幾何大綜合壓軸突破

壓軸突破1勾股定理與幾何大綜合

類型一幾何新定義，規(guī)則是前提

1.我們新定義一種三角形：若一個(gè)三角形中存在兩邊的平方差等于第三邊上高的平方，則稱這個(gè)三角形為勾股

高三角形，兩邊交點(diǎn)為勾股頂點(diǎn).

【特例感知】

(1)等腰直角三角形勾股高三角形(請(qǐng)?zhí)顚憽笆恰被蛘摺安皇恰?；

(2)如圖1,已知△ABC為勾股高三角形，其中C為勾股頂點(diǎn),CD是AB邊上的高.若BD=2,AD=L試求線段CD

的長(zhǎng)度；

【深入探究】

(3)如圖2,已知△ABC為勾股高三角形，其中C為勾股頂點(diǎn)且CA>CB,CD是AB邊上的高.試探究線段AD與

CB的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；

【推廣應(yīng)用】

(4)如圖3,等腰△ABC為勾股高三角形，其中AB=AC>BC,CD為AB邊上的高，DE||BC與AC邊交于點(diǎn)E.若C

E=a,求線段DE的長(zhǎng)(用含a的式子表示).

2.(2020-2021東湖高新期中)如圖，我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”.

⑴性質(zhì)探究:如圖L已知四邊形ABCD中，AC^BD,,垂足為O,求證：AB2+CD2=AD2+BC2;

(2)解決問題：已知AB=5&,BC=4但分別以AABC的邊BC和AB為腰向外作等腰Rt△BCE和等腰Rt

AABD^ABD=乙CBE=90°).

①如圖2,當(dāng)乙ACB=90。時(shí)，求DE的長(zhǎng)；

②如圖3,當(dāng)乙ACB豐90。。時(shí),G,H分別是AD,AC的中點(diǎn)，連接GH.^(GH=2而則ShABC=_.

八年級(jí)數(shù)學(xué)下RJ

類型二找共（等）邊，連環(huán)勾；構(gòu)垂直，分步算

3.（2021—2022江漢區(qū)期中）如圖1,在等腰△4BC中，AB=AC?D為邊BC的中點(diǎn)點(diǎn)F在AC上，且.BF=

BC,點(diǎn)G在AD上，且FGSFB.

⑴求證：AG=FG-,

⑵若BC=8,AD=8同求AG的長(zhǎng)；

⑶如圖2,在⑵的條件下,E是AC邊的中點(diǎn)，連接GE,直接寫出GE的長(zhǎng).

類型三全等聚離散，勾股來計(jì)算

4.【問題背景】⑴如圖1,已知AABC和ADCE都為等腰直角三角形,（CA=CB,CE=CD,求證：ACBD=hCAE

【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在A/ICB中,CA=CB/ACB=90。,點(diǎn)D是△4BC外一點(diǎn)，且AADC=45。,求證：

AD2+BD2=2AC2;

【拓展創(chuàng)新】（3）如圖3,D是等邊三角形ABC外一點(diǎn)，若.DC=10,DB=6^2,DA=2,直接寫出“DB的度

數(shù).

類型四活用特殊角

5.在等腰△ABC中,AB=",,D為BC上一點(diǎn),E為AD上一點(diǎn)，連接BE,CE,Z.BAC=MED=24BED=2a

(1)如圖1，若a=45。,求證：CE=2AE-,

(2攻口圖2,若a=30。,AB=AC=5,

①求CE的長(zhǎng)；

②直接寫出BD的長(zhǎng).

圖1圖2備用圖

壓軸突破2動(dòng)點(diǎn)與幾何大綜合

類型一以靜制動(dòng)，分類計(jì)算

6.在矩形ABCD中,AB=a,BC=3,動(dòng)點(diǎn)P從B出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線BC方向移動(dòng)，作△PAB

關(guān)于直線PA的對(duì)稱△PAB',設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts.

⑴若a=4;

①如圖1,當(dāng)點(diǎn)B落在AC上時(shí)，顯然△PCB是直角三角形，求此時(shí)t的值；

②當(dāng)點(diǎn)B，不落在AC上,且4PCB，是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出t的值；

(2)如圖2,若直線PB與直線CD相交于點(diǎn)M,且當(dāng)t<3時(shí).APAM=45°;

①求a的值；

②當(dāng)t>3時(shí)，ZPAM的度數(shù)是否發(fā)生變化，若不變，求出值，若變化，請(qǐng)說明理由.

類型二巧借圖形性質(zhì)列方程

7如圖1,在四邊形ABCD中，AD\\BC,zS=90°,AB=6cm,AD=10cm,BC=14cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以1cm

/s的速度在邊AD上向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)以2cm/s的速度在邊CB上向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).規(guī)定其中一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)它們運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts.

(1)當(dāng)四邊形ABQP是矩形時(shí)，直接寫出t的值；

⑵在點(diǎn)P,Q的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)PQ=8時(shí)，直接寫出t的值；

(3)如圖2,若乙DPQ=2NC,求t的值.

8.如圖，四邊形ABCD中，AD\\BC,AB=90°,AB=8,BC=20,AD=18,Q為BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在線段AD

邊上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

⑴當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PBQD是平行四邊形，請(qǐng)說明理由；

⑵在AD邊上是否存在一點(diǎn)R，使得以點(diǎn)B,Q,R,P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在，請(qǐng)直接寫出t的值；

若不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)在線段PD上有一點(diǎn)M,且.PM=10,,當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形BCMP的周長(zhǎng)最小，直接寫出此時(shí)t的值

和四邊形BCMP的周長(zhǎng)的最小值.

壓軸突破3平行四邊形中的幾何大綜合

類型一活用平行四邊形的性質(zhì)

9.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為m,正方形DEFG的邊長(zhǎng)為n(n＜陶以AD,DG為邊作團(tuán)2DGM,,以CD,DE

為邊作忸CDEN,,P,Q分別是DM,CE的中點(diǎn)

(1)求證：△MDA=△ECD-,

(2)求AOPQ的面積(用含m,n的代數(shù)式表示)；

(3)直接寫出PQ的長(zhǎng)度的最大值(用含m,n的代數(shù)式表示).

BC

備用圖

類型二構(gòu)造平行四邊形轉(zhuǎn)化線段

10在團(tuán)4BCD中,E是AB的中點(diǎn),P是BC上一點(diǎn)，連接DE交AP于點(diǎn)M,N是AP上一點(diǎn)且AM=MN,連接

BN并延長(zhǎng)交DC于點(diǎn)F.

⑴如圖1,求證：四邊形EBFD是平行四邊形；

⑵如圖2,連接MC交BF于點(diǎn)H過點(diǎn)A作4G||MC交DE于點(diǎn)G,求證：MC=2AG-

(3)如圖3,當(dāng)P為BC中點(diǎn)時(shí),若BF=a,AP=①且^-AB2=a2+4b2,直接寫出團(tuán)2BCD的面積(用含a,b的

4

式子表不).

FC

-------

AEB

圖1圖2圖3

類型三平移型軌跡

1L如圖，在13aBe。中，ADAC=45°,18C于點(diǎn)E,(CGEIZB于點(diǎn)G,交AE于點(diǎn)F.

⑴求證：AAEB三XCEF;

(2)如圖2°ABCD外部有一點(diǎn)H,連接AH,EH,且IEH\\AB,ZW=45。..求證：AG+<2AH=CG;

(3)如圖3,在BC上有一點(diǎn)M,連接FM,將AFEM繞著點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得△連接CF',DF',P為DF'

的中點(diǎn)，連接AP.若CD=3國(guó),EF=3應(yīng)，當(dāng)CF最小時(shí)，直接寫出此時(shí)線段AP的長(zhǎng).

壓軸突破4矩形中的幾何大綜合

類型一矩形中的勾股、對(duì)稱

12.如圖，在矩形ABCD中,AB=3,AD=5.

⑴如圖1,M,N分別為邊BC,CD上的點(diǎn),AM_LMN且AM=MN,求DN的長(zhǎng)；

(2)如圖2,/ABC的平分線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q.BQ交AD于點(diǎn)P,O為PQ的中點(diǎn)，求/OAC的度數(shù);

⑶如圖3,E為邊AB的中點(diǎn),F,G,H分別是邊BC,CD,AD上的動(dòng)點(diǎn)，直接寫出四邊形EFGH周長(zhǎng)的最小值.

圖1圖2圖3

類型二矢耶與全等三角形

13.已知矩形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O,/.MON=a.

⑴如圖1,AD=DC,a=90。,點(diǎn)M在邊AD上點(diǎn)N在邊CD上.求證：MO=0N;

⑵如圖2,.^ACD=30°,a=60。,點(diǎn)M在線段AD的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)N在線段CD的延長(zhǎng)線上.若OM=ON,求

OM=ON,器的值；

⑶如圖3,AD=6,DC=8,a=45。,點(diǎn)M在線段AD的延長(zhǎng)線上點(diǎn)N在線段CD的延長(zhǎng)線上.若DM=DN

，直接寫出線段ON的長(zhǎng)度為.

類型三面積與面積法

14.⑴如圖1,E,F,G分別是正方形ABCD的邊CD,AD,BC上的點(diǎn)，且4E回FG,求證：AE=FG;

⑵如圖2,在矩形ADNM中，AD=2AM=12點(diǎn)E在邊DN±?DE=5,動(dòng)點(diǎn)F,K分別在邊AD,MN上,

且FKEIZE,求S&DEF+S&ENK+的值；

(3)如圖3,在矩形ADNM中，AD=2AM=2,點(diǎn)E,F,G,K分別在邊DN,AD,AM,MN上，GE團(tuán)FK,連接GF,GK,

KE,EF,記四邊開鄉(xiāng)GFEK的面積為S,直接寫出S的取值范圍.

圖1圖3

壓軸突破5菱形中的幾何大綜合

類型一活用菱形的性質(zhì)

15.如圖,P是菱形ABCD的邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)，N4BC=60。線段PC的垂直平分線與對(duì)角線BD交于點(diǎn)E,連

接PE,CE,AP.

⑴如圖1,若4BAP=16。，，直接寫出NAPE的大小為_________L

⑵如圖2,試探索線段AB,BP,BE滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)如圖3,若AB=1,過點(diǎn)E作EFLAP于點(diǎn)F,點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)至EF最小時(shí)停止，直接寫出點(diǎn)P

的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為.

類型二菱形與夾半角

16.在菱形ABCD中，"BC=120°,AB=6,,E,F分別為AD,CD上的點(diǎn).

⑴如圖1,若乙EBF=60。,求證：AE=DF-,

(2)如圖2,E為AD的中點(diǎn)，。F=1,,線段EG交BC于點(diǎn)G,FH交AB于點(diǎn)H,交EG于點(diǎn)O/EOF=60。,設(shè)

BH=x,CG=y.

①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

②若x+y=6,,直接寫出HF的長(zhǎng).

17.在菱形ABCD中，/.DCB=120°?E為CD上一點(diǎn).

⑴如圖1,若乙DAE=30。,求證：BC=2CE;

(2)F為CB上一點(diǎn)，/.EAF=30°;

①如圖2,連接EF,求證:EA平分乙DEF;

②如圖3,若BF=2FC,BF=2FC,求笑的值.

圖1圖2圖3

壓軸突破6中點(diǎn)問題

類型一倍長(zhǎng)與斜邊中線

18.四邊形ABCD是矩形,E是射線BC上的一點(diǎn)，連接AC,DE.

⑴如圖1,點(diǎn)E在邊BC的延長(zhǎng)線上“BE=垢若乙4cB=40。,,求/￡的度數(shù)；

(2)如圖2,點(diǎn)E在邊BC的延長(zhǎng)線上,.BE=AC,,若M是DE的中點(diǎn)，連接AM,CM,求證：AM團(tuán)MC;

⑶如圖3,點(diǎn)E在邊BC上，射線AE交射線DC于點(diǎn)F,4AED=2^AEB,AF=4?,AB=4,貝!]CE的長(zhǎng)為

_.(直接寫出結(jié)果)

類型二構(gòu)造中位線

19如圖，在EL4BCD中,AE平分ND48交CD于點(diǎn)E,連接BE,^AEB=90°.

(1)求證:E為CD的中點(diǎn)；

(2)F為AE的中點(diǎn)，連接CF交BE于點(diǎn)G,求EG:BG的值

20.在菱形ABCD中，4BAD=60°.

⑴如圖1.E為線段AB的中點(diǎn)，連接DE,CE.若AB=4,,求線段EC的長(zhǎng)；

⑵如圖2,M為線段AC上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A,C重合)，以AM為邊向上構(gòu)造等邊三角形AMN,線段MN與A

D交于點(diǎn)G,連接NC,DM,Q為線段NC的中點(diǎn)，連接DQ,MQ,判斷DM與DQ的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

⑶在⑵的條件下，若AC=百，請(qǐng)你直接寫出DM+QV的最小值是一.

圖2

壓軸突破7正方形中的幾何大綜合

類型一正方形與旋轉(zhuǎn)、三垂直模型

21.(2021—2022武珞路中學(xué)期中)如圖,四邊形ABCD是正方形，等腰RtACEF中，乙E90°,EC=EF.

⑴如圖1,EF經(jīng)過點(diǎn)A,請(qǐng)直接寫出/FAD與NDCF之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2,EF經(jīng)過點(diǎn)D,請(qǐng)寫出AF與BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)如圖3,DF，EFj^B,E,F在同一條直線上，若AB=15,DF=3,請(qǐng)直接寫出AE的長(zhǎng).

圖1圖2圖3

22.如圖,P是正方形ABCD的邊CD右側(cè)一點(diǎn),(CP=CD,NPCD為銳角，連接PB,PD.

⑴如圖1,若PD=PC,則NBPD的度數(shù)為；

⑵如圖2,作CE平分乙PCD交PB于點(diǎn)E.

①求NBEC的度數(shù)；

②猜想PD,BE,CE之間有何數(shù)量關(guān)系?并證明你的結(jié)論；

(3)如圖3,若PB=6,,則四邊形PCBD的面積為平方單位.

類型二正方形與對(duì)角互補(bǔ)模型

23在正方形ABCD中，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上連接CE,EF1CE交AB于點(diǎn)F.

⑴如圖1,求證:CE=EF;

(2)如圖2,EMXBD交AD于點(diǎn)M,連接BM.求證：BM=V2CE;

⑶如圖3.延長(zhǎng)CE交DA于點(diǎn)N若BE=7^2,AN=6,直接寫出CE的長(zhǎng).

類型三正方形的折疊

24.如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中動(dòng)點(diǎn)E,F分別在邊AB,CD上，將正方形ABCD沿直線EF折疊，使

點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M始終落在邊AD上(點(diǎn)M不與點(diǎn)A,D重合)，點(diǎn)C落在點(diǎn)N處,MN與CD交于點(diǎn)P.

(1)當(dāng)AM=2時(shí),AE的長(zhǎng)是;

(2)隨著點(diǎn)M在邊AD上位置的變化，△PDM的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化?如變化，請(qǐng)說明理由；如不變，請(qǐng)求出

該定值；

(3)設(shè)四邊形BEFC的面積為S,求S的最小值.

備用圖

壓軸突破8正方形中的最值、路徑長(zhǎng)

類型一斜邊定，取中點(diǎn)，共線取最值

25.正方形ABCD中,E,F分別是AB,DC上的動(dòng)點(diǎn)（與頂點(diǎn)不重合）,且滿足AE=CF.

⑴如圖1,連接EF與對(duì)角線BD交于點(diǎn)0,求證:OE=OF;

⑵如圖2,連接DE,過點(diǎn)F作BC的平行線,分別交AC,AB于點(diǎn)M,G.過點(diǎn)M作HMJ_AC交AB的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)H,連接HC,BM,若HC〃DE判斷DE與BM的數(shù)量關(guān)系,并加以證明；

⑶如圖3,過點(diǎn)B作BKL直線EF,垂足為K,連接KC若正方形的邊長(zhǎng)為8,則線段KC的最大值為

圖2

類型二平移、對(duì)稱轉(zhuǎn)化，共線取最值

26.已知正方形ABCD的對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)0,M是A0上一點(diǎn).

⑴如圖1,4Q團(tuán)DM于點(diǎn)N,交BO于點(diǎn)Q.

①求證:（0M=0Q-,

②若DQ=DC,求證：QN+NM=曰MD;

⑵如圖2,M是AO的中點(diǎn)，線段EF（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊）在直線BD上運(yùn)動(dòng)，連接AF,ME.若.AB=4,EF=

迎,直接寫出AF+MEE的最小值為.

圖1圖2

類型三平移拼接求最值

27.在正方形ABCD中點(diǎn)E,F分別在邊BC,DC上,且BE=DF.

⑴如圖1,當(dāng)^EAF=60。時(shí)，求證：△4EF為等邊三角形；

(2)如圖2,在⑴的條件下，點(diǎn)G在線段FC上，乙4GC=120。,EC=遍，求CG的長(zhǎng);

(3)如圖3,BC=4,,G為FC的中點(diǎn)，直接寫出^AF+BG的最小值.

圖1圖2圖3

28.已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,E為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，EFBAC,垂足為F.

⑴如圖1,連接DE交AC于點(diǎn)M,若乙DEF=15。,求AM的長(zhǎng);

(2)如圖2,點(diǎn)G在BC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足CG=BE.

①連接BF,DG,判斷BF,DG的數(shù)量關(guān)系并說明理由；

②如圖3,若Q為CG的中點(diǎn)，直接寫出.DE+2DQ的最小值為.

圖1圖2圖3

類型四“胡不歸”型最值

29.在正方形ABCD中,E是邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)B,C).

⑴若AE^\EF,AE=EF,連接CF.

①如圖1,求/ECF的度數(shù)：

②如圖2,N為CF的中點(diǎn)，連接DN,DE,求證：DE=0DN;

(2)如圖3,若.XD=1+V3,,直接寫出\BE+DE的最小值為

類型五起點(diǎn)、終點(diǎn)定路徑

30.在正方形ABCD中,E是邊CD上任意一點(diǎn)，連接AE,過點(diǎn)B作8F回4E于點(diǎn)F,交AD于點(diǎn)H.

⑴如圖1,過點(diǎn)D作DG團(tuán)4E于點(diǎn)G.求證：BF-DG=FG;

⑵如圖2,E為CD的中點(diǎn)，連接DF,試判斷DF,FH,EF存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)如圖3,AB=1,連接EH,P為EH的中點(diǎn)，在點(diǎn)E從點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，點(diǎn)P隨之運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)直

接寫出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為

壓軸突破1勾股定理與幾何大綜合

類型一幾何新定義，規(guī)則是前提

1.解：⑴是；設(shè)等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)為a，則斜邊長(zhǎng)為標(biāo)F涯=&a,

???(V2a)2-a2=az,等腰直角三角形的一條直角邊是另一條直角邊上的高，

.??等腰直角三角形是勾股高三角形，故答案為是；

(2)由勾股定理，得CB2=CD2+BD2=CD2+4,CA2=CD2+AD2=CD2+1,

VAABC為勾股高三角形C為勾股頂點(diǎn),CD是AB邊上的高，:.CD?=BC2-AC2,

CD2={CD2+4)-{CD2+1),解得CD=V3;

(3)AD=CB;證明如下:「△ABC為勾股高三角形,C為勾股頂點(diǎn)且CA>CB,CD是AB邊上的高，

CD2=CA2-CB2,CA2-CD2=CB2,

X-???CA2-CD2=AD2,.-.CB2=AD2,AD=CB;

(4)過點(diǎn)A作AGLDE,垂足為G,

??.“勾股高三角形”△ABC為等腰三角形，且AB=AC>BC,

???AC2-BC2=CD?,,由(3x得AD=BC,又：ED〃BC,

ZADE=ZB,ZAED=ZACB,AE=AD,

ZAGD=ZCDB=90°,

AAGD^ACDB(AAS),DG=BD.

AADE為等腰三角形,ED=2DG=2BD,又：AB=AC,AD=AE,BD=EC=a,ED=2a.

2.解:(l)：AC_LBD,；./AOB=90o,/COD=90。,在RtAAOB中，AB2=AO2+0B2^±RtACOD中,(CD2=

2222222同理。爐。。

DO+OC,AB+CD=AO+OB+DO+0c2,AD2+BC2=AQ2++DQ2+2...AB2+

(2)①連接DC,AE相交于點(diǎn)F.

VRtABCE和RtAABD是等腰三角形，

，BE=BC,AB=BD,ZCBE=ZABD=90°,

ZABE=ZDBC=90°+ZABC,

AABE^ADBC,/.ZCDB=ZBAE,

ZAFD=90°,.\AE±CD,

???AB=5V2,BC=4?乙ACB=90°,AC=3夜,

由(1)中結(jié)論得AD2+EC2=AC2+DE2,

DE=V146;

②連接DC,AE相交于點(diǎn)F.

;點(diǎn)G,H分別是AD,AC的中點(diǎn)，GH=2屈,

，DC=2GH=4遙作CPLBD交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,

...Bp2+CP2=BC2=(4V2)=32,DP2+PC2=DC2=(4佝=96,

{DP2+PC2)-(BP?+CP2)=96-32=64

DP2-BP2=64,；.(BD+BPy-BP2=64,

???(5V2+-BP2=64,BP=^y/2,

o

'：ZABD=90,ZP=90°,ANABD=/P,；.AB〃PC,則SKABC=S“BP=-BP=|X5A/2XV2=1.

類型二找共(等)邊，連環(huán)勾；構(gòu)垂直，分步算

3.解:(1)：BF=BC,；.ZC=ZBFC,

VAB=AC,D是BC的中點(diǎn),AD_LBC,

.?.ZC+ZCAG=90°,

VBF±FG,.,.ZBFC+ZAFG=180o-90o=90°,

ZCAG=ZAFG,.\AG=GF;

(2)連接BG,設(shè)AG=x，由(1),得GF=AG=x,BD=CD=4,DG=AD-AG=8V3-x,

在RtABGF中，BG2=BF2+GF2,

BG2=BC2+GF2=82+x2,

2

在RtABDG中，BG2=BD2+DG2=42+(8A/3-x),

.-.82+%2=42+(8A/3—x)解得x=3-\/3,

???AG=3A/3;

(3)GE=V7.

分別過點(diǎn)B,點(diǎn)G作AC的垂線，垂足分別為M,N,AC=<CD2+AD2=4后,由面積法，

得BCAD=ACBM,/.BM=16V139

CM=y/BC2-BM2=

13

16V13.?36V13

???CF=---,AF=-------,

1313

???AG=GF,AN=FN=受運(yùn)，

VE是AC的中點(diǎn),ME=CE=2V13,

_2

在RtAGFN中,(GN2=GF2-FN2=(3百『_，在RtAGNE中，GN2=GE2-EN2=GE2-

_2__2__2

（警）（3V3）2—（誓）=G非_（警）解得GE=V7.

類型三全等聚離散，勾股來計(jì)算

4.解:⑴:△ABC和ADCE為等腰直角三角形.

ZACB=ZDCE=90°,

AZACB-ZACD=ZDCE-ZACD,SPZBCD=ZACE,

CB=CA,

在4CBD和4CAE中”{/.BCD=CBD￡△CAE（SAS）;

CD=CE,

⑵過點(diǎn)C作CELCD,交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,

CA=CB,/ACB=90。,AACB是等腰直角三角形，

AB2=AC2+BC2=2AC2,

VZADC=45O,.\AECD是等腰直角三角形，由⑴彳靚CBD絲△CAE（SAS）,

.\ZCDB=ZCEA=45°,

???4ADB=AADC+乙CDB=45°+45°=90°,

AD2+BD2=AB2,AD2+BD2=2AC2;

（3）75。.以BD為邊向右側(cè)作等邊△BDM,連接AM,過點(diǎn)M作MN_LAD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,

VAABC,ABDM都是等邊三角形，

；.CB=AB,BD=BM=DM=6&

ZABC=ZDBM=ZBDM=60°,

ZABC+ZABD=ZDBM+ZABD,

SPZCBD=ZABM,

CB=AB,

在4CBD和4ABM中，{NCBD=乙4BM,

BD=BM,

：.ZXCBD絲△ABM（SAS）,DC=AM=10,

MN^\AD,：.AM2-AN2=DM2-DN2,

2

即102-（2+DN）2=（6V2）-DN2解得DN=6,

MN='DM?—DN2=J（6A/2）2—62=6,

.,.DN=MN,AADNM是等腰直角三角形，

ZMDN=45°,.\ZADB=180°-ZBDM-ZMDN=180°-60°-45°=75°.

類型四活用特殊角

5.解:⑴過點(diǎn)B作BHLAD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,

■:ZCED=ZEAC+ZACE,ZBAC=ZEAC+ZBAE,

NBAH二NACE,

ZAEC=ZH=90°,AB=AC,

???AACE^ABAH(AAS),BH=AE,CE=AH,

ZBEH=45°,ZH=90°,ABH=EH,

Ii

???AE=EH=-AH=-CE,.-.CE=2AE;

22

(2)①在AD上取點(diǎn)H,使BH=EH過點(diǎn)B作BF,AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,則/BHE=NAEC=120°,ZBA

H+ZCAE=ZCAE+ZACE=60°,

ZBAH=ZACE,X?；AC=AB,

AACE^ABAH(AAS),CE=AH,AE=BH,設(shè)BH=EH=AE=2x,AH=4x,

vZBWF=60",.-.HF=x,BF=y/3x,AF=AH+HF=:5x,^RtAABF中，由BF?+人尸2=入鳥？彳導(dǎo)(百萬)之十

(5x)2=(仞2,解得%=3負(fù)值舍去)，

；.CE=AH=4x=2;

②g過點(diǎn)C作CGLAD于點(diǎn)G,由①，得BF=y,

1

???乙CEG=60°,???GE=-CE=1,

2

???CG=VCE2-GE2=V3,CG=2BF,

..s&BDE_IDEBF_BDLc_亙

SACDE-DE-CGCD233

壓軸突破2動(dòng)點(diǎn)與幾何大綜合

類型一以靜制動(dòng)，分類計(jì)算

6.解:(1)①：四邊形ABCD是矩開么

ZXBC=90°,.-.AC=<AB2+BC2=5,

由題意，得AB'=AB=4,PB'=PB=t,

PC=3-t,CB'=AC-AB'=1,

???PC2=PB'2+CB'2,(3-t)2=t2+I,解得t=1;

②分以下三種情況：

(I)當(dāng)B落在CD邊上時(shí),/.PCB'=90°,

乙D=90°,AB=AB'=4,AD=BC=3,

DB'=yjAB'2-AD2=V7,CB'=CD-DB'=4-y/7,

???B'P2=PC2+B'C2,

...t2=(4—夕)2+(3—t)2,解得t=智叱；

(II)當(dāng)B落在CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，上PCB'=90°,DB'=y/AB'2-AD2=由,

CB'=4+伉在RtAPCB中，

(4+V7)2+(t-3尸=已解得t=普痣

(III)當(dāng)B落在AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，“P9=90。，

?.?LB=Z-B'=乙BPB'=90°,

AB二AB；J四邊形AB'PB為正方形，

.*.BP=AB=4,.\t=4;

綜上所述，滿足條件的t的值為4或W"或若"；

(2)①當(dāng)t<3時(shí),：ZPAM=45°,

/-PAB'+￡.MAB'=45",ZPXB+^DAM=45。由題意，彳導(dǎo)NPAB=ZPAB',.\ZMAB'=ZDAM，又：ZADM=

ZAB'M,AM=AM,

AAMD^AAMB'(AAS),

.?.AD=4B'=4B,,即四邊開鄉(xiāng)ABCD是正方彩；.AD=a=3;②當(dāng)t>3時(shí),/PAM的大小不發(fā)生變化，為45。.理由如

下:設(shè)/APB=x,；.ZPAB=90°-x,.\ZDAP=x,

"/AB'=AD,AM=AM,

/.RtAMDA^RtAMB'A(HL),

ZB'AM=ZDAM,VZPAB=ZPAB'=90°-x,

乙DAB'=/-PAB'-/.DAP=90°-2x,

ZDAM=ZB'AM=45°-x,

ZPAM=ZDAM+ZPAD=45°.

類型二巧借圖形性質(zhì)列方程

7解⑴最

由題意得AP=t,CQ=2t,AB=6cm,AD=10cm,BC=14cm,：四邊形ABQP是矩形，

.?.AP=BQ,.1=142,解得t=y,,故答案為*2)g或6;

①當(dāng)PQ=CD,且PQ//CD時(shí),四邊形PQCD是平行四邊形,.?.PD=CQ,；.10-t=2t,解得t=g;

②當(dāng)PQ=CD,且PQ與CD不平行時(shí)，過點(diǎn)P作PE±BC于點(diǎn)E過點(diǎn)D作DFLBC于點(diǎn)F,

則ZPEQ=ZDFC=ZPEF=ZDFE=90°,

AD//BC,PE=DF,ZPDF=ZDFC=90°,

Z.RtAPQE^RtADCF(HL),四邊形PDFE是矩形，

.,.EF=PD=10-t,

ZB=90°,.\ZA=180°-ZB=90°,

,四邊形ABFD是矩形,，BF=AD=10cm,

；.QE=CF=BC—BF=4cm,由QE+CF+EF=CQ得4+4+(10-t)=2t,解得t=6,綜上所述當(dāng)PQ=CD時(shí),t的值是弓或6,

故答案為三或6;

⑶作PG平分NDPQ,交BC于點(diǎn)G,則乙QPG=乙DPG=［乙DPQJ；乙DPQ=2ZC,

Zc=|ZDPQ,.*.ZDPG=ZC,

*.?ZDPG=ZQGP,.\ZQGP=ZC,ZQGP=ZQPG,

PG//CD,PQ=GQ,；PD//CG,四邊形PDCG是平行四邊形,，CG=PD=10-t,

PQ=GQ=2t-(l0-t)=3t-l0,

過點(diǎn)P作PELBC于點(diǎn)E,過點(diǎn)D作DF±BC于點(diǎn)F,則四邊形PDFE是矩形，

ZPEQ=90°,CF=4,.\EF=PD=10-t,

.?.EQ=2t-4-(10-t)=3t-14,

四邊形ABFD是矩形,PE=DF=AB=6,

又-.?PQ2=EQ2+PE2,

???(3t-10)2=(3t-14)2+62解得t=p

，t的鹿y

8.解:⑴當(dāng)t=4時(shí),四邊形PBQD是平行四邊形，

理曲由題意得AP=2t,

VBC=20,AD=18,Q為BC的中點(diǎn)，

BQ=CQ=^BC=10,PD=18-2t,

：AD〃BC,點(diǎn)P在AD上,；.PD〃BQ,

.?.當(dāng)PD=BQ=10時(shí),四邊形PBQD是平行四邊形.

182=10,解得t=4,

.??當(dāng)t=4時(shí),四邊形PBQD是平行四邊形；

⑵存在，t的值為3或8；理由如下：

???PR〃BQ,.?.當(dāng)PR=BQ時(shí)以點(diǎn)B,Q,R,P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

①當(dāng)點(diǎn)R在點(diǎn)P右側(cè)，且BP=PR=BQ=10時(shí),四邊形BQRP是菱形，

AD//BC,ZABC=90°,AB=8,

???Z4=180°-^ABC=90°,

AP=<BP2-AB2=V102-82=6,此時(shí)AR=AP+PR=6+10=16,符合題意，由2t=6,解得t=3;

②當(dāng)點(diǎn)R在點(diǎn)P左側(cè)，且BR=PR=BQ=10時(shí),四邊形BQPR是菱形，

AR=7BR2—AB2=-102—82=6,此時(shí)AP=AR+PR=6+10=16,符合題意，由2t=16,解得t=8;綜上所述,t的值

為3或8;

⑶延長(zhǎng)BA到點(diǎn)E,使AE=AB=8,連接QE交AD于點(diǎn)F,連接PE,PQ,BF,

AD垂直平分BE,.*.PB=PE,FB=FE,

PQ+PE>EQ,PQ+PB>EQ,

.??當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)F重合時(shí),PQ+PB=PQ+PE=FQ+FE=EQ,止匕時(shí)PQ+PB的值最小,

；ZEBQ=90°,BQ=10,BE=AE+AB=8+8=16,

EQ=yjBQ2+BE2=V102+162=2AM

.?.PQ+PB的最小值為2V89,

,/ZFBQ+ZFBE=90°,

ZFQB+ZFEB=90°,ZFBE=ZFEB,

AZFBQ=ZFQB,/.FB=FQ=FE=|EQ=V89

AF=WB?-AB2=J(V89)2-82=5,由2t=5,解得t=j,

VPM/7CQ,PM=CQ=10,

四邊形PQCM是平行四邊形，

CM=PQ,CM+PB+PM+BC=PQ+PB+10+20

=PQ+PB+30,PQ+PB的值最小時(shí)，

四邊形BCMP的周長(zhǎng)最小，其最小值為：2V89+30;

.?.當(dāng)t=泄,四邊形BCMP的周長(zhǎng)最小，

其最小值為2V89+30.

壓軸突破3平行四邊形中的幾何大綜合

類型一活用平行四邊形的性質(zhì)

9.解:⑴二?四邊形ABCD,四邊形DEFG是正方形，

Z.AD=DC,DG=DE,ZADC=ZGDE=90°,

???四邊形ADGM是平行四邊形,，AM=DG,AM〃DG,

ZMAD+ZADG=180°,AM=DE,

ZADG+ZCDE=180°,.\ZMAD=ZCDE,

AMDA^AECD(SAS);

⑵延長(zhǎng)MD交CE于點(diǎn)J,

AMDAAECD,DM=CE,ZADM=ZDCE,

ZADM+ZCDJ=90°,.\ZDCE+ZCDJ=90°,

NDJC=90。,設(shè)PM=PD=CQ=QE=x,QJ=y,

DJ2=CD2-CJ2=DE2-EJ2,

m2—(%+y)2=n2—(%—y)2,xy=(m2—n2)

???S&PQD=q>y(m2_n2)；

(3)y(m+n)連接NQ,MN,BM,BN,

,??四邊形CDEN是平行四邊形,CQ=EQ,

.?.點(diǎn)D,Q,N共線,DQ=QN,

1

???DP=PM,PQ=；MN,

???DE〃CN,???ZDCN+ZCDE=180°,

ZADC=ZGDE=90°,AZADG+ZCDE=180°,

:.NADG=NDCN,

???Z-BAM=360°-90°-AMAD=270°-(180°-ZADG)=90°+ZADG=90°+ZDCN

I.ZBAM=ZBCN,VCN=DE=DG=AM,AB=BC,

???ABAM^ABCN(SAS),

JBM=BN,ZABM=ZCBN,

???乙MBN=^ABC=90°,??.MN=&BN,

;BC=m,CN=DE=n,

BN<BC+CN=m+n,BN的最大值為m+n,

AMN的最大值為V2(m+n),

，PQ的最大值為f(m+n).

類型二構(gòu)造平行四邊形轉(zhuǎn)化線段

10.解:⑴；四邊形ABCD是平行四邊形,AB〃CD,

AE=EB,AM=MN,EM//BN,

；.BE〃DF,DE〃BF,.,.四邊形EBFD是平行四邊形；

⑵過點(diǎn)F作FK/7MC交DE于點(diǎn)K,

；FK〃MH,FH〃MK,

.??四邊形MHFK是平行四邊形，

1

??.MH=FK,???FD=BE=^AB,AB=CD,

1

???FD=-CD,CF=FD,

2，

ZCFH=ZFDK,ZFCH=ZDFK,

△CFH之△FDK(ASA),

.*.CH=FK,.\MC=2FK,

???AG〃MC,FK〃MC,

???AG//FK,???NAGD二ZFKE,

A180°-ZAGD=180°-ZFKE,

???ZAGE=ZFKD,

ZAEG=ZFDK,AE=BE=FD,

???△AEGgAFDK(AAS),Z.AG=FK,

AMC=2AG;

⑶延長(zhǎng)AP交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R,

ZPCR=ZPBA,CP=BP,ZCPR=ZBPA,

???ACPR^ABPA(ASA),

???RC=AB,RP=AP=b,「?AR=2AP=2b,過點(diǎn)R作RL〃BF交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)L,過點(diǎn)C作CQJ_AL于點(diǎn)Q,

VRF/7BL,

???四邊開?RFBL是平行四邊形,??.RL=BF=a,

1I

vCF=-CD=-AB

22f

13

/.BL=RF=RC+CF=AB+-AB=-AB,

22

35

??.AL=AB+BL=AB+-AB=-AB,

22

~^AB2=a2+4b2,???住=小+(2b)2,

??.AL2=RL2+AR2,

/.AARL是直角三角形，且NARL=90。，

11

???S^ARL=QRL,AR=-aX2&=ab,

1I55

S^ARL=~AL-CQ=-X-AB-CQ=-AB-

CQ,-.^AB-CQ=ab,

4

SABCD=4B,CQ=gab,

.”ABCD的面積為4b.

類型三平移型軌跡

11.解：(1廣四邊形ABCD是平行四邊形，

J.AD//BC,：.ZDAC=ZACE=45°,

AE_LBC,ZEAC=ZACE=45°,AE=EC,

AE_LBC,CG_LAB,ZAEB=ZCEF=90°,

ZB+ZBAE=90°=ZB+ZECF,

ZBAE=ZECF,.\AAEB^ACEF(ASA);

⑵過點(diǎn)E作ERLAB于點(diǎn)R,過點(diǎn)A作AT^EH于點(diǎn)T,設(shè)EH與CG交于點(diǎn)Q,連接GE,

VEH/7AB,CG±AB,

；.CG_LEH,/AEH=/BAE,

ZARE=ZCQE=90°,△ABE也得/BAE=/ECF,

,/AE=CE,；.AARE^ACQE(AAS),

，ER=EQ,；.GE平分NBGC,

1

???乙CGE=：乙BGC=45°,???乙H="GE,

???ZAEH=ZBAE,ZBAE=ZECF,

ZAEH=ZECF,VAE=CE,

???△AEHgAECG(AAS),CG=EH,

ZAGQ=ZGQT=ZATQ=90°,

???四邊形AGQT是矢那,???QT=AG,AT=GQ,

EQ+QT+HT=EH,TH=&AH,EQ=GQ=AT=亨AH,

???—AH+AG+—AH=CG,??.AG+6AH=CG;

22’

⑶笫連接EE,AC過點(diǎn)D作DN±AC于點(diǎn)O交BC于點(diǎn)N,連接NF,

?.,將△FEM繞著點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得4F'E'M,

EM=ME',ZEME'=90°,

:?乙MEE'=45。,...點(diǎn)E在/AEC的平分線上運(yùn)動(dòng)，

CD=3V10,FF=3夜，

AB=CD=3410,EF=BE=3A/2,

AAE=6V2=CE,.\AC=12,BC=9岳AD,

DN_LAC,/DAC=45。,，ZDAC=ZADO=45°,

A0=D0=9,.\C0=3,；.ZDNC=ZACB=45°,

CO=NO=3,.-.CN=3y/2=EN=F'E',

又：EF〃EN,...四邊形EE'F'N是平行四邊形，

.?.EEi〃F'NR；DN〃EE,.^F在DNH云動(dòng),

???當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)O重合時(shí)，CF有最小值，

VP為DF的中點(diǎn)，PF=3)0=g：.AP=吟

壓軸突破4矩形中的幾何大綜合

類型一矩形中的勾股、對(duì)稱

12.解:(1；?四邊形ABCD是矩形,Z.B=90°=乙C,

VAM±MN,.\ZAMN=90°,

/-AMB=90°-ANMC=/-MNC,

"：AM=MN,AABM^AMCN(AAS),

；.AB=CM=3,BM=CN,

BM=BC-CM=AD-CM=5-3=2,；.CN=2,

DN=CD-CN=AB-CN=3-2=1;

⑵過點(diǎn)O分別作OMLAD于點(diǎn)MQNLDQ于點(diǎn)N”連接OD,OC,由題意得/ABQ=/CBQ=/Q=45。，

.,.△ABP,ABCQ,APQD都是等腰直角三角形，

CQ=BC=5,DP=DQ=CQ-CD=2,

???O為PQ的中點(diǎn),??.DO，PQ,DO=PO=OQ,

PM=DM=OM=1,DN=QN=ON=1,

AM=AP+PM=4,CN=CD+DN=4,

AO=7AM2+0M2=V17,CO=>JCN2+ON2=V17MC=yJAB2+BC2=V34,

AO2+CO2=AC2,AAOC=90°,XVAO=CO,.\ZOAC=ZACO=45°;

⑶分別作點(diǎn)E關(guān)于AD,BC的對(duì)稱點(diǎn)Ei,E2作E2