江南中學(xué)2024級高一年級3月月考（期中模擬考）

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

5

z______

1.若復(fù)數(shù)2+i,則z的虛部為（）

A.iB.-iC.-1D.1

【答案】D

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)z,利用共物復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的概念可得結(jié)果.

55（2—i）._

【詳解】因為Z=—r=7T―rvTT；一式=2—i,則z=2+i，因此，z的虛部為L

2+1（2—i）（2+i）

故選：D

2.如圖所示，已知正方形O'AB'C'的邊長為1,它是水平放置的一個平面圖形斜二測畫法的直觀圖，則其

原圖形的周長為（）

C.20D.2+2A/3

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)斜二測畫法還原圖形，結(jié)合圖形求解.

【詳解】根據(jù)斜二測畫法還原得下圖：

因為四邊形O'ABC是邊長為1的正方形，則（79=應(yīng)ON'=應(yīng)，所以，OB=2垃,

又因為Q4=l,OALOB,則43=也4r4方^=J百=3,

同理可得BC=1,OC=3,

因此，原圖形的周長為。M+AB+BC+OC=l+3+l+3=8.

故選：B.

3.如圖，在,OCB中，A是邊3c的中點，。是邊。3上靠近點。的三等分點，設(shè)。4=凡03=6,則

DC=（）

A.2a—bB.2。H—b

33

44

C.2a—bD.-2aH—b

33

【答案】C

【解析】

【分析】利用向量的線性運(yùn)算和三角形法則可以得到.

【詳解】A是邊BC中點，,AC=84，

0C^0A+AC=0A+BA^0A+(0A-0B^=20A-0B,

一1-

。是邊05上靠近點。的三等分點，DO=—OB,

3

1/\4

.\DC=DO+OC=--OB+\2OA-OBJ=2OA--OB,

4

又OA=a,OB=b，：.DC=2a--b.

故選：C

4.如圖，在直角VA3C,NAC3=90°，AC=1,BC=3,點￡,E是邊3C上兩個三等分點，則

cosZEAF-()

3M

*10

「V5

X--.----

5

【答案】B

【解析】

【分析】利用余弦定理求解即可.

【詳解】因為AE=+儼=①,AF=Ja+22=6

6_3屈

在Z\AEF中,cosZEAF=

272.752加一10

故選：B

5.已知向量a=（2,—1）力=（—1,2）,向量?在方方向上的投影向量為（）

4,4,3,3,

A.——bB.—bC.——bD.—b

5555

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意，利用向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算，以及投影向量的計算公式，即可求解.

【詳解】由題意知，向量a=（2,—l）為=（一1,2）,可得忖=占且—4，

a-bb4

則向量。在b上的投影向量而,團(tuán)=一個z.

故選：A.

6.已知VABC的三條邊長分別為mb,c,且（a+。）：9+c）:（a+c）=12:13:15,則此三角形的最大

角與最小角之和為（）

兀2兀3兀5兀

A.-B.—C.—D.—

3346

【答案】B

【解析】

TT

【分析】根據(jù)題意由邊長比例關(guān)系可求得〃=7左,b=5憶。=8匕再由余弦定理可得A=—,即可得出結(jié)論.

3

〃+b=12k

【詳解】根據(jù)題意不妨設(shè)（b+c=13Zr,k>0；解得〃=7左乃=5nc=8匕

a+c-15k

所以可得此三角形的最大角與最小角分別為NC和4；

由余弦定理可得COSA="+L—"一="與=工,又Ae（O,7i）,

2bc80k22'7

可得A=—；

3

所以。+8=兀一4=@.

3

故選：B

7.已知圓錐的母線長為4,過該圓錐頂點的平面截此圓錐所得截面面積的最大值為8,則該圓錐底面半徑

的取值集合為（）

A.{272}B.（0,2應(yīng)]C,（0,4）D,[272,4）

【答案】D

【解析】

【分析】依據(jù)題意作出圓錐的軸截面，再分析其軸截面三角形的頂角是否大于等于90，結(jié)合三角函數(shù)即可

得解.

如圖，VA3C是圓錐的軸截面，設(shè)圓錐的底面圓半徑為廣.

若ZBAC<90，所得截面面積最大值為SABC，則SMC=；?AC?sinZBAC<^ABAC=8，故不符

合題意；

若NR4C290，此時所得截面面積得最大值為SABc=gx4x4xsin90=8,符合題意，

此時有sin/OAB=；Nsin45,解得廠22后，又廠<4，則re[2&,4）.

故選：D.

8.平面向量。、b、c滿足|。|=1，W=l/d=3，且a.c=Z?，c，則,一人+的取值范圍為（）

A.[1,5]B.[1,a]C.[3,5]D,[3,7B]

【答案】D

【解析】

【分析】利用三角不等式可求出卜-囚的取值范圍，由已知條件得出（。-6）王=0,再平面向量數(shù)量積的運(yùn)

算性質(zhì)可求得卜-6的取值范圍.

【詳解】由三角不等式可得0=||a|-|^||<|a-^|<，+W=2,

當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時，卜-H取最小值0；當(dāng)且僅當(dāng)。、b反向時，卜-q取最大值2,

因為a,c=6c，貝ija.c_Z?.c=（a_b）-c=0,

所以，,一6+c|=（a-6）+2（a-ZJJC+C?=卜一0+9e[9,13],故3<|a-b+c|<,

即卜―6+c|的取值范圍是[3,而].

故選：D.

二、多項選擇題：本題共3個小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有

多個選項符合要求.全部選對得6分，部分選對得部分分.

9.已知復(fù)數(shù)z-z2,則下列命題正確的有（）

A.若z；+z；=0,則Z[=Z2=0B.若4=氏，則團(tuán)=岡

C.若Z]=Z2，則Z]Z2=|zjD.若團(tuán)=區(qū)|,則z；=z；

【答案】BC

【解析】

【分析】取特殊值4=1/2=i判斷A、D；應(yīng)用復(fù)數(shù)乘法的幾何意義及共軌復(fù)數(shù)的性質(zhì)判斷B、C.

【詳解】對于A,取2]=l,Z2=i,顯然滿足z；+z；=0,但2產(chǎn)0/2。0,故A錯誤；

對于B,因為Z1=iZ2，所以㈤=|匈=|亞2|=|z21H故B正確；

對于C,因為Z1=Z2，所以4Z2=2]Z]=|zj,故C正確；

對于D,取馬=l,Z2=i,滿足團(tuán)=區(qū)|,但z；=l,z；=_l,所以z：/z；,故D錯誤.

故選：BC

10.在VA3C中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,則下列說法中無俄的是（）

4若8=60。，及=ac，則VA3C一定是等邊三角形

B.若cos2A+cos23—cos2c>1，則VA3C一定是鈍角三角形

C.若a—Z?=c(cosB-cosA),則VABC一定是等腰三角形

ah

D.若a+b=------+--------,則VA3C一定是直角三角形

tanAtanB

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合三角恒等變換逐項計算、判斷作答.

【詳解】對于A,VABC中，3=60。，b2=ac^由余弦定理/二/十^一得：

ac=a2+c2-2accos6Q?即(〃—c)2=0,因此。=。，NABC一定是等邊三角形，A正確;

對于B,由cos2A+cos2B—cos2C>1得：1—sin?A+1—sin~B—(1—sin2C)>1,

即sin2C-sin2A-sin2B>0，由正弦定理得/一片一〃>0,

^272_2

由余弦定理得cosC=巴士~—<0,因此角C是鈍角，VA5C一定是鈍角三角形，B正確;

2ab

對于C,VA5c中，由a—b=c(cosB-cosA)及余弦定理得:

a—b="i"-"+c-2,整理得&2b_仍2=43一步+而_q,

2a2b

222

即ab(a-b)=(a-b\a+ab+b^^-c^^a-b),因此a=b或/+/7-c,

VA5C是等腰三角形或直角三角形，C錯誤；

,?.sinAsin8

對于D,VABC中，由“+/?=，一+-----及正弦定理得：,in+sin=sinA+sinB,

tanAtanB------r------

cosAcosB

因此sinA+sin5=cosA+cos5，即

A+BA-BA+BA-BA+BA-BA+BA-B

sin(------+-------)+sin()=cos(------+-------■)+cos(?)，

2222、2222

整理得：2sin小包cosA-B=2c°s*A-B兀A-B7i

cos-------,顯然一71VA—B<71,——<-------<—,

2222......................222

A—B?__.A+5..八A+B7i/口A+B兀

即cos------->0,因止匕tan--------=1,而0<-----<一，于是------=-

222224

7T

所以A+3=—,VA3C一定直角三角形，D正確.

2

故選：ABD

【點睛】結(jié)論點睛：VA3C的三邊分別為a,b,cCa>b>c),若步+°2>4,則VA3C是銳角三角形;

若〃+。2=",則VA3C是直角三角形；若62+°2<02,則VA3C是鈍角三角形.

11.如圖，在長方形ABC。中，AB=4，AD=2，DE=2DC（0<2<1）,則下列結(jié)論正確的是

)

1uunuur./iT

A.當(dāng);1=工時，AD=-AE+-BEB.當(dāng);1=-時，cos<AE,BE〉=匚

222265

C對任意2e(0,1),AEA.BE不成立D.若=+則—2(孫<0

【答案】AD

【解析】

【分析】先建立直角坐標(biāo)系，再設(shè)點E的坐標(biāo)分別計算向量判斷A,根據(jù)數(shù)量積判斷C,應(yīng)用夾角公式判

斷B,結(jié)合基本不等式計算判斷D.

以分別為羽y軸建立直角坐標(biāo)系，則4（0,0）,3（4,0）,C（4,2）,￡>（0,2）,設(shè)E（x,2）

又因為DE=/IDC（O</1<1）,貝ij（羽0）=4（4,0）,所以x=4X,所以￡（442）,

對于A：當(dāng)2時，AD=（0,2）,1AE+|BE=1（42,2）+1（42-4,2）=（0,2）,

-1—1-

AD=—AE-\—BE,A選項正確；

22

對于B：當(dāng)X=g時，AE=（2,2）,BE孰包，可,AE?BE=x（-）+x=,所以AEL5E，所以

cos（AE,BE）=0,B選項錯誤；

對于C：當(dāng)；1=；時，AE=（2,2）,BE9（包,為,AE7BE=x（-）+x=,所以AE'BE，C選項

錯誤；

對于D：AC=（4,2）,xAE+yBE=x（42,2）+y（42-4,2）=（42%+4Ay-4y2x+2y）,

所以4Ax+42y—4y=4,2x+2y=2,所以X-y=l,y=A-l,x=l-y=2-A,

3

所以xy=(丸一1)(2—2)=—A,"+3/1—2,/Ie(0,1),/(丸)=—丸~+32—2對稱軸為2=萬,2e(0,1)時

/(%)單調(diào)遞增，

所以沖e(—2,0),D選項正確；

故選：AD.

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知復(fù)數(shù)z滿足目=1,則|z-3i|的最大值為.

【答案】4

【解析】

【分析】設(shè)2=。+歷(a力eR),則/+〃=1且—IWAWI.結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義可得

|z-3i|=V10-6Z?,即可求解.

22

【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)z=a+歷(a/eR),^\a+b=l，S.-l<b<l.

|z—3i|=|a+俗—3)i|=亞+3-3『=^1-b2+(b-3)2=W-6b,

當(dāng)Z?=—l時，10-65取到最大值16,

所以|z—3i|=V16=4.

故答案為：4.

13.已知正四棱臺ABCD-AgG2的上下底面分別是邊長為2和4的正方形，側(cè)棱長為2,則該正四棱

臺的體積為.

【答案】生叵##型0

33

【解析】

【分析】根據(jù)正四棱臺的概念可知四邊形為等腰梯形，進(jìn)而可得四棱臺的高，即可求得體積.

【詳解】如圖所示，

由正四棱臺可知且A3=4,G2=2,BBI=2,四邊形為等腰梯形,

取上底下底的中心O,Oi，OO|，平面ABCD,過用作4E1BD,垂足為E，B[EII。。1,

且BD-4^2,B[D[=2^2,BB[=2,

所以6=00I=B1E=F^=亞,

故答案為：生亞

3

14.若G為VABC的重心，BG1CG,貝UcosA的最小值為.

4

【答案】j

【解析】

【分析】根據(jù)3GJ_CG,利用向量的數(shù)量積運(yùn)算可得2c2+2〃-5AcosA=0,再由均值不等式即可求

出cosA的最小值.

【詳解】如圖，

CGLBG,

:.CD±BE,

CD.BE=g(CA+CB)?g(BA+BC)

=(-AC+AB-AC)(-AB+AC-AB)=-(AB-2AC)(2AB-AC)

=-(2ABAB+2ACAC-5ABAC)

=-(2c2+2b2-5bccosA)

2c2+2b2-50ccosA=0

cosA=至土里23匠三五=色,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時，等號成立，

5bc5bc5

4

「.cosA的最小值為不

4

故答案為：—

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.己知復(fù)數(shù)z=x+yi(x>0,y>0)滿足忖=2,且z—l為純虛數(shù).

7

(1)求---；

1-i

(2)若z2+?z+c=0，(aceR),求實數(shù)6,c的值.

【答案】(1)匕XI+YI±ii

22

(2)b=—2,c=4

【解析】

z

【分析】(1)根據(jù)純虛數(shù)的概念可得了,再由模長可得y,即可確定z與——；

1-1

(2)法一：代入，根據(jù)復(fù)數(shù)相等解方程即可；法二：根據(jù)復(fù)數(shù)方程的解列方程即可.

【小問1詳解】

z—l=x—1+yi為純虛數(shù)，:.x=l,

-'|z|=y/x2+y2=2且,〉0,y=6，z=1+^3i，

.z」+60+6i)x(l+i)1—0用1.

"T^i-l-i-(l-i)x(l+i)-2+2

【小問2詳解】

法一：把z=l+6i代入：z2+b-z+c-Q>

(1+Gij+*1+拘)+c=0,

化簡得：b+c—2.+^y/3b+2-\/3ji=0,

b+c—2=0

即jA+24=0，

解得：b=—2,c=4.

法二：z?+/?.z+c=0的一根為z=1+，則另一根為：z=l—y/3i?

z+~z=—b=2

則〈-4，

z?z=c=4

解得：b=—2,c=4.

16.如圖，正三棱錐V—ABC中，AB=BC=AC=2,VA=Vfi=VC=0,點M,N分別為憶4,5C的

中點，一只螞蟻從點”出發(fā)，沿三棱錐側(cè)面爬行到點N,求：

(2)螞蟻爬行的最短路線長.

【答案】(1)體積為豐，表面積為3+出；

(2)叵.

2

【解析】

【分析】(1)將△VBC當(dāng)作底面，將WL當(dāng)作三棱錐的高，由三棱錐體積公式即可求得三棱錐的體積；再

由求出各個面的面積，由面積公式可得三棱錐的表面積；

(2)將與延V?展開，使得兩個三角形在同一個平面上，連接再由余弦定理即可求

得最短值.

【小問1詳解】

因為A6=3C=AC=2,E4=VB=VC=后，

所以班2+Vg2=AB?,Vg2+VC2=BC2vA2+丫。2=A(72,即以，VB，V。,逐，丫。,

又VBc攻:=V,VB,VC在面VBC內(nèi)，得VA上面VBC，

==，二---，

Vyv—AoRCrVAA-v±V>RCC3-Sv￡V>RCC?VA=-3x-----2------x,23

^V-ABC~S+S+S+S-3走存與2~3

VBCVABVACCABC

【小問2詳解】

如下圖：連接線段跖V的長度即螞蟻爬行的最短路線長,

JT

由余弦定理可得：MN2=MC2+CN2-2MN-CN-cos-,

4

日口…29,c30，05…回

即MN~=—F1—2x----x1x----=—MN—---

22222

17.如圖，在梯形A3CD中，AB//CD,ABYAD,AB=2CD=4,E、E分別為DC、CB的中

UUIUUUU

點，且AC-EP=2，尸是線段AB上的一個動點?

(1)求AD的長;

(2)求pE.pp的取值范圍.

【答案】(1)|AD|=2

(2)[1,5]

【解析】

【分析】(1)將向量七p、AC用基底｛(A3,A。\｝表示，根據(jù)AUUCUL-EUUEU1=2結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)

可得出關(guān)于卜。|的等式，即可解出的值；

(2)設(shè)AP=xAB，其中04X<1,將尸石、尸/用基底表示，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性

質(zhì)結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得PEPF的取值范圍.

【小問1詳解】

因為￡、尸分別為。C、CB的中點,

則AF=LA3+LAC」A3+!(AD+DC)」A3+UAD+-AB\=-AB+-AD,

2222、>22^2J42

所以，AE=AD+DE=-AB+AD,

4

故EF=AE—AE=[mA3+gAD]—[；A3+A￡>]=；A3—

AC=AD+DC=-AB+AD,

2

由AD上AB,則AZ)-AB=O，

則40后=1；43+4可］；43—口可=；網(wǎng)2—］叫2=2,

可得4一；|">『=2,解得|AD|=2.

【小問2詳解】

設(shè)AP=xAB，其中

由圖可得尸E=PA+AD+DE=-xAB+AD+—AB=

4

31<311

PF=AF-AP=-AB+-AD-xAB=\——x\AB+-AD

42l4J2

-----x+尤？x16H—x4=16x~—16%+5=16x—+1>

16)2I2

1iiciYi

由04x4l,可得——<x——<—,則OKX—±<-則PRw[1,5].

22224

18.如圖，在VA3C中，AC=2,BC=2^，且ACL3C.M>N為線段AB上的兩個動點(N在

M■的右側(cè))，且？A/CN30°.

(1)若=1時，求乙肱VC的周長;

（2）若&肱VC的面積是，CW的面積的走倍，求NACM的大小;

2

（3）當(dāng)NAC/W■為何值時，一肱VC的面積最小，最小面積是多少？

【答案】⑴3+73

（2）ZACM=45

（3）當(dāng)NACM=15，的面積取最小值3（2-豆）

【解析】

【分析】（1）求出角A、B的大小，利用余弦定理可求出C0的長，推導(dǎo)出CML40,可求出MV、CN

的長，即可得出JWC的周長；

（2）設(shè)NAa/=9（00<e<60°）,根據(jù)己知條件可得出CN=26sin。，由正弦定理得出

CN=2—，可得出sin26>的值，結(jié)合角。的范圍可得出角0的值，即可得解；

COS。

（3）設(shè)NACM=e（0°<6<60°）,由正弦定理得出CM=sin（，+60）'利用三角形的面積公式結(jié)合

三角恒等變換、三角函數(shù)的基本性質(zhì)可求出面積的最小值及其對應(yīng)的6值.

【小問1詳解】

由AC=2,BC=273，AC±BC,得tanB=^=3=^,

BC2G3

又0<B<90，則3=30，A=60，所以AB=2AC=4,

在八4。/中，由余弦定理可得CM?=AC2+AA/2—2AC.cosA

=2~+l~—2x2xlx—=3,則CM--\/3，

2

因為AC?=32+92,所以QWLAM,

?:?MCN30°,MN=CMtan30=昂走=1，

3

QV=2兒W=2,；?.4WC的周長為1+2+百=3+6.

【小問2詳解】

設(shè)zACM=e（（r<e<60。），

因為一MAC的面積是CM4的面積的3倍,

2

所以，CN-CMsin30=-x-CACMsin0，即CN=26sin。，

222

在△C42V中，ZANC=18Q-（60+30+夕）=90-0,

CN_CA_2也

由sin60-sin（90—。）一嬴得°N=嬴3'

從而CN=2百sin6=6，即sinecose=^^=,，而sin29=l,

cos。2J32

由0<26?<120，得2，=90，所以。=45，即/ACM=45

【小問3詳解】

設(shè)ZACM=9（（r<e<60°）,由（2）知CN=

cos。

CMCA73

又在AACM中，由加=刖詢’得皿=訴硒’

1.33

所以SMNC=_CM?CN?sin30=------；---c--=---------7=---------

24sin（e+60）cos92sin0cos0+2V3cos20

3

=______2______=_____3________

sin286cos282sin（28+60）+6'

2+2

所以當(dāng)且僅當(dāng)2，+60=90，

即，=15時，_M2VC的面積取最小值為

19.正多面體是指各個面都是全等的正多邊形，并且各個多面角都是全等的多面角，又稱為柏拉圖多面

體，因為柏拉圖及其追隨者對它們所作的研究而得名.自然界中有許多的柏拉圖多面體，如甲烷、金剛石

分子結(jié)構(gòu)模型都是正四面體，氯化鈉的分子結(jié)構(gòu)模型是正六面體，螢石的結(jié)晶體有時是正八面體，硫化體

的結(jié)晶體有時會接近正十二面體的形狀……柏拉圖多面體滿足性質(zhì)：V+F-E=2（其中V,尸和E分別

表示多面體的頂點數(shù)，面數(shù)和棱數(shù)）.

D、C,

AB

(1)正十二面體共有幾條棱，幾個頂點？

(2)如圖所示的正方體ABC。-AgCQi中，點6,〃,/,1,&乙為正方體六個面的中心，假設(shè)幾何體

Gffl/KL的體積為匕，正方體的體積為匕，求才的值；

丫2

(3)判斷柏拉圖多面體有多少種？并說明理由.

【答案】(1)正十二面體共有30條棱，20個頂點

⑵工

6

(3)柏拉圖多面體只有5種，理由見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)正十二面體有12個面，求出每個面為正五邊形，進(jìn)而可得出答案；

(2)分別求出正方體ABC。-4用。1。和正八面體的體積即可得解；

(3)假多面體每一個面都是