二輪復(fù)習(xí)’--------------1g

2025中考復(fù)習(xí)【最值問題瓜豆原理專題訓(xùn)練】二輪復(fù)習(xí)

【模型說明】

動點(diǎn)軌跡問題是中考的重要壓軸點(diǎn).受學(xué)生解析幾何知識的局限和思維能力的束縛，該壓軸點(diǎn)往

往成為學(xué)生在中考中的一個坎,致使該壓軸點(diǎn)成為學(xué)生在中考中失分的一個黑洞.掌握該壓軸點(diǎn)的基

本圖形，構(gòu)建問題解決的一般思路，是中考專題復(fù)習(xí)的一個重要途徑.本文就動點(diǎn)軌跡問題的基本圖

形作一詳述.動點(diǎn)軌跡基本類型為直線型和圓弧型.

【模型引入】運(yùn)動軌跡為直線

動點(diǎn)軌跡為一條直線時，利用“垂線段最短”求最值；

(1)當(dāng)動點(diǎn)軌跡確定時：直接運(yùn)用垂線段最短求最值

(2)當(dāng)動點(diǎn)軌跡不易確定是直線時：可通過以下三種方法進(jìn)行確定

①觀察動點(diǎn)運(yùn)動到特殊位置時，如中點(diǎn)，端點(diǎn)等位置時是否存在動點(diǎn)與定直線的端點(diǎn)連接后的角度

不變，若存在該動點(diǎn)的軌跡為直線。

②當(dāng)某動點(diǎn)到某條直線的距離不變時，該動點(diǎn)的軌跡為直線。

③當(dāng)一個點(diǎn)的坐標(biāo)以某個字母的代數(shù)式表示時，若可化為一次函數(shù)，則點(diǎn)的軌跡為直線。

如圖，戶是直線8。上一動點(diǎn)，連接AP，取ZQ中點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)。在6C上運(yùn)動時，Q點(diǎn)

軌跡是？

K

【分析】當(dāng)Q點(diǎn)軌跡是直線時，Q點(diǎn)軌跡也是一條直線.

可以這樣理解：分別過AQ向8c作垂線，垂足分別為M、N,在運(yùn)動過程中，因為

AP=2AQ,所以Q/V始終為/"的一半，即Q點(diǎn)到8。的距離是定值，故Q點(diǎn)軌跡是

一條直線.

【模型總結(jié)】

必要條件:

①主動點(diǎn)、從動點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（N必IQ是定值）；

②主動點(diǎn)、從動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（AP:AQ是定值）.

結(jié)論：

P、Q兩點(diǎn)軌跡所在直線的夾角等于NPAQ（當(dāng)NPAQ490。時，zPAQ等于MN與BC夾

角）

P、Q兩點(diǎn)軌跡長度之比等于AP:AQ（由AABCSAAMN,可得AP:AQ=BC:MN）

if

【模型引入】運(yùn)動軌跡為定圓

動點(diǎn)的軌跡為定圓時，可利用："一定點(diǎn)與圓上的動點(diǎn)距離最大值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑

之和，最小值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之差”的性質(zhì)求解。

確定動點(diǎn)軌跡為圓或者圓弧型的方法：

(1)動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離不變：則點(diǎn)的軌跡是圓或者圓弧。

(2)當(dāng)某條邊與該邊所對的角是定值時：該角的頂點(diǎn)的軌跡是圓，具體運(yùn)用如下；

①見直角，找斜邊，想直徑，定外心，現(xiàn)圓形

②見定角，找對邊，想周角，轉(zhuǎn)心角，現(xiàn)圓形

如圖，夕是圓。上一個動點(diǎn)，Z為定點(diǎn)，連接AP,Q為ZQ中點(diǎn).

考慮：當(dāng)點(diǎn)Q在圓。上運(yùn)動時，Q點(diǎn)軌跡是？

【分析】觀察動圖可知點(diǎn)Q軌跡是個圓，而我們還需確定的是此圓與圓。有什么關(guān)系？

考慮到Q點(diǎn)始終為AP中點(diǎn)，連接A0,取A0中點(diǎn)M,則M點(diǎn)即為Q點(diǎn)軌跡圓圓心，半徑

MQ是0P一半，任意時刻，均有AAMQSAAOP,QM:PO=AQ:AP=1:2.

【小結(jié)】確定Q點(diǎn)軌跡圓即確定其圓心與半徑，

由4Q、夕始終共線可得：AM、。三點(diǎn)共線，

由Q為力戶中點(diǎn)可得：AM=V2AO.Q點(diǎn)軌跡相當(dāng)于是尸點(diǎn)軌跡成比例縮放.

根據(jù)動點(diǎn)之間的相對位置關(guān)系分析圓心的相對位置關(guān)系；

根據(jù)動點(diǎn)之間的數(shù)量關(guān)系分析軌跡圓半徑數(shù)量關(guān)系.

如圖，戶是圓。上一個動點(diǎn)，，為定點(diǎn)，連接ZP,作且ZQ=ZP.

考慮：當(dāng)點(diǎn)Q在圓。上運(yùn)動時，Q點(diǎn)軌跡是？

【分析】Q點(diǎn)軌跡是個圓，可理解為將/戶繞點(diǎn)/逆時針旋轉(zhuǎn)90。得AQ,故Q點(diǎn)軌跡與尸點(diǎn)軌

跡都是圓.接下來確定圓心與半徑.

考慮AP^AQ,可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心例滿足AM^AO]

考慮AP=AQ,可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心例滿足AM=AO,且可得半徑MQ=PO.

即可確定圓例位置，任意時刻均有A/P8A/Q例.

如圖，AZQQ是直角三角形，^PAQ=^a^AP=2AQ,當(dāng)戶在圓。運(yùn)動時，Q點(diǎn)軌跡是？

【分析】考慮APrAQ,可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心例滿足AMrAO',

考慮ZP/Q=2:1,可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心例滿足ZCM例=2:1.

即可確定圓例位置，任意時刻均有A/QOSA/IQ例，且相似比為2.

【模型總結(jié)】

為了便于區(qū)分動點(diǎn)2Q,可稱點(diǎn)"為“主動點(diǎn)"，點(diǎn)Q為"從動點(diǎn)"

【必要條件】兩個定量

主動點(diǎn)、從動點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（N"Q是定值）；

主動點(diǎn)、從動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（za/Q是定值）.

【結(jié)論】（1）主、從動點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角等于兩圓心與定點(diǎn)連線的夾角：2的Q=NO4例；

（2）主、從動點(diǎn)與定點(diǎn)的距離之比等于兩圓心到定點(diǎn)的距離之比：AP:AQ=AO:AM,也等于兩圓

半徑之比.

按以上兩點(diǎn)即可確定從動點(diǎn)軌跡圓，Q與夕的關(guān)系相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)+伸縮.

古人云：種瓜得瓜，種豆得豆."種"圓得圓，"種"線得線，謂之“瓜豆原理"

【真題訓(xùn)I練】

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Q是直線y=-|x+2上的一個動點(diǎn)，將Q繞點(diǎn)P(1,0)順時

針旋轉(zhuǎn)90。，得到點(diǎn)Q',連接OQ',貝！］OQ的最小值為()

A考B.V5C.苧D運(yùn)

?5

二、填空題

2.如圖，已知4c=2AO=8，平面內(nèi)點(diǎn)P到點(diǎn)。的距離為2，連接ZP,若4PB=60目=

\AP,連接26,BC,則線段交的最小值為.

3.如圖，在RtM6c中,NACB=90°,NBAC=30°,BC=2,線段6c繞點(diǎn)6旋轉(zhuǎn)到BD,

連2。，￡為力。的中點(diǎn)，連接CE,則上的最大值是—.

4.如圖，在矩形力比。中，對角線ZC,8。相交于點(diǎn)O,AB=4,zDAC=60。，點(diǎn)尸沿線

段2。從點(diǎn)/至點(diǎn)。運(yùn)動，連接DF,以。尸為邊作等邊三角形DFE,氤f和點(diǎn)力分別位于

。尸兩側(cè)，連接OE.現(xiàn)給出以下結(jié)論：

①NBDE=NEFC；@ED=EC；③直線OE1CD；④點(diǎn)￡運(yùn)動的路程是2百.

其中正確的結(jié)論是(寫出所有正確結(jié)論的序號)

5如圖在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)Z在X軸上,△045是邊長為4的等邊三角形，已知點(diǎn)c(-8,0),

。(2,0),點(diǎn)戶是線段CD上一點(diǎn)，連接BP,將線段BP繞點(diǎn)8逆時針旋轉(zhuǎn)60彳導(dǎo)到線段BQ,連接

AQ.在點(diǎn)戶從點(diǎn)「運(yùn)動到點(diǎn)。的過程中，線段4Q掃過的面積為.

CP/ODX

6.在矩形4BCD中,AB=6,點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在平面內(nèi),BE=2,EF=3,連按4F,將線段

4F繞著點(diǎn)4順時針旋轉(zhuǎn)90彳導(dǎo)到4P,則線段PE的最大值為.

三、解答題

7.【問題探究】

(1)如圖1,在△4BC中，AB=AC,D為BC的中點(diǎn)，連接AD，則力D與BC的位

置關(guān)系是.

A

(2)如圖2,在A/IBC中，AB=AC,zBAC=120°E是線段

BC上一動點(diǎn)（不與B、C重合），連接AE,將線段AE繞點(diǎn)4逆時針旋轉(zhuǎn)120。得到線

段AF,連接EF，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是邊BC、EF的中點(diǎn).試探究BE和MN的數(shù)量

關(guān)系，并說明理由.

【問題解決】

（3）如圖3,正方形ABCD是一塊蔬菜種植基地，邊長為3千米，對角線BD為該基地

內(nèi)的一條小路，管理人員計劃在小路BD上確定一點(diǎn)E（不與點(diǎn)B、D重合），連接AE,

以線段AE為斜邊，在AE右側(cè)建等腰直角一EF區(qū)域（/EFA=90°）,用來種植新品有機(jī)

蔬菜，并在F處設(shè)立蔬菜倉庫.G點(diǎn)和D點(diǎn)為基地的兩個蔬菜打包裝運(yùn)點(diǎn)，G在BD上

且=2DG.現(xiàn)要沿GF、DF修建蔬菜運(yùn)輸軌道，請確定運(yùn)輸軌道GF+DF的最小

值.并求出當(dāng)GF+DF最小時，有機(jī)蔬菜種植區(qū)域的面積（即AAEF的面積）.

8.在AABC中，。為直線4C上一動點(diǎn)，連接BD，將BD繞點(diǎn)8逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到師,連

接DE與力B相交于點(diǎn)F.

⑴如圖1,若。為4c的中點(diǎn)，NBAC=90°,AC=4,BD=V29,連接&E,求線段HE的長；

⑵如圖26是線段從1延長線上一點(diǎn)，。在線段4c上，連接DG,EC若々AC<90°,EC1BG,

ZADE=NDBC,NDBC+NG=NEBF,證明V^BC=2AD+DC；

⑶如圖3,若^ABC為等邊三角形,AB=66，點(diǎn)例為線段4c上一點(diǎn)，且2cM=4M,點(diǎn)。

是直線BC上的動點(diǎn)，連接EP,MP,EM,請直接寫出當(dāng)EP+MP最小時△EPM的面積.

9.在等邊三角形4BC中，點(diǎn)。為力C上一點(diǎn)，連接B。，將繞。逆時針旋轉(zhuǎn)角度a得到。E,

連接BE,已知4B=4,BG1AC；

(1)如圖1,若a=60°,tanNDBG=2-V3,連接CE,求CE的長；

(2)如圖2,若a=120。，分別取CD的中點(diǎn)〃，BE的中點(diǎn)F,連接HF,DF,求證：HG=HF；

⑶如圖3,若AD=|,"為4E上一點(diǎn)，且滿足4P=2PE,連接BP,將5P沿著BG所在直線翻

折得到BP',連接GP',當(dāng)GP最大時，直接寫出ABPE的面積.

10.在菱形4BCD中，NBAD=120°,E是對角線BD上的一點(diǎn)，連接AE.

A

A

(1)當(dāng)E在4B的中垂線上時，把射線￡4繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)90后交CD于F,連接BF.如圖①，

若4B=4,求EF的長.

(2)在(1)的條件下，連接BF，把△BEF繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)得到^BHK如圖②,連接CH,

點(diǎn)N為CH的中點(diǎn)，連接4N,求4N的最大值.

11.如圖1,已知在平面直角坐標(biāo)系X。、中,四邊形04BC是矩形點(diǎn)4c分別在x軸和y軸的正半

軸上,連結(jié)4C,04=3,tan^OAC=g，。是BC的中點(diǎn).

(1)求。。的長和點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)如圖2,M是線段0C上的點(diǎn)，0M=|0C,點(diǎn)P是線段。M上的一個動點(diǎn)，經(jīng)過P,D,B三點(diǎn)的

拋物線交火軸的正半軸于點(diǎn)E,連結(jié)DE交48于點(diǎn)產(chǎn)

①將4DBF沿DE所在的直線翻折，若點(diǎn)B恰好落在4c上，求此時BF的長和點(diǎn)E的坐標(biāo)；

②以線段DF為邊，在DF所在直線的右上方作等邊4DFG,當(dāng)動點(diǎn)P從點(diǎn)0運(yùn)動到點(diǎn)M時，點(diǎn)G也

隨之運(yùn)動，請直接寫出點(diǎn)G運(yùn)動路徑的長.

12.如圖所示，點(diǎn)P(3,4),OP的半徑為2,4(2.8,0),B(5.6,0)，點(diǎn)M是OP上的動點(diǎn)，點(diǎn)C是MB

的中點(diǎn)，求4C的最小值.

O\ABX

13.如圖，在矩形26。中,AB=3,力。=4,連接BD,將“6。繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)，記

旋轉(zhuǎn)后的三角形為“'6。，旋轉(zhuǎn)角為a(0°<a<360。且arl80。).

(1)在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)4落在線段6c上時，求48的長；

(2)連接44AB,當(dāng)N必'6=90。時,求tanzA/IZ?;

⑶在旋轉(zhuǎn)過程中，若A044的重心為G,則CG的最小值=_.

14.如圖所示，在矩形4BCD中，4B=4,4。=2,E為力B的中點(diǎn)/為EC上一動點(diǎn)，P為DF的

中點(diǎn)，連接PB,求PB的最小值.

15.(1)如圖①，在矩形ABCD中，4B=4,BC=6,以Z為圓心，2為半徑在矩形ABC。內(nèi)

畫弧，已知點(diǎn)例是該弧上的一動點(diǎn)，點(diǎn)/V是8c邊上的動點(diǎn)，則MN+ND的最小值為一.

(2)隨著社會發(fā)展，人們生活品質(zhì)日益提升，年輕人對高品質(zhì)生活的追求愈發(fā)強(qiáng)烈."荒野

求生"、"生存大挑戰(zhàn)”等欄目在網(wǎng)絡(luò)上火爆，野外探險成為當(dāng)下很多人想尋求刺激、提升

生活品質(zhì)的熱門選擇.圖②是一片探險區(qū)域，其中四邊形4BCD是探險途中的必經(jīng)區(qū)域,AB=

6000米，AD=4800米，4。IIBC,4+4=90°,且="點(diǎn)Z是探險入口，邊界CD

上點(diǎn)/V是探險出口，其中CN=4B,點(diǎn)。方圓1000米的圓形區(qū)域是危險禁區(qū)，嚴(yán)禁探險者

進(jìn)入.為了保證探險者的安全，在危險區(qū)域邊界上設(shè)有一個可移動監(jiān)測點(diǎn)E,一旦探險者靠近

并跨入危險區(qū)，便會觸發(fā)警報.一支探險小隊計劃進(jìn)入此區(qū)域探險，為確保隊員統(tǒng)一行動、節(jié)

省體力并高效前行，領(lǐng)隊需提前確定兩個集結(jié)點(diǎn)尸和點(diǎn)M,其中點(diǎn)尸在探險區(qū)域內(nèi)，且滿足

NEAF=90°,AE=2AF，點(diǎn)例在邊界BC上，探險路線是陽/V,請幫助領(lǐng)隊計算FM+

MN的最小值.

圖①圖②

16.如圖1,在44BC中，NACB=90。，4C=2,BC=2遮，以點(diǎn)B為圓心，遮為半徑作圓.點(diǎn)

P為。B上的動點(diǎn)，連接PC,作p'c±PC，使點(diǎn)P落在直線九的上方，且滿足p'c：PC=1：V3，

連接BP,AP,-

(1)求NB4C的度數(shù)，并證明△APCBPC；

(2)如圖2,若點(diǎn)P在4B上時，連接BP',求BP的長；

(3)點(diǎn)P在運(yùn)動過程中，BP是否有最大值或最小值？若有，請求出當(dāng)BP取得最大值或最小

值時，NPBC的度數(shù)；若沒有，請說明理由.

17.如圖所示，在扇形力。8中,OA=3,NAOB=120。，點(diǎn)C是披上的動點(diǎn)，以BC為邊作正方

形BCDE,當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)力移動至點(diǎn)B時，求點(diǎn)。經(jīng)過的路徑長.

D

E

B

18.如圖所示，在等腰Rt△ABC中，4c=BC=2魚，點(diǎn)P在以斜邊48為直徑的半圓上,M為PC

的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)4運(yùn)動至點(diǎn)B時，求點(diǎn)M運(yùn)動的路徑長.

19.如圖所示，△48。為等腰直角三角形，4(-4,0),直角頂點(diǎn)B在第二象限，點(diǎn)C在y軸上移

動，以BC為斜邊向上作等腰直角ABC。,我們發(fā)現(xiàn)直角頂點(diǎn)。點(diǎn)隨著C點(diǎn)的移動也在一條直線

上移動，求這條直線的函數(shù)解析式.

《2025中考復(fù)習(xí)【最值問題瓜豆原理專題訓(xùn)練】二輪復(fù)習(xí)》參考答案

題號1

答案B

1.B

【分析】利用等腰直角三角形構(gòu)造全等三角形，求出旋轉(zhuǎn)后Q'的坐標(biāo)，然后根據(jù)勾股定理并

利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題.

【詳解】解：作QM±x軸于點(diǎn)M,Q'N±x軸于N,

設(shè)Q(m，一如+2),則PM=M-1,QM=-|m+2,

?.-zPMQ=zPNQ,=zQPQ,=90o,

..NQPM+NNPQ'=NPQ'N+NNPQ',

.?.zQPM=zPQ,N,

在WQM和AQ'PN中，

'NPMQ=NPNQ，=90°

'NQPM=NPQ'N,

[PQ=QP

."PQM%Q'PN(AAS),

...PN=QM=—1m+2,Q'N=PM=m-1,

.■.ON=1+PN=3-|m,

，Q'(3一|血，1-m),

，22

.?.OQ=(3-im)2+(1-m)2=jm2.5m+10=；(m-2)+5,

當(dāng)m=2時，OQ2有最小值為5,

.QQ'的最小值為6,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)的性質(zhì)，三角形全等的判定和性

質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的變換旋轉(zhuǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

2.2V7-V3

【分析】如圖所示延長國到。使得PB=DB，先證明AZP。是等邊三角形從而推出ABP=2Q°,

ABAP=3G°,以ZO為斜邊在/C下方作，使得2%。=30°,連接CM,過點(diǎn)例作

柱八/C于〃，解直角三角形得到*=喘=手，從而證明必/1俗-A/OQ,得到器=喘=手，

AUArZUrArN

貝脂M=V3,則點(diǎn)6在以例為圓心，以百為半徑的圓上，當(dāng)僅B、。三點(diǎn)共線時，即點(diǎn)B

在點(diǎn)B的位置時，8c有最小值，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：如圖所示，延長須至U。使得PB=DB,

〈BP=加，

：.AP=PD=2PB,

又聯(lián)60°,

是等邊三角形，

:B為也的中點(diǎn),

：.AB^DP,即"60=90°,

.28g30°,

以2。為斜邊在ZC下方作/?加/，使得N/W4O=30°,連接CM,過點(diǎn)例作MHYAC^

H,

：.cos^OAM_—_—,

—AO—2

同理可得箓=苧,

?.2。4%30。=/必18,

..4BAM=4PAOI

Yj..AM_ABV3

乂,40-AP=2，

:QAMBjAOP,

.BM_AB_>/3

""OP~AP~2'

..點(diǎn)P到點(diǎn)。的距離為2,即OA2,

■■.BM=V3,

???點(diǎn)6在以例為圓心，以g為半徑的圓上，

連接交圓M（半徑為祗）于8’,

???當(dāng)M、&C三點(diǎn)共線時，即點(diǎn)6在點(diǎn)B的位置時，6c有最小值，

：AC^2AO=8,

"0=4,

.'.AM=AO-cosNtMM=2g,

■.AH=AM-cosZMAH=3,HM=AM-sinNAL4H=g,

：.CH=5,

.'.CM=7HM2+CH?=2V7,

-'-BC=CM-MB'=2V7-V3，

的最小值為2V7-V3,

故答案為：2V7-V3.

D

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定解直角三角形相似三角形的性質(zhì)與判定，

勾股定理，圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最值問題，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握瓜豆模型即證明點(diǎn)

6在以M為圓心，半徑為g的圓上運(yùn)動.

3.3

【分析】通過已知求得。在以8為圓心,6。長為半徑的圓上運(yùn)動，:E為的中點(diǎn)，

.?麥在以BA中點(diǎn)為圓心，長為半徑的圓上運(yùn)動，再運(yùn)用圓外一定點(diǎn)到圓上動點(diǎn)距離的最

大值=定點(diǎn)與圓心的距離+圓的半徑，求得跳的最大值.

【詳解】解：2，線段8c繞點(diǎn)6旋轉(zhuǎn)到BD,

D

：.BD=2,

1

二嚴(yán)=1.

由題意可知，。在以6為圓心，6。長為半徑的圓上運(yùn)動，

??/為2。的中點(diǎn)，

.在在以BA中點(diǎn)為圓心，”。長為半徑的圓上運(yùn)動,

CE的最大值即C到BA中點(diǎn)的距離加上坪。長.

,.—CB=90°,NBAC=30°,BC=2,

??.C到BA中點(diǎn)的距離即|48=2,

又喝BD=1,

.-.CE的最大值即裂8+lBD=2+l=3.

故答案為3.

【點(diǎn)睛】本題考查了與圓相關(guān)的動點(diǎn)問題，正確識別￡點(diǎn)運(yùn)動軌跡是解題的關(guān)鍵.

4.①②③

【分析】①根據(jù)ND4c=60°,。。=OA，得出△04D為等邊三角形，再由△DFE為等邊三角形，

得NEDF=NDEF=60°,即可得出結(jié)論①正確；

②如圖,連接OE,利用S4S證明△DAF=ADOE,再證明△ODE=△OCE,即可得出結(jié)論②正

確；

③通過等量代換即可得出結(jié)論③正確；

④如圖,延長。E至,使OE'=OD,連接DE,，通過△DAF=△DOE,NDOE=60°,可分析

得出點(diǎn)尸在線段上從點(diǎn)Z至點(diǎn)。運(yùn)動時，點(diǎn)￡從點(diǎn)。沿線段OE'運(yùn)動到E',從而得出結(jié)

論④錯誤.

【詳解】解：@-.zZMC=60°,OD=OA,

為等邊三角形，

，NOOZ=NWO=NO0=60°,AD=OD,

?S。生為等邊三角形，

:zEDF=zEFD=aDEF=60°,DF=DE,

:乙BDE+乙FDO=乙ADF+aFDO=60°,

:zBDE=乙ADF,

尸+//田+2。4尸=180°,

：ZADF+NAFD=180°-乙DAF=120°,

..zEFC+乙AFD+乙DFE=180°,

:.乙EFC+AAFD=180°-ADFE=120°,

:.乙ADF;乙EFC,

“BDE=乙EFC,

故結(jié)論①正確；

②如圖，連接。巳

在A04尸和AOOP中,

AD=OD

{ZADF=NODE,

DF=DF

:.^DA^DOE{SAS),

"DOE=NDAF=6。：

:ACOD=180°-NAOD=120°,

：.^COE=^COD-乙DOE=120°-60°=60°,

:.ACOE=^DOE,

在△和A。々中，

OD=OC

(NDOE=ZCOE,

OE=OE

:.^OD^OCE{SAS),

:.ED=EC,zOCEzODE,

故結(jié)論②正確；

③：/ODE二乙ADF,

:.乙ADF:乙OCE,^ADF^^ECF,

故結(jié)論③正確；

④如圖，延長至E',使OE'=OD,連接DE',

"DAMDOE,ADOE=60°,

二點(diǎn)尸在線段Z。上從點(diǎn)Z至點(diǎn)。運(yùn)動時，點(diǎn)E從點(diǎn)。沿線段OE運(yùn)動到F,

-：OE=OD=AD=AB<ax\^ABD=4?tan30°=竽,

，點(diǎn)F運(yùn)動的路程是竽,

故結(jié)論④錯誤.

故答案為①②③.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形性質(zhì)，等邊三角形判定和性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，等腰三

角形的判定和性質(zhì)，點(diǎn)的運(yùn)動軌跡等，熟練掌握全等三角形判定和性質(zhì)、等邊三角形判定和性

質(zhì)等相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

5.10V3

【分析】本題主要涉及等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及圖形面積的計算.解

題的關(guān)鍵思路是通過等邊三角形的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形，找出線段4Q掃過的圖形，進(jìn)而計算

其面積.

具體來說，利用△。43是等邊三角形和NPBQ=60個勺條件，證明△43「和^OBQ全等，從而將

線段4Q的運(yùn)動轉(zhuǎn)化為線段BP的運(yùn)動,進(jìn)而確定線段4Q掃過的圖形，再計算其面積.

【詳解】解：???△。48是邊長為4的等邊三角形，

???OA=OB=AB=4,NAOB=ZABO=NAOB=60°.

：.NBAP=1800-ZBAO=120°,

又???線段BP繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60得到線段BQ,

???BP=BQiNPBQ=60°.

???NPBQ-ZABQ=NABO-ZABQ,

即NQB。=NPBA.

在△ZPB和AOQB中，

(AB=OB

-NPBA=NQBO,

、BP=BQ

???△APB=△OQB(SAS).

???AP=OQ,NBAP=NBOQ=120%

ZAOQ=60°,NBODi=180。-NBOQ=60%

:.ZAOQ=NBAO,ZBAO=NBOD、j

???AB||OQ,即點(diǎn)Q的運(yùn)動軌跡在射線Q。上,

作射線Q。,在射線Q。上截取。。1=AD,連接BOBD1,

>

AP+AD=OQ+OD]=QD],

CP/\ODX

Q|

即點(diǎn)。從點(diǎn)C運(yùn)動到點(diǎn)。的過程中，點(diǎn)Q從圖中的點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)劣，點(diǎn)Q的運(yùn)動軌跡是下

圖中的線段QA,

C(-8,0),D(2,0),此時Q￡)i=CD=10,

C(P)/\EODx

1■-AB||OQ,

??線段4Q掃過的圖形的面積等于小CDB的面積.

作BE14。于E,

???*40=2，

BE=V42-22=2V3,

??線段4Q掃過的面積=SACDE=1X10X2V3=10A/3,

故答案為：10V3.

6.4V5+3

【分析】本題主要考查矩形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理等知識，將線段4E繞點(diǎn)4順時針旋

轉(zhuǎn)90得4邑，得NE】AE=90。,AE,=AE,將線段”繞點(diǎn)4順時針旋轉(zhuǎn)90得4P,得NF4P=90;

AP=AE，證明△近邑=AAFE，得E]P=EF=3,判斷要使EP最大，則P,E,位三點(diǎn)共線時最大，

最大值為EPi,根據(jù)勾股定理可求出E&=4%,即可得出結(jié)論

【詳解】解：,.卡在平面內(nèi)，且EF=3,

.?萬在以E為圓心，3為半徑的圓上，如圖,

將線段4E繞點(diǎn)4順時針旋轉(zhuǎn)90得4邑，

：.ZErAE=90°AEr=AE,

將線段4F繞點(diǎn)力順時針旋轉(zhuǎn)90彳導(dǎo)4P,

.■.ZFAP=90°AP=AE,

■.ZE^AP+NPAE=NEAF+ZPAE=90°

.'.ZEXAP=ZEAF,

「.△APErAFE,

：.ErP=EF=3f

??.P在點(diǎn)位為圓心，3為半徑的圓上,

要使EP最大,則P,E,%三點(diǎn)共線時最大，最大值為七尸1；

???四邊開勿180是矢國彩，

^ZABC=90°,

'.'AB=6,BE=2,

■■.AE=7AB2+BE2=2V10,

：.AEX=AE=2V10,

2

■'-EE1=y/AE^+AE=4V5,

:.EPi=EE]+EPi=4V5+3,

.〔PE的最大值為4西+3,

故答案為：4V5+3.

7.（1）ADLBC■,（2）BE=2MN,理由見解析；（3）運(yùn)輸軌道GF+OF的最小值為遙千

米，AHEF的面積為If平方千米.

【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定得出△ABD=A4CD（sss），進(jìn)一步根據(jù)4DB+ZADC=

180°,即可推出N4DB=ZADC=900,即證；

（2）由題意連接AM,AN,先得出4B=2AM,同理可得4E=2AN,NEAN=60°,進(jìn)一步利

用^BAE-△MAN即可進(jìn)行證明；

（3）首先確定出F的運(yùn)動軌跡E'F，，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)4F,G三點(diǎn)共線時，GF+DF

取最小值4G，繼而在RM4EG中，由勾股定理得出4G,過G作GH14D,交4。于點(diǎn)H,利用相

似性質(zhì)得出力F,即可進(jìn)一步求△力EF的面積.

【詳解】解：（1）由題意知，在AABD與AAC。中,

AB=AC,BD=CD（中點(diǎn)定義），4D=4D,

**?△ABD三△J4CD（SSS）/

???NADB=ZADC,

又NADB+ZADC=180°（平角定義），

??.ZADB=ZADC=90°,即4。1BC.

故答案為：AD1BC.

(2)BE=2MN,理由如下：

???NBAC=120%AB=AC,

4=NC=300,

ZBAM=60°,

AB=2AM,

同理可得ZE=2AN,NEAN=60%

.??ZBAM=NEAN=60°,

NBAE=NMAN,

??,AB=2AM,AE=2AN,

.AB_AE_Q

AM-AN~，

BAE-△MAN,

里=絲=2

MNAM'

BE=2MN.

(3)取BD中點(diǎn)力,連接過E作E—。,交AD于*,

由正方形4BCD可得N4BE'=NBAE'=45:

???ZABE'=NAEF=45:NBAE'=ZEAF=45：

ABE'?AAEF,

:.空=空=?NBAE=NE'AF

AN'AF'

ABE~AAET7,

???ZAE'F=ZABE=45°,

■：EVLAD,

??.AAEf是等腰直角三角形，

從而確定出F的運(yùn)動軌跡即E行如下圖：

E'F'=AF'=FD,

DF=AF,即GF+OF最小值等于GF+4G最小值，

由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)4F,G三點(diǎn)共線時，GF+DF取最小值4G,

???正方形ABCD邊長為3千米，E是8。中點(diǎn)，

.,在Rt△4BD中,由勾股定理得力E?BE'=DE'=-BD=學(xué)千米，

BG=2DG,

BG==2魚千米，GD=四千米,

.■.E'G=BG-BE'=曰千米,

在Rt△AE6中，由勾股定理得4G=+E'G2=花千米，

即運(yùn)輸軌道GF+OF的最小值為遍千米，

過G作GH14D,交4。于點(diǎn)H,如圖，

NE'F'A=NGHA,ZEV'D=GHD,

AFT-△AGHAGHD?AEf'D.

DH_￡)G_V2_2

DF'DE'—

2

AFAF'DF'DF'3

/-4,

''AG~AH-AD-DH~2DF-|DF

AF=-AG=誓米,

44

止匕時△AEF的面積為亭x亭x號等F方千米.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理和相似三角形的綜合應(yīng)用.整體難度

相對大，需要學(xué)生有分析主從聯(lián)動點(diǎn)(瓜豆原理)的運(yùn)動軌跡的能力，同時還能夠合理運(yùn)用將

軍飲馬的模型進(jìn)行問題的綜合解決.

8.(l)i4E=V34；

⑵證明見解析；

(3)9+273.

【分析】(1)根據(jù)題意由勾股定理可得48長度，作EG1AB,交4B于G,利用旋轉(zhuǎn)及互余可

證得△ABD=△GEB(AAS)，貝?。莸肊G=AB,BG=AD,可求出4G,再由勾股定理可得4E的

長度；

(2)由旋轉(zhuǎn)可知，ABDE為等腰直角三角形，根據(jù)其性質(zhì)再利用互余可證得仆EBC=△BDG

(AAS)，貝！|有BO=DG/EBC=NBDG，由4DE=NDBC，可證4DG=45。,由EDE=NDBC,

利用三角形內(nèi)角和定理可得N4CB=45。,作1BC,交C4延長線于H，連接HG，易知，△BCH

為等腰直角三角形,可得NBHC=45°,BH=BC=DG,CH=&BC,易得BH||DG,可證四

邊形BDGH是平行四邊形，即HD=2AD,利用CH=HD+CD可得證結(jié)論；

(3)作個1AC,交4c于日,將BC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)90°,證明△BGE=ABCD(SAS),進(jìn)而

證得EG||BH，作點(diǎn)M關(guān)于BC的對稱點(diǎn)N,連接PN,CN,由對稱易知CM=CN,易知當(dāng)EP+MP

最小時，即EP+PN最小，亦即N、P、E在同一直線，且NE1EG,如圖，作BT±GE,交GE于

T,易知四邊形BQET是矩形，證得△PMC是等邊三角形，求出PE=3遙+2奩，△EPM的高力

=V6,根據(jù)SAEPM=^EP■/可得答案.

【詳解】(1)解：1力為4c的中點(diǎn),AC=4,BD=的,NBAC=90°

■■AD=^AC=2,則由勾股定理，可得：AB=7BD2—AD2=5,

作EG1AB,交力B于G,

由題意可知，NDBE=90°,BE=BD,

?2+2=90°,/+4=90°,

.N=^3,

又,：NEGB=ZBAC=90°,

ABD=△GEB(AAS),

.,.EG=AB=5,BG=AD=2,

貝必G=AB-BG=3,

由勾股定理可得：AE=<EG2+AG2=V34；

(2)證明：由旋轉(zhuǎn)可知，,DE為等腰直角三角形,

.,.Z7=45°,NEBD=90°,BE=BD,

■：EC1BG,

：2+NEBF=90°,

又，.24+NEBF=900,+^1=90°,

「23=4,=NEBF=^2+NDBC,

又〈NDBC+NG=NEBF,

:A=NG,

2=N4

在^EBC^Wis.BDG中,<〃_「,

NN=NG

=BD

「.△EBCBDG(AAS),

:.BD=DG,NEBC=NBDG,

貝U：NEBD+NDBC=Z7+ZADE+ADG,

,:NADE=NDBC,

:2EBD=N7+ADG，即：90°=45°+ADG,

--ZADG=45°,

yj'^ADE=NDBC=^5+N6,

由三角形內(nèi)角和定理可得:NDBC+△=N6+N7,

即：N6+N5+△=N6+N1,

■'-ZACB=^S+z2=Z7=45°,

作BH1BC,交以延長線于H,連接HG,

BCH為等腰直角三角形，

:2BHC=4E>°,BH=BC=DG,CH=yj2BC,

'.^ADG=45°,

：.BH||DG,

，四邊形8DGH是平行四邊形，

.'.AH=AD,即H。=2AD,

：.CH=HD+CD=2AD+CD=；

(3)作8"1AC,交AC于H,

.「△ABC是等邊三角形，

.'.AB=AC=BC=642,NACB=ZABC=60°,BH平分4BC,

貝=NCBH=30°,

將BC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)90。，貝!!BC=BG=642,NDBE=NCBG=90%

:2EBG=NDBC,NGBH=NCBG-NCBH=60°

：.4BGE=ABCD(SAS),

:WBGE=NBCD=60°

：.EG||BH,

作點(diǎn)M關(guān)于BC的對稱點(diǎn)N，連接PN,CN面對稱易知CM=CN,NBCN=NACB=60°,PM=PN

：.EP+MP=EP+PN

當(dāng)EP+MP最小時，即EP+PN最小,亦即N、P、E在同一直線，且NE1EG,如圖：

作BT1GE,交GE于T,貝[]zBGT=60°,NTBG=30°

..GT=\BG=342,BT=<BG2-TG2=3V6,

■：EG||BH,BHLAC,NE1EG

：.BH1NP,NE||AC,四邊形BQET是矩形，

則N4CB=NNPC=NBPQ=60°,EQ=BT=346,即NMPE=60°,

由軸對稱可知，NCPM=NNPC=60°,

P"C是等邊三角形，則：PM=CM=CP,

■：2CM=AM,

：.PM=CM=CP=2V2,BP=4V2,NABH=NCBH=30°

：.QP=三BP=2V2,CH==3V2,

則由勾股定理可得:BQ=2依，BH=3遍,

■：NE||AC,BH1NP,

則QH為NE,AC之間的距離，

：.QH=遙，即△EPM的高力=V6

.'.PE=EQ+PQ=3V6+2V2,

:.SAEPM=\EP?%=：x(3V6+2V2)xV6=9+2V3.

【點(diǎn)睛】本題屬于幾何綜合題，考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的判定及性

質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，第(2)問證明N4CB=45。，N4DG=45解決問題的關(guān)鍵，

第(3)問弄清E的運(yùn)動軌跡是解決問題的關(guān)鍵.

9.(1)8-4V3；

(2)見解析；

⑶竽.

【分析】(1)解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)及等邊三角形性質(zhì)可知，可證AAB。=△CBE(SAS)，得CE=AD,

由BG±AC,可得4G=\AC=2,BG=243，根據(jù)tan/DBG=2-V3=—，可得DG=4A/3-6,

zBG

從而通過CE=AD=AG-DG可計算出結(jié)果；

(2)延長。F，使DF=FM,連接BM,CM,貝(JDM=2DF,根據(jù)題意可知，“?為^DCM的中

位線，即用7=|CM，類戊1)可證得△ABD=△CBM(SAS)，可得4。=CM，即HF=\CM=\AD,

由H為CO的中點(diǎn)，可得DH=|yiC-\AD,DG=\AC-AD,從而可得HG=DH-DG=\AD,

即可得結(jié)論；

（3）由（1）知，4G=2,BG=2g,DB=DE,由4。=|,則DG=可得BD=DE=]

由4P=2PE，得氏=|，作P。||ED，可得△APO八AED，利用相似三角形得性質(zhì)可列比例式，

求得PO=1,AO=1,OG=1,可知點(diǎn)P的軌跡為：以。為圓心，P。為半徑的圓，由翻折可知，

GP=GP，而GP<OP+0G,當(dāng)。，P,G在同一直線上時GP取最大值，即GP取最大值，此時，

AP=OP-0A=,PE=^AP=|,進(jìn)而可求得面積.

【詳解】（1）解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，。B=DE,

:旋轉(zhuǎn)角a=60°,

.BDE是等邊三角形，貝LOBE=60°,BD=BE,

???△4BC為等邊三角形，

=ZABC=60°,AB=BC=AC,

：.NABC-NCBD=NDBE-NCBD,即/4BD=NCBE,

:.AABD=△CBE（SAS）,

.t.CE=AD,

'.'BG1AC,AB=BC=AC=4,zA=60°,

.,.AG=|71C=2,BG=2A/3,

又1,tanNDBG=2-V3=—,

BG

：.DG=4V3-6,

：.CE=AD=AG-DG=2-（4V3-6）=8-4A/3；

（2）證明：延長DF，使。F=FM,連接,CM，貝（=2DF,

即F為0M的中點(diǎn)，

?.?H為CD的中點(diǎn)，

:9為4DCM的中位線,即HF=|CM,

旋轉(zhuǎn)角a=120°,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：B。=DE=30。，

?.甲為8E的中點(diǎn)，

..DF1AE,DF平分NBDE,

..BD=WF,NBDM=60°,貝!=DM,

為等邊三角形，

..BD=BM,NDBM=60°,

又為等邊三角形，

:WABC=60°,AB=BC,

??.NABC-NCBD=NDBM-NCBD,即辦BD=NCBM,

：.^ABD=ACBM(SAS),

11

：.AD=CM,即HF=-CM=-AD,

為CD的中點(diǎn)，

：.DH=-DC=-(AC-AD)=-AC--AD,

22'722'

DG=AG-AD=-AC-AD,

：.HG=DH-DG=-AC--AD-(-AC-4。)=-AD

22\272

：.HG=HF.

(3)由(1)知，4G=2,BG=2遮，DB=DE,

O1

'-AD=I，貝%G=J,

：22

.BD=DE=yjBG+DG=2-,，

由4P=2PE，得與=|,

作P。||ED,貝U：△APOAED,

摟端=*1，則P0*，40=l，0G=l，

即點(diǎn)P的軌跡為：以。為圓心，P0為半徑的圓，

由翻折可知，GP'=GP，而GP<OP+OG,^0,P,G在同一直線上時GP取最大值，即：GP取

最大值，如圖

此時，4P=0P-oa*,PE=|”=|

11

貝IJSABEP=-PE-BG=-x心誓

222

【點(diǎn)睛】本題屬于幾何題綜合，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，添加輔助線構(gòu)造全等三角形及相似相似

三角形是關(guān)鍵.

10.(1)FF=I(2)|V3

【分析】(1)通過菱形性質(zhì)證明&E=BE,在Rt△D4E中，利用勾股定理求出ZF的長度,

再Rt△04E中，可以得到DE=2AE,在等腰△DE尸中，利用角度推導(dǎo)出尸，代入數(shù)值

求解即可.

(2)判斷出點(diǎn)〃的運(yùn)動軌跡，從而知道點(diǎn)/V0勺運(yùn)動軌跡，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，即可得到

z/v的最大值.

【詳解】（1）解：過點(diǎn)尸作FM1BD于點(diǎn)M,如下圖：

A

C

圖①

1,四邊形Z8C。是菱形，且NBA。=120°

.'.AD=AB=4,^ABC=ZADC=60°

???BD為菱形對角線

:WABE=ZADE=NFDE=3O0,

又「E在力B的中垂線上

：.AE=BE

■.ZBAE=NABE=30°

：.^AED=60°,^EAD=NBAD-NBAE=120°-30°=90°

在Rt△D4E中,NADE=30°

：.DE=2AE

設(shè)：4E=x,貝[]DE=2x

-：AE2+AD2=DE2

即：/+42=(2x)2

解得：=1V3

：.DE=-^

3

''ZAEF=90。，NAED=60°

二.NFED=30°

，NFED=NFDE

：.EF=DF

又“M1BD

：.EM=DM

：.DE=2EM=2X—EF=V3EF

2

.-.-V3_V3￡-F

3—

：.EF=-

3

(2)連接ZC延長ZE交6c于點(diǎn)M,則有4M1BC,點(diǎn)〃的運(yùn)動軌跡是以點(diǎn)6為圓心，BH

為半徑的圓，因為點(diǎn)C為固定點(diǎn)，點(diǎn)2為8的中點(diǎn)所以點(diǎn)/V的運(yùn)動軌跡是以點(diǎn)例為圓心，

/V例為半徑的圓，如下圖：

此時：在仆AMN在,AM+MN24N,當(dāng)4M、/V三點(diǎn)共線時，Z/V最大

貝［］：在RtAAMC^p,CM=14c=2

■：AM2=AC2-CM2

：.AM2=12

：.AM=2V3

又點(diǎn)是6c的中點(diǎn)，/V是的中點(diǎn)

.-.MN=-BH=-BE=-V3

223

：.AN=2V3+-V3=-V3

33

【點(diǎn)睛】本題看考查勾股定理，等腰三角形性質(zhì).瓜豆模型等相關(guān)知識點(diǎn)，根據(jù)題意列出相關(guān)

等量關(guān)系是解題重點(diǎn).

11.(1)OC7,點(diǎn)。的坐標(biāo)為(|,8)；(2)①點(diǎn)E的坐標(biāo)為歲0),②今

【分析】1廟0A=3,tan/OAC=：=?得OC=g，由四邊形。ABC是矩形得BC=0A=3,

所以CD《BC=