高數(shù)大一期末試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.$\infty$D.-12.函數(shù)$y=x^2$在點(diǎn)$(1,1)$處的切線斜率為（）A.1B.2C.0D.-23.若$f(x)$的一個(gè)原函數(shù)為$F(x)$，則$\intf(x)dx=$（）A.$F(x)$B.$F(x)+C$C.$f(x)$D.$f(x)+C$4.$\int_{0}^{1}x^2dx=$（）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{3}$C.$\frac{1}{4}$D.15.函數(shù)$z=x^2+y^2$在點(diǎn)$(0,0)$處（）A.有極大值B.有極小值C.無極值D.以上都不對(duì)答案1.B2.B3.B4.B5.B二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)連續(xù)的有（）A.$y=\sinx$B.$y=\frac{1}{x}$C.$y=x^3$D.$y=\vertx\vert$2.下列求導(dǎo)公式正確的是（）A.$(x^n)^\prime=nx^{n-1}$B.$(\sinx)^\prime=\cosx$C.$(\lnx)^\prime=\frac{1}{x}$D.$(e^x)^\prime=e^x$3.以下哪些是不定積分的計(jì)算方法（）A.換元積分法B.分部積分法C.牛頓-萊布尼茨公式D.直接積分法答案1.ACD2.ABCD3.ABD三、判斷題（每題2分，共10題）1.若$\lim_{x\tox_0}f(x)$存在，則$f(x)$在$x_0$處一定連續(xù)。（）2.函數(shù)$y=f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f^\prime(x)$表示函數(shù)在$x$處的變化率。（）3.定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，與積分變量的記法無關(guān)。（）答案1.×2.√3.√四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2$的導(dǎo)數(shù)。答：根據(jù)求導(dǎo)公式，$(x^n)^\prime=nx^{n-1}$。$f^\prime(x)=3x^2-6x$。2.計(jì)算$\int(2x+1)dx$。答：由積分公式$\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$（$n\neq-1$），$\int(2x+1)dx=\int2xdx+\int1dx=x^2+x+C$。3.簡(jiǎn)述函數(shù)$y=f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。答：可導(dǎo)必連續(xù)，若函數(shù)$y=f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可導(dǎo)，則它在該點(diǎn)一定連續(xù)；但連續(xù)不一定可導(dǎo)，如$y=\vertx\vert$在$x=0$處連續(xù)但不可導(dǎo)。4.求二元函數(shù)$z=2x^2+y^2-4x+4y$的駐點(diǎn)。答：分別對(duì)$x,y$求偏導(dǎo)，$z_x=4x-4$，$z_y=2y+4$。令$z_x=0$，$z_y=0$，得$x=1$，$y=-2$，駐點(diǎn)為$(1,-2)$。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)$y=\frac{1}{x-1}$的單調(diào)性。答：函數(shù)定義域?yàn)?x\neq1$。對(duì)$y$求導(dǎo)得$y^\prime=-\frac{1}{(x-1)^2}\lt0$，所以在$(-\infty,1)$和$(1,+\infty)$上函數(shù)單調(diào)遞減，因?yàn)閷?dǎo)數(shù)恒小于0，區(qū)間內(nèi)無導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)。2.討論定積分在實(shí)際生活中的應(yīng)用（舉一個(gè)例子說明）。答：比如計(jì)算物體做變速直線運(yùn)動(dòng)的位移。若物體速度函數(shù)為$v(t)$，在時(shí)間區(qū)間$[a,b]$內(nèi)，位移就可通過定積分$\int_{a}^v(t)dt$來計(jì)算，它將速度隨時(shí)間的變化過程累積起來得出位移。3.討論多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與全微分的關(guān)系。答：如果函數(shù)$z=f(x,y)$的偏導(dǎo)數(shù)$f_x(x,y)$和$f_y(x,y)$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微，且全微分$dz=f_x(x_0,y_0)\Deltax+f_y(x_0,y_0)\Deltay$，偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)是可微的充分條件，可微則偏導(dǎo)數(shù)必存在。4.結(jié)合大一高等數(shù)學(xué)知識(shí)，談?wù)?/p>