2024學(xué)年高一年級第二學(xué)期嘉興市八校聯(lián)盟期中聯(lián)考

數(shù)學(xué)試題

考生須知：

1.本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘.

2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.

3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.

4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.

選擇題部分

一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)z滿足z=2—2i（i為虛數(shù)單位），貝廠的虛部為（）

A.2B.-2C.2iD.-2i

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念判斷即可.

【詳解】因為復(fù)數(shù)z=2—2L所以z的虛部為—2.

故選：B

2.已知忖=2,忖=2,且向量￡與向量石的夾角為120°,則￡%=（）

A.—百B.73C.2D.-2

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義計算即可.

【詳解】G-^=|a||&|cos120°

故選：D.

3.如圖，△O'A'Z是水平放置的△OAB的直觀圖，O'A=2,O'B'=272,ZA'O'B'=45°,則原VAC出的

面積為（）

fy,

4

Z45°\

/O'x'

A.472B.372C.6D.8

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)直觀圖得到平面圖，求出相關(guān)線段的長度，從而求出面積.

【詳解】由直觀圖可得如下平面圖形，

則(M=2O'A'=4,OB=O'B'=272>ZAOB=9(T>

則原的面積為MB=LOAx03=工x4X20=40.

△CUD22

4.VABC的內(nèi)角所對的邊分別為a,6,c,已知從+°2+反=標，則A=()

7T27t兀57c

A.-B.—C.—D.—

3366

【答案】B

【解析】

【分析】利用余弦定理計算可得.

【詳解】m^)b2+c2+bc=a2,則洋+。2—勿=_比,

由余弦定理8$4="+廣二”=-1,又Ae(O,兀)，所以4=生.

故選：B

5.在平行四邊形ABCD中，點E為線段的中點，記初=而，AD=n>則麗=(

1一一1irr一1一一1一

A.—m-nB.——m+nC.m——nD.m+—n

2222

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的線性運算計算判斷.

【詳解】在平行四邊形ABCD中，點E為線段的中點，

記通=而，AD=n>BE=BC+CE=BC+-CD=AD--AB=n--m.

222

故選：B.

6.VABC中，a=2s/3,B=-,b=2,則C=（）

6

7171兀一兀

A.—B.—C.—或一I

3262

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)正弦定理即可解出sinA=#，則得到A=《或A=g,從而得到C.

z2百_2r-

【詳解】根據(jù)正弦定理得二一=二一，即嬴了=一^，解得sinA=?,

sinAsinBsin—2

因為則A>6,結(jié)合解得A=;或A=2,

當(dāng)A=K時，C='；當(dāng)A=3，C」,

3236

TT

綜上所述，。=乙IT或生.

62

故選：C

7.在VA3C中，A3=3,AC=4,A=60。，。為邊3C的中點，則">為（）

2

【答案】C

【解析】

【分析】依題意可得標=；（通+砌，將兩邊平方，結(jié)合數(shù)量積的運算律計算可得.

【詳解】因為。為邊的中點，所以蒞=g（荏+無巧，

所以而'J（宿+2麗*+k）=432+2x3x4x^+421=衛(wèi)，

4\/412J4

uum./37、國

所以AD=q，即AD為

22

故選：C

8.已知VA3C,A5=AC=4,3C=2,尸是平面ABC內(nèi)一點，則麗?(西+定)最小值是()

c9

A.-3B.-1C.——D.0

8

【答案】A

【解析】

【分析】建立平面直角坐標系，利用坐標法求解.

【詳解】如圖，以6。中點。坐標原點，5。為x軸，為y軸建立平面直角坐標系，則有

A(O,A),8(—1,0),c(l,o),設(shè)Pjy),則

PB-(PA+PC^=(-l-x,-y)-{l-2x,y/15-2y^=2x2+x-l-y/i5y+2y2=2^x+^+2(y—乎］-3,

當(dāng)*=一工，＞=正時，上式最小值為—3.

4-4

故選：A.

二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.

9.下列命題錯誤的是()

A,兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面

B.四邊形可以確定一個平面

C.經(jīng)過同一直線上的3個點的平面有且僅有3個

D.經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)平面的基本性質(zhì)及推論，對四個選項逐一判斷，得出正確選項.

【詳解】A選項正確，兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面，因為他們構(gòu)成一個三角形,

而三角形唯一確定一個平面；

B選項不正確，因為四邊形包括空間四邊形，此類四過形不能確定一個平面;

C選項不正確，經(jīng)過同一直線上的3個點的平面有無數(shù)個，因為直線可以位于無數(shù)個平面;

D選項正確，經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.

故選：BC.

10.已知復(fù)數(shù)z：滿足(l+i)z=2i,則()

A.\z\=42B.z的實部為1

C.z的共輾復(fù)數(shù)為I=_i+iD.I在復(fù)平面中對應(yīng)的點位于第四象限

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)代數(shù)形式的除法運算化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念及幾何意義判斷即可.

/、2i2仆i)

【詳解】因為(l+i)Z=2i,所以Z=qy=i(l-i)=l+i,

(l+i)0-i)

z的實部為1,虛部為1,故B正確；

|z|=|1+i|=A/12+12=A/2>故A正確;

z的共輾復(fù)數(shù)為故C不正確；

z在復(fù)平面中對應(yīng)的點(1,-1)位于第四象限，故D正確.

故選：ABD.

11.在VA3C中，角A5c的邊分別為己知3=^,人=4百，則下列說法正確的是()

A.若4=：,則。=4后B.若。=4,則c=9

C.VA3C周長的最大值為12君D.VA3C面積的最大值12石

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用正弦定理判斷A,利用余弦定理判斷B,由余弦定理結(jié)合基本不等式判斷C,利用余弦定理結(jié)

合三角形的面積公式和基本不等式判斷D.

7a4A/3

ab____—_____

【詳解】對A：由正弦定理」=——，所以.兀一.兀

sinAsin8sin—sin—

43

_4^/3.Jr_.

解得"F，-4’2,故A正確;

sm——

3

對B：由余弦定理Z?2=4+02—2accos3，所以48=16+c?—4c，解得c=8或c=-4,

又c>0,所以c=8,故B錯誤；

對C：由余弦定理Z?=4+。2-2accos5，所以48=〃+c?-—3ac,

r-r-INI(a+c)—48

所以ac=^---------，

3

又a，+/2lac,所以a?+2ac+c~>4ac，所以ac<

4

所以(a+c)-484(a+c),則百(當(dāng)且僅當(dāng)°=c=4石時取“=.

34

此時VABC周長的最大值為12石，故C正確；

對D：由余弦定理尸=/+02—2accos3，所以48=/+02—呢,

所以/+c2=48+acN2ac，則公<48(當(dāng)且僅當(dāng)”=c=4』時取“=”)，

此時S=-acsinB<-x48x^-=12^.故D正確.

A222

故選：ACD

非選擇題部分

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.己知a=&l),匕=(2,3),且Z與B共線，則實數(shù)1的值為

【答案】-

3

【解析】

【分析】根據(jù)向量平行的坐標性質(zhì)列式求解即可.

【詳解】因為a=(//),3=(2,3),且￡與B共線,

所以3f—2=0,解得/=2

3

故答案為：一

3

13.已知長方體的長寬高分別為4,2,4,現(xiàn)將該長方體沿相鄰三個面的對角線截掉一個棱錐，得到如圖

所示的幾何體，則該幾何體體積為.

【解析】

【分析】依題意該幾何體的體積是由長方體的體積減去一個三棱錐的體積，根據(jù)錐體的體積公式計算可得.

【詳解】依題意該幾何體的體積是由長方體的體積減去一個三棱錐的體積，

所以該幾何體體積V=4x2x4—」XLX2X4X4=K.

323

on

故答案為：—

3

14.文壁巽塔位于桐鄉(xiāng)市崇福鎮(zhèn)中山公園，始建于明嘉靖年間，歷經(jīng)劫難不屈不折，現(xiàn)為桐鄉(xiāng)市級重點保護

文物.在湖對岸為測量塔的高度A3,可以選取與塔底3在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點C與。，現(xiàn)測得

ZBCD=45°,ZBDC=60°,CD=40米，在點C測得塔頂A的仰角為30。，則塔高A3=米.

【答案】20（#-0）

【解析】

【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和180°，求得NCBD,再根據(jù)正弦定理求得5C,進而在RtZkABC中，根

據(jù)AB=5CtanZ4CB求得AB.

【詳解】在△BCD中，CD=40m,ZBCD=45°,ZBDC=60°,

ZCBD=180°-45°-60°=105°

由正弦定理，得-------=----------

sinZBDCsinZCBD

40sin602073

所以BC=

sin105V3A/2PV6+V2

X---1---x—

222,4

在RtZiABC中，AB=BC-tanZACB=BC-tan30°=20（3V2-V6）x^=20（V6-V2）

所以塔高AB為20（m一應(yīng)）m.

故答案為：20（癡—血）.

四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚.

15.己知z=l+2i是關(guān)于x的方程12+°犬+4=0的一個根，其中p,q為實數(shù).

（1）求p,q的值；

（2）設(shè)復(fù)數(shù)Z]=^-3i滿足z/z是純虛數(shù)，求實數(shù)加的值.

【答案】（1）夕=—2,q=5

（2）m=-6

【解析】

【分析】（1）由方程根的定義，將z=l+2i代入x2+°x+4=0,再根據(jù)復(fù)數(shù)相等的意義列式求出P，4的

值；

（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法計算z/z,再根據(jù)純虛數(shù)的概念列式求解即可.

【小問1詳解】

由(l+2i『+p(l+2i)+q=0得

(-3+)+q)+(22+4)i=0,

—3+p+q=0

所以《解得P=-2,q=5

2p+4=0

【小問2詳解】

由題可知，Z]-z=（m-3i）-（l+2i）=m+6+（2m-3）i是純實數(shù),

m+6—0

所以，解得m=-6-

2m-3w0

16.VABC內(nèi)角A,3,C的對邊分別為a,b,c,已知sin（5—C）+sin（『+C）=sin瓦

（1）求角C；

（2）若c=26，VABC的面積為26.求VABC的周長.

JT

【答案】（1）c=-

3;

⑵6+2"

【解析】

【分析】（1）應(yīng)用和差角正弦公式得2sin3cosc=sin3,由三角形內(nèi)角的性質(zhì)即可求角的大小;

（2）由三角形面積公式得"=8,再應(yīng)用余弦定理可得a+）=6,即可得周長.

【小問1詳解】

在sin（B—C）+sin（B+C）=sinBcosC—cosBsinC+sinBcosC+cosBsinC,

由已知，得2sin5cosc=sin5,而sinBwO,貝!JcosC=',

2

jr

又OVCVTI,所以C=—.

3

【小問2詳解】

由Say='absinC，得='a/?sinZ，即〃6=8,

△223

22

又。2=[2+/—2〃bcosC，則（2^^）=a+b—2abcos—整理得〃+片=20,

因此〃2+/+2〃b=36,解得Q+Z?=6,所以VABC的周長為〃+Z?+C=6+2G-

17.已知圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，母線長為26.

(1)求圓錐的底面積；

(2)在該圓錐內(nèi)按如圖所示放置一個圓柱，當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時，求圓柱的體積.

9

【答案】(1)3%；(2)-71.

8

【解析】

【分析】

(1)先由圓的周長公式求出圓錐的底面圓的半徑，再求圓錐的底面積；

(2)圓柱的高。。1=丸，OD=r,再由△AG。~VA05求出丸，的關(guān)系式，進而得出圓柱的側(cè)面

積，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)以及圓柱的體積公式求解即可.

詳解】解：(1)沿母線AB剪開，側(cè)展圖如圖所示：

設(shè)OB=R,在半圓。A中，AB=2?弧長BB'=26%,

這是圓錐的底面周長，所以2"7?=2辰，

所以R=y/3，

故圓錐的底面積為S圓錐=TTR2=3兀；

(2)設(shè)圓柱的高OOi=/z,OD=r,

在如中，AO=1AB2_OB2=3,

△AO】。?NAOB，所以也=也,

AOOB

即T=幺，丸=3—如「，

S圓柱側(cè)面積=2兀此=2萬廠（3—0r）=—2上兀（戶一縣），

oC1百）3百

二-243萬Ir---2-HJ-----2--71,

所以，當(dāng)r=B，時，圓柱的側(cè)面積最大，

22

9

此時%!柱=兀丫八=飛冗.

o

【點睛】關(guān)鍵點睛：在第一問中，關(guān)鍵是由圓錐底面圓周長與側(cè)面展開扇形的弧長相等，從而求出圓錐

底面圓的半徑.

18.已知向量a=（2,l）,卜卜蓬，

（1）若Z與B夾角為120。，求忖+2年

（2）若￡j_B，求B的坐標；

（3）若［與B夾角為60。，求歸+回取最小值時，的值.

【答案】（1）V15

（2）1=（1,一2）或（―1,2）

（3）t=——

2

【解析】

【分析】（1）首先求出口，a-b＞再根據(jù)1+2可=+2沖2及數(shù)量積的運算律計算可得;

（2）設(shè)方=（x,y）,則Jf+y=逐且￡出=0,解得即可；

（3）首先求出7B，再由數(shù)量積的運算律得到以+由=的2+5/+5,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得.

【小問1詳解】

因為a=（2,1）,忖=逐，

_____rrc

所以同:"+儼=卮a./,=75xV5xcosl20°=--,

1112/—

所以|。+2d+4a?Z?+4b=<15.

【小問2詳解】

設(shè)，=(x,y),則商+y2=5

2x+y=0

X=1。或《x=-l

由￡_1石得〃％=2%+>=0,即<廠TI-，解得<

[y=-2b=2

所以i=(1,—2)或5=(—1,2).

【小問3詳解】

因為口=不，a-&=V？xV?xcos60°=,

所以當(dāng)時，歸+回取得最小值.

19.如圖所示，AD是VABC的一條中線，點。滿足才0=29，過點。的直線分別與射線AB，射線AC

交于M,N兩點.

(1)用as和就表示XI；

___.—.—.—,11

(2)設(shè)AM=/nAB,AN=〃AC,實數(shù)m>0,〃>0,求一+一的值；

mn

(3)如果VABC是邊長為。(。>0)的等邊三角形，求OM?+。產(chǎn)的取值范圍.

—?1—.1—.

【答案】(1)AO=-AB+-AC

33

(2)11=3

m+n

72

(3)OM-+0N->=^~

9

【解析】

【分析】(1)利用平面向量的線性運算可得出而、血關(guān)于｛麗,才e｝的表達式;

(2)由M、。、N三點共線并結(jié)合系數(shù)和為1的結(jié)論即可求解;

(3)由向量數(shù)量積的運算律求出麗2+兩2的表達式，利用基本不等式求最值即可.

【小問1詳解】

因血=2礪，所以血=彳而，又因。為的中點，所以罰=：(荏+恁),

21.1

所以前=一須=一通+-七.

333

【小問2詳解】

因血=加通，麗="4亍伶根〉0玲”〉0,