8.1基本立體圖形（精講）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖典例精講典例精講考點一多面體【例11】（2022·安徽）關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，下列說法不正確的是（）A．棱柱的側(cè)棱長都相等B．四棱錐有四個頂點C．三棱臺的上、下底面是相似三角形D．有的棱臺的側(cè)棱長都相等【答案】B【解析】對于A：根據(jù)棱柱的定義可以判斷棱柱的側(cè)棱長都相等.故A正確；對于B：根據(jù)棱柱的定義可以判斷四棱錐有五個頂點．故B錯誤；對于C、D：根據(jù)棱臺的定義可以判斷三棱臺的上、下底面是相似三角形，正棱臺的側(cè)棱長都相等.故C、D正確.故選：B.【例12】（2022江蘇揚州）下列說法中正確的是（

）A．有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B．有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱C．有一個面是多邊形，其余各面都是梯形的幾何體叫棱臺D．有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形的幾何體叫棱錐【答案】D【解析】因為有兩個面平行，其余各面是相鄰的公共邊都相互平行的平行四邊形的幾何體叫棱柱，所以A、B錯誤；而一個平行于底面的平面截棱錐，底面與截面之間的部分叫棱臺，所以棱臺各側(cè)棱的延長線交于一點，所以C錯誤；因為有一個面是多邊形，其余各面都是有公共頂點的三角形的幾何體叫棱錐，所以D正確.故選：D.【例13】（2020·高一課時練習(xí)）下列說法正確的是______（填序號）.①有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體是棱柱；②有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱；③有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；④用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間那部分的幾何體是棱臺；⑤存在一個四棱錐，其四個側(cè)面都是直角三角形.【答案】⑤【解析】對于①，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱，故①不正確；對于②，如圖1中的幾何體，滿足有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形，但其不是棱柱，故②不正確；對于③，有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐，故③不正確；對于④，由棱臺的定義，知截面和棱錐的底面平行，故④不正確；對于⑤，如圖2所示，在正方體中，四棱的四個側(cè)面均為直角三角形，故⑤正確.圖1

圖2故答案為：⑤．【一隅三反】1．（2022吉林）下列命題中，正確的是（

）A．底面是正方形的四棱柱是正方體B．棱錐的高線可能在幾何體之外C．有兩個面互相平行，其余各面是平行四邊形的幾何體是棱柱D．有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐【答案】B【解析】底面是正方形的四棱柱可能是斜棱柱，不一定是正方體，故A錯誤；斜棱錐的高線有可能在幾何體之外，故B正確；根據(jù)棱柱的定義可得，有兩個面互相平行，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體是棱柱.而滿足選項C條件的幾何體可能是組合體.故C錯誤；有一個面是多邊形，其余各面是有公共頂點的三角形的幾何體是棱錐，故D錯誤．故選：B．2．（2022·全國·高一專題練習(xí)）下列說法正確的有（

）①有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．②有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺．③底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；④棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是正六棱錐A．0個 B．1個C．2個 D．3個【答案】A【解析】①不正確．棱錐的定義是：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐．②如圖1，不正確，側(cè)棱延長線可能不交于一點.③錯誤．不一定是正三棱錐,如圖2所示：三棱錐中有AB＝AD＝BD＝BC＝CD．滿足底面BCD為等邊三角形．三個側(cè)面ABD，ABC，ACD都是等腰三角形，但AC長度不一定等于AD，即三條側(cè)棱不一定全部相等．④不正確，不存在這樣的正六棱錐.極限考慮，如圖3的正六邊形ABCDEF分割成了6個全等的小正三角形，三角形所有邊長相等，從而不存在答案所說的正六棱錐.故選：A.3．（2022·高一課時練習(xí)）下列命題：①有兩個面平行，其他各面都是平行四邊形的幾何體叫做棱柱；②有兩側(cè)面與底面垂直的棱柱是直棱柱；③過斜棱柱的側(cè)棱作棱柱的截面，所得圖形不可能是矩形；④所有側(cè)面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．其中正確命題的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】①如圖1，滿足有兩個面平行，其他各面都是平行四邊形，顯然不是棱柱，故①錯誤；②如圖2，滿足兩側(cè)面與底面垂直，但不是直棱柱，②錯誤；③如圖3，四邊形為矩形，即過斜棱柱的側(cè)棱作棱柱的截面，所得圖形可能是矩形，③錯誤；④所有側(cè)面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因為兩底面不一定是正方形，④錯誤．故選：A考點二旋轉(zhuǎn)體【例21】（2022山東）下列說法正確的是（

）A．以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐B．以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺C．圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面D．一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺【答案】C【解析】以直角三角形的直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐，以斜邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是是兩個同底圓錐的組合體，A錯；以直角梯形的直角腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體才是圓臺，B錯；圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面，正確；平行于圓錐底面平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺，如果截面不平行于底面，則截得的不是圓錐和圓臺，D錯.故選：C.【例22】（2022上海）給出下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；②圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線是圓錐的母線；③在圓臺的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線；④圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的；⑤圓臺所有母線的延長線交于一點其中正確的命題是（

）A．①②④ B．②③④ C．①③⑤ D．②④⑤【答案】D【解析】由于圓柱母線所在的直線互相平行且與旋轉(zhuǎn)軸平行，而在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，這兩點的連線與旋轉(zhuǎn)軸不一定平行，故①錯誤，④正確；由圓錐母線的定義知②正確；在圓臺的上、下底面的圓周上各取一點，這兩點的連線不一定是母線，且圓臺所有母線的延長線交于一點，故③錯誤，⑤正確.故選：D.【一隅三反】1．（2022云南）下列結(jié)論中正確的是（

）A．半圓弧以其直徑為軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做球B．直角三角形繞一直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐C．夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是一個旋轉(zhuǎn)體D．用一個平面截圓錐底面與截面組成的部分是圓臺【答案】B【解析】因為半圓弧以其直徑為軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做球面，球面圍成的幾何體叫做球，故錯誤；當(dāng)以直角三角形的直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)時，其余各邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體是圓錐，故正確；當(dāng)兩個平行截面不平行于上、下兩個底面時，兩個平行截面間的幾何體不是旋轉(zhuǎn)體，故錯誤；圓錐的截面不與底面平行時，圓錐底面與截面組成的部分不是圓臺，故錯誤.故選：B.2．（2022·高一課時練習(xí)）給出下列命題：①圓柱的母線與它的軸可以不平行；②圓錐的頂點、圓錐底面圓周上任意一點及底面圓的圓心三點的連線都可以構(gòu)成直角三角形；③在圓臺的上、下兩底面圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線；④圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的.其中正確的是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．②④【答案】D【解析】由圓柱的母線無論旋轉(zhuǎn)到什么位置都與軸平行，故①錯誤；圓錐是以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的，故②正確；③中連接的線可能存在與軸異面的情況，而圓臺的母線與軸共面，故③錯誤；④由于圓柱中任意母線均與軸平行，故其中任意兩條母線相互平行，故④正確；綜上可知②④正確，①③錯誤.故選：D.考點三組合體【例31】（2022·高一課時練習(xí)）如圖所示的組合體，其結(jié)構(gòu)特征是（

）A．由兩個圓錐組合成的B．由兩個圓柱組合成的C．由一個棱錐和一個棱柱組合成的D．由一個圓錐和一個圓柱組合成的【答案】D【解析】由圖知：該組合體是由一個圓錐和一個圓柱組合成的，故選：D【例32】（2022廣東）如圖所示的幾何體的結(jié)構(gòu)特征是（

）A．一個棱柱中截去一個棱柱B．一個棱柱中截去一個圓柱C．一個棱柱中截去一個棱錐D．一個棱柱中截去一個棱臺【答案】C【解析】圖中的幾何體為一個棱柱截去一個角，截去的角是一個棱錐.故選C.【一隅三反】1．（2022·高一課時練習(xí)）如圖所示，是由等腰梯形、矩形、半圓、圓、倒三角形對接形成的平面軸對稱圖形，若將它繞軸l旋轉(zhuǎn)180°后形成一個組合體，下面說法不正確的是()A．該組合體可以分割成圓臺、圓柱、圓錐和兩個球體B．該組合體仍然關(guān)于軸l對稱C．該組合體中的圓錐和球只有一個公共點D．該組合體中的球和半球只有一個公共點【答案】A【解析】將該幾何體繞軸l旋轉(zhuǎn)180°后形成一個組合體，該組合體是由圓臺、圓柱、圓錐和球，半球組成的，由此A選項錯誤故選A2．（2022·高一課時練習(xí)）如圖所示的螺母可以看成一個組合體，其結(jié)構(gòu)特征是A．一個棱柱中挖去一個棱柱 B．一個棱柱中挖去一個圓柱C．一個圓柱中挖去一個棱錐 D．一個棱臺中挖去一個圓柱【答案】B【解析】螺栓是圓柱，螺母的橫截面是六邊形內(nèi)有一個圓，所以螺母可以看成一個棱柱中挖去一個圓柱.故選B.3．（2021春·高一課時練習(xí)）（多選）下列關(guān)于球體的說法正確的是（

）A．球體是空間中到定點的距離等于定長的點的集合B．球面是空間中到定點的距離等于定長的點的集合C．一個圓繞其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面所圍成的幾何體是球體D．球的對稱軸只有1條【答案】BC【解析】空間中到定點的距離等于定長的點的集合是球面，所以A錯誤，B正確；由球體的定義，知C正確；球的每一條直徑所在的直線均為它的對稱軸，所以D錯誤.故選:BC.考點四展開圖【例4】（2022秋·四川內(nèi)江·高一四川省內(nèi)江市第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖是一個正方體展開圖，把展開圖折疊成正方體后“抗”字一面相對面上的字是（

）A．新 B．冠 C．病 D．毒【答案】C【解析】將展開圖折疊成正方體可得“擊”字與“冠”字相對，“抗”字與“病”字相對，“新”字與“毒”字相對，故選：C.【一隅三反】1．（2022·湖南）如圖都是正方體的表面展開圖，還原成正方體后，其中兩個完全一樣的是（

）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4）【答案】B【解析】（1）圖還原正方體后，①⑤對面，②④對面，③⑥對面；（2）圖還原后，①④對面，②⑤對面，③⑥對面；（3）圖還原后，①④對面，②⑤對面，③⑥對面；（4）圖還原后，①⑥對面，②⑤對面，③④對面；綜上可得，還原成正方體后，正方體完全一樣的是（2）（3）．故選：B．2．（2022·高一課時練習(xí)）紙質(zhì)的正方體的六個面根據(jù)其方位分別標(biāo)記為上、下、東、南、西、北，現(xiàn)在沿該正方體的一些棱將正方體剪開，里面朝上展平得到如圖所示平面圖形，則標(biāo)“△”的面的方位是（

）A．南 B．北 C．西 D．下【答案】A【解析】由題意，正方體的表面展開圖，相對面之間一定相隔一個正方形，再由展開圖是里面朝上展平得到的，根據(jù)“上北下南，左西右東”，因此標(biāo)“△”的面的方位是南.故選：A3．（2022·高一單元測試）如圖是一個正方體的表面展開圖，則圖中“有”在正方體中所在的面的對面上的是（

）A．者 B．事 C．竟 D．成【答案】A【解析】根據(jù)正方體的表面展開圖，換元成正方體，如圖所示：其中“者”在最里面，“有”在最外面．構(gòu)成對面關(guān)系．故選：A．考點五最短距離【例51】（2022·廣西）如圖，圓柱的軸截面ABCD是一個邊長為4的正方形.一只螞蟻從點A出發(fā)繞圓柱表面爬到BC的中點E，則螞蟻爬行的最短距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】將圓柱側(cè)面展開半周，則展開矩形長為，，.故選：C.【例52】（2022春·天津西青·高一天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)?？计谥校┰陂L方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝6，BC＝4，AA1＝2，P、Q分別為棱AA1，C1D1的中點則從點P出發(fā)，沿長方體表面到達(dá)點Q的最短路徑的長度為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意在長方體中，分別為棱，的中點，若按照如下方式展開，則若按照如下方式展開，則若按照如下方式展開，則所以故選：C【例53】（2022·全國·高一假期作業(yè)）如圖，在正三棱錐中，，，一只蟲子從點出發(fā)，繞三棱錐的三個側(cè)面爬行一周后，又回到點，則蟲子爬行的最短距離是（

）A．4 B． C． D．【答案】A【解析】如圖，連接與分別交于兩點，將三棱錐由展開，則，為蟲子爬行從點沿側(cè)面到棱上的點處，再到棱上的點處，然后回到點的最短距離，∵，∴由勾股定理可得，所以蟲子爬行的最短距離4，故選：A.【例54】（2022春·新疆省直轄縣級單位·高一新疆石河子一中?？茧A段練習(xí)）如圖所示，某圓錐的高為，底面半徑為1，O為底面圓心，OA，OB為底面半徑，且∠AOB=M是母線PA的中點，則在此圓錐側(cè)面上，從M到B的路徑中，最短路徑的長度為（

）A． B．1 C． D．+1【答案】A【解析】【如圖為圓錐的側(cè)面展開圖，,，則，在中，，則，為M到B的路徑中，最短路徑的長.故選：A.【一隅三反】1．（2022·高一課時練習(xí)）邊長為5cm的正方形EFGH是圓柱的軸截面，則從E點沿圓柱的側(cè)面到相對頂點G的最短距離是（

）A．10cm B．5cmC．5cm D．cm【答案】D【解析】圓柱的側(cè)面展開圖如圖所示，展開后，∴，即為所求最短距離．故選:D.2．（2022·福建）如圖是一塊長、寬、高分別為6cm、4cm、3cm的長方體木塊，一只螞蟻要從長方體木塊的一個頂點A處，沿著長方體的表面到長方體上和A相對的頂點B處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長是（

）A．cm B．cm C．9cm D．cm【答案】B【解析】第一種情況：把所看的前面和上面組成一個平面，如圖所示，則這個長方形的長和寬分別為和，所以所走的路程最短線段為；第二種情況：把看到的左面與上面組成一個長方形，如圖所示，則這個長方形的長和寬分別為和，所以所走的路程最短線段為；第三種情況：把看到的前面與右面組成一個長方形，如圖所示，則這個長方形的長和寬分別為和，所以所走的路程最短線段為；故選：B.3．（2022·高一課時練習(xí)）在四面體中，，與直線，均垂直，且，一只螞蟻從的中心沿表面爬至點，則其爬過的路程最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，，所以平面，所以平面平面，將底面旋轉(zhuǎn)，以為軸，旋轉(zhuǎn)至平面與平面共面，如圖，此時的直線距離即為最短距離，設(shè)到直線的距離為，則，所以.故選：A4（2022春·河北張家口·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，圓錐的母線長為，底面圓的半徑為，若一只螞蟻從圓錐的點出發(fā)，沿表面爬到的中點處，則其爬行的最短路線長為，則圓錐的底面圓的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖為半圓錐的側(cè)面展開圖，連接，則的長為螞蟻爬行的最短路線長，設(shè)展開圖的扇形的圓心角為，根據(jù)題意得，在中，，所以，所以扇形弧長為，所以圓錐底面圓的周長為，即，得.故選：A考點六截面問題【例61】（2022·全國·高一假期作業(yè)）用一個平面截正方體，截面可能出現(xiàn)的形狀是（

）①等邊三角形

②直角梯形

③菱形

④五邊形A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】C【解析】如圖，用一個平面截正方體，截面可能出現(xiàn)的形狀是等邊三角形，菱形，五邊形，故選：C【例62】（2022·高一單元測試）已知正方體，棱長為2，E為棱的中點，則經(jīng)過，D，E三點的正方體的截面面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】正方體中，平面，則平面與平面的唯一交線與平行.取中點F，連接、、、，則四邊形即為經(jīng)過，D，E三點的正方體的截面梯形中，，，則梯形的高為則梯形的面積為故選：A【例63】．（2022福建）如圖：正三棱錐中，，側(cè)棱，平行于過點的截面，則平面與正三棱錐側(cè)面交線的周長的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示：沿著側(cè)棱把正三棱錐展開在一個平面內(nèi)，則即為截面周長的最小值，且，在中，由余弦定理得：，.