第第頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《利用勾股定理及其逆定理求解》專項(xiàng)檢測(cè)卷(附答案)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________1．如圖，在四邊形中，，且．(1)求的度數(shù)；(2)若，則四邊形的面積為_____．2．如圖，在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)在上，從向以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（）（）．將四邊形沿直線翻折得到四邊形，連接，．(1)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)判斷此時(shí)的形狀并說明理由．(2)當(dāng)為何值時(shí)，正好落在矩形的邊所在的直線上，請(qǐng)判斷此時(shí)的形狀并說明理由．3．如圖，在四邊形中，，，，．(1)求的度數(shù)；(2)求四邊形的面積．4．如圖：正方形的邊長(zhǎng)為5，點(diǎn)在邊上且，點(diǎn)在直線上(1)求線段的長(zhǎng)(2)如圖（1）當(dāng)在線段上時(shí)，若，求證：(3)當(dāng)為直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為___________（直接寫出答案）5．定義：在中，若，，，且a，b，c滿足，則稱這個(gè)三角形為“類勾股三角形”．請(qǐng)根據(jù)以上定義解決下列問題：(1)如圖1，若等腰三角形是“類勾股三角形”，，，求的度數(shù)．(2)如圖2，在中，，且，D是AB上的點(diǎn)，連接CD，滿足，過點(diǎn)作，垂足為．求證：為“類勾股三角形”．6．如圖，四邊形中，．(1)求的度數(shù)；(2)求四邊形的面積．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與軸相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，，經(jīng)過點(diǎn)的直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．(1)求直線的解析式；(2)已知點(diǎn)在直線上，連接，，當(dāng)?shù)拿娣e為5時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)、連接、在直線上找一點(diǎn)，使，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．8．如圖，四邊形中，，連接．(1)求的長(zhǎng)；(2)判斷三角形的形狀，并求出四邊形的面積．9．如圖，△ABC中，，，邊上的中線．(1)與互相垂直嗎？為什么？(2)求的長(zhǎng)．10．如圖，中，，，，B是延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，連接，若，(1)說明為直角，(2)求的長(zhǎng)．11．如圖，在中，，是邊上的一點(diǎn)，，，．(1)判斷的形狀，并說明理由；(2)求的周長(zhǎng)．12．閱讀理解：對(duì)于線段和點(diǎn)，定義：若，則稱點(diǎn)為線段的“等距點(diǎn)”；特別地，若，則稱點(diǎn)是線段的“完美等距點(diǎn)”．解決問題：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)．(1)已知3個(gè)點(diǎn)：，則這三點(diǎn)中，可以做線段的“等距點(diǎn)”是，線段的“完美等距點(diǎn)”是；(2)若坐標(biāo)原點(diǎn)O為線段AP的“等距點(diǎn)”，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若，點(diǎn)在軸上，且是線段的“等距點(diǎn)”，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(4)當(dāng)，是否存在這樣的點(diǎn)，使點(diǎn)是線段的“等距點(diǎn)”，也是線段的“完美等距點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫出所有這樣的點(diǎn)P的坐標(biāo)．13．在中，是的中點(diǎn)．為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接．過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，連接．(1)如圖1，當(dāng)是線段上一點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)依題意補(bǔ)全圖形，并判斷以三條線段為邊構(gòu)成的三角形是三角形；(2)當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)依題意補(bǔ)全圖2，并判斷（1）中的結(jié)論是否仍成立，如果成立，請(qǐng)說明理由．14．如圖，平行四邊形的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，且．(1)求證：平行四邊形是菱形；(2)求平行四邊形的面積．15．如圖1和圖2，平面上，四邊形中，，，，點(diǎn)M在邊上，且．點(diǎn)P從點(diǎn)A沿折線上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，將沿翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為x．(1)如圖1，連接，①求的度數(shù)；②求證：．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)落到四邊形內(nèi)部時(shí)，求x的取值范圍．(3)①當(dāng)點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出x的值．②設(shè)點(diǎn)到邊所在直線的距離為h，請(qǐng)直接寫出h的最小值．參考答案1．(1)(2)【分析】本題考查的是勾股定理和勾股定理的逆定理的應(yīng)用，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是，，斜邊長(zhǎng)為，那么．如果三角形的三邊長(zhǎng)，，滿足，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．（1）連接，設(shè)、、、分別為、、、，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)勾股定理的逆定理求出，計(jì)算即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用三角形面積公式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：連接，設(shè)、、、分別為、、、，，，，，，，，，；（2）解：，，，，，由勾股定理得，由（1）知：∴．2．(1)是等腰三角形，理由見解析(2)當(dāng)是，是等腰三角形；當(dāng)時(shí)，直角三角形，理由見解析【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得：，則；先根據(jù)勾股定理計(jì)算的長(zhǎng)，解，得出則是等邊三角形，最后根據(jù)平行線分線段成比例定理，由，得，從而得結(jié)論；（2）分兩種情況討論，點(diǎn)在直線和上，分別畫出圖形，根據(jù)折疊的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）解：是等腰三角形如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由折疊得：，四邊形是矩形，，，，；在中，，，，，是等邊三角形，，，過作，，'，，，，，是等腰三角形；（2）解：當(dāng)在直線上時(shí)，如圖，∵，，∴由折疊得：，四邊形是矩形，，，；∴∴又∵，∴當(dāng)時(shí)，是等腰直角三角形如圖，當(dāng)在直線上時(shí)，如圖，由折疊得：，，∴是等腰直角三角形，是直角三角形∴,∴，此時(shí)是直角三角形綜上所述，當(dāng)時(shí)，是等腰三角形；當(dāng)時(shí)，是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、等邊三角形的判定及性質(zhì)以及解直角三角形，根據(jù)圖形的翻折找出相等的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．(1)(2)【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，證明是直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．（1）利用勾股定理可求，求出，由勾股定理的逆定理可證是直角三角形，即可得出結(jié)論；（2）由三角形的面積公式即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：∵，，∴為等腰直角三角形，由勾股定理：，∵，，∴，∴為直角三角形，；（2）解：．4．(1)(2)見解析(3)或9或或【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，解一元二次方程，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）對(duì)運(yùn)用勾股定理即可求解；（2）先得到，，那么，，然后運(yùn)用勾股定理求出，再計(jì)算，證明出即可；（3）分三種情況討論，利用勾股定理和全等三角形的判定與性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：∵四邊形是正方形，∴，∴（2）解：連接，∵四邊形是正方形，∴，，∴，，∴，，而，∴，∴，∴，即；（3）解：①當(dāng)時(shí)，如圖：設(shè)，則，在中，由勾股定理得，，在中，由勾股定理得，，而，∴當(dāng)時(shí)，，∴，解得：；②當(dāng)時(shí)，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴，∴；③當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，，在中，由勾股定理得，，而，∴當(dāng)時(shí)，，∴，整理得：，解得：或，綜上所述：當(dāng)為直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為或9或或，故答案為：或9或或．5．(1)(2)見解析【分析】本題考查了等腰三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟悉掌握各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)，，，根據(jù)類勾股三角形的特征，把代入運(yùn)算求解即可．（2）設(shè)，，，利用角的等量代換證出，得到，利用等腰三角形的性質(zhì)得到，再利用勾股定理列式求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)，，，∵是“類勾股三角形”，∴，∵，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴；（2）證明：設(shè)，，，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，∴，在中，，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，∴，∴，∴為“類勾股三角形”．6．(1)(2)【分析】本題主要考查勾股定理及其逆定理的運(yùn)用，掌握勾股定理及其逆定理的運(yùn)算，得到為直角三角形是解題的關(guān)鍵．（1）如圖，連接，可得是等腰直角三角形，得到，由勾股定理得到，運(yùn)用勾股定理逆定理得到為直角三角形，即，由此即可求解；（2）根據(jù)即可求解．【詳解】（1）解：如圖，連接，在中，，根據(jù)勾股定理得：，，，為直角三角形，即，則；（2）解：根據(jù)題意得：．7．(1)(2)或(3)或或【分析】（1）先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解即可得；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，先求出，再分兩種情況：①點(diǎn)在直線上，且在第一象限內(nèi)和②點(diǎn)在直線上，且在第二象限內(nèi)，利用三角形的面積公式建立方程，解方程即可得；（3）①當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，先求出直線的函數(shù)解析式，從而可得點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用勾股定理的逆定理可得，然后根據(jù)建立方程，利用平方根解方程即可得；②當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，先求出直線的函數(shù)解析式，可得直線經(jīng)過點(diǎn)，再過點(diǎn)作，且，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接，交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求，證出，從而可得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出直線的函數(shù)解析式，與直線的解析式聯(lián)立求解即可得．【詳解】（1）解：對(duì)于一次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，解得，即，當(dāng)時(shí)，，即，∵，∴，∵點(diǎn)在線段上，∴，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)，代入得：，解得，所以直線的解析式為．（2）解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵，，，∴，∴，則分以下兩種情況：①如圖，當(dāng)點(diǎn)在直線上，且在第一象限內(nèi)時(shí)，則的邊上的高為，∴，∵的面積為5，∴，解得，符合題設(shè)，∴，∴此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；②如圖，當(dāng)點(diǎn)在直線上，且在第二象限內(nèi)時(shí)，則的邊上的高為，∴，∵的面積為5，∴，解得，符合題設(shè)，∴，∴此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．（3）解：①當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，畫出圖形如下：設(shè)與直線的交點(diǎn)為，由對(duì)稱性可知，，，設(shè)直線的函數(shù)解析式為，將點(diǎn)，代入得：，解得，則直線的函數(shù)解析式為，∴直線經(jīng)過點(diǎn)，聯(lián)立，解得，∴，∴，，∴，∴，即，∵，∴是等腰直角三角形，且，∴，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵，，∴，整理得：，解得或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；②當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，畫出圖形如下：由對(duì)稱性可知，，，設(shè)直線的函數(shù)解析式為，將點(diǎn)，代入得：，解得，則直線的函數(shù)解析式為，∴直線經(jīng)過點(diǎn)，如圖，過點(diǎn)作，且，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接，交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求（理由：是等腰直角三角形，），∴，，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴，設(shè)直線的函數(shù)解析式為，將點(diǎn)，代入得：，解得，則直線的函數(shù)解析式為，聯(lián)立，解得，∴此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、勾股定理與勾股定理的逆定理、利用平方根解方程、三角形全等的判定與性質(zhì)、點(diǎn)坐標(biāo)與軸對(duì)稱等知識(shí)，較難的是題（3），正確分兩種情況，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形和等腰直角三角形是解題關(guān)鍵．8．(1)(2)是直角三角形，四邊形的面積為【分析】本題主要考查勾股定理及其逆定理的運(yùn)用，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）在中，運(yùn)用勾股定理即可求解；（2）根據(jù)勾股定理的逆定理可得是直角三角形，由即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴；（2）∵，∴，即，∴是直角三角形，∴，，∵，∴四邊形的面積為．9．(1)與互相垂直，理由見解析(2)．【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，關(guān)鍵是利用勾股定理的逆定理證得．（1）先根據(jù)三角形中線的定義得出，然后在中，根據(jù)勾股定理的逆定理即可證明；（2）由（1）可得，再根據(jù)勾股定理即可求出的長(zhǎng)．【詳解】（1）解：與互相垂直，證明：∵是邊上的中線，，∴，∵，，∴，∴是直角三角形，且，∴；（2）解：∵，∴，在中，．10．(1)(2)【分析】本題考查勾股定理定理及逆定理，根據(jù)逆定理得到是直角三角形，利用勾股定理求出是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)勾股定理逆定理確定即可得出結(jié)果；（2）利用勾股定理得出，結(jié)合圖形即可求解．【詳解】（1）解：∵，，，∴，，∴，∴；（2）∵，∴，∵，，∴，∴．11．(1)直角三角形；理由見解析(2)【分析】本題主要考查了勾股定理以及逆定理，解拓展一元一次方程，屬于?？碱}型，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)勾股定理的逆定理解答即可；（2）設(shè)，則，然后在中根據(jù)勾股定理即可得到關(guān)于x的方程，解方程即可求出x，進(jìn)一步即可求出的長(zhǎng)，從而求得的周長(zhǎng)．【詳解】（1）解：是直角三角形；理由如下：∵，，，∴，，∴，∴是直角三角形，則，∴，∴是直角三角形；（2）解：設(shè)，則，∴，∵，∴，即，解得：，則∴的周長(zhǎng)．12．(1)和；(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或，(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或；(4)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或【分析】（1）依據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式分別計(jì)算各點(diǎn)到，的距離，根據(jù)等距點(diǎn)和完美等距點(diǎn)做出判斷；（2）由在上，得到，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，由列出等式，求解即可，（3）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)等距點(diǎn)的定義，利用兩點(diǎn)之間的距離公式列出方程可得結(jié)論；（4）假定存在，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)等距點(diǎn)的定義，利用兩點(diǎn)之間的距離公式列出方程可得結(jié)論，本題綜合考查了一次函數(shù)與幾何知識(shí)的應(yīng)用，靈活應(yīng)用兩點(diǎn)之間的距離公式和勾股定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：，，，為等距點(diǎn)．，，，為等距點(diǎn)．，，，不為等距點(diǎn)．，，，，，為完美等距點(diǎn)，故答案：和；；（2）解：在上，，，，，或，（3）解：在上，，，，，或，設(shè)的坐標(biāo)為，或，，，或，解得：或．的坐標(biāo)為或；（4）解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，點(diǎn)是線段的“等距點(diǎn)”，，，解得：，為線段的“完美等距點(diǎn)”，，為等腰直角三角形，，，，，解得：或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．13．(1)補(bǔ)全圖形見詳解，直角(2)補(bǔ)全圖形見詳解，成立，理由見解析【分析】本題主要考查勾股定理逆定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，（1）延長(zhǎng)到，使得，連接，可證，可得，，在中，運(yùn)用勾股定理逆定理可得，于是有，即可求解；（2）過點(diǎn)作，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，可證，可得，運(yùn)用勾股定理逆定理即可求解．【詳解】（1）解：結(jié)論：以三條線段為邊構(gòu)成的三角形是直角三角形，理由：延長(zhǎng)到，使得，連接，在和中，，，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴以三條線段為邊構(gòu)成的三角形是直角三角形；（2）解：結(jié)論：．理由：過點(diǎn)作，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，則，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，在和中，，，，∴，∴，∵，∴，∵，∴．14．(1)證明見解析(2)【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理的逆定理：（1）根據(jù)勾股定理的逆定理證明，則可根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形證明；（2）根據(jù)菱形的面積等于其對(duì)角線乘積的一半進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）證明：∵∴，∴是直角