二項式試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.$(a+b)^n$展開式的通項公式是（）A.$T_{r+1}=C_{n}^ra^{n-r}b^r$B.$T_{r}=C_{n}^ra^{n-r}b^r$C.$T_{r+1}=C_{n}^ra^{r}b^{n-r}$D.$T_{r}=C_{n}^ra^{r}b^{n-r}$2.在$(x+2)^5$的展開式中，$x^3$的系數(shù)為（）A.40B.80C.160D.3203.二項式$(1-x)^6$展開式中含$x^3$項的系數(shù)是（）A.20B.-20C.15D.-154.$(2x-\frac{1}{x})^6$展開式中的常數(shù)項是（）A.-160B.160C.-240D.2405.若$(1+x)^n$展開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等，則$n$的值為（）A.8B.9C.10D.116.二項式$(x+\frac{1}{x})^8$展開式中$x^4$的系數(shù)為（）A.70B.56C.28D.147.在$(x^2-\frac{1}{x})^5$的展開式中，$x$的次數(shù)為7的項的系數(shù)是（）A.-5B.5C.-10D.108.二項式$(3x-2)^4$展開式中各項系數(shù)之和為（）A.1B.-1C.81D.-819.已知$(a+b)^n$展開式中二項式系數(shù)最大的項是中間一項，則$n$為（）A.奇數(shù)B.偶數(shù)C.正整數(shù)D.不確定10.$(1+2x)^n$展開式中第4項的二項式系數(shù)是（）A.$C_{n}^3$B.$C_{n}^4$C.$C_{n}^2$D.以上都不對二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.對于二項式$(a+b)^n$，以下說法正確的是（）A.展開式共有$n+1$項B.二項式系數(shù)之和為$2^n$C.各項系數(shù)之和為$(a+b)^n$（令$x=1$時）D.奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和2.以下哪些是二項式展開式的性質（）A.與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等B.當$n$為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大C.當$n$為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)相等且最大D.二項式展開式中各項系數(shù)一定都是正的3.在$(x+3)^n$的展開式中，關于二項式系數(shù)說法正確的是（）A.二項式系數(shù)滿足對稱性B.二項式系數(shù)之和為$2^n$C.中間項的二項式系數(shù)最大D.二項式系數(shù)先增大后減小4.二項式$(2x-1)^5$展開式中（）A.含$x^3$項的系數(shù)為80B.各項系數(shù)之和為1C.二項式系數(shù)之和為32D.展開式共有6項5.關于$(a-b)^n$與$(a+b)^n$的展開式關系，正確的是（）A.二項式系數(shù)相同B.各項系數(shù)相同C.當$n$為偶數(shù)時，各項系數(shù)絕對值相同D.當$n$為奇數(shù)時，$(a-b)^n$展開式中奇數(shù)項系數(shù)與$(a+b)^n$展開式中對應項系數(shù)相同6.二項式$(x+\frac{1}{x})^6$展開式中（）A.常數(shù)項為20B.含$x^2$項的系數(shù)為15C.二項式系數(shù)之和為64D.展開式共有7項7.若二項式$(ax+b)^n$展開式中各項系數(shù)之和為$1$，則（）A.當$a=1$，$b=0$時滿足B.當$a=1$，$b=-1$時滿足C.當$a=-1$，$b=2$時滿足D.當$a=0$，$b=1$時滿足8.二項式展開式的通項公式$T_{r+1}=C_{n}^ra^{n-r}b^r$中（）A.$n$是正整數(shù)B.$r$是非負整數(shù)且$r\leqn$C.$a$，$b$可以是任意實數(shù)D.通項是展開式的第$r$項9.在$(x^3+\frac{1}{x^2})^n$的展開式中，要使其有常數(shù)項，則$n$可能的值為（）A.5B.6C.10D.1510.二項式$(1+x)^n$展開式中，若二項式系數(shù)滿足$C_{n}^3=C_{n}^7$，則（）A.$n=10$B.展開式共有11項C.中間項為第6項D.二項式系數(shù)之和為$2^{10}$三、判斷題（每題2分，共10題）1.$(a+b)^n$展開式中各項系數(shù)之和為$2^n$。（）2.二項式系數(shù)與各項系數(shù)是同一個概念。（）3.在$(x-2)^6$展開式中，第4項的二項式系數(shù)是$C_{6}^4$。（）4.二項式展開式中一定存在常數(shù)項。（）5.若$(1+x)^n$展開式中二項式系數(shù)最大的項只有一項，則$n$為偶數(shù)。（）6.二項式$(a+b)^n$展開式中奇數(shù)項系數(shù)之和等于偶數(shù)項系數(shù)之和。（）7.通項公式$T_{r+1}=C_{n}^ra^{n-r}b^r$中$r$從0開始取值。（）8.$(3x+1)^n$展開式中各項系數(shù)之和為$4^n$。（）9.二項式系數(shù)$C_{n}^r$中，當$r\gt\frac{n}{2}$時，$C_{n}^r$逐漸減小。（）10.二項式$(x^2-\frac{1}{x})^3$展開式中含$x$項的系數(shù)為-3。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求$(x+2)^4$展開式中$x^2$的系數(shù)。答案：根據(jù)通項公式$T_{r+1}=C_{4}^rx^{4-r}2^r$，令$4-r=2$，得$r=2$。則$x^2$系數(shù)為$C_{4}^2\times2^2=6\times4=24$。2.已知$(2x-1)^5$，求展開式中各項系數(shù)之和。答案：令展開式中$x=1$，則各項系數(shù)之和為$(2\times1-1)^5=1^5=1$。3.二項式$(a+b)^n$展開式中二項式系數(shù)的性質有哪些？答案：①與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等；②當$n$為偶數(shù)，中間一項二項式系數(shù)最大；當$n$為奇數(shù)，中間兩項二項式系數(shù)相等且最大；③二項式系數(shù)之和為$2^n$；④奇數(shù)項二項式系數(shù)之和等于偶數(shù)項二項式系數(shù)之和。4.求$(x+\frac{1}{x})^6$展開式中的常數(shù)項。答案：通項$T_{r+1}=C_{6}^rx^{6-r}(\frac{1}{x})^r=C_{6}^rx^{6-2r}$，令$6-2r=0$，得$r=3$，常數(shù)項為$C_{6}^3=20$。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論二項式展開式中各項系數(shù)之和與二項式系數(shù)之和的區(qū)別與聯(lián)系。答案：區(qū)別：各項系數(shù)之和是令展開式中字母都取1得到的結果；二項式系數(shù)之和為$2^n$。聯(lián)系：它們都是二項式展開式中的重要數(shù)值，在分析展開式性質時都很關鍵，且在某些特殊二項式（如$(1+1)^n$）中二者數(shù)值相等。2.舉例說明如何利用二項式展開式的通項公式求特定項的系數(shù)。答案：例如求$(x+3)^5$中$x^3$的系數(shù)。通項$T_{r+1}=C_{5}^rx^{5-r}3^r$，令$5-r=3$，得$r=2$，則$x^3$系數(shù)為$C_{5}^2\times3^2=10\times9=90$，即通過通項公式列方程求$r$進而得系數(shù)。3.當二項式的底數(shù)中含有多個字母時，如何確定展開式中某一項的系數(shù)？答案：寫出通項公式$T_{r+1}=C_{n}^ra^{n-r}b^r$，根據(jù)該項中字母的次數(shù)列出方程求出$r$，再將$r$代入通項公式求出系數(shù)。如$(ax+by)^n$，根據(jù)$x$、$y$次數(shù)確定$r$，進而求系數(shù)。4.討論二項式系數(shù)的對稱性在解題中的應用。答案：利用對稱性可簡化計算。比如已知$C_{n}^k$求$C_{n}^{n-k}$，二者相等。在求二項式展開式中與首末等距離項的二項式系數(shù)時，利用對稱性可直接得出，無需重復計算，提高解題效率。答案一、單項選擇題1.A2.C3.B4.A5.A