北京市海淀區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校高2024-2025屆高三零模數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1.設(shè)函數(shù)$f(x)=x^3-3x+1$，若函數(shù)在$x=1$處取得極值，則該極值為：A.1B.-1C.0D.22.在$\triangleABC$中，$a=5$，$b=7$，$c=8$，則$\cosA$的值為：A.$\frac{7}{24}$B.$\frac{8}{24}$C.$\frac{5}{24}$D.$\frac{6}{24}$3.若$y=\sqrt{9-x^2}$，則$x$的取值范圍為：A.$-3\leqx\leq3$B.$0\leqx\leq3$C.$-3\leqx\leq0$D.$0\leqx\leq-3$4.若$a$，$b$，$c$是等差數(shù)列的前三項(xiàng)，且$a+b+c=6$，$a^2+b^2+c^2=24$，則$a$，$b$，$c$的公差為：A.1B.2C.3D.45.設(shè)集合$A=\{x|x^2-3x+2=0\}$，$B=\{x|x\inN$且$x<4\}$，則$A\capB$的結(jié)果為：A.$\{1,2\}$B.$\{2,3\}$C.$\{1,3\}$D.$\{1,2,3\}$6.已知等比數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_1=2$，$a_3=32$，則該數(shù)列的公比為：A.4B.2C.1D.0.57.若$f(x)=ax^2+bx+c$，且$f(1)=1$，$f(2)=3$，$f(3)=7$，則$f(4)$的值為：A.13B.15C.17D.198.已知函數(shù)$y=\log_2(3x-2)$在$x=2$時(shí)取得最大值，則該函數(shù)的定義域?yàn)椋篈.$x\in(0,+\infty)$B.$x\in(1,+\infty)$C.$x\in(0,1)$D.$x\in(1,2)$9.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$A(1,2)$關(guān)于直線$y=x$的對稱點(diǎn)為：A.$(1,2)$B.$(2,1)$C.$(2,2)$D.$(1,1)$10.若$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=\frac{3}{4}$，則$\cos2\alpha$的值為：A.$\frac{1}{4}$B.$\frac{1}{2}$C.$\frac{3}{4}$D.$\frac{5}{4}$二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）1.設(shè)$a$，$b$，$c$是等差數(shù)列的前三項(xiàng)，且$a+b+c=9$，$a^2+b^2+c^2=45$，則該數(shù)列的公差為______。2.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x+1$，則$f(2)$的值為______。3.在$\triangleABC$中，$a=5$，$b=7$，$c=8$，則$\cosA$的值為______。4.若集合$A=\{x|x^2-3x+2=0\}$，$B=\{x|x\inN$且$x<4\}$，則$A\cupB$的結(jié)果為______。5.若$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=\frac{3}{4}$，則$\tan\alpha$的值為______。三、解答題（本大題共4小題，共75分）1.（本小題滿分15分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x+1$，求$f(x)$的極值。2.（本小題滿分15分）在$\triangleABC$中，$a=5$，$b=7$，$c=8$，求$\cosA$的值。3.（本小題滿分15分）若集合$A=\{x|x^2-3x+2=0\}$，$B=\{x|x\inN$且$x<4\}$，求$A\capB$的結(jié)果。4.（本小題滿分30分）已知等比數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_1=2$，$a_3=32$，求該數(shù)列的公比及前5項(xiàng)。四、（本小題滿分15分）已知函數(shù)$f(x)=2x^3-9x^2+12x+3$，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$，并找出函數(shù)的極值點(diǎn)。五、（本小題滿分15分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$A(2,3)$關(guān)于直線$y=x$的對稱點(diǎn)為$B$，求點(diǎn)$B$的坐標(biāo)。六、（本小題滿分15分）若等差數(shù)列$\{a_n\}$的前三項(xiàng)分別為$a_1$，$a_2$，$a_3$，且$a_1+a_3=12$，$a_2^2=36$，求該等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：函數(shù)$f(x)=x^3-3x+1$在$x=1$處取得極值，因?yàn)?f'(x)=3x^2-3$，當(dāng)$x=1$時(shí)，$f'(1)=0$，且$f''(x)=6x$，$f''(1)=6>0$，所以$x=1$是極小值點(diǎn)，$f(1)=1^3-3\times1+1=1-3+1=-1$。2.A解析：由余弦定理，$\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{7^2+8^2-5^2}{2\times7\times8}=\frac{49+64-25}{112}=\frac{88}{112}=\frac{7}{24}$。3.B解析：$y=\sqrt{9-x^2}$的定義域?yàn)?x^2\leq9$，即$-3\leqx\leq3$，但由于根號下的表達(dá)式非負(fù)，所以$x$的取值范圍為$0\leqx\leq3$。4.B解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，$a+b+c=3a+3d=6$，$a^2+b^2+c^2=(a+d)^2+2ad=24$，解得$d=2$。5.A解析：$A=\{x|x^2-3x+2=0\}=\{1,2\}$，$B=\{x|x\inN$且$x<4\}=\{0,1,2,3\}$，$A\capB=\{1,2\}$。6.B解析：等比數(shù)列的公比$q=\sqrt[2]{\frac{a_3}{a_1}}=\sqrt[2]{\frac{32}{2}}=4$。7.A解析：由$f(x)=ax^2+bx+c$，得$f(1)=a+b+c=1$，$f(2)=4a+2b+c=3$，$f(3)=9a+3b+c=7$，解得$a=1$，$b=-2$，$c=0$，所以$f(4)=16a+4b+c=16-8+0=8$。8.B解析：$y=\log_2(3x-2)$的定義域?yàn)?3x-2>0$，即$x>\frac{2}{3}$，所以函數(shù)的定義域?yàn)?x\in(1,+\infty)$。9.B解析：點(diǎn)$A(1,2)$關(guān)于直線$y=x$的對稱點(diǎn)$B$坐標(biāo)為$(2,1)$。10.A解析：由$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=\frac{3}{4}$，得$\sin^2\alpha=\frac{3}{4}$，$\cos^2\alpha=\frac{1}{4}$，所以$\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1=-\frac{1}{2}$。二、填空題1.2解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，$a+b+c=3a+3d=6$，$a^2+b^2+c^2=(a+d)^2+2ad=24$，解得$d=2$。2.5解析：$f(2)=2^3-3\times2+1=8-6+1=3$。3.$\frac{7}{24}$解析：由余弦定理，$\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{7^2+8^2-5^2}{2\times7\times8}=\frac{49+64-25}{112}=\frac{88}{112}=\frac{7}{24}$。4.$\{1,2,3\}$解析：$A=\{x|x^2-3x+2=0\}=\{1,2\}$，$B=\{x|x\inN$且$x<4\}=\{0,1,2,3\}$，$A\cupB=\{0,1,2,3\}$。5.$\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$解析：由$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=\frac{3}{4}$，得$\sin^2\alpha=\frac{3}{4}$，$\cos^2\alpha=\frac{1}{4}$，所以$\tan\alpha=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$。三、解答題1.（本小題滿分15分）解析：$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$，得$x=1$，$f''(x)=6x$，$f''(1)=6>0$，所以$x=1$是極小值點(diǎn)，$f(1)=-1$。2.（本小題滿分15分）解析：由余弦定理，$\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{7^2+8^2-5^2}{2\times7\times8}=\frac{49+64-25}{112}=\frac{88}{112}=\frac{7}{24}$。3.（本小題滿分15分）解析：$A=\{x|x^2-3x+2=0\}=\{1,2\}$，$B=\{x|x\inN$且$x<4\}=\{0,1,2,3\}$，$A\capB=\{1,2\}$。4.（本小題滿分30分）解析：等比數(shù)列的公比$q=\sqrt[2]{\frac{a_3}{a_1}}=\sqrt[2]{\frac{32}{2}}=4$，所以$a_n=a_1q^{n-1}=2\times4^{n-1}$，前5項(xiàng)為$2,8,32,128,512$。四、（本小題滿分15分）解析：$f'(x)=6x^2-18x+12$，令$f'(x)=0$，得$x=1$，$f''(x)=12x-