考研數(shù)學(xué)模似試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x-1}$的間斷點(diǎn)類型是（）A.可去間斷點(diǎn)B.跳躍間斷點(diǎn)C.無窮間斷點(diǎn)D.振蕩間斷點(diǎn)2.若$\lim_{x\to0}\frac{\sinkx}{x}=2$，則$k$的值為（）A.1B.2C.0D.-13.函數(shù)$y=x^3$在點(diǎn)$x=1$處的切線斜率為（）A.1B.2C.3D.04.設(shè)函數(shù)$f(x)$的一個(gè)原函數(shù)為$e^{2x}$，則$f(x)$是（）A.$e^{2x}$B.$2e^{2x}$C.$\frac{1}{2}e^{2x}$D.$e^{x}$5.若矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，則$|A|$的值為（）A.-2B.2C.10D.-106.向量組$\vec{\alpha}_1=(1,0,0),\vec{\alpha}_2=(0,1,0),\vec{\alpha}_3=(0,0,1)$的秩為（）A.1B.2C.3D.07.設(shè)隨機(jī)變量$X$服從參數(shù)為$\lambda$的泊松分布，且$P(X=1)=P(X=2)$，則$\lambda$的值為（）A.1B.2C.3D.48.已知$X\simN(1,4)$，則$P(X\leq1)$的值為（）A.0.5B.0.25C.0.75D.19.若$f(x)$為偶函數(shù)，且在$[0,+\infty)$上單調(diào)遞增，則$f(-2)$與$f(1)$的大小關(guān)系是（）A.$f(-2)\ltf(1)$B.$f(-2)=f(1)$C.$f(-2)\gtf(1)$D.無法確定10.曲線$y=\lnx$在點(diǎn)$(1,0)$處的曲率為（）A.0B.1C.$\frac{1}{2}$D.2答案：1.C2.B3.C4.B5.A6.C7.B8.A9.C10.C二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)連續(xù)的有（）A.$y=\frac{1}{x}$B.$y=\sinx$C.$y=e^x$D.$y=\sqrt{x}$2.下列極限存在的有（）A.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$B.$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}$C.$\lim_{x\to0^+}\lnx$D.$\lim_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}$3.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.$y=x^3$B.$y=\sinx$C.$y=\cosx$D.$y=x\cosx$4.關(guān)于定積分的性質(zhì)，正確的有（）A.$\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx$（$k$為常數(shù)）B.$\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx$C.$\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx$D.若$f(x)\geqg(x)$在$[a,b]$上成立，則$\int_{a}^f(x)dx\geq\int_{a}^g(x)dx$5.以下哪些是矩陣的初等行變換（）A.交換兩行B.某一行乘以非零常數(shù)C.某一行加上另一行的倍數(shù)D.交換兩列6.向量組線性相關(guān)的判定方法有（）A.向量組中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示B.向量組的秩小于向量組中向量的個(gè)數(shù)C.向量組構(gòu)成的矩陣的行列式為0（向量個(gè)數(shù)與維數(shù)相等時(shí)）D.向量組中任意兩個(gè)向量線性相關(guān)7.設(shè)隨機(jī)變量$X$和$Y$相互獨(dú)立，且$X\simN(0,1)$，$Y\simN(1,1)$，則（）A.$X+Y\simN(1,2)$B.$X-Y\simN(-1,2)$C.$E(X+Y)=1$D.$D(X-Y)=2$8.下列屬于概率的基本性質(zhì)的有（）A.$0\leqP(A)\leq1$B.$P(\Omega)=1$C.$P(\varnothing)=0$D.若$A\subseteqB$，則$P(A)\leqP(B)$9.函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可導(dǎo)的等價(jià)條件有（）A.左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)B.函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)C.函數(shù)在該點(diǎn)的切線存在D.極限$\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$存在10.下列積分中，能用牛頓-萊布尼茨公式計(jì)算的有（）A.$\int_{0}^{1}x^2dx$B.$\int_{-1}^{1}\frac{1}{x}dx$C.$\int_{0}^{2}e^xdx$D.$\int_{1}^{2}\frac{1}{\sqrt{x}}dx$答案：1.BCD2.ABD3.ABD4.ABCD5.ABC6.ABC7.ABCD8.ABCD9.AD10.ACD三、判斷題（每題2分，共10題）1.若函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處極限存在，則$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處連續(xù)。（）2.函數(shù)$y=x^2$在$(-\infty,0)$上單調(diào)遞減。（）3.若$f(x)$的一個(gè)原函數(shù)為$F(x)$，則$\intf(x)dx=F(x)$。（）4.方陣$A$可逆的充要條件是$|A|\neq0$。（）5.向量組中向量個(gè)數(shù)大于向量維數(shù)時(shí)，向量組一定線性相關(guān)。（）6.設(shè)隨機(jī)變量$X$服從均勻分布$U(a,b)$，則$E(X)=\frac{a+b}{2}$。（）7.若事件$A$與$B$互斥，則$P(A\cupB)=P(A)+P(B)$。（）8.函數(shù)$y=\tanx$在其定義域內(nèi)處處可導(dǎo)。（）9.定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，與積分變量的符號無關(guān)。（）10.若矩陣$A$與$B$等價(jià)，則$A$與$B$的秩相等。（）答案：1.×2.√3.×4.√5.√6.√7.√8.×9.√10.√四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+1$的極值點(diǎn)與極值。答案：先求導(dǎo)$f^\prime(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$。令$f^\prime(x)=0$，得$x=0$和$x=2$。當(dāng)$x\lt0$時(shí)，$f^\prime(x)\gt0$；$0\ltx\lt2$時(shí)，$f^\prime(x)\lt0$；$x\gt2$時(shí)，$f^\prime(x)\gt0$。所以極大值點(diǎn)為$x=0$，極大值$f(0)=1$；極小值點(diǎn)為$x=2$，極小值$f(2)=-3$。2.計(jì)算定積分$\int_{0}^{1}xe^xdx$。答案：用分部積分法，設(shè)$u=x$，$dv=e^xdx$，則$du=dx$，$v=e^x$。根據(jù)分部積分公式$\int_{0}^{1}xe^xdx=[xe^x]_0^1-\int_{0}^{1}e^xdx=(e-0)-[e^x]_0^1=e-(e-1)=1$。3.已知矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，求其逆矩陣$A^{-1}$。答案：先求行列式$|A|=1\times4-2\times3=-2$。伴隨矩陣$adj(A)=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}$。則$A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj(A)=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$。4.設(shè)隨機(jī)變量$X$的概率密度函數(shù)為$f(x)=\begin{cases}2x,&0\leqx\leq1\\0,&其他\end{cases}$，求$E(X)$。答案：根據(jù)期望公式$E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx=\int_{0}^{1}x\cdot2xdx=\int_{0}^{1}2x^2dx=[\frac{2}{3}x^3]_0^1=\frac{2}{3}$。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$在$x=1$處的連續(xù)性，并說明理由。答案：函數(shù)$f(x)$在$x=1$處無定義。化簡$f(x)=x+1(x\neq1)$，$\lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}(x+1)=2$，但函數(shù)在該點(diǎn)無定義，所以$f(x)$在$x=1$處不連續(xù)，是可去間斷點(diǎn)。2.討論向量組$\vec{\alpha}_1=(1,1,0),\vec{\alpha}_2=(1,0,1),\vec{\alpha}_3=(0,1,1)$的線性相關(guān)性。答案：設(shè)$k_1\vec{\alpha}_1+k_2\vec{\alpha}_2+k_3\vec{\alpha}_3=\vec{0}$，即$\begin{cases}k_1+k_2=0\\k_1+k_3=0\\k_2+k_3=0\end{cases}$，系數(shù)行列式$\begin{vmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&1\end{vmatrix}=2\neq0$，所以方程組只有零解$k_1=k_2=k_3=0$，向量組線性無關(guān)。3.討論正態(tài)分布在實(shí)際生活中的