專題10圓中的證明與計算問題

目錄

熱點題型歸納..............................................................................................1

題型01圓的性質(zhì)及角度和線段的計算.......................................................................I

題型02弧長和面積問題....................................................................................5

題型03切線的判定定理及性質(zhì)應(yīng)用.........................................................................8

題型04相交弦定理.......................................................................................11

題型05切割線定理.......................................................................................13

題型06切線長定理.......................................................................................15

題型07弦切角定理.......................................................................................16

題型08隱圓（定點定長型、定弦定角型、對角互補(bǔ)型）.....................................................18

題型09圓與相似綜合.....................................................................................20

題型10圓與全等綜合.....................................................................................22

題型11圓與三角函數(shù)綜合................................................................................24

中考練場.................................................................................................26

題型01圓的性質(zhì)及角度和線段的計算

01題型綜述

圓的性質(zhì)及角度和線段的計算是初中數(shù)學(xué)幾何板塊中綜合性較強(qiáng)的關(guān)鍵內(nèi)容，它借助圓的獨(dú)特性質(zhì)，如垂徑定理、

圓周角定理等，深度考查學(xué)生對幾何知識的綜合運(yùn)用能力，在中考數(shù)學(xué)中分值占比約6%-10%o

1.考查重點：重點考查垂徑定理（垂直于弦的直徑平分弦且平分這條弦所對的兩條弧）、圓周角定理（一條弧所對的

圓周角等于它所對的圓心角的一半）等圓的核心性質(zhì)在角度和線段計算中的應(yīng)用，以及利用這些性質(zhì)進(jìn)行幾何證明。

2.高頻題型：高頻題型有已知圓的半徑、弦長等條件，運(yùn)用垂徑定理求弦心距、弧長等線段長度；根據(jù)圓周角與圓心

角關(guān)系，結(jié)合圓內(nèi)其他角度條件，計算特定角度大小；在圓與三角形、四邊形等組合圖形中，綜合運(yùn)用圓的性質(zhì)和其

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他圖形性質(zhì)，計算線段長度和角度。

3.高頻考點：考點集中在垂徑定理、圓周角定理、圓心角定理等圓的基本定理應(yīng)用，圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)（對角互補(bǔ)）

的運(yùn)用，以及切線的性質(zhì)與判定（切線垂直于過切點的半徑）在解決角度和線段問題中的體現(xiàn)。

4.能力要求：要求學(xué)生具備較強(qiáng)的邏輯推理能力，能依據(jù)已知條件合理選擇圓的性質(zhì)進(jìn)行證明和計算；擁有良好的圖

形識別與分析能力，從復(fù)雜圖形中提煉出與圓相關(guān)的幾何關(guān)系；掌握扎實的運(yùn)算能力，尤其是在涉及勾股定理、三角

函數(shù)等知識用于圓中線段和角度計算時。

5.易錯點：易錯點在于對垂徑定理、圓周角定理等圓的性質(zhì)理解不透徹，應(yīng)用時條件使用錯誤；在計算過程中，因?qū)?/p>

圓內(nèi)復(fù)雜的角度和線段關(guān)系梳理不清，導(dǎo)致計算錯誤；對圓與其他圖形綜合問題中，不能有效整合各類圖形性質(zhì)，思

路受阻。

02解題攻略

【提分秘籍】

1.圣徑正理：

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。

2.垂徑定理的推論：

推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。

推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。

推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。

垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題。

3.圓心角、弦以及弧之間的關(guān)系：

①定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。

②推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組

量都分別相等。

說明：同一條弦對應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或

劣弧。

4.圓周角定理：

在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半。

5.圓周角定理的推論：

半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦是直徑。

【典例分析】

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例1.（2024?海南?中考真題）如圖，40是半圓。的直徑，點8、C在半圓上，且凝=發(fā):=而，點P在也上，若

ZPCS=130°,貝！|NPA4等于（）

C.90°D.70°

例2.（2024?山東濱州?中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。。，若四邊形O4BC是菱形，則.

例3.（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）如圖，在。。中，直徑48LCD于點E,CD=6,BE=1,則弦/C的長為

例4.（2024?安徽?中考真題）如圖，是V48c的外接圓，。是直徑48上一點，44CD的平分線交N8于點E,交O。

于另一點尸，F(xiàn)A=FE.

(1)求證：CDLAB；

(2)設(shè)廠“"L/8,垂足為M,^OM=OE=\,求/C的長.

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例5.（2024?山東德州?中考真題）如圖，圓O。］與OQ都經(jīng)過，，3兩點，點Q在。Q上，點C是/.8上的一點，連

接/C并延長交。&于點尸，連接NABC,BP.

⑴求證：NACB=2NP

⑵若NP=30。，AB=26.

①求的半徑；

②求圖中陰影部分的面積.

【變式演練】

1.（202牛江蘇南京模擬預(yù)測）如圖，A,B,C是。。上三點，ZAOC=130°,AD是。。的直徑，DA,C8的延長線相

C.35°D.40°

2.（2024?陜西咸陽?模擬預(yù)測）如圖，NB是。。的直徑，弦C。交48于尸點，AP=1,BP=5,ZAPC=45°,則CD

的長為（）

C.277D.V7

3.（2024?安徽阜陽?一模）如圖，C為O。上的一點，直徑/8=26,NNC8的平分線交O。于點。，交AB于點、E.

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c

D

⑴求8。的長.

（2）若/C=10,求CD的長.

4.（21-22九年級上?河北石家莊?期中）如圖，48是。。的直徑，弦于點￡,點P在。。上，ZPBC=ZC.

⑴求證：CB〃PD；

(2)若8C=12,BE=8,求。。的半徑.

題型02弧長和面積問題

01）題型綜述_________________________________________

圓的弧長和面積問題是初中數(shù)學(xué)幾何板塊中對圓的度量性質(zhì)深入探究的重要內(nèi)容，通過運(yùn)用圓的半徑、圓心角等要

素，結(jié)合特定公式計算弧長與面積，考查學(xué)生對幾何知識的量化應(yīng)用能力，在中考數(shù)學(xué)中分值占比約3%-6%o

I.考查重點：重點考查準(zhǔn)確運(yùn)用弧長公式、扇形面積公式以及圓的面積公式進(jìn)行相關(guān)計算，同時關(guān)注這些公式在實際

情境和組合圖形中的靈活運(yùn)用。

2.高頻題型：高頻題型有已知圓的半徑和圓心角，求弧長或扇形面積；在組合圖形中，如扇形與三角形、四邊形等組

合，通過分析各圖形關(guān)系，計算陰影部分（包含弧長或扇形面積）的面積；根據(jù)實際問題背景，如摩天輪轉(zhuǎn)動的弧長、

噴灌區(qū)域的面積等，建立數(shù)學(xué)模型求解弧長或面積。

3.高頻考點：考點集中在弧長公式、扇形面積公式以及圓面積公式的正確應(yīng)用，圓心角與弧長、扇形面積的對應(yīng)關(guān)系,

以及在不規(guī)則圖形中通過割補(bǔ)法、等積變換等方法轉(zhuǎn)化為可利用公式計算的規(guī)則圖形，求解弧長和面積。

4.能力要求：要求學(xué)生具備較強(qiáng)的公式記憶與應(yīng)用能力，能準(zhǔn)確代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計算；擁有良好的圖形分析能力，從復(fù)

雜圖形中識別出與弧長、面積相關(guān)的部分，并能通過合理的圖形變換簡化計算；掌握一定的數(shù)學(xué)建模能力，將實際問

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題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題求解。

5.易錯點；易錯點在于對弧長和扇形面積公式記憶混淆，導(dǎo)致計算錯誤；在代入數(shù)據(jù)時，對圓心角、半徑等數(shù)值讀取

錯誤；在組合圖形中，不能準(zhǔn)確分析各圖形間的關(guān)系，錯誤地進(jìn)行面積的加減計算；對實際問題建模不準(zhǔn)確，忽略問

題中的關(guān)鍵條件。

02解題攻略

【提分秘籍】

11.弧長計算公式：

i

-180°（弧長為？，圓心角度數(shù)為〃，圓的半徑為「）

2.扇形的面積計算公式：

u閥加121

S=--------3=-lr=

360°或2（其中/為扇形的弧長）。

【典例分析】

例1.（2024?山東青島?中考真題）如圖，4B,C,。是。。上的點，半徑。4=3,AB=CD^ZDBC=25°,連接4),

則扇形的面積為（）

B------C

55-55

A.—71B.171C.-713.——兀

48212

例2.（2024?內(nèi)蒙古包頭?中考真題）如圖，在扇形/O3中，ZAOB=[W。，半徑04=3,C是前上一點，連接。C,D

是OC上一點，且。D=DC,連接8D.若則就的長為()

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例3.（2024?河南?中考真題）如圖，OO是邊長為4G的等邊三角形ABC的外接圓，點。是前的中點，連接AD,C。.以

點。為圓心，5。的長為半徑在。。內(nèi)畫弧，則陰影部分的面積為（）

B.4兀D.16兀

【變式演練】

1.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）如圖，為。。的弦，九W垂直平分,垂足為M，交。。于N,若43=26,MN=3,

則々的長是（）

D.乃

2.（2024?四川樂山?模擬預(yù)測）如圖，矩形/BCD中，AB=6,5C=1,現(xiàn)將矩形4BCZ）繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90。后得到

矩形HQC。，則ND邊掃過的面積（陰影部分）為（）

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1111

A.一兀B.-7tC.-7iD.一萬

2345

3.（2024?寧夏銀川?一模）如圖，正方形45。的邊長為4,分別以點4。為圓心，長為半徑畫弧，分別交對角線

4c于點E,F,則圖中陰影部分的面積為（）

A.4?—8B.2萬一4C.71-2D.8萬一16

題型03切線的判定定理及性質(zhì)應(yīng)用

01題型綜述

圓的切線的判定定理及性質(zhì)應(yīng)用是初中數(shù)學(xué)幾何板塊中對圓與直線位置關(guān)系深入研究的核心內(nèi)容，通過判定直線是

否為圓的切線以及運(yùn)用切線性質(zhì)解決幾何問題，考查學(xué)生對幾何定理的理解與綜合運(yùn)用能力，在中考數(shù)學(xué)中分值占比

約4%-7%o

1.考查重點：重點考查對圓的切線判定定理（經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線）和性質(zhì)（圓的

切線垂直于過切點的半徑）的精準(zhǔn)理解與靈活運(yùn)用，以及借助這些定理在復(fù)雜幾何圖形中進(jìn)行推理和計算。

2.高頻題型：高頻題型有證明某條直線是圓的切線；已知直線為圓的切線，利用切線性質(zhì)證明線段垂直、角相等或進(jìn)

行線段長度計算；在圓與三角形、四邊形等組合圖形中，結(jié)合切線判定與性質(zhì)以及其他圖形性質(zhì)，解決綜合性幾何問

題。

3.高頻考點：考點集中在切線判定定理的準(zhǔn)確應(yīng)用，切線性質(zhì)在證明和計算中的體現(xiàn)，切線與圓周角、圓心角等圓中

角的關(guān)系的運(yùn)用。

4.能力要求：要求學(xué)生具備較強(qiáng)的邏輯推理能力，能依據(jù)已知條件合理選擇切線判定定理進(jìn)行證明，熟練運(yùn)用切線性

質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)；擁有敏銳的圖形觀察能力，從復(fù)雜圖形中識別出圓與切線的相關(guān)幾何關(guān)系；掌握扎實的運(yùn)算能力，在涉

及切線的幾何計算中準(zhǔn)確求解。

5.易錯點：易錯點在于判定切線時，對“經(jīng)過半徑外端”和“垂直于半徑”這兩個條件把握不準(zhǔn)確，遺漏或錯用；

在運(yùn)用切線性質(zhì)時，對切點位置判斷錯誤，導(dǎo)致垂直關(guān)系應(yīng)用出錯；在綜合圖形中，不能有效整合切線與其他圖形性

質(zhì)，思路混亂，影響解題。

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02解題攻略

【提分秘籍】

i［一場H的桂面;

①圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。

②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點。

③經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。

運(yùn)用切線的性質(zhì)進(jìn)行計算或證明時，常常作的輔助線是連接圓心和切點，通過構(gòu)造直角三角形或相似三角形

解決問題。

2.切線的判定：

經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

在判定一條直線為圓的切線時，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點時，常過圓心作該直線的垂線段,

證明該線段的長等于半徑，可簡單的說成“無交點，作垂線段，證半徑”；當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公

共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線，可簡單地說成“有交點，作半徑，證垂直”。

【典例分析】

例1.（2024?江蘇宿遷?中考真題）如圖，在。。中，48是直徑，是弦，且垂足為￡,AB=20,CD=12,

在胡的延長線上取一點尸，連接CF,使NFCD=2NB.

⑴求證：C戶是OO的切線;

⑵求好的長.

例2.（2024?湖北?中考真題）如圖，在Rta/BC中，4C2=90。，點E在/C上，以CE為直徑的O。經(jīng)過上的點。,

與05交于點廠，S.BD=BC.

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B

⑴求證：是OO的切線；

⑵若40=6，AE=1,求3的長.

例3.（2024?廣東深圳?中考真題）如圖，在△48。中，AB=BD,OO為△N3D的外接圓，8E為。。的切線，/C為。。

的直徑，連接。。并延長交BE于點瓦

(1)求證：DELBE；

Q)若AB=5^,BE=5,求。。的半徑.

例4.（2024?內(nèi)蒙古通遼?中考真題）如圖，V/5C中，NNCS=90。，點。為NC邊上一點，以點。為圓心，0c為半徑

作圓與相切于點。，連接CD.

⑴求證：NABC=2N4CD；

(2)若/C=8,BC=6,求。。的半徑.

【變式演練】

1.（2025?湖北?一模）如圖，NB是。。的直徑，點E在。。上，連接/E和平分//BE交。。于點C,過點C作

CDBE,交BE的延長線于點。，連接CE.

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(1)請判斷直線。與O。的位置關(guān)系，并說明理由；

3

(2)若sin/ECO=qCE=5,求。。的半徑.

2.(2025?湖南長沙?一模)如圖，C是以NB為直徑的OO上一點，尸為病的中點，過點C作。。的切線交。尸的延長

線于點E,連接BE,BC,BC交OF于點D.

E、

(1)求證：BE是。。的切線；

(2)若DF=2,ZEOB=60°,求線段OE的長；

⑶在(2)的條件下，求陰影部分的面積.

3.(2025?陜西西安?二模)如圖，已知48是。。的直徑，直線DC是。。的切線，切點為C,AE1DC,垂足為E,

連接/C.

(1)求證：AC平分NBAE；

(2)若NC=6,tanZACE=^,求OO的半徑.

4.(2025?四川?模擬預(yù)測)如圖，尸為O。外一點，尸/、為。。的切線，切點分別為A、B,直線尸。交。。于點。、

E,交于點C.

(1)求證：ZADE=ZPAE；

⑵若PE=4,CD=6,求CE的長.

題型04相交弦定理

01題型綜述

圓的相交弦定理是初中數(shù)學(xué)幾何板塊中研究圓內(nèi)線段關(guān)系的重要定理，它揭示了圓內(nèi)兩條相交弦所分線段之間的數(shù)

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量關(guān)系，豐富了圓的幾何性質(zhì)內(nèi)容，在中考數(shù)學(xué)中分值占比約2%-4%。

02解題攻略

【提分秘籍】

「洞夯藐面

i

圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。

i

幾何語言：若弦工&8交于點E,則尸4尸3=尸（7尸0。

I

推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。

I

i

幾何語言：若是直徑，CD垂直53于點尸，則戶（72=為2=EAP5。

【典例分析】

例1.（24-25九年級上?北京房山?期末）如圖，為。。的直徑，弦CDL48于點若48=10,CD=8,則OH的

長為（）

A

A.2B.3C.4D.5

【變式演練】

1.（24-25九年級上?湖南長沙?期中）如圖，O。的直徑垂直于弦O垂足為E,44=30。,48=4,則CD的長為（）

A.2B.2gC.4D.4A/3

2.（2025?廣東廣州?一模）如圖，。4。民。。都是。。的半徑，/C,08交于點。.若/O=CD=3,OO=4,則8。的長

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為（）

A.4B.1C.3D.2

3.（2025?陜西西安?一模）如圖，48是。。的直徑，OD垂直于弦/C于點的延長線交。。于點￡,DE=3,

AC=26,則8C的長是（）

A.1B.2C.V2D.4

題型05切割線定理

Oil題型綜述

圓的切割線定理是初中數(shù)學(xué)幾何板塊中深入探討圓與直線位置關(guān)系時涉及線段數(shù)量關(guān)系的關(guān)鍵定理，它通過揭示從

圓外一點引圓的切線和割線時，切線長與割線各線段長之間的聯(lián)系，拓展了圓的幾何性質(zhì)應(yīng)用范疇，在中考數(shù)學(xué)中分

值占比約2%-4%。

02解題攻略

【提分秘籍】

切割線定理：

從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。

幾何語言：

「PT切。。于點T,PBA是。0的割線

.,,PT2=PA*PB（切割線定理）。

推論：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。

幾何語言：

VPBA,PDC是。O的割線

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.?.PD?PC=PA?PB

由上可知：PT2=PA?PB=PUPD。

【典例分析】

例1.（2024?山西?模擬預(yù)測）如圖，N8與O。相切于點/，點E在。。上，連接BE,BE與。。相交于點C,與/O相

交于點。，已知乙4CE=45。砂=2DE,4B=6,則陰影部分的面積為（）

9兀33兀3》3兀39兀3

A.--------B.--------C.--------D.--------

42422222

【變式演練】

1.（20-21九年級上?浙江寧波?期中）如圖，在O。中，E是直徑4S延長線上一點，CE切O。于點C,若CE=2BE,

則/E的余弦值為（）

,3434

A.—B.-C.—D.一

5543

2.（2024?重慶銅梁?一模）如圖，NB是。。的切線，A為切點，08交OO于點C,若。1=5,48=12,則8c的長

為（）

AB

A.5B.7C.8D.13

3.（2024?山東東營?模擬預(yù)測）如圖，為。。的直徑，CD與。。相切于點C,交A8的延長線于點。，且C4=C￡>.若

=3,則。。半徑長為（）

14/138

、/c

A.2B.C.3百D.273

題型06切線長定理

01題型綜述

圓的切線長定理是初中數(shù)學(xué)幾何板塊里研究圓與直線特殊位置關(guān)系時，涉及線段等量關(guān)系的重要定理，它明確了從

圓外一點引圓的兩條切線，切線長相等這一特性，豐富了圓的幾何知識應(yīng)用，在中考數(shù)學(xué)中分值占比約2%-5%。

02解題攻略

【提分秘籍】

「場殘隹兔逋二——

i

（1）切線長定義：經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長。

i

（2）切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線，平分兩條切線

|的夾角。

〒典初分布f

例1.（2024?重慶?三模）如圖，AB、/C是。。的切線，B、C為切點，。是。。上一點，連接3。、CD,若NBDC=60°,

/3=3,則。。的半徑長為（）

A

B

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A.-J3B.3A/5C.3D.—

【變式演練】

1.（2024?湖南衡陽?模擬預(yù)測）如圖所示，V45C的內(nèi)切圓。。分別與4B,BC,/C相切于點。，E,F,且40=6,

BE=4,CF=8,則A/BC的周長為（）

2.（2024?四川南充?三模）如圖，過。。外一點尸作。。的兩條切線尸N,PB,切點分別為A,B,PO馬AB交于點D,

與48交于點E,NC為。。的直徑.若PA=AB,BC=6,則的長為（）

A.2B.3C.V3D.—

2

3.（2024?四川德陽?二模）如圖，。。內(nèi)切于正方形ABC。，邊AD、CD分別與切于點E、F,點、M、N分別在線

段￡?E、￡＞尸上，且與。。相切.若的面積為4,則。。的半徑為（）

B.V5C.272D.2

題型07弦切角定理

01題型綜述

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圓的弦切角定理是初中數(shù)學(xué)幾何板塊中探究圓與直線所成特殊角度關(guān)系的重要定理，它揭示了弦切角與所夾弧所對

圓周角之間的等量聯(lián)系，為解決圓中角度相關(guān)問題提供了關(guān)鍵依據(jù)，在中考數(shù)學(xué)中分值占比約2%-4%。

02解題攻略

【提分秘籍】

|弦切角定理：

（1）弦切角的定義：如圖像/ACP這樣，頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。

I

（2）弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半。等于這條弧所對的圓周角。

i

|BPZPCA=ZPBCo

【典例分析】

例1.（2024?廣東?模擬預(yù)測）如圖，48是。。的直徑，點C,。在。。上，且//DC=45。，過點C作。。的切線，交

DA的延長線于點E,則N/CE的度數(shù)為（

C.25°D.15°

【變式演練】

1.（2024?河南關(guān)B州?三模）如圖，在OO中，48為直徑，BC為弦，CD為切線，連接。C.若/BCD=60。，貝！J//OC

的度數(shù)為（）

A.40°B.50°C.60°D.100°

2.（2024?重慶?模擬預(yù)測）如圖，V/2C內(nèi)接于O。，42為O。的直徑，直線CO與O。相切于點C,過點。作

交CD于點E,若NB4c=32°,則/OEC的度數(shù)為（）

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C.26°D.58°

題型08隱圓（定點定長型、定弦定角型、對角互補(bǔ)型）

01。題型綜述_________________________________________

隱圓（定點定長型、定弦定角型、對角互補(bǔ)型）是初中數(shù)學(xué)幾何板塊中具有較高綜合性與技巧性的內(nèi)容，它將圓的

概念巧妙隱藏于各類幾何圖形中，考查學(xué)生挖掘潛在圓的特征并運(yùn)用圓的知識解決問題的能力，在中考數(shù)學(xué)中分值占

比約3%-6%=

02解題攻略

【提分秘籍】

原面稹泡是指茬二近冗而詞藏不「遍訪而嗦徒時以爰頊薦在二不慝面的南「南角面的性質(zhì)栗解獲詞函「蓿血皈醺直

模型有以下幾種類型：

（1）定點定長型：當(dāng)題目中出現(xiàn)一個定點和一個動點，且動點到定點的距離始終保持不變時，那么這個動點的軌跡就

是一個以定點為圓心，定長為半徑的圓。例如，在平面直角坐標(biāo)系中，點/（3,0）,點尸（工,歷滿足上4=5,根據(jù)兩點

間距離公式J（x—3）2+y2=5,可知點尸的軌跡是以4（3,0）為圓心，5為半徑的圓。

（2）定弦定角型：如果一條線段（定弦）所對的角始終為一個固定的角度（定角），那么這個角的頂點的軌跡是一個

圓。特別地，當(dāng)定角為90°時，定弦就是圓的直徑。例如，在A/BC中，AB=6,ZC=60°,那么點。的軌跡是一

段圓弧。因為同弧所對的圓周角相等，所以滿足條件的點C都在以Z8為弦，圓周角為60°的圓上。

（3）對角互補(bǔ)型：若四邊形的一組對角互補(bǔ)，那么這個四邊形的四個頂點共圓。例如，在四邊形/8C。中，

NZ+NC=180°，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可知/BCD四點共圓。此時，四邊形的外接圓直徑與四邊形的

邊或?qū)蔷€存在一定的關(guān)系，可通過正弦定理等知識來求解相關(guān)線段的長度。

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【典例分析】

例1.（2024?吉林長春?模擬預(yù)測）兩塊直角三角板（/胡。=4a>=90。,/3=/。,/。3。=30。）按如圖方式放置，AC,

AD相交于點O,給出下面四個結(jié)論：①點A、3、C、。在同一個圓上；②ZAOB=75。；③AC=BD；?AB=42CD.1.

述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是.

例2.（2023九年級上?全國?專題練習(xí)）如圖，在V/8C中，ZACB=90°,AC=2,BC=4,AE=3,連接BE,以BE為斜

邊在BE的右側(cè)作等腰直角VADE,P是NE邊上的一點，連接尸C和CA,當(dāng)"3）=45。，則尸E長為.

【變式演練】

1.如圖，將VABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)25。得到八AEF,EF交BC于點N,連接AN,若NC=57。,則ZANB=.

2.（2024?山東濟(jì)南三模）如圖，在矩形/BCD中，ZABD=60°,BE=2/E,點尸在4D邊上運(yùn)動，以線段EF為斜

邊作其中點M與點N位于E尸兩側(cè)，NMEF=30°.連接DM,當(dāng)DM最小時，一=

AD

3.（2024?廣東珠海?一模）如圖，在Rt448C中，NACB=9Q°,BC=3,AC=4,點P為平面內(nèi)一點，且NCPB=N4,

過。作C0，CP交口的延長線于點。，則CQ的最大值為.

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R

B

Q

4.（2024?安徽黃山二模）如圖，在R￡/3C中，NACB=9Q°,將V/3C繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到ADEC,8c和DE相

交于點。，點。落在線段N8上，連接3E.

（1）若N48c=20。，貝Ij/8CE=；

（2）若BE=BD,則幻"ZABC=.

題型09圓與相似綜合

01題型綜述

圓與相似綜合是初中數(shù)學(xué)幾何領(lǐng)域中極具綜合性與挑戰(zhàn)性的內(nèi)容，它將圓獨(dú)特的性質(zhì)，如圓周角定理、切線性質(zhì)等,

與相似三角形的判定和性質(zhì)緊密結(jié)合，考查學(xué)生對不同幾何知識的融會貫通能力，在中考數(shù)學(xué)中分值占比約4%-7%o

1.考查重點：重點考查在圓的背景下，通過尋找、構(gòu)造相似三角形，運(yùn)用相似三角形對應(yīng)邊成比例、對應(yīng)角相等的性

質(zhì)，結(jié)合圓的弦、弧、角之間的關(guān)系，解決線段長度計算、角度求解以及幾何證明等問題。

2.高頻題型：高頻題型有已知圓中弦、弧、切線等條件，證明三角形相似，并利用相似比計算相關(guān)線段長度；根據(jù)圓

內(nèi)角度關(guān)系，推出相似三角形，進(jìn)而求解角度大小；在圓與多邊形的組合圖形中，借助相似三角形性質(zhì)，判斷圖形間

的位置關(guān)系或進(jìn)行面積計算。

3.高頻考點：考點集中在相似三角形的判定定理（兩角對應(yīng)相等、三邊對應(yīng)成比例、兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等）在

圓的情境中的應(yīng)用，圓的性質(zhì)（如圓周角定理、弦切角定理、切線長定理）與相似三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用，以及通過

添加輔助線（如連接半徑、作弦的垂線等）構(gòu)建相似三角形的幾何模型。

4.能力要求：要求學(xué)生具備敏銳的圖形觀察能力，能從復(fù)雜的圓相關(guān)圖形中識別出相似三角形的基本模型；擁有較強(qiáng)

的邏輯推理能力，依據(jù)圓的性質(zhì)和已知條件，合理推導(dǎo)相似三角形的存在及相關(guān)性質(zhì)；掌握扎實的運(yùn)算能力，準(zhǔn)確處

理相似比與圓中線段、角度的計算。

5.易錯點：易錯點在于在復(fù)雜圓圖形中，難以準(zhǔn)確找出相似三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角，導(dǎo)致相似比計算錯誤；對圓的

性質(zhì)與相似三角形性質(zhì)的結(jié)合運(yùn)用不夠熟練，混淆相關(guān)定理的應(yīng)用條件；添加輔助線不合理，無法有效構(gòu)建相似三角

形模型，影響解題思路。

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02解題攻略

【典例分析】

例1.（2024?四川眉山?中考真題）如圖，3E是。。的直徑，點A在。O上，點C在BE的延長線上，NEAC=NABC,AD

平分NA4E交O。于點。，連結(jié)。E.

⑴求證：C/是O。的切線；

（2）當(dāng)/。=8,<?￡=4時，求。E的長.

例2.（2024?陜西?中考真題）如圖，直線/與。。相切于點/,NB是。。的直徑，點C,。在/上，且位于點/兩側(cè),

連接3C,BD,分別與OO交于點E,F,連接ERAF.

(1)求證：NBAF=NCDB；

⑵若。。的半徑r=6,AD=9,/C=12,求EF的長.

【變式演練】

1.（2024?內(nèi)蒙古包頭?中考真題）如圖，NB是OO的直徑，8C,2。是。。的兩條弦，點。與點。在48的兩側(cè)，E是OB

上一點（。￡>8￡）,連接OC,C￡,且NBOC=2NBCE.

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(1)如圖1,若8￡=1,CE=0求OO的半徑；

(2)如圖2,若BD=20E,求證：BD//OC.(請用兩種證法解答)

2.(2025?安徽淮北?一模)如圖，經(jīng)過VN8C的頂點8,與邊BA,8c分別交于點￡,F,與邊NC相切于點。，連

接DE,DF,BD,且DE=DF.

(1)如圖1,求證：AD2=AE-AB;

(2)如圖2,連接斯，若8。經(jīng)過圓心。，且ND=6,AE=4,求E尸的長.

3.(2024?福建?中考真題)如圖，在V/8C中，ZBAC=90°,AB=AC,以48為直徑的OO交8C于點。，AELOC,

垂足為E,BE的延長線交介于點尸.

(2)求證：△AEBsLBEC；

(3)求證：4D與所互相平分.

題型10圓與全等綜合

01題型綜述________________________________________

圓與全等綜合是初中數(shù)學(xué)幾何板塊中具有較高思維要求的內(nèi)容，它將圓的性質(zhì)，諸如半徑相等、同弧所對圓周角相

等、切線性質(zhì)等，與全等三角形的判定和性質(zhì)深度關(guān)聯(lián)，著重考查學(xué)生對不同幾何知識的整合運(yùn)用能力，在中考數(shù)學(xué)

中分值占比約3%-6%o

I.考查重點：重點考查在圓的環(huán)境下，通過挖掘圓的特性構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等

的性質(zhì)，結(jié)合圓內(nèi)弦、弧、角的關(guān)系，完成線段長度計算、角度求解以及幾何證明等問題。

2.高頻題型：高頻題型包括依據(jù)圓中半徑、弦長、角度等條件證明三角形全等，進(jìn)而計算相關(guān)線段長度；根據(jù)圓內(nèi)的

特殊角度關(guān)系，構(gòu)造全等三角形來推導(dǎo)其他角度大??；在圓與多邊形構(gòu)成的復(fù)合圖形中，借助全等三角形性質(zhì)判斷圖

形間的位置關(guān)系或者進(jìn)行面積計算。

3.高頻考點：考點集中在全等三角形判定定理(SSS、SAS、ASA、AAS、HL)在圓的情境下的運(yùn)用，圓的性質(zhì)(如

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垂徑定理、圓周角定理、切線長定理）與全等三角形性質(zhì)的協(xié)同應(yīng)用，以及通過合理添加輔助線（例如連接圓心與弦

的端點、作過切點的半徑等）構(gòu)建全等三角形的幾何模型。

4.能力要求：要求學(xué)生具備敏銳的圖形感知能力，能夠從復(fù)雜的圓相關(guān)圖形中捕捉到全等三角形的線索；擁有較強(qiáng)的

邏輯推導(dǎo)能力，依據(jù)圓的性質(zhì)與已知條件，有條不紊地推導(dǎo)出全等三角形的存在及相關(guān)性質(zhì)；掌握扎實的運(yùn)算技能，

準(zhǔn)確處理全等三角形對應(yīng)邊、角與圓中線段、角度的計算。

5.易錯點：易錯點在于在復(fù)雜的圓圖形中，難以精準(zhǔn)確定全等三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角，致使全等判定錯誤；對圓的

性質(zhì)與全等三角形性質(zhì)的結(jié)合運(yùn)用不夠嫻熟，混淆相關(guān)定理的適用條件；添加輔助線缺乏針對性，無法有效構(gòu)建全等

三角形模型，阻礙解題思路。

02解題攻略

【典例分析】

例1.（2025?貴州?模擬預(yù)測）如圖，將半徑為5的扇形048繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)&得到扇形OCT）.0c交48于點G,OB

交.CD于點E,48與相交于點足

一飛

：O__/D

C

（1）//與ND的數(shù)量關(guān)系是//ZD；

⑵在（1）的條件下，求證：ZS/OG四

⑶當(dāng)ND為直徑時，以O(shè)E為半徑的。。切CD于點E,求e的值及優(yōu)弧片的長.

例2.（2025?江蘇鎮(zhèn)江?模擬預(yù)測）如圖，已知正方形/BCD,以邊N8為直徑作。。，點￡是邊8c上一點（不與8,

C重合），將正方形沿DE折疊，使得點。恰好落在。。上.

AD

EC

（1）判斷直線。C'與的位置關(guān)系，并說明理由;

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（2）若正方形的邊長為2,求線段BE的長.

【變式演練】

1.（2025?湖北?一模）如圖，AB,3C分別與OO相切于￡,尸兩點，點G是圓上一點，直線CD過點G,且〃/8,

CD交BC于C點、,S.BE+CG=BC.

⑴求證：CD是。。的切線；

⑵若。8=6,ZBCD=6Q°,求圖中陰影部分的面積（保留根號和兀）.

2.（2025?河北?模擬預(yù)測）如圖1,在V/8C中，ZACB=90°,AC=BC=4s,以點8為圓心，以近為半徑作圓.

⑴設(shè)點P為。3上的一個動點，線段C尸繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段CA,連接DB,PB,如圖2,求證:

AD=BP；

⑵在（1）的條件下，若NCP8=135。，求AD的長；

⑶在（1）的條件下，當(dāng)NPBC=。時，有最大值，且最大值為；當(dāng)NPBC=。時，AD有最小值,

且最小值為.

題型11圓與三角函數(shù)綜合

01題型綜述

圓與三角函數(shù)綜合是初中數(shù)學(xué)幾何與代數(shù)緊密結(jié)合的關(guān)鍵內(nèi)容，它借助圓的半徑、弦、弧所構(gòu)成的幾何圖形，運(yùn)用

三角函數(shù)知識來量化角度與線段之間的關(guān)系，全方位考查學(xué)生跨知識板塊的運(yùn)用能力，在中考數(shù)學(xué)中分值占比約

4%-7%o

1.考查重點：重點考查在圓的圖形背景下，通過構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）定義，將圓中

的半徑、弦長、圓心角、圓周角等元素與三角函數(shù)值建立聯(lián)系，進(jìn)行角度和線段長度的求解以及相關(guān)幾何證明。

2.高頻題型：高頻題型有已知圓的半徑及部分角度，利用三角函數(shù)求弦長；根據(jù)圓中弦長、弧長等條件，借助三角函

數(shù)計算圓心角、圓周角大?。辉趫A與多邊形組合圖形中，結(jié)合圓的性質(zhì)與三角函數(shù)知識，計算圖形面積或線段間的比

例關(guān)系。

3.高頻考點：考點集中在三角函數(shù)定義在圓中的應(yīng)用，圓的性質(zhì)（垂徑定理、圓周角定理等）與三角函數(shù)知識的融合,

以及通過添加輔助線（如作圓的直徑、弦的垂線等）構(gòu)造可運(yùn)用三角函數(shù)的直角三角形模型。

4.能力要求：要求學(xué)生具備良好的知識遷移能力，將三角函數(shù)知識靈活運(yùn)用到圓的問題情境中；擁有較強(qiáng)的圖形構(gòu)建

能力，能從復(fù)雜圓圖形中識別或構(gòu)造出適用三角函數(shù)的直角三角形；掌握扎實的運(yùn)算能力，準(zhǔn)確進(jìn)行三角函數(shù)值與圓

中幾何量的計算。

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5.易錯點：易錯點在于在圓中構(gòu)造直角三角形時，對直角邊、斜邊與圓中線段的對應(yīng)關(guān)系判斷錯誤，導(dǎo)致三角函數(shù)選

用不當(dāng)；混淆圓的性質(zhì)與三角函數(shù)的應(yīng)用條件，在計算過程中出錯；添加輔助線不合理，無法有效構(gòu)建運(yùn)用三角函數(shù)

的模型，影響解題思路。

02解題攻略

【典例分析】

例1.（2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）如圖，V/BC內(nèi)接于。。，48為。。的直徑，于點。，將△CD8沿

5c所在的直線翻折，得到點。的對應(yīng)點為E,延長EC交A4的延長線于點F

⑴求證：C戶是OO的切線；

（2）若sin/CB8=二，48=8,求圖中陰影部分的面積.

2

例2.（2024?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題）如圖，V48c中，ZACB=90°,AC=BC,經(jīng)過2,C兩點，與斜邊交于

點E,連接CO并延長交48于點交O。于點。，過點E作所〃CD,交/C于點尸.

（1）求證：￡尸是OO的切線；

Q）若BM=4亞,tanZBCD=~,求的長.

【變式演練】

1.（2024?天津?中考真題）已知V/08中，乙48。=30。,/8為。。的弦，直線M7V與。。相切于點C.

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（1）如圖①，若AB〃MN,直徑CE與NB相交于點。，求N/O8和N3CE的大小；

（2）如圖②，若OB〃MN,CG1AB,垂足為G,CG與02相交于點尸,。4=3,求線段。F的長.

2.（2024?黑龍江大慶?中考真題）如圖，"BC為OO的內(nèi)接三角形，AB為。。的直徑,將A48c沿直線48翻折到A/AD,

點。在。。上.連接CD,交AB于點E,延長2。，CA,兩線相交于點尸，過點A作。。的切線交8P于點G.

(1)求證：AG//CD；

⑵求證：PT=PG?PB;

（3）若sin//尸。=；,PG=6.求tan4GB的值.

3.（2024?寧夏?中考真題）如圖，OO是VN8C的外接圓，45為直徑，點。是V4BC的內(nèi)心，連接40并延長交OO于

點E,過點E作。。的切線交N8的延長線于點尸.

（1）求證：BC//EF；

（2）連接CE,若。。的半徑為2,sinN/￡C=g,求陰影部分的面積（結(jié)果用含兀的式子表示）.

03中考練場

一、單選題

1.（2025?陜西?模擬預(yù)測）如圖，四邊形/8CD內(nèi)接于。O,48為直徑，點E為。。上一點.若/B￡C=18。，則//DC

的度數(shù)為（）

A.72°B.108°C.110°D.118°

2.（2025?浙江溫州?模擬預(yù)測）如圖，A,B是。。上的點，A',才是O。外的點，V和△/'C?是位似圖形，位

似中心為點O,點A,8對應(yīng)點是點H,B',。夕交O。于點C,若OC=2"C,AB=2,則/⑻的長為（）