2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《幾何探究題》專項(xiàng)檢測卷及答案

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

1.完成下面推理過程.

已知：AB//CD,跖分別交加、CD于E、F,EG平濟(jì)ZBEF,FH平分NEFC.

探究：EG與F”是否平行.

/.ZBEF=ZEFC()

丁EG平分ZBEF,FH平分ZEFC()

/.Z=-ZBEF,Z=-ZEFC()

22----------------------------------------

.../--------=/---------,

：.EG//FH().

已知直線”6,點(diǎn)A是。上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)5在。上(點(diǎn)4不與點(diǎn)5重合)，點(diǎn)。、D在b

上，且點(diǎn)。在點(diǎn)。左側(cè)，加。的平分線相交于點(diǎn)E.

(1)如圖1所示，若點(diǎn)A在點(diǎn)5的左側(cè)，ZABC=80°,ZADC^60°,過點(diǎn)E作跖〃a,求NBED

的度數(shù)；

(2)如圖2所示，若點(diǎn)A在點(diǎn)5的左側(cè)，4BC=a,ZADC=0,則=(用含。、

夕的式子表示)；

(3)如圖3所示，若點(diǎn)A在點(diǎn)5的右側(cè)，4BC=a,ZADC=B,求N&ED的度數(shù)(用含外方的式

子表示).

3.【實(shí)踐活動(dòng)】如圖1,將一副三角板的直角頂點(diǎn)重合擺放.

圖1圖2

(1)NACE與ZBCD的大小關(guān)系是：/ACE/BCD；(填“或“=”)

(2)①若ZDCE=30。，求-4CB的度數(shù)；

②若EC是ZACD的平分線，求/ACB的度數(shù)；

【拓展探究】

(3)如圖2,若ZACD>NBCE,且ZACD+4CE=180。，若ZDCE=25。，求，ACB的度數(shù).

4.綜合與實(shí)踐

【探究發(fā)現(xiàn)】

(1)小明家有一款可折疊的護(hù)眼臺(tái)燈如圖1，A5是燈頭，BE,OE是支架，。是底座，

連接部分可分別繞連接點(diǎn)'E,D旋轉(zhuǎn),當(dāng)旋轉(zhuǎn)至AB//CD時(shí)，圖2是其平面示意圖，

小明發(fā)現(xiàn)NBED=ZABE+NCDE,請(qǐng)證明小明的發(fā)現(xiàn).

【拓展延伸】

(2)保持AB〃CD,當(dāng)旋轉(zhuǎn)到如圖3所示位置時(shí)，判斷一ABE,ZCDE,N3ED之間的數(shù)量

關(guān)系，并證明.

【學(xué)以致用】

(3)如圖4,AB//CD,BE±DE,/ME和/FOE的平分線相交于點(diǎn)尸，求一尸的度數(shù).

5.在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)共同探究平行線的作用.

⑴如圖1,直線E為AB,CO之間一點(diǎn)，連接BE,DE,判斷NBED與4,的

數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(2)如圖2,在的內(nèi)部有一點(diǎn)C,連接DC,BC,求證：ZDCB=ZA+ZB+ZADC.

(3)如圖3,AE是⑦的平分線，防是NC9的平分線，AE與箱交于點(diǎn)G,若43=118。,

ZAGB=80。，直接寫出NC的大小.

6.如圖，將兩個(gè)直角三角板的頂點(diǎn)疊放在一起進(jìn)行探究.

(1)如圖①，將一副直角三角板的直角頂點(diǎn)C疊放在一起，若CE恰好平分/4CB,請(qǐng)你猜

想此時(shí)CB是否平分,ECD,并簡述理由；

(2)如圖②，將一副直角三角板的直角頂點(diǎn)C疊放在一起，若CB始終在/DCE的內(nèi)部，請(qǐng)

猜想/ACE與ZDC3是否相等，并簡述理由；

(3)如圖②，將一副直角三角板的直角頂點(diǎn)C疊放在一起，若CB始終在NDCE的內(nèi)部，設(shè)

4CE=",試用含”的式子表示ZACD的度數(shù)，并說明當(dāng)空的值逐漸增大時(shí)，ZA8的

度數(shù)會(huì)發(fā)生怎樣的變化；

(4)如圖③，將兩個(gè)同樣的含30。角的直角三角板中60。銳角的頂點(diǎn)A疊放在一起，請(qǐng)你猜

想與-C4E有何關(guān)系，并說明理由.

7.綜合與探究

問題情境：將一副直角三角板03C和MON按如圖1擺放在直線AD上，直角邊08和均

在直線AD上，且兩個(gè)直角三角板位于直線AD的同側(cè).已知/O8C=/MON=90。，ZBOC=30°,

ZMNO=45°.

解決問題：(1)圖1中，ZCON=

(2)如圖2,若平分NBOC,求“ON的度數(shù).

實(shí)踐探究：(3)若直角三角板MON以每秒8。的速度旋轉(zhuǎn)，當(dāng)ON旋轉(zhuǎn)至射線8上時(shí)，停

止運(yùn)動(dòng).設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為/S,在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)Z2VOD=4NCOM時(shí)，求才的值.

8.【探究】將兩個(gè)三角板的兩個(gè)直角頂點(diǎn)O重合在一起，放置成如圖1所示的位置，

請(qǐng)回答下面的問題.

(1)如果重疊在一起4OC=30。則ZA8=.

(2)若將NCO。繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，使重疊在一起的4OC=50。，ZAOD=

(3)圖1中ZAOC與/BOD滿足的數(shù)量關(guān)系是_______,根據(jù)是________.

【拓展】在圖1所示的位置上，繼續(xù)將/COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，得到如圖2所示的位置，請(qǐng)

回答下面的問題.

(4)如果ZBOC=x。，則ZAOD=.(用含％的式子表示)

(5)此時(shí)圖2中ZAOC與40。始終滿足的數(shù)量關(guān)系是.

(6)【結(jié)論】由上述的探究過程可知，三角板COD繞重合點(diǎn)。旋轉(zhuǎn).不論旋轉(zhuǎn)到任何

位置時(shí)，與40C始終滿足的數(shù)量關(guān)系是.

9.【問題背景】

C4EC

圖2圖3

(1)如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，可得結(jié)論：ZA+ZB=ZC+ZD；請(qǐng)說明理由.

【簡單應(yīng)用】

(2)閱讀下面的內(nèi)容，并解決后面的問題：如圖2,AP、CP分別平分ZBCD,若

ZABC=36°,ZADC=16°,求二尸的度數(shù)；

【問題探究】

(3)如圖3,直線AP平分入MD的外角44。，CP平分ZBCD的外角4CE,若NABC=36。，

ZADC=16°,猜想，P的度數(shù)為：;

【拓展延伸】

(4)在圖4中，若設(shè)NC=a,NB=/3,ZCAP=^ZCAB,NCDP=；NCDB,直接寫出/P與NC,

-8之間的數(shù)量關(guān)系為：(用*f表示NP).

10.【問題情境】在綜合與實(shí)踐課上，老師想讓同學(xué)們探究與角度有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，進(jìn)

行了以下數(shù)學(xué)活動(dòng)：

已知403=120。，OC是一條射線，射線OEOE分別是-4OC和/COB的平分線.

【初步感知】（1）如圖1,若射線OC在ZAO3的內(nèi)部，且ZAOC=40。，則=

【探究發(fā)現(xiàn)】（2）如圖2,當(dāng)射線OC在的內(nèi)部繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)至任一位置，則/成方的

度數(shù)是否發(fā)生變化.請(qǐng)說明理由.

【拓展延伸】（3）若射線”從3出發(fā)，繞著點(diǎn)。按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的角度不超

過180。，其余條件不變，設(shè)ZAOC=o,當(dāng)/COF=g/BOE時(shí)，請(qǐng)借助備用圖探究ZA5的大

小，并直接寫出ZA8的度數(shù).（不寫探究過程）

11.如圖1,在四邊形ABCD中，AB^AD,ZBAD=120°,ZB=ZADC=90°,E、尸分別是3C、CD上

的點(diǎn)，且m'=60。，試探究圖中線段班、ER即之間的數(shù)量關(guān)系.

⑴小亮同學(xué)認(rèn)為：如圖1,延長陽到點(diǎn)G,使DG=3E,連接AG,先證明△ABEgAWG,

再證明AA￡F%AGF,可得出結(jié)論是什么？并給出理由.

（2）如圖2,在四邊形A2CD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E,歹分別是8C、8上的點(diǎn)，ZEAF^^ZBAD,

上述結(jié)論是否仍然成立？說明理由.

（3）如圖3,在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（。處）北偏西30。的A處，艦艇乙在

指揮中心南偏東70。的3處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦

艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50。的方向以80海里/小時(shí)

的速度前進(jìn)L5小時(shí)后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)處，且兩艦艇之間

的夾角（NMON）為70。，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離.

（4）如圖4,已知在四邊形北8中，ZABC+ZADC=1SO°,AB^AD,若點(diǎn)E在CB的延長線上，

點(diǎn)歹在。的延長線上，仍然滿足1中的結(jié)論，請(qǐng)直接寫出一叩'與一。"的數(shù)量關(guān)系并

加以說明.

12.【問題情境】

小明所在的綜合實(shí)踐小組準(zhǔn)備制作一些無蓋紙盒收納班級(jí)講臺(tái)上的粉筆.

/71

圖1圖2

【操作探究】

（1）圖1中的第個(gè)圖形經(jīng)過折疊不能圍成無蓋正方體紙盒（填序號(hào)）.

（2）小圣所在的綜合實(shí)踐小組把折疊成9個(gè)棱長都為2dm的無蓋正方體紙盒擺成如圖2

所示的幾何體.

①請(qǐng)計(jì)算出這個(gè)幾何體的表面積和體積；

②要保持從上面看到的平面圖形不變，最多可以拿走小正方體的個(gè)數(shù)是.

13.【分析探究】（1）已知：如圖1,AE\\CD,求證：ZA+ZC=ZB.

（2）如圖2,AE//CD,A/平分—a4E,CP平分NBCD.若NA3C=100。，求4WC的度數(shù).

（3）如圖3,AE||CD，A4平分平分/2?），48平分/胡片，€^平分/。（^，4月平分

平分〃華…若ZABC=x。，則/工度數(shù)為（用含工的代數(shù)式表示）.

14.【問題背景】

如圖，已知點(diǎn)。為線段的中點(diǎn),點(diǎn)C在線段48上(不與點(diǎn)A、B重合).

ADCBADCEB

圖1圖2

【初步探究】

(1)如圖1,若AC=8,BC=6,則線段。的長為;

(2)如圖1,若AB=18,BC=2CD,求8C的長；

【拓展提升】

(3)如圖2,若8C=2CD、點(diǎn)E為由)的中點(diǎn)，CE=2,求線段AB的長.

15.綜合與探究

問題情境

已知長方形紙片四。，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)N在邊A￡＞上，將/MLE沿EN翻折到4WE,射

線南與。交于點(diǎn)尸.點(diǎn)“在邊BC上，將沿翻折到ZMBE,射線期與。交于

點(diǎn)G.

初步探究

(1)現(xiàn)將長方形紙片按照?qǐng)D1所示的方式折疊，此時(shí)點(diǎn)尸與點(diǎn)G重合，直接寫出以E

為頂點(diǎn)的兩對(duì)相等的角，并求/“硒的度數(shù)；

深入探究

(2)若將長方形紙片按照?qǐng)D2所示的方式折疊，此時(shí)點(diǎn)尸在點(diǎn)G的左側(cè)，且

ZAEN=ZFEG+15°,ZBEM=ZFEG+200,請(qǐng)你分別求出NFEG與/MEV的度數(shù).

類比拓展

（3）若將長方形紙片按照?qǐng)D3所示的方式折疊，此時(shí)點(diǎn)尸在點(diǎn)G的右側(cè)，且ZFEG=a,

請(qǐng)你直接寫出/MW的度數(shù)（用含a的代數(shù)式表示）.

參考答案

1.兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；已知；GEF-HFE-角平分線的定義；GEF；HFE；內(nèi)錯(cuò)

角相等，兩直線平行.

【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的定義，由平行線的性質(zhì)可得

NBEF=NEFC,結(jié)合角平分線的定義得出NGEF=NHFE，即可得解.

【詳解】解：AB//CD（已知）

:,NBEF=NEFC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

■:EG平分ZBEF,FH平分NEFC（已知）

:,NGEF=：NBEF，ZHFE=^-ZEFC（角平分線的定義）

/.NGEF=NHFE,

：.EG//FH（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.

2.（1）70°

⑵權(quán)

⑶=180。一ga+

【分析】本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線.

（1）根據(jù)破、祝分別是/4SC,4DC的平分線，得出ZABE=gzABC,ZCDE=^ZADC,

再由平行線的性質(zhì)得出々跖=/腔，同理可得出4＞跖=/。。石，再由ZB￡D=ZBE尸+ZD防即

可得出結(jié)論；

(2)過點(diǎn)石作所〃。，同(1)的證明過程完全相同；

(3)過點(diǎn)E向右作跖〃°,根據(jù)班、院分別是/ABC,NADC的平分線可知

ZABE=-ZABC=-a,ZCDE=-ZADC=-,再由砂〃。可知ZBE尸=180。一，a,根據(jù)a〃b可知

EF//b,故NDEF=NCDE=；0,再由々即=/3跖+/。跖可得結(jié)論.

【詳解】(1)解：上、上分別是/ABC,-4DC的平分線，

:.ZABE=-ZABC=-x80°=40°,ZCDE=-ZADC=-x60°=30°,

22'22'

EF//a,

:.ZBEF=ZABE=40°,

'：a//b,

EF//b,

.-.ZDEF=ZCDE=30°,

ABED=ZBEF+NDEF=70°；

(2)解：過點(diǎn)石作跖〃a,

/汨分別是-MC,/WC的平分線,

ZCDE=|zADC=,

/.ZBEF=ZABE=-a,

2

,?a//b,

EF//b,

NDEF=ZCDE=-/3,

ABED=ZBEF+NDEF=-a+-B,

22

故答案為：/+"；

（3）解：過點(diǎn)E向右作所〃明

DE分別是-ABC、-ADC的平分線,

NCDE=；NADC=；0,

EF//a,

ZBEF=180°--a.

2

又a//b,

：.EF//b,

NDEF=NCDE=L。,

2

ABED=ZBEF+NDEF=180。一；a+；〃.

3.（1）=;（2）①ZACB=150。；②ZACB=135°；（3）155°.

【分析】本題考查了同角的余角相等，角平分線定義，角度和差，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用

是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)同角的余角相等即可求解；

（2）①由角度和差即可求解；

②由角平分線定義得/ACE=：x9（r=45。，再通過角度和差即可求解；

（3）①由角度和差即可求解.

【詳解】解：（1）因?yàn)閆ACD=N3CE=90。，

所以ZACE+ZECD=ZBCD+ZECD=90°,

所以ZACE=ZBC￡）,

故答案為：=；

(2)①因?yàn)镹DCE=30。,

所以4<2￡=90。一30。=60。,

所以ZACS=ZACE+NECB=600+90。=150。；

②因?yàn)镋C是ZACD的平分線，/48=90。，

所以ZACE=；x90。=45°,

所以ZACB=ZACE+NECB=45°+90°=135°；

(3)因?yàn)閆ACD=ZACE+NDCE,ZBCE=ZDCE+ZBCD,ZACD+ZBCE=1^,0°,

所以ZACE+ZDCE+Z.DCE+Z.BCD=180°,

因?yàn)閆DCE=25。,

所以ZACE+250+25°+NBCD=180°,

所以ZACE+ZBCD=130°,

所以ZACB=ZACE+ZBCD+ZDCE=130。+25。=155。.

4.(1)見解析；(2)ZBED+ZABE+ZCDE=360°,見解析；(3)135。

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)及角平分線性質(zhì)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是通過作輔助線構(gòu)

造平行線，利用平行線性質(zhì)找出角之間的關(guān)系，結(jié)合已知條件進(jìn)行推導(dǎo)求解.

(1)過點(diǎn)E作EM//AB,利用平行線性質(zhì)先得到ZABE=ZBEM，再由AB〃CD,推出EM〃CD,

進(jìn)而得到=最后通過等量代換證明結(jié)論.

(2)作硒〃依據(jù)AB〃CD得出AS〃m〃CD,利用平行線性質(zhì)得到ZA3E=ZBSV,

ZCDE=ZDEN,再結(jié)合周角為360。，gpZBED+ZBEN+ZDEN=360°,從而證明

ABED+ZABE+ZCDE=360°.

(3)先由助工小得/E=90。，根據(jù)角平分線性質(zhì)得到=ZPDE=^ZEDF,

利用(1)論建立/尸與一人龍的關(guān)系，再將NP用4/狙和表示并化簡，進(jìn)而求出

/尸的度數(shù).

【詳解】解：（1）證明：如圖1,過點(diǎn)E作加〃

/.ZABE=ZBEM,

*/AB//CD,

：.EM//CD,

ZCDE=ZDEM,

/.ZBED=ZBEM+ZDEM=ZABE+ZCDE.

(2)ZBED+ZABE^-ZCDE=360°

證明：作硒〃AB.

圖2

AB//CD,

：.AB\\EF\\CD,

ZABE=4BEN,ZCDE=ADEN,

ZBED+ZBEN+ZDEN=360°,

ZBED+ZABE^-ZCDE=360°；

(3),:BE_LDE,

：.NE=90。，

丁二ME和/的的平分線相交于點(diǎn)P,

ZABP=-ZABE,ZPDE=-ZEDF,

22

由(1)可知，NE=NCDE+ZABE,ZP=ZABP+ZPDC,

90°=180°-ZEDF+ZABE,gpZEDF-ZABE=90°,

ZP=-ZABE+180°-ZPDF,

2

--ZABE+180°--ZEDF

22

=180°-1(ZEDF-ZABE)

=180°-45°

=135。.

5.(1)/BED=NB+ND,理由見解析

(2)見解析

(3)42°

【分析】本題考查的是平行線的性質(zhì)，平行公理的應(yīng)用，角平分線的含義；

(1)如圖，過點(diǎn)E作防〃相，可得AB//CD〃EF,再結(jié)合平行線的性質(zhì)進(jìn)一步解答即可;

(2)如圖，過點(diǎn)C作CE〃Afi,過點(diǎn)。作則CE〃枕〃神，再結(jié)合平行線的性質(zhì)

進(jìn)一步解答即可；

(3)由(2)的結(jié)論可得：ZADB^ZC+ZCAD+ZCBD,ZAGB=ZC+ZCAG+ZCBG,再結(jié)合角

平分線的定義進(jìn)一步解答即可；

【詳解】(1)解：NBED=NB+ND

理由：如圖，過點(diǎn)E作印//AB.

AB

E<^-----F

CD

'：AB//CD,

:.AB//CD//EF,

:.ZB=ZBEF,ZD=NDEF.

\ZBED=ZBEF+ZDEF,

:.ZBED=ZB+ZD；

（2）證明：如圖，過點(diǎn)C作CE〃AB,過點(diǎn)。作分〃M，則CE〃。產(chǎn)

:.ZB=ZECB,ZA+ZAT>F=180°,NFDC+NDC￡=180。.

???ZADF=ZADC+NFDC,

.?.ZA+ZADC=180°-NFDC,

:.ZA+ZADC=ADCE.

???ZDCB=/DCE+/ECB,

/.ZDCB=ZA+AB+AADC.

(3)角軍：由(2)可得ZAD5=NC+NG4D+NCBO,ZAGB=ZC^-ZCAG-^ZCBG.

???AE是NCAD的平分線，即是NC5D的平分線，

/.ZCAD=2ZCAG,ZCBD=2/CBG,

ZADB-ZAGB=ZCAG+ZCBG=118°-80°=38°,

.?.ZC=ZAGB-(ZG4G+ZCBG)=80°-38o=42°.

6.(l)C5平分NECO,見解析

Q)ZACE=/DCB,見解析

⑶ZA8=180。-4，當(dāng)"的值逐漸增大時(shí)，ZAC。的度數(shù)逐漸減小

(4)ZDAB=120°-ZCAEZDAB=120°+ZC4E,見解析

【分析】本題考查了三角板中的角度計(jì)算，角平分線的定義，等角的余角相等，熟練

掌握?qǐng)D形中角的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

(1)^ZACB=ZDCE=90°,CE平分/ACB得ZACE=NECB=45。,進(jìn)而得N0CB=45。，據(jù)此可

得出結(jié)論；

(2)由ZACB=NDCE=90。得ZACE+ZBCE=90。，NDCB+NBCE=90°,然后根據(jù)同角的余角相

等可得出結(jié)論；

(3)由據(jù)此可得/ACD=180。-//7,進(jìn)而可得當(dāng)"的值

逐漸增大時(shí)，4co的度數(shù)的變化情況；

(4)①當(dāng)AC在NA4E的內(nèi)部時(shí)，ADAC=ZBAE=60°ZDAE=60°-ZCAE,據(jù)此可得

與一G4E的關(guān)系；

②當(dāng)AC在NBAE的外部時(shí)，由NDAB=ZDAC+ZCAE+ZBAE可得出/DAB與/CAE的關(guān)系.

【詳解】(1)解：CB平分NECD,理由如下：

依題意得：ZACB=ZDCE=90°,

CE平分NACB,

/.ZACE=ZECB=45°,

ZDCB=ZDCE-NECB=90°-45°=45°,

ZDCB=Z.ECB=45°,

CB平分/ECD.

(2)解：ZACE=ZDCB,理由如下：

依題意得：ZACB=ZDCE=900,

：.ZACE+NBCE=90°,ZDCB+/BCE=90°,

ZACE=ADCB.

(3)解：依題意得：ZACB=ZDCE=90°,

,/4BCE=",

：.ZACE=ZACB-NBCE=9O°-Z/7,

ZACD=AACE+ZDCE=90。一+90。=180。一N分，

IP：ZAC￡>=180°-Z^,

???當(dāng)”的值逐漸增大時(shí)，4CD的度數(shù)逐漸減小.

(4)解：ZDAB=120°-Z.CAEZDAB=120°+Z,CAE,理由如下:

依題意得：ZDAC=ZBAE=60°,

①當(dāng)AC在/ME的內(nèi)部時(shí)，如圖:

ZDAE^ZDAC-ZCAE^6O°-ZCAE,

..ZDAB=ZDAE+ZBAE=60°-ZCAE+60°=120°-ZCAE；

②當(dāng)AC在一友店的外部時(shí)，如圖:

ZDAB=ADAC+ZCAE+ZBAE=120°+ZCAE.

7.(1)60。；(2)75。；(3)f或"2

【分析】本題主要考查套三角板中角度的計(jì)算.熟練掌握三角板的角的特征，角平分

線定義，角的和差倍分關(guān)系，是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)/CON=AMON-NBOC即得;

(2)由角平分線定義求出/COM,根據(jù)NCON=ZMON-NBOC即得;

(3)分在N8OC內(nèi)外兩種情況，寫出每種情況的/DON,NCOM的表達(dá)式，根據(jù)

ZNOD=4ZCOM列方程解答.

【詳解】解：(I)VZMON=90°,ZBOC=3CP,

..ZCON=ZMON-ZBOC=60°：

故答案為：60；

(2)To拉平分13OC,

ZCOM=-ZBOC=15°,

2

ZCON=ZMON-Z.COM=75°,

(3)*.*ZDON=90°-8t°,ZBOM=8r°,

當(dāng)OVfV，，Z.COM=Z.BOC-Z.BOM=30°-8r°,

,/ZNOD=4ZCOM,

：.90-8f=4(30-8f),

解得，仁;；

當(dāng)與時(shí)，"次=90。一8尸，ZCOM=ZBOM-Z.BOC=8r°-30°,

90-8r=4(8r-30),

解得，=2.

故仁濁己

一

ABODABOD

8.(1)150°；(2)130°；(3)ZAOC=ZBOD,同角的余角相等;(4)180°-%°；(5)ZAOC=ZBOD；

(6)ZAOD+ZBOC=180°

【分析】本題主要考查角的計(jì)算、用代數(shù)式表示角的度數(shù)，此題以旋轉(zhuǎn)變換為方法，

注重角的計(jì)算及其規(guī)律的探究，抓住旋轉(zhuǎn)過程中始終不變的角是解題的關(guān)鍵.

(1)利用/4。。=/4。3+/。。。-/3。。得至1]ZAOD的度數(shù)；

(2)根據(jù)余角的定義求出ZAOC的度數(shù)，由ZAOD=ZAOC+NCW得到ZA8的度數(shù)；

(3)根據(jù)同角的余角相等可得ZAOC與N30D；

(4)首先表示出4。，然后求出ZA8,即可得到答案；

(5)根據(jù)等式的性質(zhì)可得ZAOC與40。；

(6)運(yùn)用周角=360。，求出ZAOD+/30c的度數(shù)，即可解決問題.

【詳解】解：(1)*/=90°,ZCOD=90°,ZBOC=30°,

/.ZAOD=ZAOB+ZCOD-ZBOC

=90。+90。—30。

=150。；

(2)NAOB=90°,ZBOC=50°,

ZAOC=40°,

*/ZCOD=90°,

/.ZAOD=ZAOC-^-ZCOD=130°；

(3)?/ZAOC+ZBOC=90°,/BOD+ZBOC=90°,

ZAOC^ZBOD(同角的余角相等)；

(4)ZAO5=90°,ZCOD=90°,ZBOC=x0,

/.ZAOD=ZAOB-^-ZCOD-ZBOC

=90°+90°-x°

=180。—1。；

(5)VZAOB=ZCOD=90°,

：.ZAOB+/BOC=/COD+/BOC,即ZAOC=ZBOD；

(6)VZAOB=ZCOD=9Q0,

：.ZAOB+ZCOD=180°,

/.ZAOD+ABOC=360°-180°=180°,

由上述的探究過程可知，三角板COD繞重合點(diǎn)O旋轉(zhuǎn).不論旋轉(zhuǎn)到任何位置時(shí)，ZAOD

與NBOC始終滿足的數(shù)量關(guān)系是：ZAOD+ZBOC=180°.

9.【問題背景】(1)理由見解析；

【簡單應(yīng)用】（2）4=26。；

【問題探究】（3）26。；

【拓展延伸】（4）ZP=|?+!/?.

【分析】【問題背景】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可證明；

【簡單應(yīng)用】（2）由AP、CP分別平分N54D,NBCD,則4=N2,N3=N4,由（1）得：

ZP+Z3=Z1+ZABC,ZP+N2=N4+ZADC求出2NP=ZABC+ZADC即可求解；

【問題探究】（3）”平分NR4Z）的外角/皿），CP平分ZBCO的外角ZBCE,得N1=N2,/3=/4,

貝!j/PAD=180。-/2,/PCD=180。一N3,ZP+（180°-Zl）=ZADC+（180°-Z3）,ZP+Z1=ZABC+Z4,推

^2ZP=ZABC+ZADC,即可解決問題；

【拓展延伸】（4）由（1）可知:ZC+ZCAB=ZB+ZCDB,AC+ZCAP=ZP+ZPDC,ZB+ZBDP=ZP+ZPAB,

貝"2ZP=NC+NCAP+ZB+ZBDP—ZPDC—ZPAB,然后代入求值即可;

本題考查了三角形內(nèi)角和，三角形的內(nèi)、外角的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握知識(shí)點(diǎn)

的應(yīng)用.

【問題背景】（1）證明：在VA03中，ZA+ZB+ZAOB=180°,

在△COD中，ZC+ZD+ZCOD=180°,

,：ZAOB=ZCOD,

/.ZA+N3=NC+ZD；

丁AP、CP分別平分Z&4D,NBCD,

/.Z1=Z2,N3=N4,

由(1)得：ZP+Z3=Z1+ZABC?,NP+N2=N4+ZADC②

①+②得2ZP+N3+N2=/I+/4+ZABC+ZADC,

2ZP=ZABC+ZADC,

ZABC=36°,ZADC=16°,

/.ZP=1(ZB+ZD)=1x(36°+16°)=26°；

【問題探究】(3)理由：如圖3,

;直線釬平分NBAD的外角ZFAD,CP平分NBCD的外角ZBCE,

Z1=Z2,/3=/4,

ZPAD=180°-Z2,ZPCD=180°-Z3,

Z1=ZPAB,

.,.由(1)得：ZP+(18O°-Z1)=ZADC+(18O°-Z3),ZP+Z1=ZABC+Z4,

2ZP=ZABC+ZADC,

,/ZABC=36°,ZADC=16°,

/.ZP=1(ZB+ND)=；*(36°+16°)=26°,

故答案為：26。；

［拓展延伸］(4)由(1)可知：NC+NCAB=ZB+NCDB,ZC+ZCAP=ZP+ZPDC,ZB+ZBDP=ZP+ZPAB,

：.ZC+ZCAP+ZB+NBDP=2ZP+NPDC+NPAB,NCDB-NCAB=NC-ZB,

2ZP=Z.C+Z.CAP+ZB+ZBDP-ZPDC-ZPAB,

VAC=a,/B=0,ZCAP=-ZCAB,ZCDP=-ZCDB,

33

.22

??NBDP=—NCDB,ZPAB=-ZCAB,

33

1212

/.2ZP=a+/3+-ZCAB+-ZCDB--ZCDB--ZCAB

=a+jB+^ZCDB-^ZCAB

=a+y0+1(ZCZ)B-ZG4JB)=dz+?0+1(ZC-ZB)

21

AP=-a+-13,

故答案為:々=|a+卜.

10.(1)60;(2)/瓦加的度數(shù)不會(huì)發(fā)生變化，始終為60。，理由見解析；(3)90?；?35。.

【分析】本題考查了角平分線的定義，幾何圖形中的角度計(jì)算，一元一次方程的應(yīng)用，

利用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是關(guān)鍵.

(1)根據(jù)角平分線的定義求解即可；

(2)根據(jù)角平分線的定義求解即可；

(3)分兩種情況討論：①當(dāng)OC在NAO3的內(nèi)部；②當(dāng)OC在ZAO3的外部，根據(jù)角平分

線的定義表示出NBOE,再根據(jù)ZCOF=|ZBOE列方程分別求解即可.

【詳解】解：(1)因?yàn)閆AC?=120。，ZAOC=40°,

所以Z.BOC=ZAOB-ZAOC=120°-40°=80°,

因?yàn)樯渚€OE，OF分別是-4OC和/COB的平分線，

所以ZCOE=|zAOC=1x40°=20°,ZCOF=|ZCOB=1x80°=40°,

所以ZEOF=Z.COE+Z.COF=20°+40°=60°,

故答案為：60.

(2)NEO尸的度數(shù)不發(fā)生變化，理由如下:

因?yàn)樯渚€OE,OF分別是/AOC和ZCOB的平分線，

所以ZCOE=|ZAOC,ZCOF=|ZCOB,

所以ZEOF=ZCOE+ZCOF=|(ZAOC+ZCOB)=|ZAOB=60°,

所以NEO尸的度數(shù)不會(huì)發(fā)生變化，始終為60。.

(3)ZAO尸為90?；?35。,分析如下：

射線”繞點(diǎn)。按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，分兩種情況：

①如圖析1，當(dāng)OC在-408的內(nèi)部，

圖析1

因?yàn)閆AOC=tz,所以N3OC=12()o-a,

因?yàn)樯渚€OEQF分另是ZAOC和ZCOB的平分線，

所以NCOE=gZAOC=；a,NC5=gNCO2=：(120。-a),

NBOE=ZCOE+NBOC=120°--a,

2

因?yàn)?COF=；/BOE,所以區(qū)120。_0臼120。-)，

解得，々=60。；

所以ZAOF=ZAOC+ZCOF=90°；

②如圖析2,當(dāng)OC在-403的外部，

因?yàn)閆AOC=tz,所以4OC=(z-120°,

因?yàn)樯渚€OEQF分別是4OC和ZCOB的平分線,

所以ZAOE=|ZAOC=1a,ZCOF=；ZCOB=：(a-120。)，

ZBOE=ZAOB-NAOE=120」a,

2

因?yàn)?COF=；4OE,所以:("120。)=：［120。-1/,

.J乙3、乙)

解得a=150。，

所以ZAOF=ZAOC-ZCOF=150°-15°=135°,

綜上所述，所以ZAOb為90?；?35。.

11.(1)EF=BE+FD,理由見解析

(2)仍成立，理由見解析

(3)210海里

(4)/￡4/=18。。-；/m8,理由見解析

【分析】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性

質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)

角相等進(jìn)行推導(dǎo)變形.解題時(shí)注意：同角的補(bǔ)角相等.

(1)延長尸。到G,使OG=3E,連接AG,先證明△除9A4DG,再證明《但好則可

得到結(jié)論；

(2)延長即到G,使0G=班，連接AG,證明△ABEgAWG,再證明《但好3GF,則結(jié)論

可求；

(3)連接E/，延長AE、融交于點(diǎn)C,利用已知條件得到：四邊形0ABe中：OA=OB,

ZOAC+ZOBC=1SO°^ZEOF=^ZAOB,符合(2)具備的條件，則跖=AE+M.

(4)在DC延長線上取一點(diǎn)G,使得ZXJ=3E,連接AG,先判定再判定

*EF9次GF,得出最后1艮據(jù)^?4￡+/以6+/04￡=360。，推導(dǎo)得至lj2NE4E+Zn4B=360。，

即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：如圖1,延長尸。到點(diǎn)G,使7X7=3石，連接AG,

G

/\D

隹

BEC

圖1

在石和AWG中，

AB=AD

<NB=ZADG=90°,

BE=DG

...△ABE四△ADG(SAS),

:.ZBAE=ZDAG,AE=AG,

*.*ZBAE+ZEAF+ZFAD=ABAD=120°,

/.ZDAG+ZEAF+ZFAD=12^P,艮|]ZE4F+ZMG=120°,

*.*ZE4F=60°,

/.ZFAG=ZEAF=6O°,

在尸和AAG廠中，

AE=AG

<ZEAF=/FAG,

AF=AF

/.△AEF^AAGF(SAS),

,\EF=FG,

\GF=GD+DF=DF+BE,

:.EF=BE+DF?

(2)解：仍成立，理由如下：

如圖2,延長陽到點(diǎn)G,使ZX;=3E,連接AG,

G

4J\D

?.?ZB+Z/WC=180°,AADC+AADG=180°,

BEC

圖2

:.ZB=ZADG,

在石和AWG中，

AB=AD

<NB=ZADG=90°,

BE=DG

「.△AB石四△ADG(SAS),

:.AE=AG,/BAE=/DAG,

ZBAD=ZBAE+ZEAD,NE4G=ZEAD+ZDAG,

:"BAD=/EAG.

???ZEAF=-ZBAD,

2

/.ZEAF=-ZEAG,

2，

:.ZEAF=ZGAF.

在AAE尸和AAG廠中，

AE=AG

<ZEAF=ZGAF,

AF=AF

/.△AEF^AAGF(SAS),

:.EF=FG,

:GF=GD+DF=DF+BE,

:.EF=BE+DF；

(3)解：連接腦V,延長AM、3N交于點(diǎn)C,如圖3,

?.?ZAOB=30°+90°+（90°-70°）=140°,AMON=70°,

ZMON=-ZAOB,

2

OA=OB,ZOAC+ZOBC=（90°-30°）+（70°+50°）=180°,

在四邊形35c中：OA=OB,ZOAC+ZOBC=180°AMON=|ZAOB,

二四邊形。ABC符合（2）中的條件,

二結(jié)論跖V=AM+3N成立,

BPMV=AM+5W=1.5x60+1.5x80=210（海里）,

答：此時(shí)兩艦艇之間的距離是210海里.

（4）解：結(jié)論：NEAF=18?！阋籎ZDAB.

理由：如圖4,在DC延長線上取一點(diǎn)G,使得DG=3E,連接AG,

vZABC+ZA￡>C=180°,ZABC+ZABE=180°,

:.ZADC=ZABE,§PZABE=ZADG

在aAB石和AWG中,

AB=AD

<ZABE=ZADG,

BE=DG

「.△AB摩△ADG（SAS）,

.\AG=AE9NDAG=NBAE,

?.?點(diǎn)E在CB的延長線上，點(diǎn)廠在8的延長線上，仍然滿足（1）中的結(jié)論,

即EF=BE+DF,

EF=DG+DF=GF

在△AEF和AAGF中，

AE=AG

<AF=AF,

EF=GF

.-.AAEF^AAGF(SSS),

:.ZFAE=ZFAG,

■.■ZFAE+ZFAG+ZGAE=360°,

2ZFAE+(ZG4B+ZS4E)=360°,

2ZFAE+(ZGAB+〃AG)=360°,

即2ZFAE+ZDAB=360°,

ZEAF=1800--ZDAB

2'

12.(1)②；(2)①這個(gè)幾何體的表面積為108dm,體積為72dm3；②4.

【分析】本題考查簡單組合體，正方體的表面展開圖，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活

運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.

(1)根據(jù)要求動(dòng)手操作可得結(jié)論；

(2)①幾何體有9個(gè)小正方體組成，由此可得結(jié)論；②根據(jù)要求作出判斷即可.

【詳解】(1)解：通過動(dòng)手操作可知第①③④圖形經(jīng)過折疊能圍成無蓋正方體紙盒，

第②個(gè)圖形經(jīng)過折疊不能圍成無蓋正方體紙盒；

(2)①???正方體紙盒的棱長為2dm,

,正方體紙盒的單面面積為4dm,

這個(gè)幾何體露出的面數(shù)為6+6+5+5+5=27,

，這個(gè)幾何體的表面積為27x4=108dm"

這個(gè)幾何體的體積為9x2x2x2=72dm3；

②要保持從上面看到的平面圖形不變，最多可以拿走小正方體的個(gè)數(shù)是4,

故答案為：4.

13.（1）見解析；（2）130°；（3）。360。-巧.

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、四邊形內(nèi)角和定理及角平分線的性質(zhì)等知識(shí)

點(diǎn)，

（1）過點(diǎn)5作則他〃曲/〃CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)得==據(jù)

此結(jié)合圖形可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)角平分線的定義得/==再由（1）的結(jié)論得

ZAFC=ZEAF+ZDCF,然后根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360。得/A3C+2NAFC=360。，進(jìn)而即可

得解；

（3）根據(jù)（1）的結(jié)論可知/G=/EA片+/OCG，/月=/胡月+/DCg,據(jù)止匕可得再

由（2）可知4=；（360。-/ABC）,據(jù)此得4=1（360。-X。），，以此類推可得出//的度

數(shù)；

熟練掌握平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）證明：如圖，過點(diǎn)5作3//AE,

AE

M----yB

,/AE//CD,

/.AE//BM//CD,

/.ZABM=ZA,ZCBM=ZC,

/.ZA-^ZC=ZABM-vZCBM,即NA+NC=NABC；

（2）解：????平分/胡凡。方平分48,

/.ZEAF=ZBAF,ZDCF=ZBCF,

由(1)可矢口，ZAFC=ZEAF+ZDCF,

/.ZBAF+ZBCF=ZEAF+ZDCF=ZAFC,

二?四邊形的內(nèi)角和等于360。，

/.ZABC+ZBAF+NBCF+ZAFC=360°,即ZABC+2ZAFC=360°,

ZAFC=1(360°-ZABC)

,/ZABC=100°,

：.ZAFC=130°；

(3)；AK平分"的，華平分NDCK,

：.NEAF?=|NEAK,NDCF?=-ZDCF,,

/.ZEAF2+ZDCF2=g(NEAX+NDC&),

由(1)可矢口，=^EAF,+ADCF?AF2=ZEAF2+ZDCF2,

由(2)可知，4=g(360°-/ABC),

又：ZABC=x°,

：.Z^=1(360°-xo),

4=；4=)(360。r。),

同理隹=:隹=白360。-x。)，

……，以此類推，

"=。360。-廿)