猜押08上海高考21題(解答題)

押題依據(jù)

考點(diǎn)3年考題考情分析

函數(shù)奇偶性的定義與判斷、集合新定義、由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)、

2025年春考

由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式

用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(不含參)、求

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)2024年

在曲線上一點(diǎn)處的切線方程(斜率)、基本不等式求和的最小值

求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程(斜率)、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、利用導(dǎo)數(shù)研

2023年

究方程的根、等差中項(xiàng)的應(yīng)用

CM

押題演測

題型一新定義問題

【例】.(2025?上海黃浦?二模)設(shè)。是R的一個(gè)非空子集，函數(shù)了=/(無)的定義域?yàn)?。，若V=/(x)在。上

不是單調(diào)函數(shù)，且存在常數(shù)6,使得“X)26對任意的xe。成立，則稱函數(shù)y=/(x)具有性質(zhì)”，稱。為該

函數(shù)的一個(gè)下界.

(1)設(shè)/'(x)=x+，,D=(-oo,0),判斷函數(shù)y=/(x),xe。是否具有性質(zhì)//；

(2)設(shè)加為常數(shù)，/(x)=|x3-x+l,D=(m,2),當(dāng)且僅當(dāng)加滿足什么條件時(shí)，函數(shù)了=〃x),xe。具有性

質(zhì)//,且6=g是該函數(shù)的一個(gè)下界；

(3)設(shè)0<aWl,/(x)=ln(x+1)+ax(x-2),D=(0,l),若函數(shù)y=/(x),xe。具有性質(zhì)H,求。的取值范

圍：當(dāng)。在上述范圍內(nèi)變化時(shí)，若6總是該函數(shù)的下界，求b的取值范圍.

【答案】(1)不具有，理由見解析；

(2)me[-2,1)；

(3)^<a<l,yn"巫-&+L.

222

【分析】(1)借助導(dǎo)數(shù)，利用"函數(shù)具有性質(zhì)的定義推理判斷.

(2)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間及極小值，再利用"函數(shù)具有性質(zhì)””的定義求解.

(3)求出/(X)的導(dǎo)數(shù)，按0<。4：，!<。41分類，結(jié)合"函數(shù)具有性質(zhì)的定義求出范圍，并求出最小值

22

函數(shù)，再換元求出最小值函數(shù)的最小值即可.

2

【詳解】⑴函數(shù)/'(x)=x+L1xe(-鞏0),求導(dǎo)得/&)=1_13=2Y_1，

x.V.v

當(dāng)xe(-鞏一1)時(shí)，f'(x)>0;當(dāng)xe(-1,0)時(shí)，f'(x)<0,

函數(shù)/(x)在-1)上單調(diào)遞增，(-1,0)上單調(diào)遞減，

于是函數(shù)V=/(x)在(-8,0)上不是單調(diào)函數(shù)，Vx6(-?,0),/(x)</(-l)=-2,

函數(shù)/(x)在(-s,0)上的值域?yàn)?-鞏-2],

不存在常數(shù)6，使得/(x)>b對任意的xe(-鞏0)成立，

所以函數(shù)y=/(x),xe。不具有性質(zhì)"

(2)函數(shù)〃x)=$3-x+l,求導(dǎo)得r(x)=x2-l=(x+l)(x-l),

當(dāng)x<-l或x>l時(shí)，f\x)>0；當(dāng)-1<%<1時(shí)，f\x)<0,

函數(shù)/(X)在(-8,T),(l,+8)上單調(diào)遞增，在(T1)上單調(diào)遞減，

由函數(shù)y=/(x)，xeS,2)具有性質(zhì)凡且6=；是該函數(shù)的一個(gè)下界，得“X)1nmwg,

當(dāng)加<1時(shí)，函數(shù)y=/(x)在(機(jī),2)上不單調(diào)，/(-1)=|,/(1)=1,

由〃x)=g,gpX3-3X+2=0,整理得(X+2)(X-1)2=0,解得x=-2或x=l,

當(dāng)x<-2時(shí)，/(x)</(-2)=|,當(dāng)-2￡x<l時(shí)，/(x)>/(-2)=|,

因此/(x)>|,貝!|-2W?J<1,

所以當(dāng)且僅當(dāng)僅e[-2,1)時(shí)，函數(shù)y=/(x),xe。具有性質(zhì)H,且6=g是該函數(shù)的一個(gè)下界.

(3)當(dāng)。￡(0,1],x￡(0,1)時(shí)，函數(shù)/(%)=1口(％+1)+〃%2一2辦，

求導(dǎo)得r(x)=—+2ax-2a=26-3-1),

x+1X+1

當(dāng)時(shí)，2"140,/'(x)>0,函數(shù)“X)在(0,1)上單調(diào)遞增，不符合題意；

當(dāng)!<。VI時(shí)，0<2t7-l<l,由/"(x)<0,得0<x<J1-上；由/"(x)>0,得J1-2<x<1,

2V2aV2a

函數(shù)/(x)在(0,、仁工)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，/(X)在(0,1)上不是單調(diào)函數(shù)，

V2aV2a

f(^)min=+l)+”：-2a,b</(x)min,因此;<QW1,

N2aN2a2\2a2

令則2"占'令g(f(W〉=gi)+￡T

1-2(1-?)-(1-2/)(-2/)t3-2t2

求導(dǎo)得g'?)=<0,

1+72(1-t2)2(I4/

函數(shù)g⑺在(0,^］上單調(diào)遞減，g(0min=g/)=山帶2-V2U,

由當(dāng)。變化時(shí)，b總是該函數(shù)的下界，得bVg⑺1nm=由2手-￡+；,

所以。的取值范圍是b的取值范圍是6Vln^2-&+L.

222

1.(2025?上海徐匯?二模)對于函數(shù)產(chǎn)訪⑴，記心(x)=〃(x),川)(尤)=僅(尤))',(心)(無))'(〃eN).

如果n是滿足/")(x)=h(x)的最小正整數(shù)，則稱“是函數(shù)了=〃(x)的"最小導(dǎo)周期

⑴已知函數(shù)>=/(X),其中/0)=〃5皿%+，)+兒05(>+。，求證：對任意實(shí)數(shù)6",都有了(4)(x)=/(x)；

(2)設(shè)加〃eR,g(x)=e"x+〃cosx,若函數(shù)y=g(x)的最小導(dǎo)周期為2,記M(a,b)=4a—b)2+(a+l+g(Z))y,

當(dāng)實(shí)數(shù)。/變化時(shí)，求”(〃/)的最小值；

⑶設(shè)。>1,A(x)=COSCOX,若函數(shù)>=〃(x)滿足心)0)〈X對X6(0,+O0)恒成立，且存在％e(0,+8)使得

〃⑵(%0)=%0,試用。表不入0,并證明—</<一.

2co0)

【答案】⑴證明見解析

⑵行

⑶％=近巨，證明見解析

CD

【分析】(1)根據(jù)"最小導(dǎo)周期”的定義即可證明;

7T

(2)由題意有+Z7COSX=m2^-〃cosx對任意實(shí)數(shù)工怛成立，令x=0,得加？=1+2〃，令％=萬，得/=1,

根據(jù)m的取值驗(yàn)證函數(shù)y=g(x)的最小導(dǎo)周期為2即可得g(x),由M(a,b)=y/(a-b)2+(-a-l-e6)2可視為

6

點(diǎn)尸(a,-。-1)與點(diǎn)Q(b,e-)之間的距離，利用數(shù)形結(jié)合即可求解；

(2)

(3)記(p(x)=〃⑵(%)一%,由°(x)=秘2)(%)一14o在(0,+00)上恒成立及存在%>0使(p(x0)=7z(x0)-x0=0,

可知x=%是函數(shù)歹=0(x)的極大值點(diǎn)，即。'(%)=。，(PM=-a}cos-x0=0,解得/，由

]—工兀

sincox^=—->0,coscox^=—^-<0,得2E+—<<2E+兀(左￡Z),由。式()>0得左>0,又

coco2

,2kn、2kjt,?,人口r,口、一

(p(x。-----)----?0,即an左二0,即得證.

CDCD

【詳解】(1)證明：H%/(1)(x)=acos(x+t)-bsin(x+Z),

/(2)(x)=-asin(x+t)-bcos(x+1),

于*)(%)=-acos(x+，)+6sin(x+/),

/(4)(x)=asin(x+/)+6cos(x+%)=f(x),

所以，對任意實(shí)數(shù)。也/,都有/⑷⑴=/(x).

(2)g(x)=emx+ncosx,g⑴(x)=me^-nsinx,g⑵(x)=m2^-ncosx,

由題意知，e儂+ncosx-m2emx-〃cosx對任意實(shí)數(shù)%恒成立，

令X=0,貝!J1+〃=加2一〃，即冽2=]+2〃，

.nI,mnimt1,-

令x=7，則ey./ey，則"=L

所以加=l,〃=0或m=-l,z?=0.

若加=l,〃=0,則g(x)=e*,g(l)(x)=e"=g(%),最小導(dǎo)周期不是2,矛盾；

若冽=-1,〃=0,則g(%)=er,g⑴(%：1=-e-x,g(2)(x)=e-x=g(x),最小導(dǎo)周期為2,符合要求，所以g(x)=e—“.

尸、[/

=-b)2+(a+1+g(/?))2=/-bj+卜Q-l-e一可視為點(diǎn)

_M@b)

P(。,T)與點(diǎn)Q(b,e")

之間的距離，當(dāng)實(shí)數(shù)6變化時(shí)，點(diǎn),尸(a,-Q-1)在直線尸-x-l上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)0(人e-')在曲線尸?r上運(yùn)動(dòng)，

因此所求最小值可轉(zhuǎn)化為曲線＞=尸上的點(diǎn)到直線尸-x-l距離的最小值，

而曲線＞=b在直線y=-x-l上方，平移直線產(chǎn):-x-1使其與曲線y=/相切,

則切點(diǎn)到直線尸7-1的距離即為所求.

設(shè)切點(diǎn)M(x°,e-'。)，p=-er,切線斜率-1,得％=0,切點(diǎn)為(0,1),

點(diǎn)(0,1)到直線y=-xT距離"」?fàn)t方L行.

即W(a,6)的最小值為近.

(3)〃⑴(x)=-cosin(ox),儼(%)=-co1cos(6wx),

1己(p(x)=A(2)(x)-x,即e(x)=-co1coscox-x.

由(p(x)=心)(x)-%W0在(0,+oo)上恒成立及存在%＞。使0(%)=儼(x0)-x0=0,

可知％=%是函數(shù)歹=(p(x)的極大值點(diǎn)，于是"=加sin^xo-l=O,

則sin。/=二①,

CD

又夕(%)=一療coscox0-x0=0,貝！JCOSG'O

CD

由①②得士+M=i，則尤。=，三.

CDCD0)

又因?yàn)閟in。％=>0,cos(DXQ=—^<0,

CDG)

兀

所以2左兀+—<(oxQ<2kji+兀(后￡Z),由a)xQ>0得左20,

又因?yàn)镕<x0-西〈工/wZ),

LCDCDCD

2

所以(p(x0~-一啰2cos[0(X0-^^-)]-(xo---d)COSCt)XQ-XQ+<0,

coCDG)CDCD

有上《0,于是左=0，

匚ur、I兀兀

所以——<X。<一.

2a)CD

2.(2025?上海金山,二模)若函數(shù)》=/(x)和y=g(x)同時(shí)滿足下列條件：①對任意尤eR,都有/'(x)<g(x)

成立；②存在x()eR,使得/(%)=8(/),則稱函數(shù)y=g(尤)為y=/(x)的"用函數(shù)"，其中/稱為"少點(diǎn)

⑴已知圖像為一條直線的函數(shù)>=8卜)是夕=5加的"少函數(shù)”，請求出所有的“用點(diǎn)”；

⑵設(shè)函數(shù)y=g(x)為y=/(x)的“沙函數(shù)"，其"邛點(diǎn)”組成集合為；函數(shù)y=〃(x)為y=g(x)的“用函數(shù)"，

其"少點(diǎn)”組成集合N.試證明："函數(shù)y="(x)為y="X)的，沙函數(shù)，”的一個(gè)充分必要條件是cN片0"；

⑶記/(尤)*(e為自然對數(shù)的底數(shù))，g(x)=Ax+加代加eR),若y=g(尤)為y=/(x)的W函數(shù)"，且"用

點(diǎn)"%>0,求實(shí)數(shù)加的最大值.

7T

【答案】⑴x()=5+2仇人￡Z；

⑵證明過程見解析

(3)-

e

【分析】(1)取%=]+2板左eZ,g(x)=l,滿足要求；

(2)先得到任意xeR,f(x)Wg(x)W〃(x)成立，①成立，再證明出充分性和必要性，得到結(jié)論；

⑶求導(dǎo)得到〃x)=j的單調(diào)性和最值，分xe(0,l),尤=1和xe(l,+”)三種情況，得到實(shí)數(shù)加的最大值.

【詳解】(1)取X。=]+2析，左eZ,g(x)=l,

5+2kn）=1,左eZ,

此時(shí)siiix0=sing（x（））=l，

故函數(shù)g(x)=l是了=sim「的"少函數(shù)"，"少點(diǎn)"為.%=]+2%萬eZ；

(2)<=g(x)為y=/(x)的"沙函數(shù)",其"一點(diǎn)”組成集合M,

故〃x)4g(x),設(shè)Af=｛玉廣2，工3,…,",

函數(shù)y=〃(X)為y=g(x)的"沙函數(shù)"，其"少點(diǎn)”組成集合N,

故g(x)W〃(x),設(shè)N=[x1',X2',X3',…,xJ,

顯然對任意xeR,/(x)4g(x)4〃(x)成立,①成立，

充分性，若McNw0,

不妨設(shè)玉=%/,此時(shí)/(xJ=g(xJ=g(x；)=MxJ,②成立，

故②成立，所以函數(shù)y=〃(x)為y=/(x)的，沙函數(shù)、充分性成立;

必要性，若函數(shù)y=〃(x)為了=/(x)的物函數(shù)，，

則存在X,,使得=

由于對任意xeR,/(x)Vg(x)W/z(x)成立,故/(演)=g(%)=%(xj,

散x?cM,x?cN,所以McNw0,充分性成立；

故"函數(shù)]，=〃(x)為了=f(x)的，用函數(shù)”的一個(gè)充分必要條件是“WcNW0"；

(3)〃x)=己定義域?yàn)镽,

r(x)=m當(dāng)x<i時(shí)，/")>o,當(dāng)x>i時(shí),r(x)<o,

所以/(x)=[在(-8,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

e

y

且當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=3>0恒成立，

又/(i)=L取x()=i,g(x)=L

ee

滿足/(x)4g(x)且/(%)=8(%)，

y=g(x)為y=/(x)的"少函數(shù)",此時(shí)機(jī)=L

e

當(dāng)X€(O,1)時(shí)，取X=%,

故當(dāng)y=g(x)為〃x)=十在》=》,處的切線方程時(shí)，才滿足要求,

1(/)=口，故切線方程為y-意=口(元-％)，

令x=0得加=區(qū)，

eXa

由于％e(O,l),設(shè)=xe(O,l),

ex

所以〃(x)=2r=￡?>0在xe(°，l)上恒成立，

exex

故〃(x)=J在Xe(0,1)上單調(diào)遞增，

當(dāng)X€(l,+8)時(shí)，結(jié)合圖象，可知/(x)=±單調(diào)遞減且下凸，

對任意的g(X)=6+"7代機(jī)€R),無法做到了(x)Wg(X)恒成立，

綜上，實(shí)數(shù)加的最大值為L

e

3.(2025?上海寶山?二模)定義在。上的可導(dǎo)函數(shù)了=/(x),集合

&,“)={/(x)|/伍)=左，為e。，z=l,2,加為正整數(shù)},其中尸(x)=/(x)+/(x)稱為/(x)的自和函數(shù),看

稱為V=/(X)的固著點(diǎn).已知/(x)=ae*+6x+csimr(a也ceR).

(1)若a=c=0,6=2,D=R,/(x)e41M,求機(jī)的值及了=/(無)的固著點(diǎn)；

(2)^a=0,b=l,c=1,D=[5,r](s>0),尸(x)是/(x)的自和函數(shù)，且尸(x)在。上是嚴(yán)格增函數(shù)，求一s的最大

值；

閉若6=-1,。=0,。=(0,+8),/(x)e4o,n，且，是了=/1)的固著點(diǎn)，求。的取值范圍，并證明：

2aa

【答案】⑴加=1,固著點(diǎn)％=

..371

⑵萬

(3)0證明見解析

【分析】(1)根據(jù)題設(shè)定義得下G)=2X+2,進(jìn)而有2X+2=1,即可求解；

(2)根據(jù)條件得到尸'("=1+亞COS[X+；]N0在區(qū)間[s用上恒成立，從而有區(qū)4口2E+兀,2版(k0,

即可求解；

(3)法一，根據(jù)題設(shè)得到2。二Y可-I-1在(0,+4上有唯一的解，，構(gòu)造函數(shù)g(x)=V-I-1，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)

ee

性間的關(guān)系，求得g(x)二歲的單調(diào)性，進(jìn)而可得。40,；),

再構(gòu)造函數(shù)加0)=--2x21nx—2%(0<x<；),利用其單調(diào)性，即可求解；法二，前同法一，得?！?0,；),構(gòu)

造函數(shù)皿x)=3+21nxT0<x<：,利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求其單調(diào)區(qū)間，利用單調(diào)性，即可求

x2

解.

【詳解】(1)由題得/*)=2x/(x)=2,所以尸3=2x+2,

因?yàn)樗?x+2=l,解得x=-g,

所以機(jī)=1,固著點(diǎn)x=-g.

(2)由題得/(x)=x+sinx,則r(x)=l+cosx,

所以尸(x)=x+l+Visin(x+/),因?yàn)槭?x)是。上的嚴(yán)格增函數(shù)，

所以尸(X)=l+Vicos[x+；]20在區(qū)間[S,H上恒成立，

由cos(x+：)2—1，得至l」2hi+7iMx?2E+，(左￡Z),所以區(qū)〃q2E+兀,2而+，(左wZ),

所以一彳2阮+歲-(2阮+兀)號(hào)，因此?的最大值是去

(3)(方法一)由題得/(%)=。/一％,fr(x)=aex-l,

所以產(chǎn)(%)=2洸、—x—1,

因?yàn)榍?是/(X)的固著點(diǎn)，所以2〃=—x+](*)在(0,+◎上有唯一的解，，

e

記g(x)=^?(x>0),貝i]g，(x)=-j<0,所以g(x)在(0,+s)是嚴(yán)格減函數(shù)，

從而g(x)<g(0)=1,又當(dāng)/f+8時(shí),g(%)-0,故g(x)的值域是(0,1),

所以0<2〃<1,即(0,；),

記/7(x)=W-2",則由上述可知/?(x)是(0,??)的嚴(yán)格減函數(shù)且h(t)=0,

e

]In-^―+1

7/(In——)=----2a=-2aln(2a)，

2〃In—

e2a

因?yàn)?<。<:所以ln(2a)<0,所以〃(ln^—)〉0①

22Q

記m(x)=x2—2x2Inx-2x(0<x<；),貝!]"(x)=-2x(2lnx+1),

因?yàn)?<x<5，所以21nx+1<Zin,+1<0,所以m(x)>0,

所以"心)是(0,；)上的嚴(yán)格增函數(shù)，

故啾x)(加(；)=(；>一2.(；)2.1n；-2.；<0,從而力(ln\)<0②

由①②可知，A(ln^)<0</i(ln—),gp/z(ln^r)<A(Z)</i(ln—),

?a2aala

又〃(x)是(0,+s)的嚴(yán)格減函數(shù)，所以lnl<f<ln《，故4<e，<±.

2aa2aa

(方法二)

由題得/(x)="e"-x,/f(x)=ae'-1,所以尸(x)=2°e*-x-1,

因?yàn)椤▁)e4”)且/是〃x)的固著點(diǎn),所以F(x)=0(*)在(0,+8)上有唯一的解Z

求導(dǎo)得尸。)=2溫_1,

當(dāng)aV0時(shí)，r(x)<0,尸(x)是(0,內(nèi))上的嚴(yán)格減函數(shù)，

所以尸(x)〈尸(0)=20-1〈-1,所以方程(*)無解；

當(dāng)a>0時(shí)，

(i)當(dāng)時(shí)，尸。)>2”啟0在(0,+◎恒成立，故尸(x)是(0,a)上的嚴(yán)格增函數(shù),

所以尸(x)>尸(0)=2a-Gl>0,所以方程(*)無解；

(ii)當(dāng)0<。<!時(shí)，如下表

2

(。,心)1、

XIn—(Z1In「+00)

2a2a2a

-04-

尸(X)嚴(yán)格減極小值嚴(yán)格增

可知尸(X)在(。,吟)嚴(yán)格減,在(哈+8)嚴(yán)格增,

又F(0)=2a—1<0,方(In-^―)=ln(2tz)<0,當(dāng)x—>+co時(shí)，尸(x)T+°°,

所以方程(*)在(0,卜4)無解，在(In，-,+8)有唯一解，滿足題意的。的取值范圍0<。

2a2a2

因?yàn)?，?山工-,+oo)的唯一解，所以f>lnl，

2a2a

i?21

又尸(ln_")=—+21na-l,令〃(％)=—+21nx-l,0<%<一,

aax2

則〃(x)=-N+工=-2己-!)2+:<_4,所以g)是(0,3上的嚴(yán)格減函數(shù)，

xxx222

所以〃(x)>〃(；)=4+21n；-l21.614>0,即尸(比二)〉。，

又當(dāng)0<。<!時(shí)，In--In-!-=In—<0,所以ln-!-<ln二，

22aa22laa2

又尸(x)在(ln[,In二)上有唯一的零點(diǎn)，貝!]lnl<f<ln《，

2aa2aa

綜上，ae(0,—),此時(shí);<e'<一.

22aa~

4.(2025?上海楊浦?二模)已知函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)為v=/(x),若函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽,且不等

式〃x)>/(X)對任意xeR成立，則稱函數(shù)了=/(x)是"超導(dǎo)函數(shù)

(1)判斷“X)=/+1是否為"超導(dǎo)函數(shù)"，并說明理由；

(2)若函數(shù)y=g(x)與y=〃(x)都是"超導(dǎo)函數(shù)",且對任意xeR,都有”(無)>0,g\x)<0,記尸(x)=g(x)〃(x),

求證：函數(shù)P=F(x)是"超導(dǎo)函數(shù)”；

⑶已知函數(shù)y=e(x)是"超導(dǎo)函數(shù)"且以1)=e,若有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)t滿足9(lm+1-af)=e*，求a的取值

范圍.

【答案】⑴是，理由見解析；

(2)證明見解析；

⑶aWO或

e

【分析】(1)求出導(dǎo)數(shù)，再利用"超導(dǎo)函數(shù)"定義判斷即可.

(2)求出尸(x)的導(dǎo)數(shù)，作差變形，利用"超導(dǎo)函數(shù)"定義推理判斷符號(hào)即得.

(3)構(gòu)造函數(shù)"(x)=卑，利用"超導(dǎo)函數(shù)"定義確定單調(diào)性可得”=也，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)

et

值集合，結(jié)合已知求出范圍.

【詳解】(1)函數(shù)/Xx)=1+1,求導(dǎo)得/'(x)=e)則/(x)=e*+l>e'=/'(x),

所以/(x)是"超導(dǎo)函數(shù)

(2)函數(shù)尸(x)=g(x)〃(x),求導(dǎo)得P(x)=g'(x)/z(x)+g(x)"a),

則尸(X)-尸'(x)=g(x)h(x)一g'(x)/z(x)-g(x)h'(x)=［g(x)-g'(x)］［力(x)-h'{x}\-g'(x)h'(x),

由函數(shù)y=g(x)與〉=h(x)都是“超導(dǎo)函數(shù)",得g(x)-g'(x)>Q,h(x)-h'(x)>0,

由對任意xeR,都有〃'(x)>0,g'(x)<0,得g'(x)〃(x)<0,

因此尸(尤)-尸(x)>0,即尸(x)>尸'(x),

所以函數(shù)y=F(x)是"超導(dǎo)函數(shù)”.

(3)由函數(shù)y=0(x)是"超導(dǎo)函數(shù)”，得對任意xeR,0(x)>“(尤)，

令“母)=0學(xué)，求導(dǎo)得"'⑴二.'-"⑴>0,函數(shù)w(x)在R上單調(diào)遞增，且“⑴=1,

ee

由夕(1皿+1-m)=6或山”，得上嗎")=1，即"(lnf+1-以)=0⑴，

e

因此3+1-必=1,即。=皿，令G(7)=則，

tt

由有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)行茜足9(1皿+1-M,得直線y=。與函數(shù)》=G?)的圖象有且只有1個(gè)交點(diǎn)，

=當(dāng)0<，<e時(shí)，G'(t)>0；當(dāng)f>e時(shí),G()<0,

函數(shù)G⑺在(0,e］上單調(diào)遞增，函數(shù)值的集合為(-8,"，在［e,+功上單調(diào)遞減，函數(shù)值的集合為(0,占，

ee

因此當(dāng)。40或。=’時(shí)，直線y=。與函數(shù)y=G⑺的圖象有且只有1個(gè)交點(diǎn)，

e

所以。的取值范圍aW0或a=L

e

5.(2025?上海閔行?二模)已知函數(shù)>=/(無)在定義域。上存在導(dǎo)函數(shù)/'(X).對于給定的一個(gè)有序?qū)崝?shù)對

(Z加),若存在再戶2eD,使得比］-存(再)+時(shí).［5-/(工2)+加］<0,則稱的根)為N=/(x)在定義域。上

的一個(gè)“分割數(shù)對，，.

(1)已知/'(X)=X2,O=R,判斷數(shù)對(1,0)是否為y=/(x)在。上的"分割數(shù)對"，并說明理由；

(2)已知f(x)^\nx,D=(1,2),若(In2M為"/(x)在區(qū)間D上的"分割數(shù)對"，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

2

⑶已知=(x+ax+b)-e',D=R,若有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)a滿足對任意feR,(/'⑺J⑺-⑺)都不是

y=/(x)在D上的"分割數(shù)對"，求實(shí)數(shù)6的值.

【答案】(1)是；答案見解析

⑵(-In2,-l_ln(ln2))

⑶b=2

【分析】(1)取士=：,超=2,由函數(shù)新定義代入驗(yàn)證即可;

(2)構(gòu)造函數(shù)d(x),求導(dǎo)分析單調(diào)性和最值，然后結(jié)合函數(shù)新定義可得；

(3)由題意先將問題(廣⑺,/⑺-夕'⑺)不是y=在。上的"分割數(shù)對"等價(jià)于或"(x)WO恒成

立，然后構(gòu)造函數(shù)Mx),求導(dǎo)后再將問題"1(x)40恒成立"等價(jià)于"對任意小R,4(x)WO恒成立"，然后

結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)令判別式小于等于零可得.

【詳解】(1)是，

存在X］=—,%2=2,

由函數(shù)新定義有］lxg-；+0；(lx2-4+0)=-x(-2<C滿足.

(2)令d(x)=xln2-lnx+m,

則=In2—,,

令d'(x)=0,得X=T，，

In2

所以當(dāng)l<x<，5時(shí)，d'(x)<0,函數(shù)d(x)為遞減函數(shù)；當(dāng)35Vx<2時(shí)，d<x)>0,函數(shù)d(x)為遞增函

數(shù)，

所以y=d(x)在x=工處取得極小值，也是最小值,

m2

所以昨d(x)在區(qū)間(1,2)上的值域?yàn)椋?+加+ln(ln2),加+山2),

若(ln2,加)為y=〃x)在區(qū)間。上的“分割數(shù)對"，既要滿足y=d(x)在區(qū)間(1,2)上的函數(shù)值有正有負(fù)，

f/w+ln2>0,、

所以《、=^>-In2<m<-I-ln(In2),

加+加+ln(ln2)<0I)

即實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為(-In2,-l-In(In2)).

(3)對任意feR,考慮d(x)=/1f)x-/(x)+/(f)-7)),

則(/'⑺"'⑺)不是了=在。上的"分割數(shù)對"等價(jià)于d(x)20或d(x)V0恒成立，

顯然，頊=夕0-〃，)+〃/)-葉0=0,

由于屋(x)=r(Z)-r(x),顯然屋⑺==0,

因?yàn)?[x?+(a+2)x+a+6]e",則〃(x)=^x2+(a+2)x+a+Z?^|e':,

所以'(尤)=-，+(a+4)x+24+H2]e，，結(jié)合函數(shù)尸"(x)的性質(zhì)可知"力'(x)WO恒成立"等價(jià)于"對任意

feR,d(x)W0恒成立”，

即廠+(。+4)》+2。+6+220在區(qū)上恒成立，

即A=。2-46+840,

由題意，滿足/一46+840的實(shí)數(shù)。有且僅有一個(gè)，則6=2.

6.(2025?上海浦東新?二模)定義域?yàn)镽的可導(dǎo)函數(shù)>=/(x)滿足，在曲線>=/(x)上存在三個(gè)不同的點(diǎn)

^(x1,j1),5(x2,y2),C(x3,j^3)(x1<JC2<x3),使得直線/C與曲線y=/(x)在點(diǎn)B處的切線平行(或重合).若

國,3,三成等差數(shù)列，則稱“X)為"等差函數(shù)"；若國,超,三成等差數(shù)列且再多,馬均為整數(shù)，則稱“X)為"整

數(shù)等差函數(shù)

⑴設(shè)/(x)=/+x,g(x)=sinx,分別判斷〃無)和g(無)是否為"整數(shù)等差函數(shù)"，直接寫出結(jié)論；

⑵若/(')=77^為"整數(shù)等差函數(shù)"，求實(shí)數(shù)m的最小值；

⑶已知y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)了=7'(x)在R上為增函數(shù)，且存在一個(gè)正常數(shù)T,使得對任意xeR,

/■(x+7)=/'(x)成立，證明：〃尤)為"等差函數(shù)"的充要條件是“X)為常值函數(shù).

【答案】⑴g(x)不是"整數(shù)等差函數(shù)"，"X)是"整數(shù)等差函數(shù)"

⑵答案見解析；

⑶證明見解析.

【分析】(1)設(shè)公差為d(d〉o),根據(jù)所給定義及導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到心c=/'(%)，即可判斷；

(2)設(shè)公差為d,則〃>0且deZ,由3c=/'(x2)得到加=生/從而確定機(jī)的最小值；

(3)首先證明充分性，再說明必要性,設(shè)公差為>0),結(jié)合所給定義得到/■(%+d)-f(x2-d)=2df(x2),

令3口)=/(9+%)-/(%2-冷-2礦(X2),X>O,結(jié)合/(x+7)=/(x)推出/(x)為常值函數(shù).

【詳解】(1)假設(shè)再,》2，三成等差數(shù)列，得％=也產(chǎn)，

設(shè)公差為4,則4=%2-玉=%3-％2>0，

22

對于/(X)：直線4c的斜率口=叢二%+33ff=xe什1,

x3-xlx3-x1

因?yàn)閒(x)=2x+1,所以曲線y=/(x)在點(diǎn)B處的切線斜率為了'伍)=2x?+1,

由題意，左紇=/'(七)=工+』+1=2x?+1恒成立,

取x?=2,d=\,則再,0,》3成等差數(shù)列且均為整數(shù)，故/(x)是"整數(shù)等差函數(shù)”.

i一/\一八、一人Iq,Vo-Ksinx,-sinxsin(x+(7)-sin(x-d)cosx,sind

122L

對于gX，直線AC的斜率kAC=塵/=------=一^一二「-—=—h一,

x3-x{x3-x12aa

因?yàn)間'(x)=cosx,所以曲線>=/(x)在點(diǎn)3處的切線斜率為/'(々)=cos%，

由題意3c=g'(%2)n=cos%2ncosx2(sind—d)=0,

d

若％￡Z,則馬工［左+；］兀，左￡Zncos看w0,

令加(x)=sinx—x,x￡(0,+e),貝ij/(x)=cosx—lVO恒成立，所以加(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減,

所以冽(x)=sinx—x〈加⑼=0,即sinx—x<0在(0,+8)上恒成立，

即sind-d<0(d〉0)恒成立，所以cos馬卜ind-d)=0無解，

故g(x)不是“整數(shù)等差函數(shù)〃.

(2)因?yàn)?(%)為〃整數(shù)等差函數(shù)〃，所以玉,％2，七成等差數(shù)列且須，%，退均為整數(shù)，

設(shè)公差為d,則4=工2-西=%3-％2>0，且d￡Z,

1_______

直線AC的斜率k=%一必=占+加x；+m=玉+%3,

AC

X3-xlx3(x；+加)(x；+加)

2x2x

因?yàn)?'(x)=一(J\2,所以曲線J,=/(x)在點(diǎn)B處的切線斜率為1(三)=~7-S'

IXI7/7IIJCyIYYlI

xx+x3_2X2

由題意，黑=’國尸一(x；+同代+時(shí)一一+比廣

又歹=/(x)的定義域?yàn)镽，有加〉0,

當(dāng)％2=0時(shí)，再+工3=°，此時(shí)加〉0,無罪小值;

當(dāng)/w0時(shí)，因?yàn)樵?%-d,x3=x2+d,

所以（X；+加）2=（尤;+機(jī)）

2

nX；+2mx；—（^x2—d（x2+（/）"+mH.r2-1/）+（x2+17j

nx；+2mx；=X；-2x；d2+d4+2mx1+2md'

2x；-d2

=>"7=—=-----，

2

則7772；，可取％=4=1使等號(hào)成立，故加的最小值為

（3）充分性，因?yàn)椤癤）為常值函數(shù)，所以/'（力=0,

任意取等差數(shù)列再,％,w（X]<x2<x3）,則直線/C的斜率Kc=;_?=0,

曲線y=y（x）在點(diǎn)B處的切線斜率為/（乙）=0,

因?yàn)?c=/'（3），所以“X）為"等差函數(shù)

必要性，因?yàn)?（X）為"等差函數(shù)"，所以國,吃,花（不<馬<當(dāng)）成等差數(shù)列，

設(shè)公差為d，則d=x2-A-,=x3-x2>0,

直線AC的斜率3c=,

X3一再x3-X

曲線y=y(x)在點(diǎn)B處的切線斜率為/'(xj,

由題意，鼠=「卜2)O/(：)_[(*)=/'(苫2),

=>/(工2+")-/(%2--)=2《(%2),

令8(力=/(入2+力—/(%2-%A2礦(%2)，工>0，

,

貝Ug'(^)=f\x2+x)+f(x2-x)-27(X2)

—f(%2+x+T)+f(x?-x+T)-2f+T),

令〃(x)=/(X2+X+T)+/(X2-X+T)-2/(X2+T),

r,7

則/(%)=/(x2+x+T)-/(x2-x+7),

因?yàn)閺V(%)在R上為增函數(shù)，所以"(x”0,〃(力在(0,+巧上為增函數(shù),

因?yàn)椤?0)=。所以g，(x)=/z(x)N。,g(x)在R上為增函數(shù),

因?yàn)間(O)=。所以g(x"O在(0,+“)上恒成立，

又g(d)=0*由g(x)的單調(diào)性知g(x)=0,xe(0")，

故g<x)=0,xe(0,d),A,(x)=O,xe(O,t/),

f'(^x)=C,xe(x2-d+T,X2+d+T),C為常數(shù)，

=C,xe(工2-〃+2T,X2+d+27),

f\x)=0,xe(x2-<7+2T,X2+d+27),

/(x)=0,xe(x2-d+3T,X2+d+3T^,

接下來，一方面，因?yàn)?(x+T)=f'(x),且/'(x)在R上為增函數(shù)，

所以在R上為增函數(shù)，故r(x)NO,/(x)>0,

由f(x)=0,xe(x2-c?+3T,x2+1+37),可得/(x)=0,xe+d+37),

另一方面，因?yàn)?(X+T)=/(X),

77

所以/'(x)=0,xe(-oo,x2+J+37),可得/(x)=O,xe(-OO,JC2+d+4T),

以此類推，/卜)=。在R上恒成立，即/(x)為常值函數(shù).

命題得證！

7.(2025?上海崇明?二模)已知函數(shù)y=〃x),尸為坐標(biāo)平面上一點(diǎn).若函數(shù)>=/")的圖像上存在與尸不

同的一點(diǎn)。，使得直線PQ是函數(shù)>=/(》)在點(diǎn)。處的切線，則稱點(diǎn)P具有性質(zhì)〃；.

(1)若/■1)=/,判斷點(diǎn)玖1,0)是否具有性質(zhì)、/,并說明理由；

(2)若/(x)=2/一4/+2x,證明：線段x=；(TV〉Vl)上的所有點(diǎn)均具有性質(zhì)M/；

⑶若〃x)=",證明："點(diǎn)尸(x〃)具有性質(zhì)//'的充要條件是

【答案】(1)點(diǎn)P(l,0)具有性質(zhì)放/,理由見解析

⑵證明見解析

⑶證明見解析

【分析】(1)設(shè)。(見42)，然后寫出經(jīng)過。(見?2)的切線方程，將HL。)代入求解，即可判斷；

(2)設(shè)。(q,2q3-4/+2。，然后寫出經(jīng)過0的切線方程，按尸W1)是否在/(x)=2x34-4x2+2x

分類討論，代入切線方程，得到關(guān)于4的方程，證明其有解即可；

(3)設(shè)0(q,e“)，然后寫出經(jīng)過。的切線方程，然后按照充分必要性的推出關(guān)系，分別證明即可.

【詳解】(1)點(diǎn)21,0)具有性質(zhì)理由如下：

設(shè)0(%/),因?yàn)?'(x)=2x,

所以曲線了=/(x)在點(diǎn)。處的切線方程為：y=2qx-q2,

將點(diǎn)尸(1,0)坐標(biāo)代入，得：2q_q、Q,所以4=0或2

即函數(shù)V=/(x)的圖像上存在與P不同的一點(diǎn)。(0,0),

使得直線尸0是函數(shù)>=/(x)圖像在點(diǎn)Q處的切線，故點(diǎn)尸(1,0)具有性質(zhì)Mf.

(2)證明：/,(X)=6X2-8X+2

設(shè)嗎J[(-I"/'。。"-%*)

函數(shù)了="X)的圖像在。處的切線方程為：y=(6/一的+2^x-q)+2/-4/+2q①

當(dāng)y=!時(shí)，點(diǎn)尸在函數(shù)了=/*)的圖像上，

4

113

將x=5，y=/弋入①式，得：4/-7/+旬工=°②

331

令g(q)=4/—7夕2+4夕一：，貝!Jg(0.6)=<0,g(l)=->0

45004

所以關(guān)于q的方程②必有實(shí)數(shù)解x=q,且gN；

故函數(shù)y=/(x)的圖像上存在與P不同的一點(diǎn)。，使得直線p。是函數(shù)y=/(x)圖像在點(diǎn)。處的切線，即點(diǎn)

g’!)具有性質(zhì)M，；

當(dāng),vwj時(shí)，點(diǎn)P不在函數(shù)j，=/(x)的圖像上，

4

將x=5代入①)式，得：歹=—4/+7/-4q+1③

令h(q)=一4/+7/—4q+l,貝!J/z(0)=1,h(2)=-11<-1

所以當(dāng)TWyWl時(shí)，關(guān)于q的方程③必有解，

故函數(shù)>=/(、)的圖像上存在與尸不同的一點(diǎn)。，使得直線尸0是函數(shù)V=/(x)圖像在點(diǎn)。處的切線，即點(diǎn)

嗎，4一141,嚴(yán)具有性質(zhì)％,

綜上所述，線段X=1(-1<y<l)上的所有點(diǎn)均具有性質(zhì)M,.

(3)證明:設(shè)0(q,e")，

函數(shù)了=/(尤)的圖像在。處的切線方程為：y=^x-^-q+e

必要性：若點(diǎn)P(尤,夕)具有性質(zhì)加/,則點(diǎn)尸(尤/)應(yīng)滿足方程y=e0-eMq+e，

令g(x)=e*-y=e*-e"x+e。?q-e，,則由g'(x)=e*-e，=0,得：x=q,

當(dāng)x<4時(shí)，g'(x)<0,當(dāng)x>q時(shí)，g<x)>0,

故函數(shù)>=g(x)在x=4時(shí)取得最小值g(q)=0

因?yàn)镻與。是不相同的點(diǎn)，所以點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)因此e*-y>0,

即y<er.

充分性：當(dāng)y<e"時(shí)，令〃(q)=xe。-qe，+e，-y=(x-q+l)e"-y

對于函數(shù)，=力(4),當(dāng)q趨向+oo時(shí)，力(4)趨向

又h(x)=e~y>Q,故關(guān)于q的方程岫)=0必然有解，

即存在點(diǎn)。(見e〃)使得直線尸。是函數(shù)夕=/(幻的圖像的切線，

所以點(diǎn)P(xj)具有性質(zhì)

綜上所述，"點(diǎn)P(x,y)具有性質(zhì)"7"的充要條件是3<e，

8.(2025?上海青浦?模擬預(yù)測)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)有很多有趣的性質(zhì)，例如：函數(shù)>=c(實(shí)數(shù)c為常數(shù))的導(dǎo)函

數(shù)為v=o；反之，若函數(shù)y=0(x)的導(dǎo)函數(shù)為。'(x)=o,則。(x)=c(實(shí)數(shù)c為常數(shù)).已知函數(shù)>=/(x)與

y=g(x)定義域都是R,導(dǎo)函數(shù)分別為y=/(x"Dy=g'(x).若/'(x)=〃x),則稱，=/(x)是“自導(dǎo)函數(shù)"；落

/'(X)=g(x)且g'(x)=-/(x),則稱y=/(x)與y=g(x)是“共軟互導(dǎo)函數(shù)”.

⑴請判斷函數(shù)丁=y+6(°,6€&°40)是否是"自導(dǎo)函數(shù)"，并說明理由；

⑵若函數(shù)>=/(x)是"自導(dǎo)函數(shù)"，且滿足"0)=1,求證：/(x)/(-x)=l;

⑶若函數(shù)了=/(x)與y=g(x)是"共輾互導(dǎo)函數(shù)”，滿足〃0)=0,g(0)=l,求證：r(x)+g2(x)=i.進(jìn)而證明

f(x)=sinx且g(x)=cosx.