甘肅省蘭州第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期階段檢測數(shù)學(xué)

試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.直線4:5x-y+l=0J2：（3加一2）尤+歿-2=0,若貝U實數(shù)加的值為（）

A.0B.1C.0或1D.；或1

2.已知等差數(shù)列｛%｝滿足q=2,公差dwO,且%,%成等比數(shù)列，則1=

A.1B.2C.3D.4

3.用0,1,…，9十個數(shù)字，可以組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為（）

A.652B.648C.504D.562

4.已知點(diǎn)/,B,C為橢圓。的三個頂點(diǎn)，若V48c是正三角形，則。的離心率是（）

A.yB.-C.逅D.—

2332

5.已知圓C：（x-l）2+（y-2）2=5,直線/：mx+y-2m-3=0,則直線/被圓C截得的弦

長的最小值為（）

A.1B.V3C.2D.2百

6.如圖，過拋物線j/=2px（p>0）的焦點(diǎn)廠的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點(diǎn)A,B,C,

若忸C|=2忸尸且|第=3,則。=（）

2

7.已知雙曲線/-匕=1的左、右焦點(diǎn)分別為片，耳，點(diǎn)尸在雙曲線上，且/片產(chǎn)工=120。,

3一

的面積為

試卷第1頁，共4頁

A.2百B.V3C.2若D.V5

22

8.已知雙曲線==l(a>0,6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳、F2.過月向一條漸近線作垂

線，垂足為尸.若1Pgi=2,直線尸片的斜率為正，則雙曲線的方程為()

二、多選題

22

9.設(shè)橢圓C：土+匕=1的焦點(diǎn)為《、F2,M在橢圓上，則

A.胸|+匹|=8B.用的最大值為7,最小值為1

C.|町||四"的最大值為16D.△孫旦面積的最大值為10

10.設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前項〃和為S.，公差為d,已知名=12,S12>0,%<0.貝I]()

A.%〉。

B.—4<d<—3

C.S〃<o時，〃的最小值為13

D.S〃最大時，n=7

11.下列結(jié)論正確的是()

A.已知點(diǎn)尸(尤,力在圓C：(x-l『+(y7)2=2上,則x+y的最大值是4

B.已知直線日-〉-1=0和以河(-3,1),N(3,2)為端點(diǎn)的線段相交，則實數(shù)上的取值范

2

圍為一§4k41

C.已知點(diǎn)尸(。力)是圓/+/=/外一點(diǎn)，直線/的方程是°尤+力=/，則直線/與圓相

離

D.已知直線4：mx-y+2=0,/2：x+my+2=0,則存在實數(shù)機(jī)，使得乙和4關(guān)于直

線x+y=0對稱

試卷第2頁，共4頁

三、填空題

12.已知數(shù)列｛見｝滿足％=〃2-4〃，且｛凡｝為遞增數(shù)列，則彳的取值范圍是.

13.為進(jìn)一步了解學(xué)生的學(xué)習(xí)和生活，某校選派6名老師去4B,C三個學(xué)生家中進(jìn)行家

訪活動，每個學(xué)生家中至少去1人，恰有兩個學(xué)生家中所派人數(shù)相同，則不同的安排方式有

種.

14.點(diǎn)M為拋物線V=8x上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N為圓x2+/-4x+3=0上任意一點(diǎn)，且

則的最小值為.

四、解答題

15.已知圓C和直線乙：2x-y-4=0，：x-y-2=0,若圓C的圓心為(0,0),且圓C經(jīng)過直

線4和4的交點(diǎn).

(1)求圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵過定點(diǎn)(1,2)的直線/與圓C交于W,N兩點(diǎn)，目MN=2C，求直線/的方程.

16.已知拋物線C：x2=2py(〃>0)上一點(diǎn)尸(m,2)到其焦點(diǎn)下的距離為4.

(1)求拋物線C的方程；

(2)過點(diǎn)尸且斜率為1的直線/與C交于4,3兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，求AO/2的面積.

17.已知橢圓少:，+，=1(°>8>0)的離心率為母，短軸長為2.過點(diǎn)(0,-2)的直線/與

橢圓少交于4,8兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求橢圓少的方程；

⑵設(shè)。為48的中點(diǎn)，當(dāng)直線/的斜率為1時，求中點(diǎn)。的坐標(biāo).

、123n21

18.已知數(shù)列｛%｝滿足一+—+—+…+—=2—I.

。34"

(I)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑵若數(shù)列低｝滿足b?=a2n,求數(shù)列出｝的前n項和.

2

19.已知雙曲線C:/-匕=1,直線/交雙曲線于/、3兩點(diǎn).

3

(1)若/過原點(diǎn)，P為雙曲線上異于/、3的一點(diǎn)，且直線H、網(wǎng)的斜率七,、七&均存在，

求證：kpA，kpB為定值；

試卷第3頁，共4頁

⑵若/過雙曲線的右焦點(diǎn)與，是否存在X軸上的點(diǎn)/(〃7,0),使得直線/繞點(diǎn)B無論怎么轉(zhuǎn)

動，都有而?礪=0成立？若存在，求出M的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由.

試卷第4頁，共4頁

《甘肅省蘭州第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期階段檢測數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號12345678910

答案CDBCDBBDABCAC

題號11

答案AD

1.C

【分析】根據(jù)直線垂直的充要條件列方程求解即可.

［詳解］/［-LZ2——m—即加2-加=0,解得機(jī)=0或加=1.

故選：C.

2.D

【分析】先用公差d表示出出，％，結(jié)合等比數(shù)列求出(

【詳解】。2=2+解密=2+4",因為生,。2，“5成等比數(shù)列，所以(2+d)2=2(2+4d),解得d=4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式.屬于簡單題，化歸基本量，尋求等量關(guān)系是求

解的關(guān)鍵.

3.B

【分析】應(yīng)用乘法原理計算求解.

【詳解】用0,1,…，9十個數(shù)字，

先取百位數(shù)有9種情況，因為無重復(fù)數(shù)字再取十位數(shù)有9種情況,最后個位數(shù)字有8種情況。

所以可以組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為9x9x8=648.

故選：B.

4.C

【分析】首先由題得到朋二在壽，結(jié)合/=/+c2,即可求得e.

【詳解】無論橢圓焦點(diǎn)位于x軸或V軸，根據(jù)點(diǎn)A,3,C為橢圓。的三個頂點(diǎn)，

若V/3C是正三角形，則26=J/+/,即/=362,即/=3(/-/),

即有2/=302,則e2=g,解得e=乎.

故選：C.

5.D

【分析】求出直線/所過定點(diǎn)，定點(diǎn)在圓內(nèi)，因此當(dāng)定點(diǎn)和圓心連線與直線/垂直時，弦長

答案第1頁，共12頁

最短，由勾股定理可得結(jié)論.

【詳解】直線/方程變形為（x-2）〃z+y-3=0,

（x—2=0{x=2

由3=0得1=3,即直線/過定點(diǎn)（2,3），

圓心為C（l,2）,半徑為石，

定點(diǎn)到圓心距離為d=7（2-1）2+（3-2）23〈亞，即定點(diǎn)在圓內(nèi)部，

所以當(dāng)定點(diǎn)和圓心連線與直線/垂直時，弦長最短，

最短弦長為2折下=26.

故選：D.

6.B

【分析】分別過點(diǎn)A,8作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)E,D,設(shè)忸尸|=。，根據(jù)拋物線

定義可知忸必=。，進(jìn)而推斷出/BCD的值，在直角三角形中求得。，進(jìn)而根據(jù)助〃FG,

利用比例線段的性質(zhì)可求得。.

【詳解】

如圖，分別過點(diǎn)A,8作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)E,D,

設(shè)忸尸|=°,則由18cl=2|8尸|得：忸C|=2a,

由拋物線定義得：忸判=忸可=°,

由此可知在直角三角形8DC中，NBCD=30°,

在直角三角形4EC中，VM=3,

由拋物線定義得：|/同=3,.1|/C|=3+3a,???2|/同=|/。,

「.3+3。=6,從而得a=l,

答案第2頁，共12頁

123

-BD//FG,-解得夕=不

p32

故選：B

7.B

【解析】先根據(jù)雙曲線方程得到4==百,C=2,設(shè)戶用=%,I尸工="可得,I"?一"I=2。=2.

由4尸旦=120。,在蝴尸與根據(jù)余弦定理可得:寓閶2=|尸盟2+1尸用2_21尸鼻尸可?os120°,即

可求得答案.

2

【詳解】???x2-^-=l

3

a=l,b=V3,c=2

VP在雙曲線上，

^\PFt\=m,\PF2\=n

\m—n\=2a=2-----①

由/片產(chǎn)乃二120。

在物尸鳥根據(jù)余弦定理可得：

席「=附2+儼"―2|尸制PF\cos120°

故16=+"2_2加〃[

BP：16=m2+n2+mn②

由①②可得用〃=4

直角坐尸石的面積5此出=；歸2訃忸7小3/片尸耳=：加"sinl2(J=△

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓中三角形面積問題，解題關(guān)鍵是掌握橢圓定義和橢圓中三角形面積

求法，考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.

8.D

ebb,,

【分析】先由點(diǎn)到直線的距離公式求出6,設(shè)/尸里=e,由tane=?B=[得至由。尸|=〃，

|OR|=c.再由三角形的面積公式得到力，從而得到馬，則可得到一^=1,解出0,代

Q+24

入雙曲線的方程即可得到答案.

答案第3頁，共12頁

【詳解】如圖,

因為瑪(c,o),不妨設(shè)漸近線方程為y=,即法一砂=0,

a

所以附二』『

yja+bc

所以6=2.

PF

設(shè)NPOK-e,則tane=0、=|。尸「小所以Q尸卜a，所以1。閶

,ab_2

因為ga6=；c?乃,，所以為=｝所以tan6="=上=力所以Xp=.,

c

xpxpa

所以尸?

因為￡(-c,0),

ab

2a_a_V2

所以kpF]--22~

Q2Q+C+/+4a?+24

---\-c

C

所以近(/+2)=4a,解得,=V2，

22

所以雙曲線的方程為土-匕=1

24

故選：D

9.ABC

【分析】由橢圓方程可得。=4/=g,c=3,根據(jù)橢圓的性質(zhì)結(jié)合各選項的描述判斷正誤即

可.

【詳解】由橢圓方程知：a=4,6=近,c=3，

答案第4頁，共12頁

：.\MFl\+\MF2\=2a=S,故A正確.

阿々L=a+c=7，|“GL="C=1，故B正確.

2

\MF}\\MF2\<（1^1+1^1）=16,此時M在橢圓左右頂點(diǎn)上，同時△肛耳面積也最大，

為3々，故C正確，D錯誤.

故選：ABC

10.AC

【分析】根據(jù)%=6&+%）>0，%<0，即可得到％>°，進(jìn)而即可判斷A；根據(jù)&>°，

%<0,。3=12,。6+。7>0，從而歹U出。3和d的方程組,求解即可判斷B；結(jié)合A選項知。7<°，

從而得到幾=13%<0,再結(jié)合幾>0,進(jìn)而即可C；結(jié)合選項A和B知，當(dāng)1V〃V6時，

a?>0,當(dāng)"27時，a?<0,進(jìn)而即可判斷D.

【詳解】對于A,由每2>0,則兀=（"1+32）x12=&+；7）X12=6（&+&）>0,又％<0,

則。6〉。，故A正確；

對于B,結(jié)合選項A知R〉。，％<0,a6+a7>0,

a,=12+3d>0

24

又生=12,所以%=12+4d<0,解得3,故B錯誤；

a6+%=24+7d>0

對于C,結(jié)合選項A知幾=（%+3*13=13%<0,又%>0,所以S,,<0時，〃的最小值

為13,故C正確；

對于D,結(jié)合選項A和B知，當(dāng)時，??>0,當(dāng)時，a?<0,所以當(dāng)其最大時，

n=6,故D錯誤.

故選：AC.

11.AD

【分析】利用三角代換可判斷A；求出直線船->-1=0所過定點(diǎn)，結(jié)合圖形可判斷B；

利用點(diǎn)到直線的距離公式可判斷C；轉(zhuǎn)化為尋找對稱點(diǎn)問題，即可判斷D.

【詳解】A選項：因為點(diǎn)尸在圓C上，所以

x+y=1+V2COS6Z+1+V2sincr=2+2sin||<4

答案第5頁，共12頁

IT

當(dāng)c=7時，x+y取得最大值4,故A正確;

(%—0

B選項：由上(》一0)-(y+l)=O,所以卜二_],即直線自7-1=0過點(diǎn)尸(0,-1),

2

因為直線和線段相交，故只需左2左兩=1或左故B錯誤;

r2

C選項：圓f+/=/的圓心(0,0)到直線/的距離為d=而點(diǎn)尸是圓/+/=/的

yja2+b2

圓外一點(diǎn),

所以

即"==r故直線與圓相交，故c錯誤;

D選項：在乙上任取點(diǎn)?,加+2),則關(guān)于直線x+y=0對稱的點(diǎn)坐標(biāo)(-皿-2,T),

代入(方程—加一2+，〃(一。+2=—2〃"=0,得：①當(dāng)fwO時，m—0,②當(dāng)f=0時，山為任

意實數(shù)；故D正確.

故選：AD.

12.(-叫3)

【分析】數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列，則。向-?！?gt;0,做差即可求出彳的取值范圍.

【詳解】解：｛4｝為遞增數(shù)列，則。向-?！?gt;0,所以

%+]—(/"=("+1)—2(〃+1)—+An-2〃+1—2>0,即2n+1,eN),所以幾<3.

故答案為:(f3).

【點(diǎn)睛】本題考查已知數(shù)列的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，做差法是判斷數(shù)列單調(diào)性的常用方

法，屬于基礎(chǔ)題.

13.90

【分析】由排列、組合知識及兩個計數(shù)原理，結(jié)合分組分配問題求解即可.

答案第6頁，共12頁

【詳解】選派6名老師去/,B,。三個學(xué)生家中進(jìn)行家訪活動，

每個學(xué)生家中至少去1人，恰有兩個學(xué)生家中所派人數(shù)相同，選派方案為：1,1,4；

不同的安排方式有：C：A；=Sx3x2xl=90（種）

2x1

故答案為：90

14.2

【分析】畫圖，找出拋物線焦點(diǎn)，化簡圓的普通方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)的

最短距離以及拋物線定義得出最值.

【詳解】拋物線/=8x的焦點(diǎn)為（2,0）,拋物線的準(zhǔn)線為/:x=-2,

圓丁+/一代+3=0變形為=1,

則圓心為拋物線V=8x的焦點(diǎn)尸，半徑為R=l.

點(diǎn)/為拋物線/=8x上任意一點(diǎn)，當(dāng)三點(diǎn)/、N、/共線，取最小值，最小值為

所以1Mpl+|MN|取最小值時,即\MP\+-1取最小值，

如圖，過點(diǎn)M作ME，/于點(diǎn)E,由拋物線定義可知，|〃/|=|旌|,

所以|皿?|+|初^以初?|+|即|-1=|〃?|+|腔］-1可尸￡|-1,當(dāng)尸、M、E三點(diǎn)共線，當(dāng)|尸閔=3

時，等號成立.|人畫+限時23-1=2.

15.(l)x2+/=4

⑵x=1或3x-4y+5=0.

答案第7頁，共12頁

【分析】(1)根據(jù)題意聯(lián)立直線4和4的直線方程，求得交點(diǎn)(2,0),進(jìn)而求得半徑

r=7(2-0)2+(0-0)2=2,即可得解；

(2)根據(jù)題意，結(jié)合垂徑定理求得圓心到直線/的距離1=「二(手了，討論直線/的斜

率不存在和存在兩種情況進(jìn)行討論，即可得解.

-2x-y-4=00可得\」x=2

【詳解】(1)首先由

所以直線4和4相交于點(diǎn)(2,0),

所以圓C的半徑r=J(2-0)2+(0-0)2=2,

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+/=4.

(2)當(dāng)直線/的斜率不存在時，方程為x=l,代入圓C方程為犬+，=4可得y=±g,

此時ACV=26，符合題意，

當(dāng)直線I的斜率存在時，設(shè)直線方程為了=網(wǎng)》-D+2,

根據(jù)題意圓心到直線I的距離為d=卜-(等尸=V4^3=1,

|一左+2|3

所以解得笈=],此時直線方程為3x-4y+5=o,

所以直線/的方程為x=l或3x-4y+5=0.

16.(1)x2=Sy；(2)8A/2.

【分析】⑴解方程2+4=4即得解；

(2)求出|481和",即得解.

【詳解】解：(1)由已知及拋物線定義可得2-(-§)=4,；.p=4,.?.拋物線C的方程為N

=8y-

(2)由(1)可得尸(0,2),：.l：y=x+2,設(shè)N(xi,”)，B(如”)，

將/方程代入C方程整理得y-12y+4=0,；.y/+?y2=12,|48|=y/+y2+p=16,

I21I-

原點(diǎn)O到直線l的距離為d=,=V2,

/+(-1)-

/.△OAB的面積S=；x|xd=8&.

答案第8頁，共12頁

r2

17.(1)—+/=1

【分析】(1)利用橢圓次的短軸得出b,結(jié)合離心率代入9=,從而求得

a

橢圓方程;

(2)寫出直線方程和橢圓聯(lián)立，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得點(diǎn)的坐標(biāo);

【詳解】(1)因為短軸長為2,所以6=1,

因為橢圓少的離心率為"，所以9="

2a2

解得。=2,

所以橢圓印的方程為土+「=1.

4

(2)當(dāng)直線/的斜率為1時，直線/的方程為>=x-2.

y=x-2

由2得5/-16x+12=0,

——+y=1

14'

設(shè)/(國,必),8(%,%)<(%,%).

則A>0,Xj+%2=，

所以毛=土產(chǎn)=|，代入直線得為=/_2=：_2=_|.

【分析】(1)根據(jù)遞推公式求出％=聲，檢驗”=1時是否成立即可求解;

(2)結(jié)合(1)得到或=/，利用錯位相減法即可求解.

答案第9頁，共12頁

123n……

【詳解】(I)由題意知：一+—+—+—+—=2一I①

02。3

當(dāng)〃=I時，得％=I.

當(dāng)n22時，?+'+'+…+2〃-1―1②

①-②得：/=2〃'則an=,

anL

檢驗：%=1成立，故％=(「

2〃

(2)由(1)可知：bn=a2n=,

令S“二4+4+a+…+或=2x；+4x(；y+6x(；)5+…+2〃x(；)2"T③

；S“=2x(1)3+4x(1)5+6x(；y+…+(2〃-2)x(j)2-1+2?x(1)2"+1④

③-④得：：S“=2xg_2〃x(52.+2[(1)3+(1)5+…+(I)2-1]

3s-2X】2〃x(?叫2x9""。"

422,1

1------

4

化簡得：S“=(-與)x(；)”+與

19.(1)證明見解析.

⑵存在，M(-1,0)

【分析】(1)設(shè)點(diǎn)/(%%),8(-%,-%),P{m,n),分別表示左刃,如,再根據(jù)點(diǎn)尸在雙曲線

上，可得證；

(2)當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為＞=安-2),/(無],必)乃(乙必)，

聯(lián)立直線與雙曲線，結(jié)合韋達(dá)定理，可將疝.麗=0恒成立轉(zhuǎn)化為

(m2-4m\k2-3m2-5k2+3=0,所以[加;冽，，解得機(jī)=-1,

''[-3m2=-3

當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程為x=2,此時4(2,3),8(2,-3),由血.而=0可解得機(jī)=-1.

【詳解】(1)設(shè)點(diǎn)/X。,%,3-x。,-%,P(m,n),貝匹出=—迎晶=—迎，

'''/m-x0m+x0

答案第10頁，共12頁

P

尸iF2%

2_2

則%/=）