AP微積分BC2024-2025年真題試卷（積分級(jí)數(shù)解題技巧解析）一、不定積分要求：計(jì)算下列函數(shù)的不定積分。1.計(jì)算$\int(3x^2-4x+5)\,dx$。2.計(jì)算$\int(2\sqrt{x}-\frac{1}{x})\,dx$。3.計(jì)算$\int(e^x+\sinx)\,dx$。4.計(jì)算$\int\left(\frac{x}{x^2+1}\right)dx$。5.計(jì)算$\int\left(\frac{1}{x^3}\right)dx$。6.計(jì)算$\int(x^2-2x+1)\,dx$。二、定積分要求：計(jì)算下列定積分。1.計(jì)算$\int_0^1(2x^2-3x+4)\,dx$。2.計(jì)算$\int_1^2\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}\right)dx$。3.計(jì)算$\int_0^{\pi}(\sinx+\cosx)\,dx$。4.計(jì)算$\int_1^e\left(e^x\right)dx$。5.計(jì)算$\int_0^{\pi/2}\left(\frac{1}{x}\right)dx$。6.計(jì)算$\int_0^2\left(x^3-x\right)dx$。三、定積分的應(yīng)用要求：利用定積分解決下列實(shí)際問(wèn)題。1.一物體從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，其速度$v$隨時(shí)間$t$的變化規(guī)律為$v=t^2+2t$。求物體在時(shí)間區(qū)間$[0,3]$內(nèi)走過(guò)的路程。2.一物體的位移函數(shù)為$s=t^3-3t^2+2t$。求物體在時(shí)間區(qū)間$[1,3]$內(nèi)的平均速度。3.一物體的加速度$a$隨時(shí)間$t$的變化規(guī)律為$a=t^2+4t-6$。求物體在時(shí)間區(qū)間$[1,4]$內(nèi)的位移。4.一物體的速度$v$隨時(shí)間$t$的變化規(guī)律為$v=t^2-2t+3$。求物體在時(shí)間區(qū)間$[0,2]$內(nèi)通過(guò)的路程。5.一物體的位移函數(shù)為$s=t^3-3t^2+2t$。求物體在時(shí)間區(qū)間$[0,1]$內(nèi)的平均速度。6.一物體的加速度$a$隨時(shí)間$t$的變化規(guī)律為$a=t^2+4t-6$。求物體在時(shí)間區(qū)間$[2,4]$內(nèi)的位移。四、級(jí)數(shù)求和要求：計(jì)算下列級(jí)數(shù)的和。1.計(jì)算$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$。2.計(jì)算$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$。3.計(jì)算$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^2+1}$。4.計(jì)算$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}\right)$。5.計(jì)算$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3(n+1)^3}$。6.計(jì)算$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n^4+1}$。五、級(jí)數(shù)收斂性要求：判斷下列級(jí)數(shù)的收斂性。1.判斷級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^2+1}$的收斂性。2.判斷級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{\sqrt{n}}$的收斂性。3.判斷級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{2^n}$的收斂性。4.判斷級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln(n)}{n}$的收斂性。5.判斷級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\sqrt[3]{n^2+1}}$的收斂性。6.判斷級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\sin(n)}$的收斂性。六、級(jí)數(shù)應(yīng)用要求：利用級(jí)數(shù)解決下列實(shí)際問(wèn)題。1.一物體在時(shí)間$t$時(shí)刻的位置$s$由公式$s=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{t^n}{n!}$給出。求物體在時(shí)間$t=2$時(shí)刻的位置。2.計(jì)算一個(gè)半徑為1的圓的面積，使用級(jí)數(shù)$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}$。3.使用級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$來(lái)估算$\frac{\pi^2}{6}$的值。4.計(jì)算函數(shù)$f(x)=e^x$在$x=0$處的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)的前五項(xiàng)。5.使用級(jí)數(shù)$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^n$來(lái)估算$\ln(1.01)$的值。6.計(jì)算一個(gè)質(zhì)量分布均勻的半圓環(huán)的重量，其中質(zhì)量密度為$\rho(x)=kx^2$，半徑為$R$。本次試卷答案如下：一、不定積分1.$\int(3x^2-4x+5)\,dx=x^3-2x^2+5x+C$解析思路：分別對(duì)$x^2$、$x$和常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行積分，得到$x^3$、$-2x^2$和$5x$，加上積分常數(shù)$C$。2.$\int(2\sqrt{x}-\frac{1}{x})\,dx=\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}-\ln|x|+C$解析思路：對(duì)$2\sqrt{x}$進(jìn)行積分，得到$\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}$；對(duì)$-\frac{1}{x}$進(jìn)行積分，得到$-\ln|x|$，加上積分常數(shù)$C$。3.$\int(e^x+\sinx)\,dx=e^x-\cosx+C$解析思路：對(duì)$e^x$進(jìn)行積分，得到$e^x$；對(duì)$\sinx$進(jìn)行積分，得到$-\cosx$，加上積分常數(shù)$C$。4.$\int\left(\frac{x}{x^2+1}\right)dx=\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+C$解析思路：使用湊微分法，令$u=x^2+1$，則$du=2x\,dx$，從而$\int\frac{x}{x^2+1}\,dx=\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}\,du=\frac{1}{2}\ln(u)+C=\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+C$。5.$\int\left(\frac{1}{x^3}\right)dx=-\frac{1}{2x^2}+C$解析思路：對(duì)$x^3$進(jìn)行積分，得到$-\frac{1}{2x^2}$，加上積分常數(shù)$C$。6.$\int(x^2-2x+1)\,dx=\frac{x^3}{3}-x^2+x+C$解析思路：分別對(duì)$x^2$、$x$和常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行積分，得到$\frac{x^3}{3}$、$-x^2$和$x$，加上積分常數(shù)$C$。二、定積分1.$\int_0^1(2x^2-3x+4)\,dx=\left[\frac{2}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2+4x\right]_0^1=\frac{2}{3}-\frac{3}{2}+4=\frac{13}{6}$解析思路：分別對(duì)$2x^2$、$-3x$和$4$進(jìn)行積分，得到$\frac{2}{3}x^3$、$-\frac{3}{2}x^2$和$4x$，然后代入上限和下限進(jìn)行計(jì)算。2.$\int_1^2\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}\right)dx=\left[-\frac{1}{x}-\ln|x|\right]_1^2=-\left(\frac{1}{2}-\ln2\right)-(-1-\ln1)=\frac{1}{2}-\ln2$解析思路：分別對(duì)$\frac{1}{x^2}$和$-\frac{1}{x}$進(jìn)行積分，得到$-\frac{1}{x}-\ln|x|$，然后代入上限和下限進(jìn)行計(jì)算。3.$\int_0^{\pi}(\sinx+\cosx)\,dx=\left[-\cosx+\sinx\right]_0^{\pi}=-\left(\cos\pi-\sin\pi\right)-\left(\cos0-\sin0\right)=2$解析思路：分別對(duì)$\sinx$和$\cosx$進(jìn)行積分，得到$-\cosx+\sinx$，然后代入上限和下限進(jìn)行計(jì)算。4.$\int_1^e\left(e^x\right)dx=\left[e^x\right]_1^e=e^e-e$解析思路：對(duì)$e^x$進(jìn)行積分，得到$e^x$，然后代入上限和下限進(jìn)行計(jì)算。5.$\int_0^{\pi/2}\left(\frac{1}{x}\right)dx$發(fā)散解析思路：對(duì)$\frac{1}{x}$進(jìn)行積分，得到$\ln|x|$，由于在$x=0$處函數(shù)不連續(xù)，因此積分發(fā)散。6.$\int_0^2\left(x^3-x\right)dx=\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}\right]_0^2=\left(\frac{16}{4}-2\right)-\left(0-0\right)=2$解析思路：分別對(duì)$x^3$和$-x$進(jìn)行積分，得到$\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}$，然后代入上限和下限進(jìn)行計(jì)算。三、定積分的應(yīng)用1.物體在時(shí)間區(qū)間$[0,3]$內(nèi)走過(guò)的路程為$\int_0^3(t^2+2t)\,dt=\left[\frac{t^3}{3}+t^2\right]_0^3=\left(\frac{27}{3}+9\right)-(0+0)=18$解析思路：對(duì)速度函數(shù)$v=t^2+2t$進(jìn)行積分，得到位移函數(shù)$s=\frac{t^3}{3}+t^2$，然后代入上限和下限進(jìn)行計(jì)算。2.物體在時(shí)間區(qū)間$[1,3]$內(nèi)的平均速度為$\frac{\int_1^3(t^3-3t^2+2t)\,dt}{3-1}=\frac{\left[\frac{t^4}{4}-t^3+t^2\right]_1^3}{2}=\frac{\left(\frac{81}{4}-27+9\right)-\left(\frac{1}{4}-1+1\right)}{2}=\frac{21}{4}$3.物體在時(shí)間區(qū)間$[1,4]$內(nèi)的位移為$\int_1^4(t^2+4t-6)\,dt=\left[\frac{t^3}{3}+2t^2-6t\right]_1^4=\left(\frac{64}{3}+32-24\right)-\left(\frac{1}{3}+2-6\right)=\frac{191}{3}$4.物體在時(shí)間區(qū)間$[0,2]$內(nèi)通過(guò)的路程為$\int_0^2(t^2-2t+3)\,dt=\left[\frac{t^3}{3}-t^2+3t\right]_0^2=\left(\frac{8}{3}-4+6\right)-(0-0+0)=\frac{14}{3}$5.物體在時(shí)間區(qū)間$[0,1]$內(nèi)的平均速度為$\frac{\int_0^1(t^3-3t^2+2t)\,dt}{1-0}=\int_0^1(t^3-3t^2+2t)\,dt=\left[\frac{t^4}{4}-t^3+t^2\right]_0^1=\left(\frac{1}{4}-1+1\right)-(0-0+0)=\frac{1}{4}$6.物體在時(shí)間區(qū)間$[2,4]$內(nèi)的位移為$\int_2^4(t^2+4t-6)\,dt=\left[\frac{t^3}{3}+2t^2-6t\right]_2^4=\left(\frac{64}{3}+32-24\right)-\left(\frac{8}{3}+8-12\right)=\frac{50}{3}$四、級(jí)數(shù)求和1.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$解析思路：這是一個(gè)著名的調(diào)和級(jí)數(shù)的倒數(shù)平方和，其和為$\frac{\pi^2}{6}$。2.$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}=\ln2$解析思路：這是一個(gè)交錯(cuò)調(diào)和級(jí)數(shù)，其和為$\ln2$。3.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^2+1}=\frac{\pi}{4}$解析思路：這是一個(gè)特殊形式的級(jí)數(shù)，其和為$\frac{\pi}{4}$。4.$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}\right)=\frac{\pi}{4}$解析思路：這是一個(gè)部分和級(jí)數(shù)，其和為$\frac{\pi}{4}$。5.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3(n+1)^3}=\frac{\pi^2}{945}$解析思路：這是一個(gè)特殊形式的級(jí)數(shù)，其和為$\frac{\pi^2}{945}$。6.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n^4+1}=\frac{\pi^2}{8}$解析思路：這是一個(gè)特殊形式的級(jí)數(shù)，其和為$\frac{\pi^2}{8}$。五、級(jí)數(shù)收斂性1.級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^2+1}$發(fā)散解析思路：這是一個(gè)調(diào)和級(jí)數(shù)的倒數(shù)，因此發(fā)散。2.級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{\sqrt{n}}$條件收斂解析思路：這是一個(gè)交錯(cuò)調(diào)和級(jí)數(shù)，通過(guò)萊布尼茨判別法可以判斷其條件收斂。3.級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{2^n}$發(fā)散解析思路：這是一個(gè)幾何級(jí)數(shù)的倒數(shù)，由于公比大于1，因此發(fā)散。4.級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln(n)}{n}$發(fā)散解析思路：這是一個(gè)對(duì)數(shù)級(jí)數(shù)，其項(xiàng)的極限不為0，因此發(fā)散。5.級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\sqrt[3]{n^2+1}}$收斂解析思路：這是一個(gè)特殊形式的級(jí)數(shù)，通過(guò)比較判別法可以判斷其收斂。6.級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\sin(n)}$發(fā)散解析思路：這是一個(gè)特殊形式的級(jí)數(shù)，其項(xiàng)的極限不為0，因此發(fā)散。六、級(jí)數(shù)應(yīng)用1.物體在時(shí)間$t=2$時(shí)刻的位置為$s=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{t^n}{n!}=\frac{2^1}{1!}+\frac{2^2}{2!}+\frac{2^3}{3!}+\frac{2^4}{4!}+\ldots=e^2-1$解析思路：這是歐拉級(jí)數(shù)，其和為$e^