畫(huà)中北大博雅駿臣學(xué)校高三年級(jí)半期考試

數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分

A={%I+2x—3>JB=<%v2)AD

1.已知集合L/,1,則AB=()

A.(-?,-3)B.(-3,2)C.(1,2)D.(r,—3)u(l,2)

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)一元二次不等式化簡(jiǎn)集合A,進(jìn)而求交集.

【詳解】由題意可得：集合A={X,2+2X—3>。}=(—3)U(1,+8),

且5={%|0<%<2},所以4門6=(1,2).

故選：C.

Z+1_

2.若——=2i,則』=()

z-1

43.43.

A.——1B.—+—1

5555

34.34.

C.—--1D.—+—1

5555

【答案】D

【解析】

【分析】依題意可得”巖，根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)z,從而求出其共輾復(fù)數(shù).

zI1

【詳解】因?yàn)椤?2i,所以z+l=2i(z—1),

z-1

l+2i(l+2i)(-l-2i)_34

、-l+2i(-l+2i)(-l-2i)55，

所以-Z=3：4+gi.

故選：D

3.若非零向量a1滿足同=2忖，且向量6在向量a上的投影向量是:。，則向量a與6的夾角為

()

【答案】B

【解析】

【分析】由投影向量的定義可列出等式，求出向量。與6的夾角.

\b\cos0111

【詳解】設(shè)向量。與b的夾角為。，則由題意可知，??一，cos6」ncose」，

\a\242

因?yàn)橄蛄康膴A角［0,兀］,所以。=三.

故選：B.

4.一個(gè)直三棱柱形容器中盛有水，側(cè)棱44=18,底面VA3C邊上的高為瓦當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)

水面高度為16（如圖①）.當(dāng)側(cè)面的用^水平放置時(shí)（如圖②），水面高度為（）

圖①圖②

2,

A.-hB.-hC.—hD.—h

3223

【答案】D

【解析】

【分析】利用水的體積不變計(jì)算可求解.

【詳解】設(shè)底面VA3C的面積為S,

當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)水面高度為16,所以水的體積為V=16S,

設(shè)側(cè)面招用臺(tái)水平放置時(shí)，水呈四棱柱體，設(shè)四棱柱體底面梯形的面積為S'，

則水的體積為V=18S',所以16s=18S',所以==3=§,

S189

設(shè)四棱柱體的底面梯形的高為〃，則可得［"注］=-,解得

{h）93

故選：D.

5.已知函數(shù)/(x)=gsin(5+9)(0>0)部分圖象如圖所示，若=則。等于

【答案】B

【解析】

12兀

【分析】根據(jù)題意，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，化簡(jiǎn)得到COSNABC=—-,求得乙43C=——，過(guò)

23

點(diǎn)8作軸于點(diǎn)E，求得|AE|=3,得到周期為T=12,結(jié)合三角函數(shù)周期的計(jì)算公式，即可求解.

【詳解】由A3.BC=?2,可得—,目?卜0卜05/430=?2,

因?yàn)?1ABi=忸。，可得cosNABC=—萬(wàn)，所以NA3C=《-,

過(guò)點(diǎn)B作BE±x軸于點(diǎn)E,可得忸同=省且ZABE=|,

所以|=\BE\tanZABE=3,可得函數(shù)/(x)的周期為T=12,

LL-2兀兀

所以①=——.

6.已知數(shù)列｛4｝滿足：q=i，4+i='一々，則下列說(shuō)法正確的是()

C.｛■有最大值D.｛4｝不是單調(diào)數(shù)列

【答案】C

【解析】

【分析】先對(duì)4+1=5*進(jìn)行變形，構(gòu)造＜:＞新數(shù)列，求出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，結(jié)合作差法判斷增

減性，逐一分析選項(xiàng).

【詳解】設(shè)2=4+1,則?！?么-1.

子三，將4=〃-1，4+1=2+1—1代入可得:

已知an+\

4十。

「2—1—1b“—2

2+1

年―1+3b?+2

b-2,b-2+b+22bn

可得2+ib+2~-b+2~b+2'

nnn

16+211111

兩邊取倒數(shù)丁=二丁=3+丁，即^----丁=

2bli2bnbn+lbn2

11

又因?yàn)椋?1,所以4=q+l=2,則1=彳.

42

所以數(shù)列是以;為首項(xiàng)，；為公差的等差數(shù)列.

也J

111n92

根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式丁=彳+(〃-1)X彳=3,則2=_.所以4=%_1=__1.

244

當(dāng)〃=10時(shí)，％（）=----1=---W—,所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤.

101055

由前面計(jì)算可知4=2—1#2—〃，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

n

222

因?yàn)?=—-1,當(dāng)〃增大時(shí)，一減小，。〃減小，且〃,中用時(shí)，?！?＞一1,4=——1=1,所以｛〃〃｝

nn1

有最大值1,選項(xiàng)C正確.

22(2)22—2

由4=—1可知，?！?1一%=---—1=--------;—二一7八＜0，所以｛〃〃｝是單調(diào)遞減數(shù)

nn+1\nJn+1nn\n+\)

列，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：C.

7.已知函數(shù)/（x）=lnx+x—L若/（。）+/伍）=0,則/+片的最小值為（）

A.1B.2C.72D.2直

【答案】B

【解析】

【分析】由題意可得/，]=-/㈤，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得0=（,進(jìn)而可求“2+尸的最小值.

【詳解】函數(shù)"X）=lnx+x—工的定義域?yàn)椋?,+“），

X

可得函數(shù)/（%）=lnx+x-工在（0,+屯）上單調(diào)遞增，

miii一入1j…1、，（4

立f_=In—H-------=-]nb-b+—=-\]nb+b——=-/（/?）

又J㈤bblb）JL,

b

由/(a)+/僅)=0，得f(a)=-f(b)=fI

因?yàn)楹瘮?shù)7（%）在（O,+8）上單調(diào)遞增，所以。=?，所以ab=l,

b

所以"+^22出?=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=Z?=l時(shí)取等號(hào),

所以/+〃的最小值為2.

故選：B.

8.如圖，半徑為1的：與半徑為2的，d內(nèi)切于點(diǎn)A，。沿：.2的圓弧無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)一周?若C°i上

一定點(diǎn)尸從A點(diǎn)出發(fā)隨著C。的滾動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)尸的軌跡為C,則（）

A.C是半徑為g的圓B.C是半徑為1的圓

C.C是長(zhǎng)度為2的線段D.C是長(zhǎng)度為4的線段

【答案】D

【解析】

【分析】作圓。1運(yùn)動(dòng)后的某圓。3,設(shè)此時(shí)與圓。2相切于M點(diǎn)，點(diǎn)尸從A運(yùn)動(dòng)到片，通過(guò)題設(shè)運(yùn)動(dòng)中的

等量關(guān)系結(jié)合弧長(zhǎng)公式得到ZAO.M=即可得到p的軌跡求解.

【詳解】圓。1運(yùn)動(dòng)到。3,設(shè)此時(shí)與圓。2相切于M點(diǎn)，點(diǎn)尸從A運(yùn)動(dòng)到A，

易知,所以2*NAQ〃=1＞＜N6O3M=2N《O2〃，

所以NAO2M=/4。2河，

所以尸的軌跡為圓。2中過(guò)A,。2的直徑，長(zhǎng)度為4.

故選：D

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分

9.下列命題正確的是（）

A.%,％,七，3，石2是一組樣本數(shù)據(jù)，去掉其中的最大數(shù)和最小數(shù)后，剩下10個(gè)數(shù)的中位數(shù)小于原樣本的

中位數(shù)

B,若事件A,2相互獨(dú)立，且P（A）＞0,P（B）＞0,則事件A,B不互斥

C若隨機(jī)變量X~N（O,22）,y~iV（0,32）.則尸（|X|W2）=尸（,歸3）

D.若隨機(jī)變量X的方差。（x）=10,期望E（x）=4,則隨機(jī)變量y=x2的期望E（y）=26

【答案】BCD

【解析】

【分析】A選項(xiàng)，利用中位數(shù)的定義判斷出A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，計(jì)算出尸（AB）=P（A）P（B）＞0,故

P（AB）^P（A）+P（B）,B正確；C選項(xiàng)，利用正態(tài)分布的對(duì)稱性進(jìn)行判斷；D選項(xiàng)，利用

D（X）=E（X2）—[E（X）了得到E（x?）=26,D正確

【詳解】A選項(xiàng)，為,12，%3/“，石2從小到大排序，去掉其中的最大數(shù)和最小數(shù)后,

剩下10個(gè)數(shù)大小順序不變，故剩下10個(gè)數(shù)的中位數(shù)和原來(lái)的中位數(shù)一樣，A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，事件A,B相互獨(dú)立，且P（A）>0,P（B）>0,

P（AB）=P（A）-P（B）>0,

所以P（A._5）=P（A）+P（5）—P（An5）wP（A）+P（B）,故事件A,B不互斥，B正確；

C選項(xiàng)，隨機(jī)變量X~N（0,22）,r~A^（0,32）>設(shè)y?N（〃2，E）,

則。（同〈2）=。（—2<乂<2）=。（4一巧<乂<必+0），

P（|r|<3）=P（-3<X<3）=P（〃2-q<X<4+%），

根據(jù)3b原則,可知產(chǎn)（|X區(qū)2）=尸（,區(qū)3）,C正確；

D選項(xiàng)，隨機(jī)變量X的方差O（x）=10,期望E（x）=4,

其中D（X）=E（X2）—[E（X）T，故后印?）-16=10,E（X2）=26,

故隨機(jī)變量y=X2的期望E（y）=E（x2）=26,D正確.

故選：BCD

Al1

10.已知a,b,c分別為VABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊，cos2—=—cosBcosC+—,則下列說(shuō)法正確

222

的是（）

兀

A.tanBtanC=2B.tanA=tanB+tanCC.A<-D.a>b,a>c

【答案】ABD

【解析】

【分析】由已知結(jié)合二倍角的余弦公式可得cosA=cosBcosC,利用三角恒等變換可得tan3tanC=2,

可判斷A；利用三角內(nèi)角和可得tan（B+C）=-tanA,結(jié)合兩角和正切公式計(jì)算可判斷B；分類討論可得

tanB>0,tanC>0,?tanA>tanB,tanA>tanC,進(jìn)而計(jì)算可判斷CD.

■、斗心、,2Aln_1+COSA1n「1

【詳解】由cos——=—cosBcosC+—,可rz得n--------=—cos3cosc+—,

222222

所以cosA=cosBcosC,所以cos（兀-5-C）=cosBcosC,

所以-cos（B+C）=cosBcosC,所以-cosBcosC+sinBsinC=cosBcosC,

所以51!155111。=285585。，所以tan5tanC=2,故A正確；

因A+B+C=TI,所以A+5+C=TI—A,所以tan（B+C）=tan（7i-A）=-tanA,

tanB+tanCtanB+tanC

所以一1@口人=1211（5+0）=

1-tanBtanC1-2

所以tanA=tan_B+tanC,故B正確;

因?yàn)閠an5tanC=2,所以tan氏tanC同號(hào)，

JT

若tan5<0,tanC<0,又0<B,C<7t,止匕時(shí)一<B,C<7i,顯然不符合題意，

2

一71

所以tan5>0,tanC>0,所以0<3,C<—,所以tanA=tan5+tanC>0,

2

兀

所以0<A<一,由tanA=tan5+tanC>0,可得tanA>tan5,tanA>tanC,

2

TT

所以A>6,A>C,所以3A>兀，所以A〉一，故C錯(cuò)誤；

3

由A>5A>C,可得a>b,a>c,故D正確.

故選：ABD.

22

n.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C：1+a=1（。〉?！?）的左右焦點(diǎn)分別為耳，尸2,點(diǎn)4（0,3）為定點(diǎn),

而點(diǎn)B在橢圓上，且位于第一象限，若|AB|=|A^|=2|OE|,貝I（）

A.a2—b1=3

B.8=60。

22

C.當(dāng)月鳥(niǎo)的面積為6-36時(shí)，C的方程為土+上=1

63

D.當(dāng)AB//x軸時(shí)，C的離心率e=1

2

【答案】ACD

【解析】

【分析】對(duì)A,根據(jù)題意，可求得c=J§"得解；對(duì)B,根據(jù)題意可得點(diǎn)3在以點(diǎn)A為圓心，2相

為半徑的圓上，求得得解；對(duì)C,由橢圓焦點(diǎn)三角形面積公式求得〃=3,

進(jìn)而求出/=6得解；對(duì)D,根據(jù)題意可得力=3,結(jié)合橢圓焦點(diǎn)三角形面積公式求得〃=9+66，進(jìn)

而得解.

【詳解】對(duì)于A,由|AB|=|"|=2|OK|,則/。4工='，又|。4|=3,

6

所以|陰|=百，即C=G，.?."-廿=3,故A正確；

對(duì)于B,由對(duì)稱性可得=所以點(diǎn)月，8,5在以點(diǎn)A為圓心，2石為半徑的圓上，

=（/44月=30°,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)?月38=30°,由橢圓焦點(diǎn)三角形面積公式得Sy型泗="tanl50=6—3G，

.?方（2-6）=6-3G解得〃=3,則/=6，

22

所以橢圓方程為2+==1,故c正確；

對(duì)于D,當(dāng)AB//無(wú)軸時(shí)，可得力=3,由橢圓焦點(diǎn)三角形面積公式得及tanl50=3><2。><力，

即/（2一⑹=3十,解得1=9+6支,

3im-1

:.cr=12+6A/3-則e?s「又二八cE，解得e故D正確.

12+6,34+2-y32

故選：ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

7

12.已知COS（6Z—/?）=正，sinasin￡=w，則sin2asin2分二

【答案】-

3

【解析】

【分析】利用余弦差公式將已知條件cos（1—尸）展開(kāi)，結(jié)合sinasin/?=:,求得cosacos夕=:,再利用

正弦二倍角公式，將sin2asin2分展開(kāi)，代入即可求解.

7

【詳解】因?yàn)閏os(a-/)=cosocos/+sinosin/=w，而sinasin￡=：,

所以cosacos分二；，

所以sin2asin2/3=2sinocoso?2sin/?cos/?=4cosacos/??sinorsin/?=4x—x—=—.

故答案為：—.

3

13.已知A（—l,0）,5（3,0）,P是圓O:/+y2=36上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則sinNAPfi的最大值為.

Q

【答案】—

13

【解析】

【分析】幾何法：利用正弦定理建立sinNAPB與右上43外接圓半徑r的關(guān)系，再根據(jù)圓。與圓C（￡P(guān)AB

的外接圓）的位置關(guān)系求出，的最小值，進(jìn)而得到（sin/APB）.

代數(shù)法：通過(guò)設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)，用向量的坐標(biāo)運(yùn)算表示出COSN4PB,然后利用不等式求出cos/4Pfi的最小

值，再根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系求出sinNAPB的最大值.

【詳解】方法一（幾何法）

42

解：設(shè)圓C為,K4B的外接圓，且半徑為廣，則----------=2「，故（sin/APB）01ax=——

APB大山

由于點(diǎn)尸既在圓。上，也在圓C上，即圓。與圓C有公共點(diǎn)，當(dāng)圓。與圓C內(nèi)切時(shí)，圓C的半徑最小,

即|OC|=R-5&=|CB|

由于邊AB的垂直平分線為x=l,設(shè)C。/),則=,4+產(chǎn)，

兩邊平方得1+r=36-12“+/+4+1，兩邊消去產(chǎn)得:

____3913

1=36-12"+1+4’即12,4+『=39,，4+廠=記=1.

則瑞="+>=—>故(sin/APB)1mx=~2.

4~13

方法二(代數(shù)法)

設(shè)P(6cos仇6sin6),AP=(6cos0+1.6sin8),BP=(6cos3-3.6sin6)

33-12cos。ll-4cos8

cos/APB=cos<AP,BP>=

j37+12cos。?j45-36cos。,37+12cos。?j5-4cos。

11-4cosell—4cos￡

35

J37+I2cos8■（5—4cos8）37+12cos6?+y（5-4cos6>）

2

11一4coseVI054

=V105x--,當(dāng)cosd=一時(shí)等號(hào)成立.

13（11-4cos。）

即cosNAPB>'105,8

則sinZAPB<

1313

o

故（sinNAPB）max=百

Q

故答案為：一

13

14.甲乙丙三個(gè)班級(jí)共同分配9個(gè)三好學(xué)生名額，每班至少1個(gè)名額，用X表示這三個(gè)班級(jí)中分配的最少名

額數(shù)，則X的數(shù)學(xué)期望E（X）=.

【答案】77

28

【解析】

【分析】由隔板法求得總的情況數(shù)，利用分組分配的思想求得不同取值下情況數(shù)，結(jié)合古典概型寫(xiě)出分布

列，根據(jù)均值的計(jì)算，可得答案,

【詳解】由題意可得X的可能取值為L(zhǎng)2,3,且總的情況數(shù)為C；=28,

當(dāng)X=1時(shí)，分組情況有1:1:7,1:2:6,1:3:5,1:4:4,情況數(shù)分別為3,6,6,3；

當(dāng)X=2時(shí),分組情況有2:2:5,2:3:4,情況數(shù)分別為3,6；

當(dāng)X=3時(shí),分組情況有3:3:3,情況數(shù)為1.

及）鬻《，

則P（X=1）re082=

可得X的分布列如下:

X123

991

P

142828

所以石（X）=l

14282828

39

故答案為：—.

28

四、解答題：本題共5小題，共77分

15.已知VA3C的內(nèi)角的對(duì)邊分別為a,瓦c.已知csinB=?cosC.

(1)求角C：

(2)若a+b=5,c=S,求VABC的面積.

JT

【答案】(1)c=-

3

(、373

2

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理邊化角，求出tanC,結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值，即可求得答案;

(2)利用余弦定理求出。匕=6,根據(jù)三角形面積公式，即可求得答案.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)閏sinB=#>bcosC，由正弦定理得sinBsinC=J^sinBcosC

在VABC中，sinC>0，貝!JsinC=QcosC，BPtanC=y/3,Ce(0,7i),

故C

3

【小問(wèn)2詳解】

?人；...礦+b“—c2(a+b)——2ab—c~

由余3弦定值/±知：cosC=----------=----------------,

2ablab

125-2"-7

,則他=6,

2lab

訴“c_1,?_1AV3_3A/3

JTT以S——tzhsinC——x6x——---?

AAFB(Cr2222

16.設(shè)函數(shù)/(x)=(x-a,bGR.

(1)當(dāng)a=0,時(shí)，討論/(龍)的單調(diào)性；

⑵若a彳b,且〃力和_f(x)(_f(x)為〃x)的導(dǎo)函數(shù))的零點(diǎn)均在集合｛2,1,—1｝中，求/⑺的

極小值.

【答案】(1)答案見(jiàn)解析

(2)-4

【解析】

【分析】⑴求導(dǎo)可得/'（x）=（x—A）（3x—＞），分b=0,方＞0兩種情況討論可求得〃x）的單調(diào)性;

（2）求導(dǎo)，令/'（x）=0,可得x=b或x=NJ,由a,"幺/々e{2,1,—1},計(jì)算求解可得的

值，進(jìn)而可求極小值.

【小問(wèn)1詳解】

當(dāng)a=0時(shí)，/(%)=x^x—by,

/'(九)=(尤-A]+2x(x-b)=(x-Z?)(3x-Z?).

當(dāng)b=o時(shí)，/(X)=3X2^0,在R上單增，

b

當(dāng)Z?>0時(shí)，令/'(x)=(x—Z?)(3x—/?)=0,x=b或x=],

xe|-oo,g%寸，/(%)>0,/(%)單調(diào)遞增,

g/，，f\x）＜0,/（%）單調(diào)遞減,

xe

xw（瓦+8）時(shí),r（X）＞o,/（%）單調(diào)遞增,

綜上所述：當(dāng)6=0時(shí)，〃x）在R上單增;

-00,g）和他,+“）上單調(diào)遞增，在g力）上單調(diào)遞減,

當(dāng)人＞0時(shí)，/（九）在

【小問(wèn)2詳解】

/r(x)=(x-Z?)(3x-2tz-Z?),令/'(x)=0,所以x=b或％=?la+b

3

r\.1

令/(九)=0,X=?^x=b,又a,仇嶗及6{2,1,—1},且a,,2a+b

b,------互不相等,

3

。I入

所以a+Z?+'；「=2,所以5Q+4b=6

3

5a+4b=65a+4b=6

5a+4b=6

所以《或<2a+b八或<72a+b_

a+b=0a+------=0b+-----=0

33

經(jīng)檢驗(yàn)a=2,b=—1符合，所以/(x)=(x—2)(X+1)2,

/f(x)=(x+l)(3x-3),令/''(%)=0,九=1或x=-L,

當(dāng)xW(YO，T,/'(x)>0,xe(-l,l),r(%)<0,xe(l,+co),/，(x)>0

所以X=1時(shí)，/(%)取得極小值/■⑴=T.

17.在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn),T分別是橢圓C：三+>2的左焦點(diǎn)，右頂點(diǎn)，過(guò)

F的直線交橢圓。于A,B兩點(diǎn),當(dāng)軸時(shí)，△工鉆的面積為1+走.

2

(1)求。；

(2)若斜率為g的直線/交橢圓C于G,X兩點(diǎn)，N為以線段GH為直徑的圓上一點(diǎn)，求|0N|的最大值.

【答案】(1)a=2

(2)y［5

【解析】

【分析】(1)在橢圓方程中，令X=-C,解得y=土"，得口用=生，再根據(jù)SA.w=l+@結(jié)合

a11aAABT2

a2=l+c2,求出答案；

(2)設(shè)直線/：y=gx+機(jī)與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理求得GH的中點(diǎn)為。［-打；加］,利用弦長(zhǎng)公

式求得|GH|,進(jìn)而得到以GH為直徑的圓的半徑廠=半后二版，由

|ON|<|OD|+r=岑(帆+也—叫，三角換元利用三角函數(shù)性質(zhì)求出最大值.

【小問(wèn)1詳解】

A2°卜2

依題意有6=1,當(dāng)軸時(shí)，在橢圓方程中，令％=-解得丁=±乙，則愕同二二，

aa

22

SABT=-x^-x(tz+c)=l+^->Xa=1+c?解得a=2,c=A/3?

ABT2a')2

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)直線/：y=^x+m,設(shè)G(%,yJ,H(x2,y2),

'1

y=—x+m

聯(lián)立<2，得2x2+4mx+4m2—4=0，

%2+4y2=4

A=-16m2+32>0

所以《Xj+x2=-2m，所以

XjX2=2m2-2

y1+y2=m,所以G77的中點(diǎn)為一辦3機(jī)

所以|GH|=J1+；x'（玉+々）2-4%々=~~V8-4m2=.

又N的軌跡是以。機(jī)為圓心，半徑廠=02—后的圓,

2

令同=V5cos。，,

I己/（夕）=^^（0cos6+0sine）=血sin[e+：]=5/^sin[e+?

又e+gj；,與，所以8，忸=1時(shí)，|ON|-A/5.

4（444lmax

18.如圖，在四棱錐S—ABCD中，ABCD為矩形，且AB=23C=2,SB=6，

ZSCB=ZSCD=60°.

(1)求證：3CJ_平面5AB；

(2)若NS〃BC(N在S的左側(cè))，設(shè)三棱錐N—5AB體積為匕，四棱錐S—ABCD體積為匕，且

①求點(diǎn)A到平面SNC的距離；

②求平面SNC與平面ABN所成夾角的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

c2^/62V2

33

【解析】

【分析】（1）由余弦定理得到|SC|=2,進(jìn)而得到SB,即可求證;

（2）建系，通過(guò)點(diǎn)到面的距離公式及面面角的夾角公式即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

在△SBC中，忸C|=l,|S同=VLZSCB=60°,

所以cos60°=EC1+：3=J,,解得：|SC|=2,

21sq211

所以|S3「+忸C「=|sc「，所以

又5CLA6,AB,SB為平面1s48內(nèi)兩條相交直線，

所以平面&R；

【小問(wèn)2詳解】

（2）由（1）知，平面S43,AD//BC,

所以平面又AD在平面ABCD內(nèi)，所以平面ABCD1平面S48,

SA在平面S43內(nèi)，所以ADLS4,

在三角形SCD中，|SC|=2,|CD|=2,/SCD=60°，

所以|SD|=2,X|AD|=I,

所以|例="^=6，

又匕一ABCD=VS-ABC=VC-SAB，

又匕棗=%.

所以匕.SAB=%.，又NSIIBC,

所以|NS|=|5C|=1,

取A3的中點(diǎn)0，|M=|Sa=G，可知：SOLAB,

因?yàn)槠矫鍭BCDJ,平面交線為AB，

S0又在平面S4B內(nèi)，

所以SOJ_平面ABCD,如圖建立空間直角坐標(biāo)系

易得：4（-1,0,0）,B（l,O,O）,C（1,1,O）,D（-1,1,O）,S（O,O,A/2）,2V（O,-1,72）,

所以SN=（0,—l,0）,SC=（l,l,—五）,

設(shè)平面SNC的法向量為n=（羽y,z）,

n-SC=Q

則

n-SN=0

A/2Z

所以《x+,y-=0，

-y=o

令z=l，得X=丘,即鞏=（應(yīng),0,1）,

又AS=（l,0,e）,

、.IAS-HI2J22J6

所以求點(diǎn)A到平面SNC的距離d==半=9，

\n\733

②A3=（2,0,0）,A2V=（l,-l,四），

設(shè)平面ABN的法向量加=（。,4c）,

AB=02a=Q

則《

所以r

m-AN-0a-b+yj2c=0

令c=l,則b=可得：rn=（0,V2,l）,

設(shè)平面SNC與平面ABN所成夾角為0,

|m-n|11

所以cos0-1cosm,n\=

M-H73x733

所以sin6=，1二?7萬(wàn)==述

V93

即平面SNC與平面ABN所成夾角的正弦值為逑.