第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《勾股定理的應(yīng)用》專項檢測卷(附答案)學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．每年的11月9日是我國的消防日，為了增強(qiáng)全民的消防安全意識，某校師生舉行了消防演練，如圖，云梯長為25米，云梯頂端C靠在教學(xué)樓外墻上（墻與地面垂直），云梯底端A與墻角O的距離為7米．(1)求云梯頂端C與墻角O的距離的長；(2)現(xiàn)云梯頂端C下方4米D處發(fā)生火災(zāi)，需將云梯頂端C下滑到著火點D處，則云梯底端水平方向向右滑動的距離為多少米．2．如圖，《九章算術(shù)》中記載：今有立木，系索其末，委地三尺，引索卻行，去本八尺而索盡．問索長幾何．譯文：現(xiàn)在有一根豎直的木頭，繩子系在其頂端．將繩子垂到地面時，繩子還有三尺余在地上．拉著繩子后退，離木頭根部八尺時，繩子被拉直用完．問繩子的長度是多少？3．如圖，琪琪在離水面高度的岸邊C處，用繩子拉停在B處的小船靠岸，開始時繩子的長為．

(1)開始時，小船距岸A的距離為_______；(2)若琪琪收繩后，船到達(dá)D處，求小船向岸A移動的距離的長．4．如圖，一根直立的旗桿高，因刮大風(fēng)旗桿從點處折斷，頂部著地且離旗桿底部的距離為．(1)求旗桿在距地面多高處折斷；(2)工人在修復(fù)的過程中，發(fā)現(xiàn)在折斷點的下方的點處，有一明顯裂痕，若下次大風(fēng)將旗桿從點處吹斷，在距離旗桿底部5米處是否有被砸傷的風(fēng)險？5．《九章算術(shù)》卷九“勾股”中記載：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊，問水深、葭長各幾何．大意是：如圖，水池底面的寬丈，蘆葦生長在的中點O處，高出水面的部分尺．將蘆葦向池岸牽引，尖端達(dá)到岸邊時恰好與水面平齊，即，求水池的深度和蘆葦?shù)拈L度(1丈等于10尺)．(1)求水池的深度；(2)中國古代數(shù)學(xué)家劉徽在為《九章算術(shù)》作注解時，更進(jìn)一步給出了這類問題的一般解法．他的解法用現(xiàn)代符號語言可以表示為：若已知水池寬，蘆葦高出水面的部分，則水池的深度可以通過公式計算得到．請證明劉徽解法的正確性．6．如圖，甲、乙兩艘貨輪同時從A港出發(fā)，分別去B，C兩港裝載物資，運送到位于A港北偏東方向的D港．甲貨輪沿A港的北偏東方向航行120海里后到達(dá)B港，因裝載工人人手不夠，甲貨輪花了5個小時裝載貨物，然后沿正北方向航行一定距離到達(dá)D港．乙貨輪沿A港的西北方向航行一定距離到達(dá)C港，3個小時后裝載好貨物，再沿正東方向航行一定距離到達(dá)D港．（參考數(shù)據(jù)：，(1)求B，D兩港之間的距離（結(jié)果保留根號）；(2)若甲、乙兩艘貨輪都勻速航行，甲貨輪每小時航行30海里，乙貨輪每小時航行60海里，哪艘貨輪先到達(dá)D港？請通過計算說明（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）．7．直角三角形的三邊關(guān)系：如果直角三角形兩條直角邊長為a、b，斜邊長為c，則．(1)圖1為美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請你利用圖1推導(dǎo)上面的關(guān)系式．利用以上所得的直角三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行解答；(2)如圖2，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個取水點A、B，其中，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點H（A、H、B在一條直線上），并新修一條路，且．測得千米，千米，求新路比原路少多少千米？(3)在第（2）問中若時，，，，，設(shè)，求x的值．8．如圖，小明與小華爬山時遇到一條筆直的石階路，路的一側(cè)設(shè)有與坡面平行的護(hù)欄．小明量得每一級石階的寬為，高為，爬到山頂后，小華數(shù)得石階一共200級，若每一級石階的寬和高都一樣，且構(gòu)成直角，請你幫他們求護(hù)欄的長度．

9．超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因．某周末，張三同學(xué)在青年路嘗試用自己所學(xué)的知識檢測車速，如圖，觀測點設(shè)在到公路的距離為的處．這時，一輛車由西向東勻速駛來，測得此車從處行駛到處所用的時間為，并測得，．(1)求的長；(2)試判斷該車是否超過了的限制速度．（參考數(shù)據(jù)：）10．臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心在周圍上千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強(qiáng)的破壞力，如圖，臺風(fēng)中心沿東西方向由A向B移動，長．已知海港C到A的距離為，到B的距離為．臺風(fēng)的影響范圍為臺風(fēng)中心周圍內(nèi)．(1)海港C受臺風(fēng)影響嗎？請說明理由．(2)若臺風(fēng)的速度為，臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間有多長？11．如圖，鐵路上有、兩點（看作直線上兩點）相距千米，、為兩村莊（看作兩個點），，，垂足分別為、，千米，千米，現(xiàn)在要在鐵路旁修建一個煤棧，使得、兩村到煤棧的距離相等．設(shè)煤棧應(yīng)建在距點千米處的點處，如圖，則千米．

(1)（______）千米；(2)煤棧應(yīng)建在距點多少千米處？12．如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，直線交軸于點，交軸于點．直線交于點，交軸于點．(1)求直線的解析式和點坐標(biāo)；(2)如圖2，點坐標(biāo)為，則的面積是________．(3)設(shè)點是軸上一動點，是否存在點使的值最?。咳舸嬖冢埱蟪龅淖钚≈担?4)以為腰在第一象限作等腰直角三角形，直接寫出點的坐標(biāo)．13．如圖：某小區(qū)有兩個噴泉A，B，兩個噴泉的距離長為，現(xiàn)要為噴泉鋪設(shè)供水管道和，供水點M在小路上，供水點M到的距離的長為，的長為．(1)求供水點M到噴泉A，B需要鋪設(shè)的管道總長；(2)求噴泉B到小路的最短距離．14．如圖，有兩棵樹，一棵樹高AC是10米，另一棵樹高BD是4米，兩樹相距8米（即CD=8米），一只小鳥從一棵樹的樹梢A點處飛到另一棵樹的樹梢B點處，則小鳥至少要飛行多少米？15．已知某消防車的云梯最大能伸長25米，在一次救援中，消防車云梯伸到最長25米，它的底部與建筑物之間的水平距離米，云梯底部與地面的距離米．(1)求此時云梯頂端C離地面的高度為多少米；(2)若云梯頂端需要伸到距離地面17的處，則消防車需要向建筑物方向移動多少米到達(dá)處？參考答案1．(1)云梯頂端與墻角的距離的長為(2)云梯底端在水平方向上滑動的距離為【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）在中，根據(jù)勾股定理即可得到求解；（2）在中，根據(jù)勾股定理求出，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：在中，，，由勾股定理得，即，解得：；答：云梯頂端與墻角的距離的長為；（2）解：，，，在中，，，由勾股定理得，即，解得：，，．答：云梯底端在水平方向上滑動的距離為．2．尺【分析】根據(jù)題意得，繩索，木樁形成直角三角形，根據(jù)勾股定理，即可求出繩索長．本題考查勾股定理的知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，運用勾股定理解決實際問題．【詳解】解：設(shè)繩索長為x尺，則木樁高為尺，∴在中，，，∴根據(jù)勾股定理，得，解得．∴繩索長為尺．3．(1)12(2)【分析】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是學(xué)握從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．（1）在中，利用勾股定理計算出長；（2）根據(jù)題意可得長，然后再次利用勾股定理計算出長，再利用可得長．【詳解】（1）解：在中，，，故答案為：12；（2）∵琪琪收繩后，船到達(dá)處，，，．4．(1)旗桿距地面處折斷(2)在距離旗桿底部米處有被砸傷的風(fēng)險【分析】本題考查的是勾股定理的實際應(yīng)用，熟練的從實際問題中構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．（1）設(shè)長為，則長，再利用勾股定理建立方程即可；（2）先畫出圖形，再求解，，再利用勾股定理可得答案．【詳解】（1）解：由題意，知．因為，設(shè)長為，則長，則，解得．故旗桿距地面處折斷；（2）解：如圖：因為點P距地面，所以，所以，則距離旗桿底部周圍的范圍內(nèi)有被砸傷的風(fēng)險，所以在距離旗桿底部處有被砸傷的風(fēng)險．5．(1)12尺(2)見解析【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用；（1）設(shè)水池深度為x尺，則得蘆葦高度為尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解；（2）由水池深度，則得蘆葦高度為，由題意有：；由勾股定理即可得證．【詳解】（1）解：設(shè)水池深度為x尺，則蘆葦高度為尺，由題意有：尺；為中點，且丈尺，(尺)；在中，由勾股定理得：，即，解得：；即尺；答：水池的深度為12尺；（2）證明：水池深度，則蘆葦高度為，由題意有：；為中點，且，；在中，由勾股定理得：，即，整理得：；表明劉徽解法是正確的．6．(1)海里(2)甲貨輪先到達(dá)D港【分析】（1）過點B作于點G，作，交于點H，故，解直角三角形求出，進(jìn)而求出，易求，推出，進(jìn)而求出，利用勾股定理即可求解；（2）過點作于點M，易證，推出，求出海里，海里，根據(jù)題意得：，則，求出海里，海里，再根即已知計算出甲貨輪所用時間乙貨輪所用時間為比較即可解答．【詳解】（1）解：過點B作于點G，作，交于點H，故，根據(jù)題意得：海里，，在中，海里，在中，,∴海里，海里，∴海里，在中，海里，答：B，D兩港之間的距離為海里；（2）解：過點作于點M，∵，∴，∴，由（1）知海里，海里，海里，海里，∴，∴海里，海里，根據(jù)題意得：，則，∴海里，∴海里，海里，∴甲貨輪所用時間為：（小時），乙貨輪所用時間為：（小時），∵，∴甲貨輪先到達(dá)D港．【點睛】本題考查了方位角視角下的解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，構(gòu)造直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．7．(1)見解析(2)新路比原路少0.5千米(3)【分析】本題考查的是勾股定理的證明方法以及勾股定理的應(yīng)用；（1）梯形的面積可以由梯形的面積公式求出，也可利用三個直角三角形面積求出，兩次求出的面積相等列出關(guān)系式，化簡即可得證；（2）設(shè)千米，則千米，根據(jù)勾股定理列方程，解方程即可得到結(jié)果；（3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到結(jié)果．【詳解】（1）解：，∴梯形的面積為或，，，即，（2）解：設(shè)千米，則千米，在中，，即，解得：，即，（千米），答：新路比原路少千米，（3）解：由題得，，在中，，在中，，，即，解得：．8．【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．先利用勾股定理求出每一級石階的斜邊長，再乘以200即可求出護(hù)欄的長度．【詳解】解：根據(jù)勾股定理，每一級石階的斜邊長為，．答：護(hù)欄的長度為．9．(1)(2)該車超過了的限制速度【分析】本題主要考查了勾股定理，含30度角直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，熟練掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)含30度角直角三角形的性質(zhì)，即可求解；（2）根據(jù)勾股定理可得，再由等腰直角三角形的判定可得，可求出，即可求解．【詳解】（1）解：在中，，，，．（2）解：在中，，，．在中，，，，，，該車的速度為，該車超過了的限制速度．10．(1)海港C受臺風(fēng)影響，見解析(2)臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間為1.4小時【分析】本題考查的是勾股定理在實際生活中的運用．（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，進(jìn)而利用三角形面積得出的長，進(jìn)而得出海港C是否受臺風(fēng)影響；（2）利用勾股定理得出以及的長，進(jìn)而得出臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間．【詳解】（1）解：海港C受臺風(fēng)影響．理由如下：如圖，過點C作于D，∵，，，∴，∴是直角三角形，∴，∴，∴，∵以臺風(fēng)中心為圓心周圍以內(nèi)為受影響區(qū)域，∴海港C受到臺風(fēng)影響，（2）解：如圖，當(dāng)，時，正好影響C港口，∵，∴，∵臺風(fēng)的速度為，∴（小時），即臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間為1.4小時．11．(1)(2)千米處【分析】（）連接，則，由勾股定理可得，解之即可求解；（）根據(jù)（）的結(jié)果即可求解；本題考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖，連接，則，∵，，∴，∵千米，∴千米，∵，∴，解得，∴千米，故答案為：；（2）解：由（）得，千米，∴煤棧應(yīng)建在距點千米處．12．(1)直線的解析式為，點坐標(biāo)為(2)18(3)存在，的最小值為(4)或【分析】（1）利用待定系數(shù)法運算求出解析式即可，再把代入函數(shù)解析式求出點的坐標(biāo)即可；（2）作點關(guān)于軸對稱點，連接交軸于點，此時的值最小，最小值為的長，再利用勾股定理求出的長即可；（3）利用三角形的面積公式計算即可；（4）分類討論點的位置，利用等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)與判定即可求解．【詳解】（1）解：代入，到得，，解得：，直線的解析式為，代入，則，點坐標(biāo)為，直線的解析式為，點坐標(biāo)為．（2）解：由（1）得，點坐標(biāo)為，又點坐標(biāo)為，，．故答案為：18．（3）解：存在．如圖1中，作點關(guān)于軸對稱點，連接交軸于點，由對稱性得，，點坐標(biāo)為，，當(dāng)三點共線時，的值最小，最小值為的長，，，，的最小值為．（4）解：以為腰在第一象限作等腰直角三角形，或，下面分2種情況討論：①當(dāng)時，記等腰直角三角形為，作軸于點，則，，，，，，即，又，，，，，，；②當(dāng)時，記等腰直角三角形為，同理①中的方法可得；綜上所述，滿足條件的點的坐標(biāo)為或．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與幾何綜合、勾股定理、軸對稱的最短路徑問題、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相關(guān)知識點，結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．13．(1)供水點M到噴泉A，B需要鋪設(shè)的管道總長為(2)噴泉B到小路的最短距離為【分析】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理．（1）首先根據(jù)勾股定理求出，進(jìn)而求解即可；（2）過點B作，利用等面積法求解即可．【詳解】（1）∵在中，，，∴在中，∴，答：供水點M到噴泉A，B需要鋪設(shè)的管道總長為；（2）如圖所示，過點B作，．答：噴泉B到小路的最短距離為．14．小鳥至少飛行了10米【分析】根據(jù)“兩點之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的樹梢進(jìn)行直線飛行，所行的路程最短，運用勾股定理可將兩點之間的距離求出．【詳解】解：如圖，大樹高為AC=10米，小樹高為BD=4米，過點B作BE⊥AC于E，則四邊形EBDC是矩形，連接AB，∴E