2024年秋季鄂東南省級示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟學(xué)校起點(diǎn)考試高二數(shù)學(xué)試卷命題學(xué)校：黃岡中學(xué)命題教師：董明秀審題學(xué)校：黃梅一中審題教師：石亞林考試時間：2024年9月2日下午15:00-17:00試卷滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題除出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.如圖，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，則圓柱與球的表面積之比為（）A.1:1 B.3:2 C. D.2.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，A表示事件“第一次拋擲，骰子正面向上的點(diǎn)數(shù)是3”，B表示事件“兩次拋擲，骰子正面向上的點(diǎn)數(shù)之和是4”，C表示事件“兩次拋擲，骰子正面向上的點(diǎn)數(shù)之和是7”，則（）A.A與B互斥 B.B與C互對立 C.A與B相互獨(dú)立 D.A與C相互獨(dú)立3.下列說法中正確的是（）A.若兩個平面都與第三個平面垂直，則這兩個平面平行B.已知a，b，c為三條直線，若a，b異面，b，c異面，則a，c異面C.若兩條直線與一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行D.兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個平面4.已知是四面體的棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上，且，以為基底，則可以表示為（）A.B.C.D.5.已知向量，不共線，滿足，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.6.已知某樣本的容量為50，平均數(shù)為70，方差為75.現(xiàn)發(fā)現(xiàn)在收集這些數(shù)據(jù)時，其中的兩個數(shù)據(jù)記錄有誤，一個錯將80記錄為60，另一個錯將70記錄為90.在對錯誤的數(shù)據(jù)進(jìn)行更正后，重新求得樣本的平均數(shù)為，方差為，則（）A. B.C. D.7.在平面四邊形中，為正三角形，，，如圖1，將四邊形沿AC折起，得到如圖2所示的四面體，若四面體外接球的球心為O，當(dāng)四面體的體積最大時，點(diǎn)O到平面ABD的距離為（）A. B.C. D.8.如圖，邊長為2的正方形ABCD中，P，Q分別為邊BC，CD上的點(diǎn)，，則的最大值為（）A.1 B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.衡陽市第八中學(xué)為了解學(xué)生數(shù)學(xué)史知識的積累情況，隨機(jī)抽取150名同學(xué)參加數(shù)學(xué)史知識測試，測試題共5道，每答對一題得20分，答錯得0分.得分不少于60分記為及格，不少于80分記為優(yōu)秀，測試成績百分比分布圖如圖所示，則（）A該次數(shù)學(xué)史知識測試及格率超過90%B.該次數(shù)學(xué)史知識測試得滿分的同學(xué)有15名C.該次測試成績的中位數(shù)大于測試成績的平均數(shù)D.若八中共有3000名學(xué)生，則數(shù)學(xué)史知識測試成績能得優(yōu)秀的同學(xué)大約有1800名10.已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，平面向量，，，且是單位向量，，，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.若A，B，C三點(diǎn)共線，則C.若向量與垂直，則最小值為1D.向量與的夾角正切值的最大值為11.如圖，正方體中，頂點(diǎn)在平面內(nèi)，其余頂點(diǎn)在的同側(cè)，的交點(diǎn)為，頂點(diǎn)到的距離分別為，則（）A.平面 B.到平面的距離為1C.平面平面 D.正方體的棱長為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，且，則___________．13.設(shè)鈍角三個內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，若，，，則________.14.甲、乙、丙、丁四支足球隊進(jìn)行單循環(huán)比賽（即每支球隊都要跟其他各支球隊進(jìn)行一場比賽），最后按各隊的積分排列名次，積分規(guī)則為每隊勝一場得3分，平一場得1分，負(fù)一場得0分.若每場比賽中兩隊勝、平、負(fù)的概率都為，則在比賽結(jié)束時，甲隊輸一場且積分超過其余每支球隊積分的概率為______．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知復(fù)數(shù)滿足，．（1）求；（2）設(shè)復(fù)數(shù)，，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為，，，求．16.如圖，在三棱柱中，，，，點(diǎn)在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn)O，M為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求二面角平面角的正弦值．17.在銳角中，其內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求值；（2）若，，求△ABC的面積．18.遼寧省數(shù)學(xué)競賽初賽結(jié)束后，為了解競賽成績情況，從所有學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，得到他們的成績，將數(shù)據(jù)整理后分成五組：，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）若只有的人能進(jìn)決賽，入圍分?jǐn)?shù)應(yīng)設(shè)為多少分（保留兩位小數(shù)）；（2）采用分層隨機(jī)抽樣的方法從成績?yōu)榈膶W(xué)生中抽取容量為6的樣本，再從該樣本中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，求至少有1名學(xué)生成績不低于90的概率；（3）進(jìn)入決賽的同學(xué)需要再經(jīng)過考試才能參加冬令營活動.考試分為兩輪，第一輪為筆試，需要考2門學(xué)科，每科筆試成績從高到低依次有五個等級.若兩科筆試成績均為，則直接參加；若一科筆試成績?yōu)?，另一科筆試成績不低于，則要參加第二輪面試，面試通過也將參加，否則均不能參加.現(xiàn)有甲、乙二人報名參加，二人互不影響.甲在每科筆試中取得的概率分別為；乙在每科筆試中取得的概率分別；甲、乙在面試中通過的概率分別為.求甲、乙能同時參加冬令營的概率.19.類比思想在數(shù)學(xué)中極為重要，例如類比于二維平面內(nèi)的余弦定理，有三維空間中的三面角余弦定理，如圖1，由射線PA，PB，PC構(gòu)成的三面角P-ABC，記，，，二面角A-PC-B的大小