江蘇省鎮(zhèn)江市丹陽(yáng)市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期

3月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

一、單項(xiàng)選釋題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.sin200cos10°+sin700sin100（）

A.一息B.昱C.--D.1

2222

【答案】D

【解析】sin200cos100+sin700sin100=cos700cos100+sin700sin10°

=cos（70°-10°）=cos60°=g.

故選：D.

2.在VA5c中，點(diǎn)E在線段BC上，且前=3而，則讖=（）

2-.1-.1—.2--

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

3323

1—.2—.1—.1—.

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

3322

【答案】A

【解析】在VABC中，由阮=3屁，得飛-通=3（韭-通），貝U3通=2通+撫,

--2―-1—.

所以AE=—AB+—AC.

33

故選：A.

3.已知tana=—26，則tan[a+§J=(

3百

A.正B.一苴D.

77~T~

【答案】B

【解析】因?yàn)閠ana=-26,

tani+百

則tan[a+1-2A/3+A/3_-A/3

l-tanax逝1+273x73-7

故選：B.

4.已知向量2=(1,-2)石=(1,一1)忑=(3,4),若(商一町_1口1￡11),則;1=()

11

A.3B.4C.5D.—

3

【答案】C

【解析】因方=(1,—2)石=(1,一1),則方一—%—2+2),

因(萬(wàn)一eR),c=(3,4),貝ij(日一=—4)+4(/1—2)=/1—5=0,

得4=5.

故選：C.

5.已知向量同=2行石=(2,1),且商在方上的投影向量的坐標(biāo)為(—2,—1),則向量1與5

的夾角為()

A.120°B.60°C.45°D.30°

【答案】A

【解析】已知3=(2,1),則出|=亞1？=&.

n?hh萬(wàn)?Z?一

因?yàn)檐嬖?上的投影向量為〒?▽=,且投影向量的坐標(biāo)為(-2,-1),

1^11611切

所以a.b譯-=(-2,-1).

\b\-

——?7_Z_*

將石=(2,1),|B|=6代入上式可得：一產(chǎn)？(2,1)=(-2,-1),gp——(2,1)=(-2,-1),

(V5)-5

那么噂=一1，解得小B=—5.

-5-51

設(shè)向量汗與B的夾角為氏0°<6><180°)可得：cos0==To=_2,

因?yàn)?°<夕<180°，且cosl20°=—L，所以。=120°.

2

則向量a與B的夾角為120°.

故選：A.

6.已知cos(o+〃)=g,tanatan〃=g,貝iJcos(a-7?)=(

)

D.~2

【答案】D

【解析】因cos(cr+/?)=cosacos(3-smasin0=工,

sinasin0]_

tanatan/=

cos6ZcosP5

可得cosocosP=—,sinc^sin/?=—,

則cos(a-/?)=cosacos/?+sinosin,='+g=g.

故選：D.

7.已知sin(a+2￡)=2sina,其中分+E且a++E,其中kEZ,則

tan尸

；一(,口、的值為()

tan(a+p)

,11

A.—B.-C.2D.3

43

【答案】B

【解析】sin(a+2￡)=2sina,sin[(a+/?)+/?]=2sin[(6Z+A)-￡],

sin(a+月)cos(3+cos(a+/?)sin尸=-2sin[3cos(a+分)+2cos^sin(a+尸)，

整理得：3cos(a+/)sin分=cos6sin(a+0,

ITC717兀

由于6Z+/?—+kit,—十防l,所以cos#wO,cos(a+7?)wO,

1/、tanB1

左右同時(shí)乘以COS(Q+/)COS力,則tanQ+⑶=3tan/，即?^歷團(tuán)二亍

故選：B.

7T

8.已知VABC中，BC=4,AC=6,C=-,若VABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)。滿(mǎn)足

3

DA+DB+2DC=6^則兩.麗=()

21999

A.B.C.D.

T248

【答案】c

【解析】取線段A3中點(diǎn)E，則2方后=次+麗，則方X+麗+2成=2讀+2方己=。，

則。為線段CE的中點(diǎn)，

DA=DC+CA=CA--CE=CA--（CB+CA\=-CA--CB,

24、'44

則瓦=屈+通=2逐一一CB+CB-CA=——CA+-CB,

4444

則瓦麗=色目」函］（二5+3函］=-2函?+上國(guó).國(guó)」才

（44只44J16816

3”5“彳7T3,,9

=x36+—x4x6xcos-------xl6=—.

1683164

C

B

故選：C.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.

9.下列各式的值為g的是（）

tanl5°

B.2tanl5°cos215°

l+tan215°

石71石.2兀

2l+cosl20°

C.——cos---------sm——

312312

【答案】BCD

【解析】對(duì)于A：因?yàn)閠anl50=tan（45。-30。）=

tan15°_2-73_1

所以原式—]+tan215。―]+(2_也『一^，A不符合；

對(duì)于B：原式=25垣15°y0515。=2*工5皿30。=1，B符合；

22

對(duì)于C：原式=走.8$巴=！，C符合；

362

對(duì)于D：原式=COS60°=L,D符合.

2

故選：BCD.

10.下列結(jié)論中正確的是()

A.若商為非零向量，且五與=萬(wàn)々，則3=0

B,對(duì)向量非零向量若?！?,則存在唯一實(shí)數(shù)x使得

C.在VABC中，若2次+3礪+4元=0，則△AOC與VABC的面積之比為1:3

D.已知日=(1,2),5=(1,1),且M與1+的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)幾的取值范圍是

H'H

【答案】BC

【解析】A.若05=展0,則①(B—3=。，則亍4或B=故A錯(cuò)誤；

B.此為共線定理，故B正確；

C.令西=2的西=3麗M=4區(qū)因2函+3礪+4無(wú)=G，

則西+西+*=C,則。為△A笈G的重心，故SvAoq=$310cl=SV&Q用,

因、WFZSJ

S"oq^OA^OC^mAAOC8

1

同理可得S&AOB=1S.，Sg℃=2S^QG，則壯*=丁嚀1=；,故C正確；

8612

D.5+2^=(1+2,2+2),當(dāng)萬(wàn)與方+/B共線時(shí)，＜(1+2)2=2+2,得；1=0,

因a與1+的夾角為銳角，

則（口+XB）?萬(wàn)=（1+2）+2（2+2）=32+5>0且力與彳+;^不共線，則X〉—|且XwO,

故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

11.如圖，在平面四邊形ABCD中，已知AO=3,8C=4,E,歹為AB,CD的中點(diǎn)，RQ為

對(duì)角線AC,5。的中點(diǎn)，下列選項(xiàng)中正確的是（）

A.PQ=1（AB-DC）B.PQEF=^

C.直線一定過(guò)PQ的中點(diǎn)D.PF2+FQ2+QE2+EP2=PQ2+EF2

【答案】ACD

【解析】連接EP、FP、EQ、FQ,因區(qū)F、P、Q分別為ARCD、AC.6D的中點(diǎn)，

則EP//AD//FQ,FP//BC//EQ,EP=FQ=：AD,FP=EQ=3BC,

則四邊形PRQE是平行四邊形，故C正確；

則可二而+匝,空+町,例—/+正+可.時(shí)—比卜則人選項(xiàng)

正確；

EF=EP+PF=1（AD-CB）,

則迎.而二；（屈+而）?（而一函）二:（而2—甌2）=：*（32_42）=_:,貝|JB選

項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.~PQ=PE+EQ,EF=EP+EQ,

貝UPQ2+EF2^i^PE+EQ^+（^EP+EQ^^2PE2+2EQ^PF2+FQ2+QE2+EP2,

故D正確.

c

故選：ACD.

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上.

12.已知cos［。二一二，且。是第一象限角，那么sina=.

【答案】述

10

7T

【解析】因?yàn)?。為第一象限角，則2E<a<—+2E4wZ,

2

所以—F2kli<。H—<----F2kit,kGZ,

444

「（兀、3.1兀）4

又cosa+—\―――,所以sin^+—=—,

14j5I4j5

..（兀兀）.（兀171（兀）.兀

sma=sma+------=sma+—cos——cc）sa+—sin—

I44；I4；4I4j4

4亞（3、亞7A/2

=—x-----------x------=------.

5215j210

13.在VABC中，已知==120。，點(diǎn)E是CB的中點(diǎn)，點(diǎn)。在AB

上，且拓=2瓦，則荏?前=_________.

3

【答案】一

2

【解析】在VMC中，因?yàn)辄c(diǎn)E是CB的中點(diǎn)，點(diǎn)。在AB上，且布=29，

則近=3例+硝，W=AD-AC=|AZ3-AC,

則通.無(wú)=1■例+碼｛|■通

1（2—,21―.―.—.2>1（21<3x2><C4=j.

=--AB——ABAC-AC=——x9——>

2（33）2133

14.4-8sin2250-tan40°.

【答案】G

sin40。

【解析】4-8sin2250-tan40°=4cos500----------

cos40°

4cos50°cos40°-sin40°4sin40°cos40°-sin40°

cos40°cos40°

_2sin80°-sin40Q

cos40°

2cosl00-sin(300+10j

cos40°

2cos10°-sin30°cos10°-cos30°sin100

cos40°

-cosl00--sinl00

:22

cos40°

1°、

cos10°o——sin10°

cos40°

四、解答題：本大題共5小題，共77分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的

文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

15.已知日，方是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，AB=2a+b,BE=-a+Ab,EC=-2a+b.

（1）若A,瓦。三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)4的值；

（2）若四邊形ABC。為平行四邊形，點(diǎn)。（3,5）,且N=（2,1）石=（2,-2）,求點(diǎn)C的坐

標(biāo).

解：（1）AE=AB+BE=（2商+B）+（―M+彳5）=萬(wàn)+（1+4）5.

因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)左，使得荏=左皮,

即方+（1+/1）6=左（一21+5）,得0+2左）方=（左一1—.

一11+2左=0

因?yàn)?力是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，所以，，，c

K-l-Z=0

13

解得k=—,2=—

22

(2)設(shè)。(x,y),則成=(x—3,y—5)；

因?yàn)榉?(2,1)石=(2,2),則分=2商+1=(6,0),

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以血=配.

X-3=6X二/

所以1uC，解得1U，即點(diǎn)。的坐標(biāo)為（9,5）.

y-5=0［y=5

日.3有

16.己知角且sma=-----,tan/?=-----?

713

a

（1）求tan一的值；

2

（2）求角。—力的值.

4百

解：（1）法一：由sina二----,

7

c?。a、a

2sin—cos—2tan一

則esi?n。=c2s?in-acos一a二22二______2_=：

22sin2a+cos2a1+^^2a

~2

所以2^tan2—-7tan—+2^=0,

22

鏟衿a有肅a2百

斛得：tan—=——或tan——=----,

2223

又,則葭■［（］JT\zy

,—\,所以tan5e（0,l）,

所以tan4=1

22

法二：因?yàn)閍e]0,烏|,sina=-----，所以cosa=Jl—sin?」=一,

[277

一^7i,a(八兀

又Oq,則rOq

則cosi=l-2sin24=L,所以sin[4=』，即sin?=R^,

272727

▽c2011i2a4日口a2V

又cosa=2cos----1=—，貝n！bJcos—=—,Bps—=—

2727CO27

.a

sin—后2sg

所以tan--二2____:____—

a717__2

2cos—

2

(2)因?yàn)閍e所以coscr=Jl-sin2a=一，

法一：因?yàn)??e((xlltan/?=包1歌....①，sin2^+cos2^=1

由①②得：sin/7=,cos/3=—

1414

4A/31313石石

所以sin(tz-〃)=sintzcos/7-costzsin4=-----X----1——X------=----，

7147142

，則

jr

所以。一方

法二：則tana==4K，

cosa

tana-y/34舁C_3g

所以

1+百tani1+A/3X4A/3-13

由tan,=~~~~，則tan[a—耳]—tan/?,

71

由a/1。弓,則。一§,，￡

71兀

又y=tanx在上為單調(diào)遞增函數(shù),

292

TT7T

所以夕―耳二"，故a_0=w

17.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，向量

a=(coscif,sino),b-(cosa-sine+1,cosa+sine+g),其中0<°<兀.

(1)若五//b，求角a的值；

(2)記/(a)=4?石，若/(a)=g,求/—的值.

解：(1)因?yàn)槲濉?,貝！Jcos2(coso+sin2+J^)=sino(cos6Z-sin2+l),

化簡(jiǎn)得：sina-qcosa=1，即sin[a-§)=5，

兀兀2兀

又0<。<兀，即—<a—<—，

333

所以"A,即a=

(2)由f[a)=a-bcosa(cosa-sina+1)+sina^coscr+sina+班)

=coso+代?sincr+1=2sinLz+—+1,

I6

由/(0)=；即sin[a+2￡

4

令0+7則a=8—三，即sinS=_L,

6<66J64

則/[2a—q)=2sin[2°—巳)+1=2sin[26—+1

13

=-2cos28+1=-1+4sin92^=-l+4x——=——.

164

18.如圖，已知A05是半徑為1,圓心角為。的扇形，尸是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，記NAO尸=。.

Bi

（i）請(qǐng)用仇。來(lái)表示平行四邊形ocp2的面積;

71

(2)若6」.

3

①求平行四邊形OCPQ面積的最大值，以及面積最大時(shí)角a的值;

②記赤=xH5+y赤（其中x,yeR）,求x+2y的取值范圍.

解：（1）過(guò)點(diǎn)尸作。L的垂線，垂足為。，

在RtAPDO中，|PC\=sin?,|（9D|=cos?,

RSPDC中，|即=|3tane,則依必=出sma

tangtan。

所以|OC=|OD|—|CD|=cosa一—11；,

加牛囪一霏gfz需（0＜一.

所以S四邊形OCPQ

jrjr

（2）①若e=—,由題意可得o＜?＜一,

33

由(1)知：S(a)=gsin2a-

0<<z<-,

3j

故平行四邊形OCPQ的面積S(c)=gsin2a—gsin2a

=-sin2a--x1儂也=-sin2tz+—cos2a--

232266

=——sin2a+-----，

3I6)6

.?兀t,兀c兀5兀

由于0＜。＜一，故一＜2。H—＜—

3666

故當(dāng)+時(shí)，即a=(時(shí)，S(:a)取得最大值為日.

②根據(jù)題意，建立如圖所示的坐標(biāo)系，

則A(1,0),_B[COS三,sin^],即B]]用

1

一

CDAX

)，殖=(1,0),麗=:,

又ZPOC=cr,則OP=(cosa,sina

)=(x,0)+［〈y,$

因而=%麗+、礪，即(cosa,sine

一2J

則coso=x+-y,sina—

22-

解得：x=-^-sin(z+cos(z，y=

sina,

33

x+2y=V3sina+costz=2sin

兀7l兀兀

由點(diǎn)P是弧上一動(dòng)點(diǎn)，則貝!!--<a+—<—

3(562

所以5Vsinf+—j<1即x+2yG(1,2)

則x+2y取值范圍為(1,2).

19.如圖，在VABC中，48=4,4。=5,/4=120。.若點(diǎn)尸,。分別在邊48,47上，且

滿(mǎn)足