第第頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《四邊形的最值問題解答題》專項(xiàng)檢測(cè)卷(附答案)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________1．如圖，點(diǎn)依次在直線上，點(diǎn)固定不動(dòng)，且，分別以為邊在直線同側(cè)作正方形、正方形，，直角邊恒過點(diǎn)，直角邊恒過點(diǎn)．(1)如圖，若，，求點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離；(2)如圖，若，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的最大值；(3)如圖，若，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng)，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，則的最小值為_______．2．在菱形中，，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，以為邊向右側(cè)作等邊三角形，點(diǎn)的位置隨著點(diǎn)的位置變化而變化．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)在菱形內(nèi)部或邊上時(shí)，連接，判斷：與的數(shù)量關(guān)系是__________請(qǐng)寫出證明過程．與的位置關(guān)系是___________請(qǐng)寫出證明過程．(2)若，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)最小值為_______最大值為________．(3)如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接，若，，直接寫出四邊形的面積________．3．在數(shù)學(xué)興趣小組的活動(dòng)中，麻老師帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，將邊長(zhǎng)為2的正方形與邊長(zhǎng)為3的正方形按圖①位置放置，與在同直線上，與在同一直線上．(1)則線段和線段的關(guān)系為______；(2)如圖②，李老師將正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)恰好落在線段上時(shí)，請(qǐng)你幫他求出此時(shí)的長(zhǎng)；(3)在正方形繞旋轉(zhuǎn)過程中，直接寫出長(zhǎng)度的最大值為______和最小值為______．（只填空，不用證明）4．問題探究：(1)如圖1，在等邊中，，點(diǎn)P是它的外心，則＝；(2)如圖2，在矩形中，，邊上存在點(diǎn)P，使，求矩形面積的最小值；問題解決：(3)如圖3，在四邊形中，，，，邊上存在點(diǎn)P，使，在此條件下，四邊形的面積是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．5．在中，，，．點(diǎn)在邊上且，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，求；(2)如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，連接，取中點(diǎn)，作射線交直線于點(diǎn)．求線段的取值范圍；(3)如圖3．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作射線于點(diǎn)，為中點(diǎn)，直接寫出的最大值與最小值．6．已知：和均為等腰直角三角形，，，，連接，取、、的中點(diǎn)分別為G、F、H，連接、、．

圖1

圖2(1)當(dāng)點(diǎn)D在邊上，點(diǎn)E在邊上時(shí)，如圖1，判斷的形狀為；(2)把圖1中繞點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)得到圖2，判斷的形狀是否改變？請(qǐng)說明理由；(3)把繞點(diǎn)C在平面內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，若，，求線段的最大值與最小值．7．如圖①．已知是等腰直角三角形，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，作正方形，使點(diǎn)，分別在和上，連接，．

(1)試猜想線段和的數(shù)量關(guān)系，并證明你得到的結(jié)論；(2)將正方形繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后（旋轉(zhuǎn)角度大于，小于或等于），如圖②，通過觀察或測(cè)量等方法判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)予以證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由；(3)若，在（2）的旋轉(zhuǎn)過程中，①當(dāng)為最大值時(shí)，則___________．②當(dāng)為最小值時(shí)，則___________．8．問題發(fā)現(xiàn)：（1）如圖①，正方形的邊長(zhǎng)為2，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，是上一點(diǎn)（點(diǎn)不與、重合），將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，所得射線與交于點(diǎn)，則四邊形的面積為．問題探究：（2）如圖②，線段，為上一點(diǎn)，在上方作四邊形，使，且，連接，則的最小值為．問題解讀：（3）“綠水青山就是金山銀山”，某市在生態(tài)治理活動(dòng)中新建了一處南山情物園，圖③為青山植物園花卉展示區(qū)的部分平面示意圖，在四邊形中，，，米．其中、、為觀賞小路，設(shè)計(jì)人員考慮到為分散人流和便于觀賞，提出三條小路的長(zhǎng)度和要取得最大，試求的最大值．

9．如圖，四邊形是菱形，其中，點(diǎn)在對(duì)角線上，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，連接，作，交直線于點(diǎn)．(1)在線段上取一點(diǎn)，使，求證：；(2)圖中，．①點(diǎn)在線段上，求周長(zhǎng)的最大值和最小值；②記點(diǎn)關(guān)于直線的軸對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)．若點(diǎn)不能落在的內(nèi)部（不含邊界），求的取值范圍．10．已知四邊形ABCD和AEFG均為正方形．(1)觀察猜想：如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)A、B、G三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，連接BE、DG，則線段BE與DG的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是．(2)類比探究：如圖2所示，將正方形AEFG在平面內(nèi)繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2時(shí)，則（1）的結(jié)論是否成立，若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說明理由；(3)拓展延伸：在（2）的條件下，將正方形AEFG在平面內(nèi)繞點(diǎn)A任意旋轉(zhuǎn)，若，，則BE的最大值為，最小值為．11．如圖1，△GEF是一個(gè)等腰直角三角形零件（其中EG=FG，∠EGF=90°），它的兩個(gè)端點(diǎn)E、F分別安裝在矩形框架的邊AB、BC上（點(diǎn)E、F可以在邊上滑動(dòng)），且EF=AB=1.5，AD=2．小明在觀察△GEF運(yùn)動(dòng)的過程中，給出了兩個(gè)結(jié)論：①∠GEB與∠GFB一定互補(bǔ)；②點(diǎn)G到邊AB、BC的距離一定相等．(1)小明給出的兩個(gè)結(jié)論是否都正確？若結(jié)論是正確的，請(qǐng)寫出證明過程，若結(jié)論不正確，請(qǐng)說明理由；(2)請(qǐng)思考并解決小明提出的兩個(gè)問題：?jiǎn)栴}1：B、G兩點(diǎn)間距離的最大值為；問題2：過點(diǎn)G分別作GM⊥BC，GN⊥CD，垂足為點(diǎn)M、N，連接MN，那么MN長(zhǎng)度的最小值為多少？12．已知點(diǎn)M是矩形ABCD的邊AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MG⊥CD于點(diǎn)G，交對(duì)角線AC于點(diǎn)E，連接BE，過點(diǎn)E作EF⊥BE，交射線DC于點(diǎn)F．(1)如圖1，若AB＝AD，則FG與DG的數(shù)量關(guān)系是；(2)如圖2，若AB＝4，AD＝3，①當(dāng)點(diǎn)M在邊AB上移動(dòng)時(shí)，F(xiàn)G與DG的數(shù)量關(guān)系是否保持不變？若不變，請(qǐng)僅就圖2求出它們之間的數(shù)量關(guān)系；若變化，請(qǐng)說明理由．②當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出AM的最大值和最小值．13．如圖在矩形中，P是邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與C，D重合），連接，，過P作交于點(diǎn)E，分別過E作，，垂足分別為M，N，連接．(1)若，，的面積是否存在最小值？若存在，求出最小值并指出此時(shí)的長(zhǎng)度．(2)①若，，的面積是否存在最大值？若存在，求出最大值并指出此時(shí)的長(zhǎng)度．②若，，當(dāng)滿足什么條件時(shí)，的面積存在最大值．求出的面積存在最大值時(shí)，的取值范圍．14．如圖1，四邊形ABCD為正方形，，為等腰直角三角形，E在BA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在AD上，，．如圖2，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)x度（）得到．(1)如圖2，連接，，判斷線段與線段之間的關(guān)系，并說明理由；(2)如圖3，連接，若，求的最小值和最大值；(3)如圖4，直線與直線交于點(diǎn)N，連接CN，若，求CN的長(zhǎng)．15．在?ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝6．點(diǎn)E'在BC邊上且＝4，將B繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a°得到BE（0°＜a＜180°）．(1)如圖1，當(dāng)∠EBA＝90°時(shí)，求S△BCE；(2)如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，連接CE，取CE中點(diǎn)F，作射線BF交直線AD于點(diǎn)G．①求線段BF的取值范圍；②當(dāng)∠EBF＝120°時(shí)，求證：BC﹣DG＝2BF；(3)如圖3．當(dāng)∠EBA＝90°時(shí)，點(diǎn)S為線段BE上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EM⊥射線AS于點(diǎn)M，N為AM中點(diǎn)，直接寫出BN的最大值與最小值．參考答案1．(1)或；(2)；(3)．【分析】（）設(shè)，則，證明，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，則，轉(zhuǎn)化為，解方程即可；（）設(shè)，則，證明，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，則，轉(zhuǎn)化為然后由二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（）連接，由四邊形是正方形，得，即點(diǎn)對(duì)角線所在直線上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，利用勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)，則，∵四邊形、是正方形，∴，，，∴，，∵，∴，∴,∴，∴，即，則，解得：或，∴或；（2）設(shè)，則，∵四邊形、是正方形，∴，，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴，當(dāng)時(shí)，有最大，最大值為；（3）連接，∵四邊形是正方形，∴，即點(diǎn)在對(duì)角線所在直線上運(yùn)動(dòng)，如圖，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，過作于點(diǎn)，∴，四邊形為矩形，則點(diǎn)三點(diǎn)共線，，∴，∴，∵，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，∴在中，由勾股定理得：，∴的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，解一元二次方程，二次函數(shù)的最值，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．2．(1)，；(2)，；(3)．【分析】（）連接，交于點(diǎn)，根據(jù)題意可得和為等邊三角形,從而，又有為等邊三角形，可得，，可證得到，，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)可得，即可解答；（）由（）知，由此可以判斷點(diǎn)軌跡為射線，當(dāng)時(shí)，最小，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)當(dāng)點(diǎn)時(shí)，此時(shí)最大，過作，分別求解即可；（）連接，，設(shè)與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，由（）可得，根據(jù)勾股定理，然后分別求出和即可求解．【詳解】（1）解：如圖，連接，交于點(diǎn)，∵四邊形為菱形，，∴，，，∴和為等邊三角形，∴，，，∴為等邊三角形，∴，，，即，在與中，∴，∴，，∴，∴，∴，∵四邊形為菱形，∴，∴，故答案為：，；（2）解：∵，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，由（）知，由此可以判斷點(diǎn)軌跡為射線，∴當(dāng)時(shí)，最小，∵，是等邊三角形，∴，∴，即的最小值為，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)當(dāng)點(diǎn)時(shí)，此時(shí)最大，過作，∵為等邊三角形，此時(shí)，∴，∴四邊形是菱形，∴，由此可知，∴，在中，，∴，在中，，∴的最大值為，故答案為：，；（3）解：如圖，連接，，設(shè)與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，由（）可得，，∴為等邊三角形，∴，∴，，，∴，∴，∵為等邊三角形，∴∴，∴，∴，∵為等邊三角形，∴，∴的高為，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴四邊形的面積為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，垂線段中點(diǎn)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用解題的關(guān)鍵．3．(1)(2)(3)5，1【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可證，因此可證得，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，然后由三角形的內(nèi)角和和直角三角形的兩銳角互余可證得；（2）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，根據(jù)正方形的性質(zhì)可證得，然后根據(jù)勾股定理可求得的長(zhǎng)，進(jìn)而可求得；（3）點(diǎn)D在以A為圓心，2為半徑的圓上，如圖①②可得，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，的長(zhǎng)度有最大和最小值，求解即可．【詳解】（1）解：如圖1，四邊形與四邊形是正方形，，在和中，，，，且，如圖1，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，中，，，中，，，故答案為：；（2）解：∵四邊形和四邊形都是正方形，，，，在和中，，，，如圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，∵是正方形的對(duì)角線，，，∴在中，，在中，，，；（3）解：如圖，點(diǎn)D在以A為圓心，2為半徑的圓上，如圖①，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線，且點(diǎn)D位于點(diǎn)時(shí)，長(zhǎng)度取得最大值，最大值為；如圖②，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線，且點(diǎn)D位于點(diǎn)時(shí)，長(zhǎng)度取得最小值，最小值為．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定以及勾股定理的綜合應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，解本題的關(guān)鍵是全等三角形的靈活運(yùn)用．解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合．4．(1)(2)(3)存在，【分析】（1）畫出圖形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和外心的性質(zhì)即可作答；（2）如圖2中，當(dāng)以為直徑的與相切時(shí)，切點(diǎn)為P，此時(shí)，的長(zhǎng)最小,求出的長(zhǎng)即可解決問題；（3）存在．如圖3中，如圖作等邊三角形的外接圓，當(dāng)直線與相切與P時(shí)，四邊形的面積最大，此時(shí)滿足條件．想辦法求出、即可解決問題．【詳解】（1）如圖，∵在等邊中，，∴，∵點(diǎn)P是等邊的外心，∴，∴，故答案為：；（2）如圖，當(dāng)以為直徑的與相切時(shí)，切點(diǎn)為P，此時(shí)，的長(zhǎng)最?。?/p>

連接．∵與相切，∴，∵在矩形中，，∴四邊形，四邊形都是正方形，∴∴，，∴矩形面積的最小值為：．（3）存在．如圖，在的右邊作等邊三角形的外接圓，當(dāng)直線與相切與P時(shí)，四邊形的面積最大，此時(shí)根據(jù)圓周角定理可知：滿足條件．

延長(zhǎng)交于E，過點(diǎn)O作于F，過點(diǎn)P作于T，連接，交于R．的延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，∵∴，∴，又∵，，∴．∵是等邊三角形，圓外接等邊三角形，∴，結(jié)合、、，即四邊形、四邊形、四邊形、四邊形是矩形，∴，，，∵，，，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形綜合題、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、直線與圓的位置關(guān)系、四邊形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，學(xué)會(huì)利用輔助圓解決問題，屬于中考?jí)狠S題．5．(1)；(2)；(3)的最大值為；最小值為．【分析】（1）如圖1，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，根據(jù)題意求得，再根據(jù)特殊直角三角形的性質(zhì)進(jìn)而求得上的高，代入面積公式算出結(jié)果；（2）如圖，在線段上截取，連接、，可證得四邊形是平行四邊形，得出：，，再運(yùn)用三角形三邊關(guān)系即可求得答案；（3）如圖，連接，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接、、、，可證是等腰直角三角形，得出：，再由點(diǎn)是的中點(diǎn)，可得：，且，利用勾股定理得，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的最小值，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，，此時(shí)，的最大值．【詳解】（1）解：如圖1，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，，，點(diǎn)在邊上且，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，又，；（2）解：如圖2，在線段上截取，連接、，，，四邊形是平行四邊形，，，在中，，，即，；（3）解：連接，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接、、、，，，是等腰直角三角形，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，且，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中位線，∴，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，在中，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的最小值，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，，此時(shí)，的最大值．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理等知識(shí)，正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵．6．(1)等腰直角三角形(2)不改變，理由見解析(3)最大值，最小值【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可知：，，再根據(jù)、、的中點(diǎn)分別為G、F、H，可得，，，，即有，根據(jù)，，可得，，進(jìn)而可得，則有，問題得解；（2）連接、，先證明，即有，，根據(jù)、、的中點(diǎn)分別為G、F、H，可得，，，，即有，延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)H，先證明，再根據(jù)平行的性質(zhì)可得，問題得解；（3）由（2）可知是等腰直角三角形，由勾股定理可得，，即有，在中，當(dāng)點(diǎn)D在邊上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)D在延長(zhǎng)線上時(shí)，，即有，可得，問題隨之得解．【詳解】（1）∵，，，∴，，∴，，∵、、的中點(diǎn)分別為G、F、H，∴，，，，∴，∴，∵，，∴，，∴，，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形；（2）的形狀不改變，理由如下：連接、，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，∵、、的中點(diǎn)分別為G、F、H，∴，，，，∴，延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)P，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，

∴，∴，∴是等腰直角三角形，形狀不改變；（3）由（2）可知是等腰直角三角形，由勾股定理可得，，∴，在中，當(dāng)點(diǎn)D在邊上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)D在延長(zhǎng)線上時(shí)，，∴，∴，當(dāng)最大時(shí)最大，當(dāng)最小時(shí)最小，∴最大為：，最小為：．【點(diǎn)睛】本題是一道三角形的綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，構(gòu)造合理的輔助線，靈活運(yùn)用三角形中位線性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵．7．(1)，證明見解析(2)成立，證明見解析(3)①；②【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)可以得出，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）如圖2，連接，由等腰直角三角形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)可以得出，進(jìn)而得出結(jié)論；（3）①如圖③，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為時(shí)，，此時(shí)的值最大．②利用三角形的三邊關(guān)系確定的最小值，此時(shí)如圖③中，，，共線．【詳解】（1）解：結(jié)論：．理由：如圖1，延長(zhǎng)交于．

是等腰直角三角形，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，．四邊形是正方形，．在和中，，，；（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，，．理由如下：如圖②，連接，延長(zhǎng)交于，交于．

在中，為斜邊中點(diǎn)，，，．四邊形為正方形，，且，，．在和中，，，，，，，．（3）①如圖③，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為時(shí)，，此時(shí)的值最大．

，．．在中，由勾股定理，得，．故答案為：；②如圖④中，連接．

如圖②中，在中，，，，的最小值為1，此時(shí)如圖④中，，，共線，在中，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．8．（1）1（2）（3）米【分析】（1）如圖1中，證明即可解決問題．（2）如圖2中，連接，取的中點(diǎn)，連接，．利用四點(diǎn)共圓或全等三角形，證明，再根據(jù)垂線段最短即可解決問題．（3）如圖3中，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，首先證明，當(dāng)最大時(shí)，的值最大．【詳解】解：（1）如圖1中，

四邊形是正方形，，，，，，，，，．（2）如圖2中，連接，，取的中點(diǎn)，連接，．

，，，，，，四點(diǎn)共圓，，，，，，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)時(shí)，的值最短，的最小值．（3）如圖3中，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，

，，，，三點(diǎn)共線，，，，，，當(dāng)最大時(shí)，的值最大，取的中點(diǎn)，連接，．（米，，即（米，，共線時(shí)，的值最大，最大值米．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，圓周角定理，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線面構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．9．(1)見解析(2)①最小值為，最大值為；②或【分析】（1）根據(jù)證即可得證結(jié)論；（2）①先證明點(diǎn)在線段上時(shí)，是等邊三角形，確定周長(zhǎng)最大時(shí)和最小時(shí)點(diǎn)的位置，從而可求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出周長(zhǎng)即可；②找出點(diǎn)落在上的位置，求出的長(zhǎng)，當(dāng)落在上時(shí)，求出的長(zhǎng)，從而確定的取值范圍即可．【詳解】（1）證明：四邊形是菱形，，，，，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，，，，，，，，在和中，，，；（2）解：①如下圖，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，同（1）可得，，，是等邊三角形，同理可得，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，均是等邊三角形，當(dāng)時(shí)，最短，如下圖，，，，又，，，，等邊三角形的周長(zhǎng)最小值為：，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，如下圖，過點(diǎn)作于，則，，，在中，，此時(shí)的周長(zhǎng)最大，最大值為：，的周長(zhǎng)最小值為，最大值為；②當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，如下圖，作于，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在上，，，，在中，，，；當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，如下圖，連接，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，，，，∴，，∵，，，，，，，，，，，，，或．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形判定和性質(zhì)，相似三角形判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱性質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是證明三角形相似．10．(1)BE=DG，BE⊥DG；(2)結(jié)論仍然成立，理由見解析過程；(3)7，3【分析】（1）由“SAS”可證△ABE≌△DAG，可得BE=DG，∠ABE=∠ADG，由余角的性質(zhì)可證BE⊥DG；（2）由“SAS”可證△ABE≌△DAG，可得BE=DG，∠ABE=∠ADG，由余角的性質(zhì)可證BE⊥DG；（3）當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，BE有最小值=AB-AE，當(dāng)點(diǎn)E在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，BE有最大值=AB+AE．【詳解】（1）解：如圖1，延長(zhǎng)BE交DG于H，∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，∴AE=AG，AB=AD，∠BAD=∠EAG=90°，∴△ABE≌△DAG（SAS），∴BE=DG，∠ABE=∠ADG，∵∠ADG+∠DGA=90°，∴∠ABE+∠DGA=90°，∴∠GHB=90°，∴BE⊥DG，故答案為：BE=DG，BE⊥DG；（2）解：（1）中的結(jié)論仍然成立，理由如下：設(shè)BE交AD于O，DG于N，∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，∴AE=AG，AB=AD，∠BAD=∠EAG=90°，∴∠BAE=∠DAG，在△ABE和△DAG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴BE=DG；∠ABE=∠ADG，∵∠ABE+∠AOB=90°，∴∠ADG+∠AOB=∠ADG+∠DON=90°，∴∠DNO=90°，∴BE⊥DG；（3）∵將正方形AEFG在平面內(nèi)繞點(diǎn)A任意旋轉(zhuǎn)，∴當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，BE有最小值=AB-AE=5-2=3，當(dāng)點(diǎn)E在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，BE有最大值=AB+AE=5+2=7，故答案為：7，3．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．11．(1)①②都正確，證明見解析(2)問題1：1.5；問題2：【分析】（1）由四邊形ABCD是矩形，∠EGF＝90°，即得∠GEB＋∠GFB＝180°，故①正確；過G作GR⊥AB于R，GT⊥BC于T，證明△GER≌△GFT（AAS），可得GR＝GT，即點(diǎn)G到邊AB、BC的距離一定相等，故②正確；（2）問題1：連接BG，過G作GR⊥AB于R，GT⊥BC于T，由（1）可知GR＝GT，可證四邊形RBTG是正方形，有∠GBF＝45°，即得BG＝GT，進(jìn)而可得當(dāng)點(diǎn)T、F重合，R、E重合時(shí)，GT最大，此時(shí)BG最大，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)得出BG最大值；問題2：延長(zhǎng)NG交AB于P，由點(diǎn)G到邊AB、BC的距離一定相等可知，GP＝GM，設(shè)PG＝GM＝a，則GN＝2?a，根據(jù)勾股定理得GN2＋GM2＝（2?a）2＋a2＝MN2，求出MN2＝2a2?4a＋4＝2（a?1）2＋2，進(jìn)而可得MN的最小值為．【詳解】（1）解：①②都正確，證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，又∵∠EGF＝90°，四邊形內(nèi)角和是360°，∴∠GEB＋∠GFB＝180°，即∠GEB與∠GFB一定互補(bǔ)，故①正確；過G作GR⊥AB于R，GT⊥BC于T，如圖：∵GE＝GF，且∠EGF＝90°，∴∠GEF＝∠GFE＝45°，又∵∠B＝90°，∴∠BEF＋∠EFB＝90°，即∠BEF＝90°?∠EFB，∵∠GER＝180°?∠BEF?∠GEF＝180°?45°?（90°?∠EFB）＝45°＋∠EFB，∠GFT＝∠EFB＋∠GFE＝∠EFB＋45°，∴∠GER＝∠GFT，在△GER和△GFT中，，∴△GER≌△GFT（AAS），∴GR＝GT，即點(diǎn)G到邊AB、BC的距離一定相等，故②正確；（2）問題1：連接BG，過G作GR⊥AB于R，GT⊥BC于T，如圖：由（1）可知，GR＝GT，又∵∠GRB＝∠RBT＝∠BTG＝90°∴四邊形RBTG是正方形，∴∠GBF＝45°，∴BG＝GT，∴當(dāng)GT最大時(shí)，BG最大，在Rt△GFT中，GF≥GT，∴當(dāng)點(diǎn)T、F重合，R、E重合時(shí)，GT最大，此時(shí)BG最大，如圖：∵四邊形RBTG是正方形，∴BG＝RT＝EF＝1.5，∴BG最大值為1.5，故答案為：1.5；問題2：如圖，延長(zhǎng)NG交AB于P，∵ABCD，GN⊥CD，∴GP⊥AB，由點(diǎn)G到邊AB、BC的距離一定相等可知，GP＝GM，設(shè)PG＝GM＝a，則GN＝2?a，根據(jù)勾股定理可知，GN2＋GM2＝（2?a）2＋a2＝MN2，∴MN2＝2a2?4a＋4＝2（a?1）2＋2，∵2（a?1）2≥0，∴MN2有最小值2，∴MN的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合應(yīng)用，涉及矩形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，勾股定理及完全平方式的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．12．(1)FG＝DG，見解析(2)①不成立，F(xiàn)G＝DG；②AM的最大值為，最小值為．【分析】（1）結(jié)論：FG＝DG．先證明四邊形ADGM是矩形，再得到DG＝AM，AM＝EM，EM＝GF，可得結(jié)論．（2）①不成立，F(xiàn)G＝DG．如圖2中，設(shè)DG＝x，GF＝y(tǒng)，利用相似三角形的性質(zhì)求解可得結(jié)論．②利用①中結(jié)論，根據(jù)，構(gòu)建不等式，可得結(jié)論．【詳解】（1）解：結(jié)論：FG＝DG．理由：如圖1中，∵四邊形ABCD是矩形，AB＝AD，∴四邊形ABCD是正方形，∴∠DAC＝∠BAC＝45°，∵M(jìn)G⊥CD，∴∠D＝∠DAM＝∠DGM＝90°，∴四邊形ADGM是矩形，∴AD＝MG＝AB，DG＝AM，∠AME＝90°，∴AM＝EM，∴BM＝GE，∵∠EMB＝∠EGF＝∠BEF＝90°，∴∠BEM+∠FEG＝90°，∠FEG+∠EFG＝90°，∴∠BEM＝∠EFG，∴△BEM≌△EFG（AAS），∴FG＝EM，∴DG＝GF．（2）解：①不成立，F(xiàn)G＝DG．理由：如圖2中，設(shè)DG＝x，GF＝y(tǒng)，∵四邊形ADGM是矩形，∴AM＝DG＝x，AD＝GM＝3，∵EM∥BC，∴，∴，∴EM＝x，∵∠EFG＝∠BEM，∠EGF＝∠EMB＝90°，∴△EGF∽△BME，∴，∴，∴y＝x，∴GF＝DG．②∵CF＝CG﹣GF＝4﹣x﹣x＝4﹣x，由題意，≤4﹣x≤1，解得，≤x≤，∴≤AM≤，∴AM的最大值為，最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形、正方形的性質(zhì)與判定及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握矩形、正方形的性質(zhì)與判定及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．13．(1)最小值為，此時(shí)(2)①最大值為，此時(shí)；②當(dāng)時(shí)，有最大值【分析】（1）根據(jù)題意，分析出特殊情況進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)，分析出符合題意的情況進(jìn)行求解即可；【詳解】（1）當(dāng)∥時(shí)，易證，，如圖，分別過M，N作；，垂足分別為H，G，∵，∴，最小，此時(shí)，點(diǎn)G與點(diǎn)H重合，即，如圖，作；，則，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，；（2）①存在最大值，取中點(diǎn)O，則，∴當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，易證，設(shè)，∵即，解得：，當(dāng)，最大，最大值為，②當(dāng)時(shí)，有最大值（即以為直徑的圓和線段相切或者有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，存在最大值）．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的相似，掌握相關(guān)知識(shí)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．14．(1)且(2)的最小值為最大值為(3)【分析】（1）證明△可得再由三角形內(nèi)角和定理可得；（2）根據(jù)點(diǎn)與圓的位置可判斷出在最大值和最小值；（3）根據(jù)勾股定理可得出，由五點(diǎn)在同一個(gè)圓上可證明△，可求出再證明△，可求出從而可得出結(jié)論．【詳解】（1）∵四邊形是正方形，∴∵△是等腰直角三角形，∴∴∠又∠∴∠在△和△中，∴△∴延長(zhǎng)交于交于點(diǎn)如圖，∵∠∠∴∠,∴綜上，線段與線段之間的關(guān)系為且（2）根據(jù)題意知，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖，當(dāng)在上時(shí)，的值最小，在的延長(zhǎng)線上時(shí)，的值最大，∵∴又∴的最小值為最大值為（3）由（1）知，連接如圖，在中，∴∵，∴在中，，∴∴（負(fù)值舍去）∴∵∠∴五點(diǎn)在同一個(gè)圓上，如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，∴∠又∠，∴△∴∴∴∴連接則∠∴△∴∴∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．15．(1)S△BCE=6；(2)①1＜BF＜5；②證明見解答；(3)BN的最小值為-，BN的最大值為2．【分析】（1）如圖1，過點(diǎn)E作EF⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，根據(jù)題意求得∠EBF=1