矩陣論考試題及參考答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.若矩陣\(A\)的秩為\(r\)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.\(A\)至少有一個(gè)\(r\)階子式不為零B.\(A\)的所有\(zhòng)(r\)階子式都不為零C.\(A\)的所有\(zhòng)(r+1\)階子式都不為零D.\(A\)的所有\(zhòng)(r-1\)階子式都不為零2.\(n\)階方陣\(A\)可逆的充要條件是（）A.\(|A|=0\)B.\(|A|\neq0\)C.\(r(A)\ltn\)D.\(A\)的列向量組線性相關(guān)3.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，則\((AB)^T\)等于（）A.\(A^TB^T\)B.\(B^TA^T\)C.\(AB\)D.\(BA\)4.若\(\lambda\)是矩陣\(A\)的特征值，則\(\lambda^2\)是（）的特征值A(chǔ).\(A^2\)B.\(2A\)C.\(A^{-1}\)D.\(A+E\)5.設(shè)\(A\)為\(3\)階方陣，且\(|A|=2\)，則\(|2A|\)等于（）A.\(4\)B.\(8\)C.\(16\)D.\(32\)6.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性相關(guān)的充要條件是（）A.存在一組不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)B.存在一組全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)C.向量組中至少有一個(gè)零向量D.向量組中任意兩個(gè)向量成比例7.若\(A\)為正交矩陣，則\(A^TA\)等于（）A.\(A\)B.\(E\)C.\(0\)D.\(|A|E\)8.矩陣\(A\)的跡\(tr(A)\)等于（）A.\(A\)的主對(duì)角線元素之和B.\(A\)的所有元素之和C.\(|A|\)D.\(A\)的秩9.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(A\)的伴隨矩陣為\(A^\)，則\(|A^|\)等于（）A.\(|A|\)B.\(|A|^{n-1}\)C.\(|A|^n\)D.\(|A|^{n+1}\)10.若\(A\)與\(B\)相似，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.\(A\)與\(B\)有相同的特征值B.\(A\)與\(B\)有相同的秩C.\(A\)與\(B\)有相同的行列式D.\(A\)與\(B\)一定相等二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列關(guān)于矩陣運(yùn)算正確的有（）A.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)（當(dāng)\(AB=BA\)時(shí)）B.\((AB)C=A(BC)\)C.\(k(A+B)=kA+kB\)D.\(A(B+C)=AB+AC\)2.以下哪些是判斷矩陣可逆的方法（）A.矩陣的行列式不為零B.矩陣滿秩C.矩陣的列向量組線性無(wú)關(guān)D.矩陣的行向量組線性無(wú)關(guān)3.關(guān)于矩陣的特征值與特征向量，正確的有（）A.不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān)B.一個(gè)特征值可以對(duì)應(yīng)多個(gè)特征向量C.特征向量不為零向量D.矩陣的特征值之和等于矩陣的跡4.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，下列說(shuō)法正確的是（）A.\(r(A+B)\leqr(A)+r(B)\)B.\(r(AB)\leq\min\{r(A),r(B)\}\)C.若\(A\)可逆，則\(r(AB)=r(B)\)D.若\(B\)可逆，則\(r(AB)=r(A)\)5.下列屬于正交矩陣性質(zhì)的是（）A.\(A^TA=E\)B.\(|A|=\pm1\)C.\(A\)的列向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組D.\(A\)的行向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組6.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性無(wú)關(guān)的充分條件有（）A.向量組的秩等于向量組所含向量的個(gè)數(shù)B.向量組中任意一個(gè)向量都不能由其余向量線性表示C.向量組對(duì)應(yīng)的矩陣的行列式不為零（當(dāng)向量組向量個(gè)數(shù)與維數(shù)相等時(shí)）D.向量組中存在一個(gè)向量能由其余向量線性表示7.對(duì)于矩陣\(A\)的相似對(duì)角化，正確的有（）A.\(A\)可相似對(duì)角化的充要條件是\(A\)有\(zhòng)(n\)個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量B.若\(A\)有\(zhòng)(n\)個(gè)不同的特征值，則\(A\)可相似對(duì)角化C.相似對(duì)角化后的對(duì)角矩陣主對(duì)角線元素為\(A\)的特征值D.若\(A\)可相似對(duì)角化，則對(duì)角化的變換矩陣\(P\)的列向量是\(A\)的特征向量8.下列關(guān)于矩陣的秩說(shuō)法正確的是（）A.矩陣的秩等于它的行秩B.矩陣的秩等于它的列秩C.初等變換不改變矩陣的秩D.矩陣\(A\)的秩\(r(A)\)是\(A\)中不為零的子式的最高階數(shù)9.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(A\)的特征多項(xiàng)式為\(f(\lambda)=|\lambdaE-A|\)，則（）A.\(f(\lambda)\)是關(guān)于\(\lambda\)的\(n\)次多項(xiàng)式B.\(f(A)=0\)（哈密頓-凱萊定理）C.\(\lambda\)的最高次項(xiàng)系數(shù)為\(1\)D.\(f(\lambda)\)的常數(shù)項(xiàng)為\((-1)^n|A|\)10.以下關(guān)于矩陣等價(jià)的說(shuō)法正確的是（）A.矩陣\(A\)與\(B\)等價(jià)的充要條件是\(r(A)=r(B)\)B.若\(A\)經(jīng)過(guò)有限次初等變換可化為\(B\)，則\(A\)與\(B\)等價(jià)C.等價(jià)矩陣具有相同的行數(shù)和列數(shù)D.等價(jià)矩陣具有相同的標(biāo)準(zhǔn)形三、判斷題（每題2分，共10題）1.若矩陣\(A\)的行列式\(|A|=0\)，則\(A\)不可逆。（）2.兩個(gè)矩陣\(A\)和\(B\)，若\(AB=0\)，則\(A=0\)或\(B=0\)。（）3.矩陣\(A\)的特征向量一定是唯一的。（）4.若向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性相關(guān)，則\(\alpha_1\)一定能由\(\alpha_2,\alpha_3\)線性表示。（）5.正交矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣也是正交矩陣。（）6.矩陣\(A\)的秩\(r(A)\)小于等于\(A\)的行數(shù)與列數(shù)中的較小值。（）7.若\(A\)與\(B\)相似，則\(A\)與\(B\)的特征多項(xiàng)式相同。（）8.對(duì)于任意矩陣\(A\)，\(A^TA\)是對(duì)稱矩陣。（）9.零矩陣是可逆矩陣。（）10.若矩陣\(A\)的列向量組線性無(wú)關(guān)，則\(A\)的行向量組也一定線性無(wú)關(guān)。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述矩陣可逆的判定方法。答案：矩陣可逆的判定方法有：行列式不為零；滿秩；列（行）向量組線性無(wú)關(guān)；存在矩陣\(B\)使得\(AB=BA=E\)；特征值都不為零等。2.說(shuō)明求矩陣特征值和特征向量的步驟。答案：先求特征多項(xiàng)式\(f(\lambda)=|\lambdaE-A|\)，令\(f(\lambda)=0\)解出特征值\(\lambda\)。對(duì)于每個(gè)特征值\(\lambda\)，求解齊次線性方程組\((\lambdaE-A)X=0\)，其非零解就是對(duì)應(yīng)的特征向量。3.簡(jiǎn)述矩陣的秩的定義及性質(zhì)。答案：矩陣的秩是矩陣中不為零的子式的最高階數(shù)。性質(zhì)有：行秩等于列秩；初等變換不改變秩；\(r(A+B)\leqr(A)+r(B)\)，\(r(AB)\leq\min\{r(A),r(B)\}\)等。4.解釋相似矩陣的概念及相似矩陣有哪些相同的性質(zhì)。答案：若存在可逆矩陣\(P\)，使\(P^{-1}AP=B\)，則\(A\)與\(B\)相似。相似矩陣有相同的特征值、行列式、秩、跡以及特征多項(xiàng)式。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論矩陣運(yùn)算與普通數(shù)的運(yùn)算有哪些不同點(diǎn)。答案：矩陣運(yùn)算中，乘法不滿足交換律，即\(AB\)不一定等于\(BA\)；\(AB=0\)不能推出\(A=0\)或\(B=0\)；求逆運(yùn)算要求矩陣滿足特定條件，不像非零數(shù)都有倒數(shù)。而普通數(shù)運(yùn)算滿足交換律、消去律等。2.探討向量組線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。答案：在實(shí)際問(wèn)題中，如在數(shù)據(jù)處理、物理模型構(gòu)建等方面。線性相關(guān)說(shuō)明向量組中存在“冗余”信息，可簡(jiǎn)化模型；線性無(wú)關(guān)則保證數(shù)據(jù)的獨(dú)立性和有效性，能準(zhǔn)確描述問(wèn)題，如在信號(hào)處理中用于特征提取。3.分析正交矩陣在工程和科學(xué)領(lǐng)域的重要性。答案：正交矩陣在工程和科學(xué)領(lǐng)域很重要。在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中用于坐標(biāo)變換，保持圖形形狀和距離不變；在信號(hào)處理中用于數(shù)據(jù)的正交分解，提高處理效率；在量子力學(xué)中描述系統(tǒng)的變換，保證物理量的守恒等。4.論述矩陣相似對(duì)角化的意義和作用。答案：矩陣相似對(duì)角化的意義在于簡(jiǎn)化矩陣的運(yùn)算。對(duì)于高次冪運(yùn)算，對(duì)角矩陣的冪運(yùn)算很簡(jiǎn)單。在分析動(dòng)態(tài)系統(tǒng)、解線性微分方程組等方面，相似對(duì)角化可將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的對(duì)角矩陣問(wèn)題，便于求解和分析系統(tǒng)的性質(zhì)。答案一、單項(xiàng)選擇題1.A2.