武漢市常青聯(lián)合體：2024-2025學年度第一學期期末考試

高一數(shù)學試卷

命題學校：武漢市第十五中學命題教師：徐域?qū)忣}教師：冷秋君

考試時間：2025年1月15日試卷滿分：150分

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的）

13

sin—71

1.計算的值為（

1

B.D.近

252

【答案】c

【解析】

【分析】利用三角函數(shù)誘導公式轉(zhuǎn)化為特殊角三角函數(shù)值即可解決.

故選：c

2.函數(shù)〃光）=坨（：龍~D的定義域為（）

X—1

A.陵，+cojB.（l,+oo）C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】由對數(shù)型復合函數(shù)定義域和分母不為零求解即可；

2%-1>01

【詳解】由題意得2,C，解得%>—且XW±1,

IHO2

所以函數(shù)的定義域為(1,+℃),

故選：D.

3.要得到函數(shù)丁=511112%-m］的圖象，只需將y=sin2x的圖象（

)

A.向左平移四個單位B.向右平移4個單位C.向左平移4個單位TT

D.向右平移一個單位

3366

【答案】D

【解析】

【分析】利用三角函數(shù)的圖象變換關系求解.

【詳解】y=sin

所以要得到函數(shù)丫=$.2尤的圖象，

只需將y=sin2尤的圖象向右平移四個單位，

6

故選:D.

4.^a=log026,b=log036,c=log046,貝ij()

Ac>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c

【答案】D

【解析】

【分析】作出函數(shù)y=10go,2X、y=10go.3%、y=logo_4X的圖象，結(jié)合圖象可得出a、b、c的大小關系.

【詳解】作出函數(shù)y=log02X、y=log03X、y=log04x的圖象如下圖所示:

因為a=logo,26,b=log036,c=log046,由圖象可得a>Z>>c.

故選：D.

5.函數(shù)/(x)=2*+；x-5的零點Xo—aeN*，則。=(

)

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，分別計算/(1),/(2),/(3),判斷其正負，由零點存在定理判斷函數(shù)零點所在區(qū)間為[2,3],可

得a=3.

113

【詳解】已知/(1)=2+^-5<0,/(2)=4+--5<0；/(3)=8+^—5>0,所以

/(2)./(3)<0,可知函數(shù)零點所在區(qū)間為[2,3],故a=3.

故選：C.

6.已知e銳角，且cos(a+V]=。，則tan「一“=()

A.—叵B.-41C.72D.交

22

【答案】D

【解析】

【分析】注意到++—=利用同角三角函數(shù)的關系求角&+￡的正弦，再利用誘導公式

TTTT

求角一-a的正弦、余弦，從而得到--a的正切.

33

【詳解】因為a為銳角，所以a+yefy,^且cosL+-V—

所以

6163JI6j3

sina+—>0

I6J汨.，兀V6

/、/、l^rsintz+—

.兀［2兀),I6V

sin2a+—+cos-a+—=1

I6(6

兀

由誘導公式得sin=sin

2

所以tan

故選:D

7.“圓材埋壁”是我國古代的數(shù)學著作《九章算術》中的一個問題，現(xiàn)有一個“圓材埋壁”模型，其截面如圖所

示.若圓柱材料的截面圓的半徑長為1,圓心為0,墻壁截面A3CD為矩形，且劣弧A8的長等于半徑。4

長的2倍，則圓材埋在墻壁內(nèi)部的截面面積是()

A.1B.—sin2C.2---sin2D.1——sin2

222

【答案】D

【解析】

【分析】利用扇形面積公式和三角形面積公式即可.

【詳解】由題意得劣弧A3的長為2,半徑r=1,

設ZAOB=a,則ar=2,即a=2,

1,

則扇形AOB的面積為一aL=1,

2

AH

過點。作則==則sinl=——=AH,COS1=—=OH,

AOAO

AB=2AH=2sinl,則SAOB=；x2sinlcosl=；sin2,

所以圓材埋在墻壁內(nèi)部的截面面積等于S扇形AOB-SAOB=1—gsin2,

8.設函數(shù)/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，對任意xeR,都有"1—x)=/(l+x),且當x?0,l］時，

f(x)=2x-l,若函數(shù)g(x)=/(x)—log/x+2)(a>0且awl)在(—1,7)上恰有4個不同的零點,

則實數(shù)。的取值范圍是()

A.[o,；卜(7,+°°)B.同)59，+8)

C[。,捫(7，+⑹D.［。0(9,+8)

【答案】C

【解析】

【分析】分析可知，函數(shù)/(X)的周期為4,作出函數(shù)/(X)的圖像，依題意可得數(shù)y=/(x)與

y=log“(x+2)的圖像在(—1,7)上有4個不同的交點，然后分a>l及0<a<l討論即可.

【詳解】解：函數(shù)“X)是定義在R上的奇函數(shù)，當x?O,l]時，/(x)=2、—1,

,當尤時，一xe[0,l],所以/'(無)=-/(-》)=-2力+1,

即當尤e[-1,0]時/(x)=-Tx+1,

又對任意xeR,都有尸(1—x)=尸(1+x),則〃尤)關于x=l對稱，且

/(r)=/(2+x)=-/(%),

.-./(%)=/(%+4),即函數(shù)/(%)的周期為4，

又由函數(shù)g(x)=f(x)-logo(X+2)(a>。且aW1)在(-1,7)上恰有4個不同的零點，

得函數(shù)y=/(x)與y=log“(x+2)的圖像在(—1,7)上有4個不同的交點，又/⑴="5)=1

/(-1)=/(3)=/(7)=-1,

當OvaV1時，由圖可得108。(7+2)＞-1=108.〃-1,解得0＜。＜".

故選：c.

二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）

9.已知21og/+log3b=0,則下列等式正確的是（）

3

2lna

A.b=aB.a-e=b

b

C.（2"J=2D.log2a=log8ab

【答案】ABD

【解析】

【分析】運用指數(shù)募運算公式及對數(shù)運算公式計算即可.

【詳解】對于A項，因為+（。>0,心。）,所以

3

a~2b=1>即）=6,故A項正確；

對于B項，由A項知人=/,所以分/。=。.。=。2=匕，故B項正確；

對于C項，由A項知人=/，所以m=2/，乂（20）2=22“，所以（20）2=2"不一定成立，故C項不成

立；

對于D項，由A項知b=6,所以log8H>=log23a3=log2a,故D項正確.

故選：ABD.

10.下列不等式成立的是（）

A.sin[f>sin]品

B.cos400°>cos

C.sin3>sin2D.sin

【答案】BD

【解析】

【分析】結(jié)合正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在各個區(qū)間的單調(diào)性判斷.

TTTLTC

【詳解】因為一—＜一一＜——＜0,且函數(shù)y=sinx在上單調(diào)遞增，則

2810

H^cos400°=cos(360°+40°)=cos40°,cos(-50°)=cos50°,且函數(shù)y=COSX在0,巴上單調(diào)遞減，則

cos40°>cos50°,即cos400°>cos(-50°),故選項B正確;

TT37r713萬

因為一<2<3<——，且函數(shù)y=sinx在上單調(diào)遞減,貝！Isin3<sin2,故選項C錯誤;

22

—,.77r8?3兀,,.,.

因為一<——<—<—,且函數(shù)y=sinx在上單調(diào)遞減,故選項D正

2872

確；

故選：BD

11.關于函數(shù)/(x)=3si?2x—g)+l(xeR)的下述四個結(jié)論，正確的有()

A.若〃%)=/(々)=1,則/一馬=3(左eZ)

B.y=/(x)的圖象關于點］菖,1］對稱

C.函數(shù)y=/(x)在0,|上單調(diào)遞增

D.y=/(￡))的圖象向右平移專個單位長度后所得的圖象關于y軸對稱

【答案】ABD

【解析】

【分析】①根據(jù)對稱中心進行分析；②根據(jù)對稱中心對應的函數(shù)值特征進行分析；③根據(jù)y=sinx的單調(diào)

性進行分析；④利用函數(shù)圖象的平移進行分析，注意誘導公式的運用.

【詳解】由/(石)=/(42)=1知點(%，1)，(%2，1)是〃x)=3sin［2x-?+圖象的兩個對稱中心，則

3sin乃+1,所以點是的對稱中心，B正確;

jr5冗）7TJ7TTT

當左=0時，〃龍）在一不，7不上單調(diào)遞增，則〃同在0,—上單調(diào)遞增，在—上單調(diào)遞

I乙X乙A乙J.乙乙

減，C錯誤；

y=/（%）的圖象向右平移展個單位長度后所得圖象對應的函數(shù)為

（7l\71

y—3sin—§+1=-3cos2x+1,是偶函數(shù),所以圖象關于y軸對稱，D正確，

故選：ABD.

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）

X

12.已知函數(shù)〃x）=2]]x°<g20+）x〉2,則"/⑺）的值為---------

【答案】4

【解析】

【分析】運用代入法，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)進行求解即可.

【詳解】由題意可得，/（7）=log3（2+7）=2,所以/（/（7））=〃2）=22=4.

故答案為：4

（JIJI

13.函數(shù)y=cosx+sin?%在％e的值域.

I62」

【答案】1怖

_4_

【解析】

【分析】化簡函數(shù)y=—[cosx—工]+-,令/=cosxe[0,l],結(jié)合y=—。―工]的單調(diào)性求解.

【詳解】=cosx+sin2x

=-cos2x+cosx+l

(2n5

I4j4

(1?5

I2j4

(nn

,，

/.cosxe[0,1],

令"COSXG[0,1],

則y=—'—￡|+：在0,；)遞增,在遞減，

當cos%=0時，y取最小值1,

當cosx=工時，y取最大值°,

24

故函數(shù)的值域是i，4，

_4_

故答案為：L：.

14.己知函數(shù)/'COul—若不等式/(ax)+f[—V—對vxe(l,2)恒成立，則實數(shù)。的取

e+1I2；

值范圍是.

【答案】3，+°°]

【解析】

【分析】判斷函數(shù)，(x)=l-的單調(diào)性，利用其解析式推出/(x)+/(-x)=l,則可將不等式

e+1

f(ax)+〉1對Vxe(1,2)恒成立，轉(zhuǎn)化為々(^^+土，即?！涤?2對Vxe(1,2)恒成立，

12；22

即可求得答案.

【詳解】由題意知y=e,單調(diào)遞增，故小)”占在R上單調(diào)遞增,

11X.1

xy(x)+/(-x)=i--------+1----------=2---------=1,

er+lb+1ev+l

故不等式f(ax)+fb/—金J〉1對立e(1,2)恒成立，

即/(?x)>l-/f-x2--j=/fx2+-j對Vxe(1,2)恒成立,

Y1

所以依〉/+—,即〃>％+—對Vx￡(l,2)恒成立,

22

當Vxc(l,2)時，%+-<2+-=-,

222

故即實數(shù)a的取值范圍是|,+?)|,

212)

故答案為：

【點睛】本題考查了函數(shù)不等式恒成立求解參數(shù)范圍問題，解答時要注意判斷函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)滿足

的性質(zhì)，因而解答的關鍵是利用函數(shù)滿足的性質(zhì)脫去函數(shù)符號''尸，將問題轉(zhuǎn)化為依>產(chǎn)+攝，即

。〉》+!對\/》6(1,2)恒成立，即可解決.

2

四、解答題(本大題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步

驟)

/、「心c42sina-cosa

15.(1)已知tana=2,求-------------.

sin。+3cosa

771、

(2)已知sina+coso=—,0<a<—,求sina-cosa.

54

31

【答案】(1)-；(2)

【解析】

【分析】

2tancy_1

(1)將原式化為------二即可求出；

tan戊+3

(2)由sinc+coso=一平方可得sin。cosa=一，即可求出sina-cosa.

【詳解】(1)?「tana=2,

b一2sina-coso2tano-l2x2-13

原式:-------------=----------=--------=-

sina+3cos。tana+32+35

2494912

(2);(sin夕+cos。)二一,?\l+2sinocos。=——,sinacosa-——.

v7252525

(sincif-coscif)2=l—2sinacosa=±

71.1

0<a<一,；.sina<cosa,sina—cosa--

45

n\

16.函數(shù)/(x)=cos(〃x+0U0<°＜萬的部分圖像如圖所示.

(1)求。及圖中為的值，并求函數(shù)7(%)的最小正周期;

(2)若/(%)在區(qū)間［0,加］上只有一個最小值點，求實數(shù)機的取值范圍.

TT4

【答案】(1)(P=~,x°=—,最小正周期為2

3°3

⑵*

【解析】

【分析】(1)將代入/(x)=cos(乃x+9)[o<°7t)

＜萬解出。，進而求解即可;

(2)由余弦函數(shù)圖像和性質(zhì)求解即可.

【小問1詳解】

將。171I兀

代入/(x)=cos("x+°)|0<°<5得cos夕=3，解得0=§

所以/(x)=COS71X+—

令cos[T1%+']=一1得兀x+色=兀+2左兀，k^Z,解得％=2+2左，k^Z,

I33

2

所以圖中對稱軸為％=大，

3

由對稱性得上當=2,解得/.

233

27r

/(%)的最小正周期T=」=2.

71

【小問2詳解】

由余弦函數(shù)的性質(zhì)令cos[?u:+mj=—1解得x=1+2左，keZ,

由余弦函數(shù)的圖像/(%)在區(qū)間[0,m\上只有一個最小值點，則加e10,|

即實數(shù)加的取值范圍為[。,|

17.已知函數(shù)〃x)=5Y是奇函數(shù).

(1)求實數(shù)"?的值；

(2)判斷并用定義法證明函數(shù)/(%)的單調(diào)性：

⑶若g(x)=/(x)—0,且當xNO時，g(%)20恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)m=l；

(2)/(%)單調(diào)遞增，證明見解析；

(3)(-oo,0].

【解析】

1_vn.2%TYI—2%

【分析】(1)由奇函數(shù)的性質(zhì)可得^即可求參數(shù)；

1+2、2'+1

(2)令外＞%，作差法判斷了(%),/(%)大小即可；

(3)問題化為無之0時恒成立，由指數(shù)、分式性質(zhì)求了(%)的區(qū)間值域，即可得參數(shù)范圍.

【小問1詳解】

9-x—mAX

由題設〃T)=-/(gJN2-m1—m-2*m-2

2工+產(chǎn)1+2，-2'+l

所以1—〃7?2'=根—2*=1+2工="7(l+2"),即m=1.

【小問2詳解】

)(x)單調(diào)遞增,證明如下:

由(1)知：/(%)=--=1———,

V72%+12%+1

2?22

令…，貝叱⑷-7(%)=1-仃-(1-目-目

2'+1

2(2%-2力

而2為-2金>0，2X1+1>0>2a+1>0,

(23+1)(2%+1)

所以/'(%)-/■(尤2)>。=/(%)>/(%)，故/(%)單調(diào)遞增.

【小問3詳解】

2

由題設，當xNO時a</(x)恒成立，而/'(x)=l—a、e[O,l),

所以aWO即可，故實數(shù)。的取值范圍為(-8,0].

18.己知定義在R上的函數(shù)滿足/'(一%)-/(%)=0且/(%)=1082(2*+1)+丘，g(%)=/(%)+%.

(1)求〃％)的解析式；

(2)若不等式g(4*—a2+1)>g(—3)恒成立，求實數(shù)。取值范圍；

⑶設力(％)=*一2初％+1,若對任意的與?0,3],存在尤2G[L3],使得目(國)之用/),求實數(shù)價取

值范圍.

【答案】⑴/(x)=log2(2"+l)-1x

(2)(-oo,4)

1

(3)一，+8

2

【解析】

【分析】⑴根據(jù)析(-?一"%)=0列方程,求解即可；

(2)根據(jù)函數(shù)y=g(x)的單調(diào)性化簡不等式，分離參數(shù)，利用基本不等式求最值即可；

(3)由題意得g(%)1nm2M々Ln，先根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得g(玉Ln，再求解使得

g(x).>h(xA,成立的實數(shù)機取值范圍即可.

【小問1詳解】

v

由題意知，log2(2-'+1)-fcc-log2(2+1)-fcc=0,

即2依=1嗚(2一工+1)—1嗝(2工+1)=1鳴方^=1鳴--=—x,所以左=—，

乙IJ.\乙IJ.)乙

故〃力=咋2優(yōu)+1)-]

【小問2詳解】

V

由(1)知，g(x)=/(%)+%=log2^2+1)+—%,

所以g(x)在R上單調(diào)遞增，

所以不等式g(4、—a?2、+1)>g(—3)恒成立等價于4*—a?2、+1>—3恒成立，

4*+4

即。恒成立

2V

4*+4/+44

設。=2,，貝廿>0,-=^—^=/+->4,當且僅當f=2,即x=l時，等號成立

2*tt

所以a<4,

故實數(shù)。的取值范圍是4)

【小問3詳解】

因為對任意的％e[0,3],存在％目1,3],使得g(%)2Mx2)，

所以g(x)在[0,3]上的最小值不小于八⑺在[1,3]上的最小值，

因為g(x)=log2(2工+1)+；x在[0,3]上單調(diào)遞增，

所以當[0,3]Ht，g(x)min=g(O)=l,

又=—2/nx+l的對稱軸為1=加,XG[1,3],

當mW1時，g)在[1,3]上單調(diào)遞增，網(wǎng)"皿=-1)=2—2加<1,解得機2；,

所以,〈加

2

當1<加<3時，八⑺在[1,回上單調(diào)遞減，在[加,3]上單調(diào)遞增，

^(x)min=^(w)=l-m2<1,解得meR,所以1<加<3；

當加23時，h(%)在[1,3]上單調(diào)遞減，=/z(3)=10—6m<l,解得加'屋

所以根23,

綜上可知，實數(shù)加的取值范圍是:，+°°]

【點睛】結(jié)論點睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：

一般地，已知函數(shù)y=/(x),xe[a,b],y=g(x),xe[c,d].

⑴若V%e[a,5|,Vx2e[c,<7],有/(%)<g(%)成立,則/"L<8⑴皿；

(2)右X/石G[a,Z?],e[c,d],有/(不)<g(%)成立,則/(珠/8⑺1mx；

⑶若叫e[a,句,3X2^[c,d],有/(%)<g(%)成立,則/(X)=<g(0111ax；

(4)石，X/石e[a,8],^[c,d],有/(%)=g(%)成立，則〃尤)的值域是g(x)的值域的子集.

19.列奧納多?達?芬奇(LeonardodaVinci,1452-1519)是意大利文藝復興三杰之一.他曾提出：固定項

鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，項鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問題”，后人

X

給出了懸鏈線的函數(shù)表達式0(x)=acosh—,其中。為懸鏈線系數(shù)，coshx稱為雙曲余弦函數(shù)，其函數(shù)

a

表達式為cosh—'+''，相反地，雙曲正弦函數(shù)的函數(shù)表達式為.

22

(1)證明：cosh2x-sinh2x=1;

(2)求不等式：sinh(2x—l)+sinh(x-2)<0的解集；

(3)函數(shù)/(x)=2wcosh(2x)-2sinh(尤)一3的圖象在區(qū)間[0,ln2]上與x軸有2個交點，求實數(shù)機的取

值范圍.

【答案】(1)證明見解析；

(2)(-oo,1)

3而+3)

9

(3)［—24AJ

【解析】

【分析】(1)結(jié)合雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù)代入計算即可；

(2)求出y=sinhx的單調(diào)性和奇偶性，得到sinh(2x-l)<-sinh(x-2)=sinh(2—x),2x-l<2-x,

求出解集；

(3)參變分離得到加=(