中由勾股定理得:/+42=5+2)2

??a=3

/(3,0)CF=5

FE±ACZAOC=90°

ZAFE=ZOCA=90°-ZCAF

ZAFE=ZOCA=ZCFE

①取點E關于x軸的對稱點片連接FE；交拋物線與點0則：NQFE=2NEFA=2NOCA

4(*2)

設鳴的解析式為：y=kxx+b

k-

l1=

則:解得：2

\Iu-473

b二—

2

?13

.?F.5

13

y=-x——

聯(lián)立22

12/

y=——x+x+4

2

②取E關于CF的對稱點E2連接EE?交CF于點、G連接廠當交拋物線于點Q2

則：ZQ2FE=2ZCFE=2ZOCAEG1CF

CE=>/5,CF=5

?*.EF=7CF2-CE2=2y/5

,/S?EF=；CF.EG=；CE.EF

J5EG=2A/5XV5

...EG=2

FG=^EF2-EG2=4

416312

過點G作GHU軸則:GH=FG-sin/CFO=4x—=——FH=FG?cosNCFO=4義一=——

5555

3

/.OH=OF-FH=-

216

G5J

"ll22

E

2,y,y

設直線E/的解析式為:y=k2x+&

11

3k2+4=0k

2~2

則:11,722解得:

33

T

.1133

.?尸丁+彳

1133屈+1313-769

y=-----x+一x=-----------x=-----------

聯(lián)立22解得:2（舍去）或＜2

124-HA/69-77-77+11769

y=——x+x+4

2尸—4-J=-4—

【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應用涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式中垂線的判

定和性質(zhì)等積法求線段的長坐標與軸對稱勾股定理解直角三角形等知識點

綜合性強難度大計算量大屬于中考壓軸題正確的求出函數(shù)解析式利用數(shù)形

結合和分類討論的思想進行求解是解題的關鍵.

5.(l)sinZDEC=^-

(2).=苧

【分析】(1)分別令x=O,y=O分別解方程求得A民C的坐標進而得出頂點。(TT)

設對稱軸與x軸交于點廠根據(jù)平行線的性質(zhì)得出加宏=/。即進而根據(jù)正弦的定義

即可求解

(2)如圖所示過點A作于點”交對稱軸于點￡連接AE并延長交第二象限

拋物線為點加在中sinZ7fDE=^|得出AE+gDE=AE+HE則當點AE

DE5

H三點共線且AH垂直M時AE+HE最小待定系數(shù)法求AE的解析式聯(lián)立'一萬^^

丁=一%2-2%+3

進而即可求解.

【詳解】⑴解:?y=-f—2%+3

令丁=-%2-21+3=0解得項=1%2=-3

即4（1,0）3（-3,0）

把％=0代入丁=*-2%+3中得產(chǎn)-3即C（0,-3）

*.*y=—x2—2x+3=—（x+1）2+4

.二對稱軸是直線廠-1頂點。（T4）

BF=2DF=4BD=2百

CE//BD

：.ZBDE=Z.CED

RF2

??sin/DEC=sinZBDF=——=—=

BD2V55

(2)解：如圖所示過點A作AH,05于點”交對稱軸于點石連接人石并延長交第二

象限拋物線為點〃

?二HE=sinZHDExDE=—DE

5

/.AE+—DE=AE+HE

5

.?.要AE+*OE取得最小值即要AE+HE最小

J當點AEH三點共線且々/垂直此時由HE最小此時AE+/OE最小

*.*ZHDE^AFAE

2FFFF

/.tanZBDE=tanZFAE=-=——=——

4AF2

EF=1即E（-l，l）

*.*A（1,O）

設直線AE的解析式為：y=kx+b

-k+b—1

則k+b=O

k=--

解得：2

b=-

2

1x+—1

???AE的解析式為:y=——22

11

,、.y——xH—

聯(lián)立.22

y=-x2-2x+3

5

x=——X=1

解得7z或（舍去）

y=0

【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題二次函數(shù)與坐標軸的交點二次函數(shù)的圖象

與性質(zhì)勾股定理解直角三角形綜合運用以上知識是解題的關鍵.

6.⑴、=-9+彳+4

（2）m=2

⑶當點石的坐標為（2,4）時線段跖的長最大最大值為a

【分析】（1）先由V=T+4求出4（4,0）8（0,4）然后代入y=-$2+6x+c求出反c的值即可

（2）先求出。的-根+4）￡卜，-機+4］根據(jù)中點坐標可得利+2］則有

-lm2+|m+2=-m+4然后求出加的值即可

（3）先證明△ECFSAAC。則M=M再求出=+根+4-（-根+4）=-=加?+2根

AD^4-mCD=4-m再由勾股定理得出AC=JA。?+C》=-mf+（4-疥=以4-m）再代

入葛孝得到9-孝療+園然后通過二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最大值及E點坐

標.

【詳解】（1）解：由y=T+4得當x=0時y=4當y=o時x=4

4(4,0)3(0,4)

:拋物線＞=-+c經(jīng)過點A、B

1

0=——x49+4b+cf口b=l

2解得:c=4

c=4

???拋物線的函數(shù)表達式為y=-12+x+4

（2）解：D（m,0）

2

當％=根時yc=-m+4yE=-^m+m+4

.二C(m,-m+4)E\m,——m2+m+4

I2

?點C是OE的中點時

.12,1

..Crm,—mH-—m+2

I42J

???——m2+—m+2=—m+4—6m+8=0

解得：叫=2w,=4

丁點。不與點。A重合

「?m=2

(3)角軍：VEF±ABCD1OA

/.ZEFC=ZCDA=9Q°

丁ZECF=ZACD

AECFS^ACD

?EFEC

??~AD~~XC

由(2)知C(小一機+4)+m+4

EC=+^+4-(-m+4)=_^m2+^m

,/>1（4,0）D（?A0）

/.AD=4—mCD=4-m

AD=CD

在RSADC中AC=y/AD2+CD2=^（4-zn）2+（4-m）2=&（4-，w）

-^m2+2mjx（4-m）

一叵府+

??,EF-ECXAD6m

AC夜（4-機）4

EF=-^-m2+41m=-^-（m-2）2+A/2

，當機=2時所有最大值應

止匕時一）〃/+相+4=—gx2?+2+4=4

^（2,4）.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)勾股定理相似三角形的判定與性

質(zhì)解一元二次方程解題的關鍵是學會添加常用輔助線構造三角形解決問題學

會利用參數(shù)表示線段的長解決問題屬于中考壓軸題.

7.⑴AB=4

(2)當0<x<3時0<”4

(3)見解析

【分析】本題考查二次函數(shù)圖象得性質(zhì).熟練掌握二次函數(shù)的對稱性等腰直角三角

形性質(zhì)全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關鍵.

(1)根據(jù)對稱性求出點5的坐標即可求出A5的長

(2)由45的坐標求出拋物線解析式求出頂點可得y的取值范圍

(3)分別過E歹作直線》=1的垂線垂直為河N根據(jù)△GEF為等腰直角三角形可

￡\EMG=△GNF至[J_EM=G/V="?—]GM-NF-n—1MN=m+n—2

MN^y2-yx^(m-n){rn+n-2)即得.

【詳解】(1)，.,拋物線與x軸交于A(3,0)3兩點且對稱軸為直線x=l

:.AB=4

(2)?..拋物線丫=爾+法+3與x軸交于A(3,o)3(-1,0)兩點

y=<2(X-3)(X+1)=ax2—2ax—3a=ax2+Zzx+3.

?e?-3〃=3.

Cl=-1.

y——f+2x+3=—(x—1)+4.

「?當％=1時y=4.

二?當％=3時y=o

.??當0<x<3時0<y<4.

(3)分別過后尸作直線％=1的垂線垂直為MN.

貝！JZEMG=NF/VG=90。.

N2+N3=900.

又?zGE尸為等腰直角三角形

:.GE=GF/EGF=90。.

.\Z1+Z2=9O°.

.?./1=/3.

:AEMGmAGNF.

:.EM=GNGM=NF.

???￡(利y)尸(〃,％)

,.EM=GN=m-lGM=NF=n-l.

:.MN=GN+GM=m—1+n—l=m+n-2>0.

22

%二-m+2m+3y2=—n+2〃+3

MN=,2—y=+2〃+3—(2+2m+3)=(m—n)(m+zz—2).

.\(m—7t)(m+n—2)=m+n—2.

:.m—n=l.

8.(l)y=X2+2X-3

Q)典

8

⑶存在點。的橫坐標為％=上笠或&=±6

【分析】(1)把｛TO)和8(1,0)的坐標代入拋物線解析求出。和。即可求解

(2)求出直線AC的解析式為y=r-3設網(wǎng)”/+2〃_3)則G(〃,f-3)進而求得PG的表

達式根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案

(3)分兩種情況①若AAONSAABC②若AAONSAACB由相似三角形的性質(zhì)可求出ON

的長求出N點坐標聯(lián)立直線ON和拋物線的解析式可求出答案.

【詳解】(1)解：?.?拋物線y=-+-3交X軸于A(_3,o)8(1,0)兩點

.儼-36-3=0

**[a+b-3=0

解AF/得r\C仁l=\

「?該拋物線的解析式為y=V+2》-3

(2)解：?.?拋物線的解析式為，=爐+2元-3

.,.元=0時J=-3

?.C(0-3)

...AO=OC.

ZAOC=90°

：.ZCAO=45°.

VPM.LOAPELAC

/./PGM=ZPGE=Z.GPE=45°

設直線AC的解析式為戶質(zhì)+機

?f3k+m=0

??jm=-3

.[k=-\

*■\m=-3

直線AC的解析式為y=r-3

設P（n,n2+2〃—3）

則G（n,-n—3）

Qn

貝”G=f—3_W+2〃_3）=_*_3〃=_（n+|）2+r

-l<0

.?.〃=《時PG有最大值:

???依的最大值為學.

O

（3）解：A（-3,0）8（1，。）。（。，一3）

AB=4AC=A/32+32=3S/20A=3

若以4QN為頂點的三角形與VA3C相似可分兩種情況:

①若AAONSAABC

.ANOA

?，AC-AB

.AN3

，，30一W

JAN2

4

過點N作NKLAB于點K

圖2

9

\AK=-

4

93

\OK=3--=-

44

??{

直線ON的解析式為尸3x

.，［y=彳2+2x-3

.-1±713

??X—

2

②若AAONS^ACB

.ANOA

**AB-AC

.AN3

*'4"3A/2

AN=2A/2

\N（-l「2）

同理ON的解析式為y=2尤

y=2x

y=x2+2x-3

??x=±5/3

綜上所述點。的坐標為點。的橫坐標為&=上笠或&=±6.

【點睛】本題是二次函數(shù)壓軸題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)待定系數(shù)法圖形

面積計算相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點熟練掌握二次函數(shù)圖象和性質(zhì)相似

三角形的性質(zhì)等相關知識是解題關鍵.

9.（l）A（-2,0）,B（6,0）,C（0,4）線段8C所在直線的函數(shù)表達式y(tǒng)=-|》+4

（2）3

【分析】（1）分別令、=。,、=。解方程即可得到4B。三點的坐標再利用待定系

數(shù)法即可求出線段BC所在直線的函數(shù)表達式

（2）根據(jù)題意結合（1）線段所在直線的函數(shù)表達式設點尸的坐標為

卜，-;療+點N的坐標為（肛-■!"+”由

22

P^=PM-W=-1m+|m+4-^-|m+4^=-1（m-3）+3利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可.

【詳解】（1）解:在丫=-#+$+4中

令尤=0則y=4

二點。的坐標為（。，4）

令y=o貝lj_12+gx+4=o

即%2-4A-12=0

解得：*=-2或尤=6

??,點A在點5的左側

?，?點A的坐標為（-2,0）點B的坐標為（6,0）

設線段8C所在直線的函數(shù)表達式為尸質(zhì)+6

將點3（6,。）,C（。,4）代入戶辰+6得：;

[4=。

解得：3

0=4

，線段BC所在直線的函數(shù)表達式為y=-|x+4

（2）解：???點尸在拋物線k-；尤2+m+4上

二設點尸的坐標為卜，-;療+為+“

vWx軸交8c于點N

二點N的坐標為相，-￡加+4

???點P在線段BC上方的拋物線上

——m+4

~—＜0且0＜機＜6

當機=3時PN有最大值線段PN長的最大值為3.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)的最值一次函數(shù)的性質(zhì)解題的關

鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和一次函數(shù)的性質(zhì)進行解題.

10.（D拋物線為：y=%2+4x-5

（2）Af（-2,-3）

⑶點P的坐標為：［三立，F(xiàn)］）或［二手，三"I

【分析】（1）由題意設拋物線為y=a（xT）（x+5）=加+4依-5。再進一步解答即可

（2）根據(jù)拋物線的解析式可得點A的對稱點為點C結合軸對稱最短路徑可得△如的

^^Z=AB+AM+BM=AB+CM+BM=AB+BC^J^/^根據(jù)點BC的坐標可求出直線8C的解

析式是由拋物線的對稱軸為x=-2代入直線BC的解析式即可求解

（3）根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)可得PQ=O8=5設點尸（x,r-5）則。（羽/+4—）

由此列方程求解即可.

【詳解】（1）解：：拋物線廣加+法-550）交工軸于A（l,0）C（-5,0）兩點

「?y=〃(x-l)(x+5)=冰2+4依一5a

解得：。=1

「?拋物線為：y=x2+4x-5

（2）解：由（1）可知拋物線的表達式為：y=%2+4.Y-5

???對稱軸為直線x=-2

，點A關于拋物線對稱軸得對稱點為點C

，交拋物線的對稱軸于點/即為所求點的位置即AABM的周長

=AB+AM+BM=AB+CM+BM=AB+BC^J^/]\

V5(0,-5)C(-5,0)

設直線8C的解析式為：y=kx+b(k^Q)

.[b=-5

**\-5k+b=Q

解得I/

直線8C的解析式為：尸-彳-5

???拋物線的對稱軸為直線＞-2

.,.當x=-2時y=-x-5=-3

則點”(-2,-3)

(3)解：5(0,-5)C(-5,0)

設直線8c為丫=〃a-5

—5m—5=0解得：m=l

二.直線BC的解析式為尸-》-5

如圖所示設點尸(％T-5)根據(jù)過點尸作了軸的平行線交拋物線于點。四邊形。BQP

為平行四邊形則。（羽必+以一5）

/.PQ=OB=5

PQ=^—x—5^—^x2+4x—5^=—x2—5x=5

??+5x+5=0

解得：%=*且

...當x=時

.--5+^5匚-5!gnJ-5+6-5-A/5

..-x-5=--------------5=----------EJ"---------,---------

2222

當尤=三好時

.u-5-V5u-5+75

??—x-5=-------------5=-----------

22

'-5-石-5+5

即尸

22

-5+君-5-6"-5-75-5+5

???點尸的坐標為:)，）

22)[22

【點睛】本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式軸對稱最短路徑的計算方法

平行四邊形的判定和性質(zhì)的綜合掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關鍵.

11.⑴y=f+4

(2)尸［吟］

【分析】(1)利用待定系數(shù)法先求解拋物線為產(chǎn)-:尤?+|x+4再求解8(8,0)C(0,4)再

求解一次函數(shù)的解析式即可

(2)如圖過尸作尸〃〃y軸交2c于H連接PCPB設-卜2+|工+4］則

小-”4)%=-|八%再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案.

【詳解】(1)解：???二次函數(shù)股西+|尤+4的圖像與％軸交于A(T0)

9Q+|X(—3)+4=0

?1

..Q=~—

6

?125

??y=——x+—x+44

66

令y=0貝(J--X2+-X+4=0

66

解得：％=-3%2=8

3(8，。)

令尤=0時y=4

Z.C(0,4)

設直線BC為y=笈+4

/.8左+4=0

解得：k=一;

直線8C為y=+x+4

(2)解：如圖過尸作P"〃y軸交于H連接PCPB

PH=--x2+-x+4+—x-4=--x2+—x

66263

?c_1Q/12J2.16

??S^PCB=2x8xl-6X+3XJ~3X+~3X

16

當尤=-一/15=4時“cm面積最大而為定值

2xhJ

，此時p。最大

【點睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)二次函數(shù)的解析式二次函數(shù)

與面積問題線段問題熟練的利用二次函數(shù)的性質(zhì)解題是關鍵.

12.(l)y=x2-3^-4

(2)(2-6)8

⑶①加4②-白冽＜；時有一個交點?加時有兩個交點白〃，《時有一個

交占八、、

【分析】本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)等腰直角

三角形的性質(zhì)熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關鍵.

(1)求出3點坐標再將43代入進行求解即可

(2)過點/作皿_13。于點H作旌〃y軸交直線8C于點M交X軸于點/證明△//￡以

為等腰直角三角形得到創(chuàng)1="花求出直線的解析式令"(療-％-4)則

Eg-4)求出府的長根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值得到結果

(3)①將尸、。坐標表示出來得到尸Q=|2祖-5］根據(jù)題意分兩種情況進行討論即可

②由題意求出得到x=g與戶；對應的函數(shù)值相等從而得到答案.

【詳解】(1)解：:點A的坐標為(TO)

「.a-6-4=0①

令尤=0貝(Jy=—4

/.C(0,-4)

:.OC=4

QOC=OB

:.0B=4

5(4,0)

.?」6a+4Z?-4=0②

由①②可得a=1,〃=-3

二.y=x2-3x-4

(2)解：過點M作必/_LBC于點H作ME//y軸交直線BC于點M交了軸于點尸

：OB=OC

:.ZOCB=ZOBC=45°

BC=4-42

■.■MF//y-^

:.ZHEM=A5°

?;MHIBC

為等腰直角三角形

:.HE=HM,EM=6HE

設直線8C解析式為：y=kx+b

將8(4,0)C(0,-4)代入

仁r解得〔二

/.y=x-4

設^點—3t—4),E(t,t—4)

EM——t?+4/

:.HM=--t2+2y[2t

2

…2夜

當一2x(一交)時加有最大值此時“(2,-6)且“四厘=2夜

(3)解：①由題意可知產(chǎn)(根,蘇-3%-4)2(/71+5,m2-3/71+5)

:.PQ=\2m-5\

當P點在。點右側時尸。=2吁5

此時線段P。的長度隨加的增大而增大不符合題意

當P點在。點左側時PQ=9租+5

此時線段尸。的長度隨加的增大而減小

m+5>m

5

:.m<—

2

②???PQ410

2m+5<10

5,

/.——<m

2

由①得-"加<:

當尸、。重合時m=-m+5

解得加=1

y=x2-3x-4的對稱軸為直線x=|

.?"=：與xg對應的函數(shù)值相等

???1*<；時有一個交點時有兩個交點時有一個交點.

13.⑴左=一1b=3

（2）M（I,2）

（3）尸點坐標（0,3）或下點坐標為（1,2）

【分析】（1）先求出C（T0）,A（3,0）8（0,3）將A8代入產(chǎn)辰解方程組即可

（2）設M（x,-x+3）其中0<x<3求解AC=3-（-1）=3+1=4結合LCM=4再建立方程求

解即可

（3）過點尸作FGLx軸于點G過點E作于點”由（1）得一次函數(shù)解析式為：

y=-x+3設E（x,-x+3）則￡）（元,-x?+2x+3）則DEn-x?+2x+3-（-x+3）=-無?+3x得至!J

-f+3x=2可得E（l,2）或E（2,l）得到ADE/為等腰直角三角形在RtADM中由勾股定

理得EF=0而NFE"=ZB4C=45。則在RSFE”中由勾股定理得四=1故當網(wǎng)1，2）時

此時號=/=1-1=0—0,3）當E（2,l）時此時號=%=2-1=1尸（1,2）

【詳解】（1）解：當產(chǎn)。-X?+2%+3=0

解得：x=T或x=3

/.C（-l,0）,A（3,0）

當無=0,y=3

5（0,3）

將4,8代入y=fcr+Z?

得:『

解得：江

（2）解：由（1）得直線A3為y=-x+3

???過點。的直線交線段初于點〃

.,.設M（x,-x+3）其中0<X<3

?/C（-l,0）,A（3,0）

/.AC=3-(-l)=3+l=4

???"vACM=—4r

解得：xT

/."(1,2)

(3)解：過點尸作FGU軸于點G過點E作于點”

由(1)得一次函數(shù)解析式為：產(chǎn)-尤+3

二?點石在直線AB上

；?設￡1(%,-4+3)

貝(|/+2%+3)

二?DE-—爐+2