2025年中考數學數學二輪復習之圖形的旋轉

選擇題（共10小題）

1.（2025?鼓樓區(qū)校級模擬）在2024年巴黎奧運會上，中國體育代表隊獲得40金、27銀和24銅共91枚

獎牌，創(chuàng)造了中國參加境外奧運會的最佳戰(zhàn)績.以下是巴黎奧運會部分項目的圖標，其中是中心對稱圖

3.（2025?雁塔區(qū)校級一模）如圖，ZVIBC中，NC=90°,ZB=30°,AB=6,將△ABC繞點A逆時針

方向旋轉15°得△A"C,B'C交于點E,則"E的長為（）

A.3*B.3V2C.373-3D.6-273

4.（2025?河北模擬）如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉a°得到△A8C.當點8,C,夕在同一直線上,

A.60°B.65°C.70°D.75°

5.（2025?信陽模擬）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形0nBe為平行四邊形，其中點。（0,0）,A（3,

4）C（8,0）,以點。為圓心，OC的長為半徑作弧，交于點。，再把線段OO繞點。逆時針旋轉

A.（-4,4、后B.（-4愿，4）C.（4?,-4）D.（4,-4愿）

6.（2025?柳州模擬）浙江省積極響應國家“節(jié)約資源，保護環(huán)境”的號召，利用自身地域環(huán)境優(yōu)勢，加

強可再生資源一一風能的利用，其中，海上風電產業(yè)具有技術先導性強、經濟體量大和產業(yè)關聯度大的

特點，如圖是海上風力發(fā)電裝置，轉子葉片圖案繞中心旋轉n后能與原圖案重合，則n可以?。ǎ?/p>

A.60B.90C.120D.180

7.（2025?柳州一模）如圖,在△ABC中，ZACB=9O°,7c=8,BC=6.將△A8C繞點C旋轉至

使A3交邊AC于點￡>,則CD的長是（）

A.4B.建C.5D.6

5

8.（2025?石家莊校級模擬）如圖，將△ABC繞點8順時針旋轉得到△ABC,使點A'落在AC上.已知

ZC=40°,AC//BC,則/A'BC=（）

A.A'_________C

BC

A.30°B.40°C.60°D.70°

9.（2024?平山縣一模）圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”.如圖是棋盤上由1個白子和3個黑子組成的

圖形，若再放入一個白子，使它與原來的4個棋子組成的圖形為中心對稱圖形，則放入白子的位置可以

是（）

M

人

YN

A.點、M處B.點N處C.點P處D.點。處

10.（2024?烏魯木齊一模）如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉150°,得到△ADE,這時點2、C、。恰

A.10°B.15°C.20°D.30°

二.填空題（共5小題）

11.（2025?雁塔區(qū)校級模擬）如圖，線段48=5,點C為線段延長線上一點，將線段BC繞點C旋轉

120°得到線段CZ）,連接為AD的中點，連接BE,則線段8E的最小值為.

12.（2025?雁塔區(qū)校級一模）如圖，。是等邊三角形ABC外一點，AD=3,CD=2,當8。長最大時，△

ABC的面積為.

13.（2025?雁塔區(qū)校級一模）如圖，菱形ABCD的邊長為2,ZBAD=60°,將該菱形繞頂點A在平面內

旋轉得到菱形AB'C'，若B'C與CD所在直線交于點E,則當CB'最小時，DE的長

為

14.（2025?順城區(qū)模擬）△ABC為等邊三角形,D為平面內一點，連接AD,將繞點。順時針旋轉60°,

得到線段。E,連8。，CE.當ND4c=30°,AB=2愿，AO=4時，CE=.

15.（2025?信陽模擬）如圖，在菱形中，A2=AC=3,對角線AC,BD交于點O,￡是上的一

個動點，將線段AE繞點A逆時針旋轉到AE且連接ERDF,若是直角三角

形，則BE的長為.

三.解答題（共5小題）

16.（2024?涼州區(qū)二模）如圖，在△042中，。4=。2=2,ZAOB=90°,將△Q4B繞點。逆時針旋轉

角a（0°<a<90°）得到連接4A,A'B.

（1）當a=30°時，求48的長度；

（2）當AA=A8時，求a的度數.

A

A

「

B'

17.(2024?大興區(qū)二模)如圖，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=2a,N是8C中點，尸為NC上一點，連

接AP,。為△54尸內一點，且ND4P=a，點。關于直線AP的對稱點為點E,與AP交于點

連接CE.

(1)依題意補全圖形；

(2)求證：BD=EC-,

(3)連接MN,若NDBC+NECB=9Q°,用等式表示線段8。與MN的數量關系，并證明.

18.(2024?涼州區(qū)二模)如圖，方格紙中的每個小正方形的邊長都為1,在建立平面直角坐標系后，AABC

的頂點均在格點上.

(1)以點A為旋轉中心，將AABC繞點A順時針旋轉90°得到△ABC1,畫出△AB1C1.

(2)畫出△ABC關于原點。成中心對稱的282c2.

19.(2024?墾利區(qū)三模)己知NAO2=NCO￡)=90°,04=08=10,OC=O￡>=8.

(1)如圖1,連接AC、8。，問AC與8。相等嗎？并說明理由.

(2)若將△C。。繞點。逆時針旋轉，如圖2,當點C恰好在A2邊上時，請寫出AC、BC、OC之間

關系，并說明理由.

(3)若△口?￡)繞點。旋轉，當NA0C=15°時，直線C。與直線A。交于點R求AF的長.

備用圖

20.(2024?濰城區(qū)一模)如圖，在平面直角坐標系中，△AOB的頂點坐標分別是A(2,2),O(0,0),B

(3,0),按要求完成下列問題.

(1)將△AOB向左平移2個單位長度得到△AIOLBI,直接寫出點Ai,(91,21的坐標;

(2)將△AQB繞點A順時針旋轉90°得到△AO2B2,畫出△AO2B2,并寫出。2,歷的坐標;

(3)點C的坐標為(-4,1),用作圖的方法在x軸上確定一點〃，使AM+CM最小，并寫出點"的

2025年中考數學數學二輪復習之圖形的旋轉

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.（2025?鼓樓區(qū)校級模擬）在2024年巴黎奧運會上，中國體育代表隊獲得40金、27銀和24銅共91枚

獎牌，創(chuàng)造了中國參加境外奧運會的最佳戰(zhàn)績.以下是巴黎奧運會部分項目的圖標，其中是中心對稱圖

形的是（）

【考點】中心對稱圖形.

【專題】平移、旋轉與對稱；幾何直觀.

【答案】C

【分析】把一個圖形繞某一點旋轉180°,如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就

叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心.據此逐一判斷即可得到答案.

【解答】解：A、該圖不能找到這樣的一個點，使圖形繞這個點旋轉180°后與原來的圖形重合，所以

不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

2、該圖不能找到這樣的一個點，使圖形繞這個點旋轉180°后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱

圖形，故本選項不符合題意；

C、該圖能找到這樣的一個點，使圖形繞這個點旋轉180°后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形，

故本選項符合題意；

。、該圖不能找到這樣的一個點，使圖形繞這個點旋轉180。后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱

圖形，故本選項不符合題意.

故選：C.

【點評】本題考查了中心對稱圖形的概念，熟練掌握中心對稱圖形的概念是解答本題的關鍵.

2.（2025?濟南模擬）下列各曲線是根據不同的函數繪制而成的，其中是中心對稱圖形的是（）

o,xx

C.ID.I'

【考點】中心對稱圖形.

【專題】平移、旋轉與對稱；幾何直觀.

【答案】C

【分析】根據中心對稱圖形的定義，逐項判斷即可求解.

【解答】解：A、該圖不是中心對稱圖形，不符合題意；

2、該圖不是中心對稱圖形，不符合題意；

C、該圖是中心對稱圖形，符合題意；

。、該圖不是中心對稱圖形，不符合題意，

故選：C.

【點評】本題主要考查了中心對稱圖形的定義，熟練掌握在平面內，把一個圖形繞著某個點旋轉180°,

如果旋轉后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形是解題的關鍵.

3.（2025?雁塔區(qū)校級一模）如圖，AABC中，ZC=90°,ZB=30°,AB=6,將△ABC繞點A逆時針

方向旋轉15°得C,B'C交于點E,則8'E的長為（）

A.3-V3B.3V2c.3V3-3D.6-273

【考點】旋轉的性質；含30度角的直角三角形；勾股定理.

【專題】平移、旋轉與對稱；運算能力.

【答案】C

【分析】先求出/A=60°,AC=1-AB=3;由旋轉的性質可得C'=BC=3V3-A'C=AC=3,Z

CA'￡=45°,再利用勾股定理解題即可.

【解答】解：由題意可得：ZBAC=6Q°,AC^AB=3,

???BC=7AB2-AC2=762-32=373，

由旋轉可得B'C'=BC=3V3>AC'=AC=3,NCA'E=ZCAB-ZCAC'=60°-15°=45°,

：.EC=AC'=3,

???B，E=B，C，-cyE=373-3.

故選：c.

【點評】本題考查了旋轉的性質，勾股定理，含30度角的直角三角形的判定，正確根據相關知識點進

行計算是解題關鍵.

4.（2025?河北模擬）如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉a°得到△A9C.當點8,C,⑶在同一直線上,

A.60°B.65°C.70°D.75°

【考點】旋轉的性質；三角形內角和定理；等腰三角形的性質.

【專題】平移、旋轉與對稱；運算能力.

【答案】B

【分析】根據圖象旋轉的性質，^AB=AB',ZBAB'=150。，從而得/B=15°,結合NABC

=ZB=15°,ZB'AC=ZBAC=100°,即可求解.

【解答】解：由題意可得：

J.AB^AB',ABAB'=150",

:./B=NAB'B=（180°-150°）+2=15°,

AZAB'C=ZB=15°,NB'AC'=ZBAC=100°,

：.ZC=180°-100°-15°=65°,

故選：B.

【點評】本題主要考查旋轉變換的性質、等腰三角形的性質以及三角形內角和定理，掌握旋轉變換的性

質是解題的關鍵.

5.（2025?信陽模擬）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形048c為平行四邊形，其中點。（0,0）,4（3,

4）C（8,0）,以點。為圓心，OC的長為半徑作弧，交于點。，再把線段。。繞點。逆時針旋轉

90°得到線段，則點。'的坐標為（）

A.（-4,4愿）B.（-473-4）C.（473--4）D.（4,-4依）

【考點】坐標與圖形變化-旋轉；全等三角形的判定與性質；平行四邊形的性質；旋轉的性質.

【專題】平面直角坐標系；圖形的全等；多邊形與平行四邊形；運算能力.

【答案】A

【分析】如圖，延長左4交》軸于點E,過點。'作O'F_Lx軸于點F.證明△OOEg/k。。'F（AAS）,

推出。'F=DE=46'。尸=?！?4可得結論.

【解答】解：如圖，延長84交y軸于點E,過點。'作軸于點?

由題意，可知。E_Ly軸，AE=3,OE=4.由旋轉的性質，可知。。=。。=8,

DE=7QD2-OE2=VS2-42=4R，

'：OD=OD',/DOD'=90°,

Z.ZEOD+ZEOD'=90°,

'：ZD'OF+ZEOD'=90°.

：.ZD'OE=ZDOE,

,：ZDEO=ZD'FO=90°,

：.AODE^/\OD'F（AAS）,

：.D'F=DE=4、R,。尸=OE=4.

...點。'的坐標為（-4,4、回），

故選：A.

【點評】本題考查坐標與圖形性質，全等三角形的判定和性質，平行四邊形的性質，旋轉的性質，解題

的關鍵是學會添加常用輔助線，正確尋找全等三角形解決問題.

6.（2025?柳州模擬）浙江省積極響應國家“節(jié)約資源，保護環(huán)境”的號召，利用自身地域環(huán)境優(yōu)勢，加

強可再生資源一一風能的利用，其中，海上風電產業(yè)具有技術先導性強、經濟體量大和產業(yè)關聯度大的

特點，如圖是海上風力發(fā)電裝置，轉子葉片圖案繞中心旋轉n后能與原圖案重合，則w可以取（）

A.60B.90C.120D.180

【考點】旋轉對稱圖形.

【專題】平移、旋轉與對稱；幾何直觀；應用意識.

【答案】C

【分析】將360。除以轉子葉片個數即可求出〃的值.

【解答】解：：360°4-3=120°,

."=120,

故選：C.

【點評】本題考查旋轉對稱圖形的性質，理解旋轉角的意義是解題的關鍵.

7.（2025?柳州一模）如圖，在△ABC中，ZACB=9Q°,AC=8,BC=6.將△ABC繞點C旋轉至△ACH,

使AE交邊AC于點。，則CO的長是（）

A.4B.C.5D.6

5

【考點】旋轉的性質.

【專題】平移、旋轉與對稱；推理能力.

【答案】c

【分析】根據旋轉的性質可以得到，然后利用CB'LAB證明，由此即可證明

D為A'B'的中點解決問題.

【解答】解：：將△ABC繞點C旋轉至△AC9,

:,A'B'=AB,ZA'CB'=ZACB=90°,

\'CB±AB,

：.ZB+ZBCB'=ZBCB'+ZACB'=90°,

:./B=NACB',

AZACB'=NB',

：.CD=DB',

而/A'+ZB'=ZACB'+ZA/CD=9Q°,

：.ZA1=NA'CD,

：.DA'=DC,

：.DA'=DC=DB吳B'AC?+BC2=146?+82=/10=5.

故選：C.

【點評】此題主要考查了旋轉的性質，同時也利用了勾股定理及直角三角形的性質，解題的關鍵熟練利

用旋轉和直角三角形的性質.

8.（2025?石家莊校級模擬）如圖，將△ABC繞點8順時針旋轉得到△A3C,使點A'落在AC上.已知

ZC=40°,AC//BC,則NA'BC=()

C.60°D.70°

【考點】旋轉的性質；平行線的性質.

【專題】線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉與對稱；運算能力；推理

能力.

【答案】A

【分析】由旋轉得A'B=AB,ZBA'C=NA,ZC=/C=40°,則A=ZBA'C,由

AC//BC,^ZCA'C=NC=40°，貝！I2/2A'A=180°-NOVC=140°,所以

A=70°,求得NABC=70°,ZABA'=40°,則/A'BC=ZABC-ZABA'=30°,于是得到問題

的答案.

【解答】解：：將△ABC繞點2順時針旋轉得到△ABC,點A'落在AC上，且NC=40°,

"B=AB,ZBA'C=ZA,ZC'=ZC=40°,

AZA^ZBA'A,

：.ZBA'C=ZBA'A,

"JAC//BC,

：.ZCA'C=/C'=40°,

：.ZBA'C+ZBA'A=2ZBA'A=180°-ZCA'C=140°,

AZA=ZBA'A=70°,

180°-ZA-ZC=180°-70°-40°=70°,AABA'=180°-ZA-ZBA1A=180°

-70°-70°=40°,

：.ZA'BC=ZABC-AABA'=70°-40°=30°,

故選：A.

【點評】此題重點考查旋轉的性質、平行線的性質、等腰三角形的性質、三角形內角和定理等知識，推

導出NBA'C=NBA'A,及/CA'C=NC'=40°是解題的關鍵.

9.（2024?平山縣一模）圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”.如圖是棋盤上由1個白子和3個黑子組成的

圖形，若再放入一個白子，使它與原來的4個棋子組成的圖形為中心對稱圖形，則放入白子的位置可以

是（）

A.點、M處B.點N處C.點P處D.點。處

【考點】中心對稱圖形.

【專題】平移、旋轉與對稱；幾何直觀.

【答案】A

【分析】根據把一個圖形繞某一點旋轉180。，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖

形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心，進而得出答案.

【解答】解：當放入白子的位置在點M處時，是中心對稱圖形.

故選：A.

【點評】此題主要考查了中心對稱圖形的定義，正確把握定義是解題關鍵.

10.（2024?烏魯木齊一模）如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉150°,得到△ADE,這時點3、C、。恰

好在同一條直線上，則的度數為（）

E

A.10°B.15°C.20°D.30°

【考點】旋轉的性質.

【專題】等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉與對稱；運算能力；推理能力.

【答案】B

【分析】先由旋轉的性質得N8Ar>=150°,AD=AB,再證△BA。是等腰三角形，然后由等腰三角形

的性質和三角形內角和定理即可求解.

【解答】解：：將aABC繞點A逆時針旋轉150°,得到△AOE,

：.ZBAD=150°,AD=AB,

:點8、C、。在同一條直線上，

.,.△BAD是等腰三角形，

：.ZB=ZBDA=1(180°-/BAD)=Ax(180°-150°)=15°,

22

故選：B.

【點評】本題考查了旋轉的性質、等腰三角形的判定與性質、三角形內角和定理等知識，證明△8AO

為等腰三角形是解題的關鍵.

二.填空題(共5小題)

11.(2025?雁塔區(qū)校級模擬)如圖，線段AB=5,點C為線段AB延長線上一點，將線段BC繞點C旋轉

120°得到線段CD連接A。，E為的中點，連接BE,則線段BE的最小值為

【專題】平移、旋轉與對稱；運算能力；推理能力.

【答案】1.

4

【分析】連接8。，取AB的中點F,作射線EE,作于點/,由旋轉得8C=C￡),ZBC￡)=120°,

則/C8O=/CD8=30°,BF=AF=1AB=^-,由三角形的中位線定理得EfWOB,貝i]NBFE=

22

/C8O=30°,可知點E在經過A8的中點/且與直線A8的夾角等于30°的直線上運動，由

且8/=12尸=金，得則線段BE的最小值為旦，于是得到問題的答案.

2444

【解答】解：連接BD取AB的中點R作射線尸E,作2/工所于點/,則Nf7B=90°,

:將線段BC繞點C旋轉120°得到線段CD,

：.BC=CD,ZBCD=120°,

:./CBD=/CDB='義(180°-120°)=30°,

2

：A3=5,

8尸=AF=LB=?1X5=2

222

：E為AD的中點，尸為AB的中點，

：.EF//DB,

:.NBFE=NCBD=30°,

.?.點￡在經過AB的中點廠且與直線A8的夾角等于30°的直線上運動，

；BENBI,且8/=_1BP=_1XS=反，

2224

4

線段班的最小值為S,

4

故答案為：A.

【點評】此題重點考查旋轉的性質、等腰三角形的性質、三角形內角和定理、三角形的中位線定理、平

行線的性質、直角三角形中30°解所對的直角邊等于斜邊的一半、垂線段最短等知識，正確地作出輔

助線是解題的關鍵.

12.(2025?雁塔區(qū)校級一模)如圖，。是等邊三角形ABC外一點，A￡>=3,CD=2,當8。長最大時，△

ABC的面積為應2.

—4—

D

BC

【考點】旋轉的性質；三角形三邊關系；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質.

【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉與對稱；推理能力.

【答案】見試題解答內容

【分析】以CO為邊作等邊△QCE,連接AE.利用全等三角形的性質證明8D=AE,利用三角形的三

邊關系，可得2。的最大值為5,利用直角三角形的性質和勾股定理可求即可求解.

【解答】解：如圖1,以C。為邊作等邊△OCE,連接AE.

圖1

；BC=AC,CD=CE,ZBCA^ZDCE=60°,

：.ZBCD=ZACE,

在△BCD和△ACE中，

rBC=AC

<ZBCD=ZACE>

CD=CE

.'.△BCD^AACE(SAS),

:.BD=AE,

在△AOE中，

VAD=3,DE=CD=2,

：.AE^AD+DE,

：.AE^5,

.'.AE的最大值為5,

.?.2。的最大值為5,

此時點。在AE上，

如圖2,過點A作于R

VABCD^AACE,

：.ZBDC=ZE=60°,

AZADF=60°,

VAF±BD,

：.ZDAF=30°,

.-.￡)F=AA￡)=A,AF=MDF=36”

222

:.BF=L

2

：.AB2=AF2+BF2^19,

：.AABC的面積=返4小=,19依,

44

故答案為：吆應.

4

【點評】本題考查等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，三角形的三邊關系等知識，解題的關

鍵是學會添加輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

13.(2025?雁塔區(qū)校級一模)如圖，菱形A8CD的邊長為2,ZBAD=6Qa,將該菱形繞頂點A在平面內

旋轉得到菱形AB'U￡>',若B'C與CD所在直線交于點E,則當CB'最小時，DE的長為

V3-l_.

【考點】旋轉的性質；等邊三角形的判定與性質；勾股定理；菱形的性質.

【專題】平移、旋轉與對稱；運算能力.

【答案】Vs-i-

【分析】如圖，A、4、。三點共線，連接AC,BD,相交于點O,先推出當A、B'、。三點共線時,

CB'最小，根據菱形的性質以及旋轉的性質可得/瓦^=/。4。=/478=/40)=30°,AC=2?，

ZAB1C=ZABC=120°,AB'=AB=2,進而可得CB'=273-2-ZCEB1=90°,則

E=￡B，C=V§-PCE=FB'E=3-、6，根據。E=C。-CE可得答案.

【解答】解：如圖，A、B'>C三點共線，連接AC,BD,相交于點。，

-------刁C

D'

當A、夕、C三點共線時，CB'=AC-AB',

當A、夕、C三點不共線時，A、4、C三點構成三角形48'C,貝!JCB'>AC-AB',

...當A、B'.C三點共線時，CB，最小，

由題意可得：

ZBAC^ZCAD=ZACB=ZACD=30°,ZABC=120°,AC±BD,OA=OC,OB=OD,AB=AD=

CD=2,

.,.△A3。為等邊三角形，

:.BD=2,

：.OD=1,

0A=VAD2-0D2=V3;

???AC=2?，

由旋轉得，ZAB'C=NABC=120°,AB'=AB=2,

???CB'=AC-ABZ=2x/3-2)/CB，￡=180°-ZAB'C=60°,

：.ZCEB'=90°,

???B，E=yB/C=V3-1>

???CE=V3ByE=3-V3>

???DE=CD-CE=2-(3-V3)=V3-1.

故答案為：V3-1.

【點評】本題考查線段最短問題，旋轉的性質、菱形的性質、等邊三角形的判定與性質、勾股定理，熟

練掌握旋轉的性質、菱形的性質、等邊三角形的判定與性質、勾股定理是解答本題的關鍵.

14.（2025?順城區(qū)模擬）△4BC為等邊三角形，D為平面內一點，連接AD,將A。繞點。順時針旋轉60°,

得到線段。E,連8。，CE.當NZMC=30°,比）=26，AO=4時，CE=2或W7.

【考點】旋轉的性質；等邊三角形的判定與性質；勾股定理.

【專題】平移、旋轉與對稱；運算能力.

【答案】2或W?

【分析】分在AC的左側和右側兩種情況討論求解即可.

【解答】解：如圖，當AO在AC的左側時，

由題意可得：AC=AB=2V3；

由旋轉得方E=D4=4,Z￡>=60°,

△AOE是等邊三角形，

延長AC交。E于點凡

VZr>AC=30°,

AZAFD=90°,

"：AD=4,

：.DF=2,

由勾股定理得，AF=7AD2-DF2=2V3,

而AC=2^，

，點C與點尸重合，

：.AC±DE,

.1

??CE=yDE=2^

如圖，當在AC的右側時,

同理得△AOE是等邊三角形，

???AE=A0=4,ZDAE=60°,

VZZ)AC=30°，

：.ZCAE=90°,

CE=VCA^+AP=2V7>

故答案為：2或W7.

【點評】本題主要考查等邊三角形的判定與性質，旋轉的性質以及勾股定理等知識，正確進行計算是解

題關鍵.

15.（2025?信陽模擬）如圖，在菱形A8CQ中，AB=AC=3,對角線AC,8。交于點。，E是8。上的一

個動點，將線段AE繞點A逆時針旋轉到AR且連接EF,DF,若△￡>￡：/是直角三角

形，則BE的長為、伍或2y.

【考點】旋轉的性質；全等三角形的判定與性質；直角三角形的性質；菱形的性質.

【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；平移、旋轉與對稱；推理能力.

【答案】?日或2%.

【分析】根據菱形的性質得到AB=BC,AC±BD,推出△ABC是等邊三角形，得到/ABC=60。，Z

BAD=120°,求得BD=3?,NA2E=NA￡>B=30°,根據旋轉的性質得到AE=AR根據全等三角

形的性質得到ZADF=ZABE=30°,得到NEQF是定值，若是直角三角形，分兩種

情況，①當/EFD=90°時，DE=2DF=2BE,②當/DEF=90°時，DE=LDF=LBE,貝!|

222

=3?,

于是得到結論.

【解答】

解：：四邊形ABC。是菱形，

C.AB^BC,AC±BD,

'：AB=AC,

：.AB=BC=AC,

則AABC是等邊三角形，

AZABC=60°,ZBA￡>=120°,

AZABD=30°,

'：AB=3,

，AO=W,

2

：.BD=3-J3,ZABE=ZADB=30°,

:將線段AE繞點A逆時針旋轉到AF,

：.AE=AF,

；NEAF=/BAD,AB^AD,

：.AABE^AADF(SAS),

:.BE=DF,NADF=NABE=30°,

：.ZEDF=60°,

尸是定值，

若△。跖是直角三角形，分兩種情況，

①當/￡即=90。時，DE=2DF=2BE,

則BD=3BE=343-

:.BE=M；

②當/DEF=90°時，DE=1DF=1BE,貝U8。=38￡=3百，

222

：.BE=2-/3-

綜上所述，BE的長為?或2?.

故答案為：?或2?.

【點評】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，菱形的性質，直角三角形的性質，熟練掌

握各知識點是解題的關鍵.

三.解答題(共5小題)

16.(2024?涼州區(qū)二模)如圖，在△OA8中，。4=。8=2,ZAOB=90°,將△。48繞點。逆時針旋轉

角a(0°<a<90°)得到△AO9,連接A'A,A'B.

(1)當a=30°時，求48的長度；

(2)當時，求a的度數.

B'

【考點】旋轉的性質；等腰直角三角形.

【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】(1)4B=2；

(2)a=45°.

【分析】(1)由旋轉的性質可得AO=AO,/AOA=30°,可證△HOB是等邊三角形，可得AB=BO

=2；

(2)由“SSS”可證△AOB0Z\AOA,可得N3OA=/AOA=45°,即可求解.

【解答】解：⑴:將△0A8繞點。逆時針旋轉角a(0°<a<90°)得到△AOS',

J.A'O^AO,NAOA=30°,

；./AOB=60°,

.,.△AOB是等邊三角形，

：.A'B=BO=2；

(2)在△A08和△AOA中，

AO=BO

<￡0=A'0)

AA'=A'B

.?.△A'OB^AAOA'(SSS),

：.ZBOA'=ZAOA'=45°,

，a=45°.

【點評】本題考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的性質，掌握旋轉的性質是解題的關鍵.

17.(2024?大興區(qū)二模)如圖，在△ABC中，AB^AC,ZBAC^2a,N是8C中點，尸為NC上一點，連

接AP,。為ABA尸內一點，且/D4P=a，點。關于直線AP的對稱點為點E,DE與AP交于WM,

連接8Z),CE.

(1)依題意補全圖形；

(2)求證：BD=EC；

(3)連接MN,若NDBC+NECB=9Q°,用等式表示線段8。與MN的數量關系，并證明.

6W

【考點】幾何變換綜合題.

【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉與對稱；推理能力.

【答案】見試題解答內容

【分析】(1)畫出圖形即可；

(2)由“SAS”可證△AO8g△AEC,可得BD=EC；

(3)由三角形中位線可得MN=^EF，由“SAS”可得△BNZ涇△CNR可得CF=BD,ZDBC=ZFCN.由

等腰直角三角形的性質可得EF=7歷CE，即可求解.

【解答】解：(1)依題意補全圖形：

(2)證明：連接AE.

A

BNPC

???點。關于直線AP的對稱點為E,ZDAP=af

：.ZEAP=ZDAP=a,AD=AE.

：.ZDAC-^-ZEAC=2a.

,/ZBAC=2a,

：.ZDAC+ZDAB=2a.

：.ZDAB=ZEAC,

VAB=AC,

???AADB^AAEC(SAS),

：.BD=EC；

(3)BD=^2MN,理由如下：

F

連接Z)N并延長到尸，使得NF=ND,連接尸C,EF.

???點N是。尸中點.

??,點。關于直線A尸的對稱點為瓦。石與AP交于

???點M是。￡中點.

???MN為ADEF的中位線.

.1

??MN=yEF-

???點N是中點，

：.NB=NC.

■:/BND=/CNF,NF=ND,

:?△BND"ACNF(SAS),

；.CF=BD,ZDBC=ZFCN.

又?：BD=CE,

：.CF=CE,

'：ZDBC+ZBCE=90°,

:*NFCN+/BCE=9Q°.

：.ZECF=90°.

：./CEF=/CFE=45°.

EF=V2CE.

,：BD=CE,MN-^EF，

BD=&MN-

【點評】本題幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，軸對稱的性質，三角形中位線定理等

知識，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵.

18.(2024?涼州區(qū)二模)如圖，方格紙中的每個小正方形的邊長都為1,在建立平面直角坐標系后，△ABC

的頂點均在格點上.

(1)以點A為旋轉中心，將△ABC繞點A順時針旋轉90°得到畫出△AB1C1.

(2)畫出△ABC關于原點。成中心對稱的△A282C2.

【考點】作圖-旋轉變換.

【專題】作圖題；幾何直觀.

【答案】(1)(2)見解析.

【分析】(1)利用旋轉變換的性質分別作出bC的對應點的，C1即可；

(2)利用中心對稱變換的性質分別作出A,B,C的對應點A2,m，C2即可.

【解答】解：(1)如圖，△A810即為所求；

(2)如圖，282c2即為所求.

yjk

【點評】本題考查作圖-旋轉變換，解題的關鍵是掌握旋轉變換的性質.

19.（2024?墾利區(qū)三模）已知NAO2=/COZ）=90°，04=02=10,OC=O￡>=8.

(1)如圖1,連接AC、8。，問AC與8。相等嗎？并說明理由.

(2)若將△COO繞點。逆時針旋轉，如圖2,當點C恰好在邊上時，請寫出AC、BC、OC之間

關系，并說明理由.

(3)若△COD繞點。旋轉，當NAOC=15°時，直線CZ)與直線AO交于點R求A尸的長.

備用圖

【考點】幾何變換綜合題.

【專題】幾何綜合題；推理能力.

【答案】見試題解答內容

【分析】(1)由“SAS”可證△AOCgZXB。。，可得AC=B。，ZCAO=ZDBO；

(2)連接由“SAS”可證可得AC=B。，ZCAO=ZDBO=45°,由勾股定理

可得結論;

(3)分兩種情況討論，由等腰直角三角形的性質和解直角三角形求的長，即可求解.

【解答】解：(1)結論：AC=BD.

理由：VZAOB=ZCOD=90°.

/.ZAOC=Z