2025年4月高一月考數(shù)學(xué)測試卷

一、單選題

1.下列說法正確的是（）

A.若|拓0>|而則麗〉而

B.若6、02是單位向量，則"=02

c.?ABHMI

D.若非零向量而與也是共線向量，則A、B、C、。四點(diǎn)共線

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念，即可判斷選項(xiàng).

【詳解】A.向量不能比較大小，故A錯(cuò)誤；

B.若1、1是單位向量，則同=同，故B錯(cuò)誤；

C.向量荏與麗是相反向量，方向相反，模相等，故C正確；

D.若非零向量通與3是共線向量，則向量通與國方向相同或相反，根據(jù)向量可以平移，則無法說

明四點(diǎn)共線，故D錯(cuò)誤.

故選：C

2.下列四個(gè)函數(shù)中以兀為最小正周期且為奇函數(shù)的是（）

A./(x)=sinxB./(x)=cos2x

71

C.f(x)=sin(2x+—)D.f(x)=tan(-x)

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷.

【詳解】對于A,函數(shù)/（x）=sinx的最小正周期為2兀，A不是;

對于B,函數(shù)/（X）=cos2x是偶函數(shù)，B不是;

對于C,/（0）=—^0，函數(shù)/（x）=sin（2x+工）不是奇函數(shù)，C不是;

23

對于D,函數(shù)/(—x)=tanx=-tan(—x)=—/(x),所以/(九)為奇函數(shù)，且最小正周期為兀，D是.

故選：D

3.化簡：AB—^DC-BC^+DA=().

A.2ADB.ADC.0D.2DA

【答案】C

【解析】

【分析】應(yīng)用向量加減法則化簡即可得答案.

【詳解】因?yàn)檎f—(配—元)+兩=AB-DC+BC+DA=AB+BC+CD+DA=O-

故選：C

4.已知向量Z=(1,0),b=(l,yf3),則與2Z—B共線的單位向量為

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)題意得，22-石=(1,-6)設(shè)與23-3共線的單位向量為(龍,丁)，利用向量共線和單位向量模為1，列式

求出羽y即可得出答案.

【詳解】因?yàn)椤?(1,0)，5=(1,6)，則2。=(2,0),

設(shè)與2Z-B共線的單位向量為(x,y),

11

%=—X=——

所以與2%-信共線的單位向量為或

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及共線定理和單位向量的定義.

5.如圖是函數(shù)y=sin（ox+°）的部分圖像則sin（＜ut+0）=（)

A.cosI2xH—B.sin(2x-^

I6

C.sinx+—D.cos-----2x

I3I6

【答案】A

【解析】

T27rIT

【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象可得一=------,求出周期,從而可求出再將點(diǎn)1代入函數(shù)中可求

236

出。，從而可求出函數(shù)解析式.

T2兀7171

【詳解】由圖象可得一=------=—,解得/=兀，

2362

2兀

所以一=兀，得。=2,所以y=sin（2x+0）,

CO

712兀

----1------

由圖象可得當(dāng)兀時(shí)，y=-l，

X=_6------3-=_—5

212

（57r、57r3?r

所以sin|L|=一1，所以——+夕=—+2E,左eZ,

16）62

2兀

得0=—+2E,左￡Z,

所以y=sinj2%+—+2左兀］（左￡Z）

.(c7171

=sin2x-\----F—

I26

=cos\2x+—\.

I6

故選：A

6.已知|2|=3,|B|=5,設(shè)的夾角為120°，則a在B上的投影向量是（）

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用投影向量的定義求解.

【詳解】由|@|=3,|5|=5,a,b夾角為120°，得小B=3x5cosl20°=-?，

d—3一

所以2在5上的投影向量是『匕=一二尻

I。/10

故選：B

7.已知tan(cn——)=3,則cos2cr=(

124

A.——BD.

5-f55

【答案】B

【解析】

【分析】先求得tana,然后根據(jù)二倍角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式來求得正確答案.

【詳解】依題意，tan[a-；]=警幺」=3,

[4)1+tana

解得tanci:=-2,

2?2

C2.2cosa-sma

cos2a=cosa-sma------；-------------

cos6Z+sina

1—tancc1—43

1+tan12a1+45

故選：B

8.在VA5C中，已知a:＞：c=3:5:7,則這個(gè)三角形的最大角的弧度數(shù)為（）

D.120°

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)大邊對大角判斷最大角，利用余弦定理求解.

【詳解】由a:Z?:c=3:5:7,令〃=3左,b=5左,。=7左（左＞。）,

〃，9^+25左2—49尸1

/.cosC=---------------=------------------------=——

lab2x3kx5k2

2兀

又?！辏?,兀），則C=§,

所以這個(gè)三角形的最大角的弧度數(shù)為M.

3

故選：B.

二、多選題

9.已知向量,，5不共線，則下列能作為平面向量的一個(gè)基底的有（）

A.^a+b,2a+bB.{2a-b,-2a+b

C.^3a,a+2b^D.^a-b,3a-2b^

【答案】ACD

【解析】

【分析】通過判斷向量是否共線即可得解.

【詳解】對于A,令a+B=2（2a+B）,2eR,即a+石=2Xa+幾瓦XeR,

1=22

所以《，，n無解，

1=2

故向量Z+B與2Z+B不共線，能作為平面向量的一個(gè)基底，A正確；

對于B,因?yàn)?%-》=-卜2Z+B）,即向量%-在與—2Z+B共線，故不能作為平面向量的一個(gè)基底；B錯(cuò)

誤；

對于C,令3￡=X（￡+2l）"eR,即3l=/lZ+2/l￡XeR,

所以1c?=無解，

0=2/1

故向量3工與Z+2B不共線，能作為平面向量的一個(gè)基底，C正確;

對于D,令a-B=2（3a—2B）,2eR,即￡一5=3幾￡一2沈瓦；1eR,

1=32

所以二>無解,

-1=-22

故向量工―1與33-2各不共線，能作為平面向量的一個(gè)基底，D正確

故選：ACD.

10.已矢口函數(shù)/(x)=2cos12x—1J,xeR,貝I]()

A.的最大值是2

B.“X)在0彳上單調(diào)遞增

C.直線是函數(shù)y=/(x)的一條對稱軸

D.函數(shù)y=/(X)的對稱中心坐標(biāo)為1!|+g,0：左eZ

【答案】ABD

【解析】

TT'71/TT

【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的最值可得選項(xiàng)A正確；根據(jù)0,-得2x---,0,結(jié)合余弦函數(shù)的單

_oJ3|_3_

調(diào)性可得選項(xiàng)B正確；根據(jù)W±2可得選項(xiàng)C錯(cuò)誤；根據(jù)整體代入法求出函數(shù)的對稱中心可得選項(xiàng)D

正確.

【詳解】A.由—lWcos12x—三)<1可知"力的最大值是2,A正確.

7C7U

B當(dāng)xe0,-時(shí)，2%——G——,0

6J3|_3

jrjr

由函數(shù)y=cost在一§,0上單調(diào)遞增可得/（力在0,-上單調(diào)遞增，B正確.

C.當(dāng)時(shí)，/=2cosm=lw±2,選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

IC兀兀77BZE35兀kitJ

D.由2%二—ku,k￡Z付％=---1-----，左￡Z,

32122

5兀E7r.A

故函數(shù)y=〃尤）的對稱中心坐標(biāo)為丘+$-,0),%￡Z,D正確.

故選：ABD.

11.如圖所示，。是VA5c的邊AB上的中點(diǎn)，則向量團(tuán)=（）

1—?—.

B.-AB-AC

2

----1—-1一1—.

C.BC--BAD.-CA+-CB

222

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用向量的加、減以及數(shù)乘運(yùn)算即可求解.

【詳解】對A：-BC+-BA^CB+BD^CD,A選項(xiàng)正確；

2

對B：-AB-AC=Al5-AC=CD,B選項(xiàng)正確；

2

對C：BC--BA=BC-BD=DC,C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

2

對D：CD=CB+BD=CB+^BA=CB+^（CA-CB）=^CA+^CB,D選項(xiàng)正確.

故選：ABD

三、填空題

7T

12.把函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移二個(gè)單位，得到的函數(shù)是.

6

【答案】y=sinf2x+y|

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象平移變換即可求解.

7T

【詳解】把函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移一個(gè)單位,

6

得到的函數(shù)是y=sin21x+"=sin|2x+1

故答案為：y=sinl2x+|

13.已知單位向量濤B滿足K+2B卜近，則]與方的夾角為.

jr

【答案】-

3

【解析】

【分析】由向量模的運(yùn)算及向量數(shù)量積的運(yùn)算即可得到答案.

【詳解】因?yàn)?石是單位向量，所以自=M=I,

卜+2.=(@+2在)=a+4b^+4a-b-|a|+4忖+4.帆cos(a,B)=l+4+4cosa.b)=5+4COS(〃,B)=7

所以cos卜因?yàn)椴肥盵0,兀],所以,Ib],即4與5的夾角為g.

TT

故答案為：一.

3

14.已知角。為第二象限角，且sin[a+萬]=—y,貝i」tan2a=.

24

【答案】一—

7

【解析】

【分析】先利用誘導(dǎo)公式求出cos。，再利用三角函數(shù)同角關(guān)系求出cosa,tana的值,然后利用正切的二

倍角公式可求得結(jié)果

【詳解】因?yàn)閟in[a+5]=cosa=—W，

因?yàn)閍是第二象限角，

所以sina=Vl-cos2a--,

3

sin。53

所以tana=------=^-=--

cosa44

所以tan2。=

故答案為：——.

7

四、解答題

15.已知sina=—,cos(cr+y0)=—其中

、'14

(1)求cos尸；

(2)求sin(2tz—尸).

【答案】（1）正

2

23

（2）——

98

【解析】

【分析】⑴根據(jù)cos尸=cos[（a+⑶—a],然后利用兩角差的余弦代入即可.

（2）根據(jù)sin（2e-/7）=sin2g3s/?-cos2Qsin/7,利用倍角公式算出sin2tz,cos2。代入即可求解.

【小問1詳解】

由題意得：

a￡+￡（0,7i）,cosa=^^,sin（a+，）=，

114735^1A/3

?.?cos4=cos[(2+/?)-a]=cos(a+/7)cosa+sin(2+4)sina=——X-----------1-----------X—=,

1471472

【小問2詳解】

.CCC14686G1c.247

sm2a=2sin6zcoscr=2x—x-----=------,cos2a=l-2sina~~

774949

/.sin(2a-/?)=sinlacos(3-cos2asin/?,

8百7347123

=----------X--------——----x—=

49249298

16.已知平面向量方二（L%）石=（2x+3,-x）.c=（-3,5）,xeR.

（i）若方」B，求工的值；

（2）若￡〃幾求2小值.

（3）若不與巳的夾角是鈍角，求x的取值范圍.

【答案】（1）—1或3：

（2）1或3百

【解析】

【分析】（1）利用日0=0即可；

（2）利用3〃B得出x值，再利用求模公式；

（3）利用存3<0且。、0不共線即可.

【小問1詳解】

若，則方4=（l,x）-（2x+3,-^）=lx（2x+3）+x（-x）—0.

整理得V—2x—3=0,解得x=—1或x=3.

故x的值為—i或3.

【小問2詳解】

若Z〃B，則有l(wèi)x（-x）—x（2x+3）=0,即x（2x+4）=0,解得x=0或x=—2

當(dāng)x=0時(shí)，a=（1,0）,^=（3,0）,則24—石=（一1,0）,得忸_.=1；

當(dāng)x=—2時(shí)，a=（1,-2）,^=（-1,2）,則2商一3=（3,—6）,得|2萬_q=/+—f=3小.

綜上，口—砸勺值為1或3忖

【小問3詳解】

3

因。與己的夾角是鈍角，則商1<0,即1義（一3）+5*<0,得x<仁,

又當(dāng)商與忑共線時(shí)，有1x5=—3x,得x=不合題意，則xw—2

33

綜上,X的取值范圍為（一力,一—im）.

17.已知函數(shù)/(x)=2sinx-COSx+—+COSX

I3

（1）求了（%）的最小正周期;

（2）求了（%）在xe0,|-上的最大值，并求此時(shí)的x值.

【答案】（1）T=7T

（2）巳時(shí)，函數(shù)八%）最大，最大值￥

【解析】

【分析】（1）由三角恒等變換化簡函數(shù)/（%）,由此得到。的值，即可求出函數(shù)的最小正周期;

（2）由x的范圍即可求出2x+二的取值范圍，從而得到函數(shù)/（九）的最大值，并求出對應(yīng)的x的值.

6

【小問1詳解】

16.

/(x)=2sinx-cosXH-----I+COSX=2sinx?—cosx------sinx+cosx

322

373

/(x)=3sinxcosx-

2~22

/(x)=A/3sinj-且,

，—2兀

J69=2,1?最小正周期丁=一=71.

CD

【小問2詳解】

,^771171717Tt

當(dāng)0,一時(shí)，2%H---G-,----

2666

.??當(dāng)2工+1=^時(shí)，即x=g時(shí)，函數(shù)/⑴最大，最大值為了償卜孚

___>1__k?2__,

18.如圖，在VABC中，而=—通,心筋=—麗.設(shè)通=方,耳e=5.

23

（1）用表示A，V,MN；

—■41-

（2）若尸為VABC內(nèi)部一點(diǎn)，且BP=——日+—從求證：M,P,N三點(diǎn)共線.

99

【答案】(1)AN=-a+-b,MN=-a+-b

3363

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)借助向量加法法則與減法法則計(jì)算即可得；

(2)借助向量線性運(yùn)算法則可用濤3表示出麗，再利用向量共線定理推導(dǎo)即可得證.

【小問1詳解】

AN=AB+BN=AB+-BC=AB+-(AC-AB]=-AB+-AC=-a+-b,

33、73333

__.—.__